第十一章 含时微扰与量子跃迁
量子力学作业习题
第一章量子力学作业习题[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（12；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=][2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
量子跃迁
第二类问题是体系的状态随时间 演化的问题，这涉及量子力学的 另一个基本假设：体系状态随时 间的演化遵守含时薛定谔方程：
如果哈密顿量不显含时间，含时 薛定谔方程的解形式上可表述成
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2
把初态表达成能量本 征态的线性叠加：
量子态的演化
如果体系的初态 是能量本征态： 上述结果显示，能量测量值的概率分布不随时间改变。
含时微扰论使我们能够从不含时的定态波函数近似地计 算有微扰时的波函数，由此得到跃迁的概率。
谱线的强度取决于体系在两个能级之间跃迁的速率，即 单位时间内的跃迁概率。
2019/7/26
8
带电的一维谐振子，初始时刻处于基态
一维谐振子的量子跃迁
外界作用以微扰的方式加入：
经过很长的时间后，测得谐振子处于某激发态的振幅：
7
谱线的强度
一个简单的例子是粒子在中心力场中运动，能级Enl的简 并度为2l+1，所有从Enl到En'l'的跃迁概率为
求和式中的m表示对初态求 平均，m'表示对终态求和。 在光谱学中，谱线的频率和强度是两个重要的观测量，
谱线的频率由末态与初态的能量差确定，这个问题在玻 尔的早期量子论中已经解决。
玻尔在早期量子论中虽然提出了量子跃迁的重要概念， 但他没有给出计算谱线强度的方法。
含时相互作用
加入外界作用后，体系的量子态可以用 F 的本征态展开
外界作用与时间有关导致 展开系数与时间有关：
时刻 t 测量 F 得到 Fn 值的概率： 经测量后，体系从初态跃迁到末态，跃迁概率为
单位时间的跃迁概率，即跃迁速率： 问题最终归结为：在给定的初条件
下，如何求解由外界作用导致的叠加系数
波函数的初条件反映在叠加系数上就变成如下条件：
《曾谨言 量子力学教程 第3版 笔记和课后习题 含考研真题 》读书笔记思维导图
02
第2章 一维势场中的 粒子
03
第3章 力学量用算符 表达
04
第4章 力学量随时间 的演化与对称性
05 第5章 中心力场
06
第6章 电磁场中粒子 的运动
目录
07 第7章 量子力学的矩 阵形式与表象变换
08 第8章 自 旋
09
第9章 力学量本征值 问题的代数解法
010 第10章 微扰论
011 第11章 量子跃迁
7.2 课后习题详 解
7.1 复习笔记
7.3 名校考研真 题详解
第8章 自 旋
8.2 课后习题详 解
8.1 复习笔记
8.3 名校考研真 题详解
第9章 力学习题详 解
9.1 复习笔记
9.3 名校考研真 题详解
第10章 微扰论
10.2 课后习题 详解
10.1 复习笔记
第1章 波函数与Schrödinger 方...
1.2 课后习题详 解
1.1 复习笔记
1.3 名校考研真 题详解
第2章 一维势场中的粒子
2.2 课后习题详 解
2.1 复习笔记
2.3 名校考研真 题详解
第3章 力学量用算符表达
3.2 课后习题详 解
3.1 复习笔记
3.3 名校考研真 题详解
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量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲
薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程， 不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是 微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔 方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基 础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、 消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子 从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没 有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而 绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子） 在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身 不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像 一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒 子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本 假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性， 要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列 的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )
