量子力学(十一)

陕西师范大学2013—2014学年第一学期期末考试物理学与信息技术学院2012级物理学创新实验班专业量子力学答卷注意事项：1、学生必须用蓝色（或黑色）钢笔、圆珠笔或签字笔直接在试题卷上答题。

2、答卷前请将密封线内的项目填写清楚。

3、字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用。

4、本卷共 10 大题，总分为100分。

一．简答题1. 能级简并、简并度。

（5分）答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为简并。

2. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x ax x V 2,0,20,0)(（5分）解： ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ax x a x axn a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ,3,2,1,82222==n a n E n μπ3. 二电子体系中，总自旋 21s s S+= ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。

（5分）解：（2,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为]00(1)(2)(1)(2)χαββα=- 自旋三重态为]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)χααχαββαχββ-=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩4. 对于阶梯形方势场⎩⎨⎧><=ax V a x V x V ,,)(21 ，如果（12V V -）有限，则定态波函数)(x ψ连续否？其一阶导数 )(x ψ'连续否？（5分）解：定态波函数)(x ψ连续；其一阶导数 )(x ψ'也连续。

二．填空题5. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，则粒子在立体角d Ω中被测到的几率为()220d ,,d P r r r ψθϕ∞=Ω⎰。

（5分）6. 给出如下对易关系：（5分）[],0,,,2,y z z y x zy z xx p z p iy L ixi L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦7. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：()()n n nx a x ψψ=∑，则展开式系数()*(),()()()d n n n a x x x x x ψψψψ==⎰。

（5分）8. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，则电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r处的几率密度表达式为()22/,r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率的表达式为()23d,/2r r ψ-⎰。

（5分）三．证明题9. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态：b b b B =，本征值0≠b 。

证明在态b 中，算符A 的平均值等于零。

（10分） 证：{},0A B AB BA =+=，{}0,2A B b AB b b BA b b A b ∴==+=。

但0≠b ，从而有0A b A b ==，即在态b 中，算符A 的平均值为零。

10. 一个谐振子处于基态：22/2(,),x i tx t αωψ--=证明其势能2221x m V ω=的平均值与动能m pT 22=的平均值相等，皆为14ω。

[ 积分公式：2e d x x +∞--∞=⎰]（10分）证： ⎰⎰+∞∞--2+∞∞-2222==dx e x dx t x x t x x xαπαψψ),(),(*ωααππαm221223==⋅=，。

41422)(222,412122222422/2222/222222222ωαπαπαπαααπαπαωωααα=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅====-∞+∞--∞+∞--⎰⎰mmdxexmdxedxdmempTxmVxxx11. 在直角坐标系中，证明：0],[2=pL，其中L为角动量算符，p（10分）证：],[],[],[],[222222zxyxzyxxxpLpLpppLpL+=++=zzxzxzyyxyxyppLpLpppLpLp],[],[],[],[+++=()()0=+-+=zyyzyzzyppppippppi；同理，],[2=pLy，0],[2=pLz所以],[2=pL四．计算题12. 在时间0=t时，一个线性谐振子处于用下列归一化的波函数所描写的状态：)()(21)(51)0,(332xucxuxux++=ψ，式中)(xun是振子的第n个本征函数。

（1）试求3c的数值；（2）写出在t 时刻的波函数；（3）在0=t 时振子能量的平均值是多少？1=t 秒时呢？（15分）解：（1）,12151222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 得 103=c 。

（2）157222023(,)()e ()e ()e i t i t i t x t x x x ωωωψ---=+。

（3）在0=t 时振子能量的平均值是ωωωω 5121032721255121222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=E 。

1=t 秒时振子能量的平均值也是ω 512。

13. 质量为μ的粒子受微扰后，在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧><∞≤≤=ax x a x ax A x V ,0,0,cos )(π中运动。

（1）题中应当把什么看作微扰势？（2）写出未受微扰时的能级和波函数；（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中22210a A μπ =。

提示：nm x mxd nx δππ2sin sin 0=⋅⎰。

（15分） 解：（1）应在一维无限深势阱⎩⎨⎧><∞≤≤=ax x ax x V ,0,0,0)(⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤='a x x ax ax A H ,0,00,cos π（2）未受微扰时的波函数和能级分别为 ,3,2,1,2,sin 2)(2222)0()0(===n an Eaxn a x nnμππψ（3）未受微扰时的基态波函数和能量分别为222)0(1)0(12,sin 2)(a Eax a x μππψ==， 基态能量的一级修正： a x d a x A dx a x A a x a H Eaa πππππsin sin 2cos sin 2020211)1(1⎰⎰=⋅='= 0sin3203==aaxA ππ。

基态能量的二级修正： ∑-'=nnn EEH E )0()0(121)2(1'，220001222sin sin 2sin sinsin cos 2sin sin 2cos sin 2n n aaanA A yyd ny Aaxd a x a x n Adx ax a x a x n a Adx ax a a x A a x n a H δδππππππππππππππ=⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅='⎰⎰⎰⎰所以 ()()22222222)0(2)0(12)2(16412142πμμπA a a A E E A E-=-⋅=-=。

2222222222600106a a a μπμππμ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=。

222222222)2(1)1(1)0(116002996002aa a EEEE μπμπμπ =-=++=。