第1章 算法与数据结构基础

1.3.2 线性表的链式存储结构
链式存储是指用一组地址任意的存储 单元存放线性表中的数据元素。 链式存储采用结点来表示数据元素。 一个结点由两个部分构成：数据域和指 针域。
结构化程序算法的特性如下：
（1）输入：一个算法有0个或多个输入，以刻 画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身 定除了初始条件； （2）输出：一个算法有一个或多个输出，以反 映对输入数据加工后的结果。没有输出的算法是毫 无意义的； （3）确定性：算法的每一步骤必须有确切的定 义； （4）有穷性：一个算法必须保证执行有限步之 后结束； （5）有效性
A B C A B D C
1.3 线 性 表
1.3.1 线性表的顺序存储结构
线性表是最常用且最简单的一种数据 结构。 采用顺序存储结构的线性表也叫做顺 序表，如n个元素的线性表可以记为：L= （a1，a2，…，an）。
顺序表L
学号 姓名 性别 平时成绩 期考成绩 期评成绩
a1 a2 a3 a4 a5
1.1 算法的基本概念
递推 解：用 F(n) 表示第 n 个月的兔子对数。 第一个月： F(1) = 1 第二个月： F(2) = F(1) +0 = 1 第三个月： F(3) = F(2) +1 = 2 第四个月： F(4) = F(3) +1 = 3 第五个月： F(5) = F(4) +2 = 5 第六个月： F(6) = F(5) +3 =8
算法的时间复杂度指算法所需要的计算 工作量，算法时间是由控制结构和原操作 的决定的。算法中基本操作重复执行的次 数是问题规模n的某个函数f(n)，记作： T(n) = O(f(n)) 它表示随问题规模n的增大，算法执行 n 时间的增长率和f(n)的增长率相同。 算法工作量分析：平均性态（概率计算）； 最坏情况复杂性（运算最大次数）。
算法的空间复杂度描述算法的存储空 间需求，运行完一个程序所需要的内存 大小是问题规模n的某个函数g(n)，记作： S(n) = O(g(n)) 它表示随着问题规模n的增大，算法 运行所需存储空间的增长率S(n)与g(载体，是描述客 观事物的数、字符，以及所有能输入到 计算机中，被计算机程序识别和处理的 符号的集合。数据包括数值性数据和非 数值性数据。
出队 front
a0
a1
a2
…
an-1
入队 rear
图1-10 顺序队列
注意， 是尾元素的位置， 是头元素的前一个 注意，rear是尾元素的位置，front是头元素的前一个 是尾元素的位置 是头元素的 位置。 位置。
front 5 4 rear
6 A
7 B0 C 1
E D 3 2
f大于r的情况 6 5 7 front 0 1 3 空队列 2 rear 5 6 7 front 0 A 1 3 2 5 6 7 front 0 A 1 C 3 B 2 5 6 7 0 1 C 3 B 2 front
减半递推技术 设方程 f (x) = 0 在区间 [a, b] 上有实根，且 f (a) 与 f (b) 异号。利用二分法求该方程在 [a, b] 上的一个实根。 解：(1) 取区间的中点 c = (a + b)/2, (2) 判断 f (c)?=0 ----若 f (c) = 0，则即为所求的根； ----若 f (c) ≠ 0，则根据以下原则继续减半区间： 若 f (a) f (c) < 0，则取区间的前半部分； 若 f (b) f (c) < 0，则取区间的后半部分； (3) 判断区间的长度是否达到要求精度 ----若 | a – b| < ε，则取为根的近似根； ----若 | a – b| ≥ ε ，则重复上述的减半区间过 程。
1.4 栈 和 队 列
1.4.1 栈及其基本操作
栈是规定只能在表的一端进行插入和删除的 线性表。允许插入和删除的一端称为栈顶，另一 端称为栈底。当表中没有元素时称为空栈。由于 栈的插入和删除运算仅在栈顶一端进行，后进栈 的元素必定先被删除，所以又把栈称为后进先出 （Last_In_First_Out，简称LIFO）表。栈有插入 （即进栈）和删除（即出栈）两种基本操作。 插入也叫入栈或进栈。
数据元素（也称为元素、接点、顶点、 记录）：数据元素是数据的基本单位。 一个数据元素可以由若干个数据项组成。 数据项：数据项是具有独立含义的最小 标识单位。 数据对象：数据的子集，是具有相同性 质的数据成员（数据元素）的集合。 数据处理效率：处理的速度；占用的空 间。
数据结构的定义：数据结构是指数据 之间的相互关系，即数据的组织形式， 由某一数据对象及该对象中所有数据成 员之间的关系组成，记为： Data_Structure={D,R}，其中D是某 一数据对象，R是该对象中所有数据成员 之间的关系的有限集合，通常指前后关 系。 它包括逻辑结构、存储结构和数 据的运算3个方面的内容。
d4 d3 d6 d8 d9
d7