量子跃迁
Cnk (t) e−iEn t/ |ψn ⟩
Cnk (t) = ⟨ψn |ψ (t)⟩
我们增加k 的指标是为了表明扰动之前是处在|ψk ⟩这个本征态上，出现跃迁是从Ek 这个能级上跃迁出来 的。 按照统计诠释，t时刻测量力学量F ，得到Fn 的几率应该为 Pnk (t) = |Cnk (t)| = |⟨ψn |ψ (t)⟩|
) ′ ′ eiωmk t ∂Hmk (t′ ) ′ + dt |m⟩ e−iEm t/ = δmk − ωmk ωmk ∂t′ −∞ m ) ( ′ ∑ e−iEm t/ ∫ t ∂H ′ (t′ ) ∑ ′ Hmk ′ ′ mk |m⟩ e−iEk t/ − eiωmk t dt′ |m⟩ = |k ⟩ + ′ Ek − Em Ek − Em −∞ ∂t m m ∑ ( t) ∫
t > t0 t < t0
ˆ 0 ，在某个时刻开始加上一个扰 也就是说，在无外界相互作用的时候，体系Hamiltonian 为不含时的H ˆ ′ (t)。 动H ˆ 0 本征态|ψk ⟩上， t < t0 时是定态问题，系统处于H ˆ 0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ H |ψk (t)⟩ = e−iEk t/ |ψk ⟩ (t < t0 )
t iωmk t′ ′ Hmk ′ ′
∫
(1) Cmk
(t)
当t < 0，H 有加上微扰，量子态随时间的演化只是一个非定 态的不含时问题，各成分保持不变。从另一个角度也可以理解为跃迁出去多少，从所有别的态跃迁回来 也是多少。 当0 < t < T ， Cmk (t) = −
(1) ′ eiωmk t Hmk ( t) + ωmk
∫
曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-量子跃迁】
第11章量子跃迁11.1 荷电q的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动），受到光照射而发生跃迁，设照射光的能量密度为ρ（w），波长较长．求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的概率．解：（a）具有电荷为q的离子，在波长较长的光的照射下，从n→n'的跃迁速率为而根据谐振子波函数的递推关系（见习题2.7）可知跃迁选择定则为（b）设初态为谐振子基态（n＝0），利用可求出而每秒钟跃迁到第一激发态的概率为11.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场的作用．试用微扰论计算它跃迁到各激发态的概率以及仍然处于基态的概率（取E0沿z轴方向来计算）．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.2题，l0.3题】10.2 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．试用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率以及仍停留在基态的概率．解：自由氢原子的Hamilton量记为H0，能级记为E n，能量本征态记为代表nlm 三个量子数），满足本征方程如以电场方向作为Z轴，微扰作用势可以表示成在电场作用过程中，波函数满足Schr6dinger方程初始条件为令初始条件（5）亦即以式（6）代入式（4），但微扰项（这是微扰论的实质性要点!）即得以左乘上式两端，并对全空间积分，即得再对t积分，由即得因此t＞0时（即脉冲电场作用后）电子已经跃迁到态的概率为根据选择定则终态量子数必须是即电子只跃迁到各np态（z＝1），而且磁量子数m＝0．跃迁到各激发态的概率总和为其中a o为Bohr半径．代入式（9）即得电场作用后电子仍留在基态的概率为10.3 氢原子处于基态，受到脉冲电场作用，为常数．求作用后（t ＞0）发现氢原子仍处于基态的概率（精确解）．解：基态是球对称的，所求概率显然和电场方向无关，也和自旋无关．以方向作z 轴，电场对原子的作用能可以表示成以H0表示自由氢原子的Hamilton量，则电场作用过程中总Hamilton量为电子的波函数满足Schr6dinger方程初始条件为为了便于用初等方法求解式（3），我们采取的下列表示形式：的图形如下图所示．注意图11-1式（5）显然也给出同样的结果．利用式（5）．，可以将式（1）等价地表示成下面将在相互作用表象中求解方程（3），即令代入式（3），并用算符左乘之，得到其中一般来说，H'和H0不对易，但因H'仅在因此一H'，代入式（8）即得再利用式（1'），即得初始条件（4）等价于方程（11）满足初始条件的解显然是代入式（7），即得这是方程（3）的精确解．t＞0时（电场作用以后）发现电子仍处于基态的概率为计算中利用了公式利用基态波函数的具体形式容易算出a o为Bohr半径．将上式代入式（15），即得所求概率为这正是上题用微扰论求得的结果，为跃迁到各激发态的概率总和．11.3 考虑一个二能级体系，Hamilton量H0表示为（能量表象）设t＝0时刻体系处于基态，后受到微扰H'作用（α，β，γ为实数）求t时刻体系跃迁到激发态的概率．【解答与分析见《量子力学习题精选与剖析》[上]，10.4题】10.4 有一个二能级体系，Hamilton量记为H0，能级和能量本征态记为E1，。
量子力学基础教程陈鄂生
i (mk ) t
2
二、共振跃迁 末态能量大于初态能量 1.共振吸收（受激吸收）
Em Ek 时， mk
Wk m t Fmk 4
2 2
0 。若 mk，则
i mk t
e
1
2
mk
Fmk sin
2 2
2
mk
2 2
t
mk
其中二级修正： t 1 imnt (2) (1) (t )e dt am (t ) an (t ) H mn i n 0
五、跃迁几率与跃迁速率 一级近似下 : (r , t ) am (t )e
m iEmt /
m ( r )
iEmt /
e
iEk t /
y z 0
z ~ 1011 m, ~ 106 m z
cos( 2
z t ) cos t
2 z
sin t
ˆ F ˆ cos t ，其中 F ˆ e x 于是 H 0
ii.共振跃迁速率
wk m
wk m
e2 02
(0) (1) a ( t ) a ( t ) a am (t )的一级近似：m m m (t ),
dam (t ) 1 dt i
imnt a (t )H mn (t )e (0) n n
a 其中一级修正为：
(1) m
1 i
t
0
imk t H mk (t )e dt
方程左乘 (r )后做全空间积分
* m
n
n
dam (t ) iEnt / (t )e iEnt / i e an (t ) H mn dt n
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(5) (6)
则t时刻的波函数是
(t ) U (t ) (0) e iHt / an n
n
a n e iE n t / n
n
(7)
例题1 设一定域电子处于沿x轴方向的均匀磁场B中 (不考虑电子的轨道运动)，电子的内禀磁矩与外磁场 的相互作用是 eB eB H B sx x L x c 2c eB L 2c 设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态，sz=Ћ/2
初始条件：a(0)=1, b(0)=0 则
a iLb,
b iL a
两式相加、减得
a b iL (a b),
积分得
a b iL (a b)
a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e a(t ) b(t ) [a(0) b(0)]e
1 1 2 1 1 1 2 1
电子的自旋初态为 则t 时刻的波函数是
1 1 (0) 0 2
cosLt 1 iLt i L t (t ) e e i sin t 2 L
11.1.2 Hamilton量含时体系的量子迁移的微扰理论
量子态随时间的演化
i t (t ) U (t ) (0) , U (t) T exp H (t )dt 0
更有意思的兴趣： 在外界作用下体系在定态间跃迁的概率？ 编时算符
设无外界作用时，体系的Hamilton量为H0(不含时间)，包括 H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态是{|ψn>}，设体系 初始时刻处于某一能量本征态|ψk> 即
( 0) k k ( 0) k k
根据式(24)有
Ck(0) (t ) k k k
(0 一级近似：在式(22)右边，令 Cnk (t ) Cnk ) (t ) nk
由此得出一级近似解
( iCk1k) eikk t H kk
(28)
积分得
1 t ikk t C (t ) e H k k dt i 0
ieE C ( ) 2m
(1) 10
1/ 2
e
t 2 / 2 it
dt
ieE 2 1 / 2 2 2 / 4 ( ) e 2m
1/ 2
跃迁概率为
e 2 E 2 2 2 2 / 2 P C10 () e 10 2m
i (t ) ( H 0 H ) (t ) t
(20)
将(19)代入(20)得
i Cnk (t )eiEnt / n Cnk (t )eiEnt / H n
n n
(21)
上式左乘<ψk´|，并利用本征函数的归一性得
iCk k Cnk eiknt / k H n
(0) k
(17) (18)
ˆ ˆ ˆ 加入微扰后体系的哈密顿是 H (t ) H0 H (t )
由于并非力学量完全集中所有的量都是守恒量，因此体系不能 保持在本征态，而是处于本征态的线性叠加
(t ) Cnk (t )eiE t / n
n
(19)
n
在初态条件下求解薛定谔方程
H H0 H et /τ
e t /τ 称为绝热因子。