D={d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7,d8,d9} R={(d1,d2),(d1,d5),(d5,d7),(d4,d3),(d3,d6),(d6,d8),(d6,d9)} 图1-1 数据结构的图形表示
数据的逻辑结构分为线性结构和非线 性结构两类： 线性结构：数据元素之间构成一种顺 序的线性关系，如图1-2所示。线性结构 包括线性表、堆栈、队列和串。
1.1 算法的基本概念
算法的特征：
⑴可行性: 针对实际问题而设计的算法,执行后能够得到满意的结果。 ⑵确定性：算法中的每一个步骤都必须有明确的定义，不允许有模 棱两可的解释和多义性。 ⑶有穷性：算法必需在有限时间内做完，即算法必需能在执行有限 个步骤之后终止。 ⑷拥有足够的情报：要使算法有效必需为算法提供足够的情报。当 算法拥有足够的情报时，此算法才是有效的；但当提供的情报不足 时，算法可能无效。
05302101
梁菊英
女
72
70
71
05302102
韦丽华
女
80
77
78.5
05302103
黄芳
女
78
80
79
05302104
覃柳成
男
90
85
87.5
05302105
黎文连
男
70
68
69
顺序表 L： a1 a2 a3 a4 a5
如果第一条记录的首地址是ADR(a1)，每一条记录占K个字节， 则它们的地址依次可表示为： ADR(a1) ADR(a1)+K ADR(a1)+2K ADR(a1)+3K ADR(a1)+4K
1.1 算法的基本概念
递归法
汉诺塔（又称河内塔）问题是印度的一个古 老的传说。开天辟地的神勃拉玛在一个庙里 留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64 个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个 比一个小，依次叠上去，庙里的众僧不倦地 把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上， 规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次 只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。 面对庞大的数字(移动圆片的次 数)18446744073709551615，看来，众僧们 耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。
数据的逻辑结构：用来描述数据元素之 间的逻辑关系。 数据的存储结构：用来描述数据元素及 数据元素之间的关系在存储器中的存储形式。 （逻辑结构与存储结构的关系犹如家庭照相 中辈分与点位的关系。） 数据的运算：即对数据元素施加的操作。 数据结构的图形表示：用图形来直观地 表示数据及其之间的关系。
d1 d2 d5
1.1 算法的基本概念
1.1 算法的基本概念
确定两块环片的操作为一个基本的操作； 三块环片把上面两块看作一个整体后转换为两 块的操作； 四块环片把上面三块看作一个整体后转换为两 块的操作； …………… 再多的环片都可回归到两块的操作。 递归分为：直接递归和间接递归法。递归是递 推的逆过程。
1.1 算法的基本概念
回溯法
“盗墓迷城”：在传说中，汉姆奈普特 拉埋葬着大量的财富，寻宝者和地理学 家都为这个传说而疯狂。 如何找到传说 中的宝藏，只能试探性的选择可能的路 径，否则回到原点，真到找到宝藏为止。
算法复杂度 算法复杂度通常采用由德国数学家 Paul Bachmann在1892年提出的“大O表 达式”表述，该符号以大写字母O带一对 小括号括起的一个表达式构成。一般描 述算法复杂度时括号里用N的简单函数表 示，如O(N2)（读作：ON大平方）。
1.1 算法的基本概念
算法的基本要素：
算法的基本要素： 一是对数据对象的运算和操作；二是算法的 控制结构。 指令系统：一个计算机系统能执行的所有指令的 集合。 基本运算包括：算术运算、逻辑运算、关系运算、 数据传输。 算法的控制结构：顺序结构、选择结构、循环结 构。
1.1 算法的基本概念
算法基本设计方法：列举法、归纳法、 递推、递归、减半递推技术、回溯法。
图1-3 顺序表
顺序表有插入和删除两种基本操作。
顺序表 L： a1 0 … ai-1 i−2 ai i−1 插入前 a1 0
i个元素都向后移 个元素都向后移 一位，效率低。 一位，效率低。
… n−1
an n
空的存 储空间
…
ai-1 i−2
e i−1 插入后
ai i
…
an n+1
图1-4 顺序表的插入
入栈、读栈（不退）、退栈
a0 a1
top=30
a48 bottom=49 a49
元素个数＝bottom-top+1 ＝49-30+1
1.4.2 队列及其基本操作
队列可以看作是插入在一端进行，删除 在另一端进行的线性表。允许插入的一端 称为队尾，允许删除的一端称为队头。 队列又称为先进先出 （First_In_First_Out,FIFO）表。队列的基 本操作有插入（即入队）和删除（即出队） 两种。