(i / ) m H n 1 0 t / i mn t am (0) m H n e dt 1 i i
则
mn
若τ足够大，则
m H n am 0 0 En Em
§11.3
周期微扰
H , ( t / 2) H (t ) , 0 0, ( t / 2) (1)
对薛定谔方程两边积分，并取极限可得
1 /2 lim ( / 2) ( / 2) lim H (t ) (t )dt 0 0 0 i / 2 (2)
上两式相加减得
i L t
e
i L t
i L t
e
i L t
a(t ) cosLt ,
或
b(t ) i sin Lt
cos L t (t ) i sin t L
解法二：体系的能量本征态和本征值分别为
x 1, E E L , x 1, E E L ,
(1) k k
(29)
因此在准确到微扰一级近似下有
Ck k (t ) Ck( 0) Ck(1k) k k k
对k´≠k(初态不同于末态)
1 t ikk t e H k k dt i 0
(30)
1 t ikk t Ck k (t ) e H k k dt i 0
Z 3 Zr / a K层电子的波函数是 100 Z 1) 100 ( Z ) 1 1 1 1 Z 2Z
3 6 2
则K电子处于新原子1s态的概率是
则
(31)
1 Pk k (t ) 2
e
0
t
i k k t
H k k dt
2
(32)
上式是微扰一级近似下的跃迁概率公式。
上述公式成立的条件是
Pkk (t ) 1, ( for k k )
(33)
即跃迁概率很小，体系有很大的概率仍停留在初始状态。
选择定则：若H具有某种对称性使得H´k´k=0, 则Pk´k=0，即在 一级近似下，不能从初态k 跃迁到末态k´,或者说从 k态跃迁到k´态是禁戒的，就相应某种选择定则。
1 (0) 0
求t时刻电子的自旋波函数
(t )
解法一： 设t时刻电子的波函数是
a(t ) (t ) b(t )
代入薛定谔方程得
0 1 a(t ) d a(t ) i b(t ) L 1 0 b(t ) dt
第十一章 含时微扰与量子跃迁
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5
量子态随时间的演化 突发微扰与绝热微扰 周期微扰与有限时间内的常微扰 能量-时间不确定度关系 光的吸收与辐射的半经典理论
§11.1 量子态随时间的演化
含时薛定谔方程的一般讨论：在量子力学中与时间相关的问题 可分为两类： (1) 系统的Hamilton量不依赖时间 散射问题或行进问题 初始条件或边界条件的变化使问题与时间相关 (2) 系统的Hamilton量依赖时间 如：频率调制的谐振子问题、与时间相关的受迫谐振子问题、 交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题。
2
含时间微扰与定态微扰的关系 定态微扰是含时微扰的一种近似，事实上，任何微扰总是与 时间有关，如Stark效应，外加电场的时间总是比原子的特征 时间大很多，因此微扰随时间的变化率可以认为是足够慢， 此时可用定态微扰处理。
§11.2 突发微扰与绝热微扰
11.2.1 突发微扰
设体系受到一个突发但有限的微扰的作用
后，在 t 时，处在第n个本征态
|n>的概率。 ( t 2 / 2 解： Cn1) () 1 (eE ) n x 0 e eint dt 0 i 1/ 2 利用公式 x (a a ) 2mω (1 及产生与湮灭算符的性质可知，只有 C10) () ，其它均为零 0
如
11.1.1 Hamilton量不含时的体系 此时含时薛定谔方程的解是
(t ) U (t ) (0) eiHt / (0)
U (t ) eiHt /
(3)
是描述量子态随时间演化的算符。
若初态可表示成 其中
(0) an n
n
(4)
an n (0) H n En n
t
跃迁概率是
4 H k k sin[(k k )t / 2] Pk k (t ) Ck k (t ) 2 k k
2 2
2
(2)
利用公式
lim
sin 2 x ( x) 2 x
即
lim
t
sin 2 [(k k )t / 2] t [(k k ) / 2] 2 [(k k ) / 2]
2 Z 3 ( Z 1)3 2 ( 2 Z 1) r / a 2 (4 ) e r dr 0 2a6
3 1 2 4Z
(1 Z 137)
如Z=10, 则P~0.9932
11.2.2 绝热微扰 与突发微扰的极端情况相反，绝热近似假定施于体系的微扰 作用时间足够长，变化足够慢。 假定t→-∞时，体系处在无微扰状态，在(0,-∞)的足够 长时间内加入微扰，在t=0时，体系的哈密顿量为
说明突发微扰不改变体系的状态。 例题3：考虑β-衰变
A Z
BZ AC e 1
T ~ (a / Z ) / c a / Zc
释放一个电子的持续时间
原子中1s轨道电子运动的特征时间为 则
~
1 a/Z 137 Zc
T / Z / 137
T
在此短暂的过程中，β-衰变前原子中的一个K层电子的状态还 没有来得及改变，但由于原子核电荷已经改变，原来的状态并 不是新原子的能量本征态，即不是新的1s态，那么原子有多大 概率处于新的1s态？ 1/ 2
n
(22)
(23)
(24)
其中 初始条件
kn ( Ek En ) /