第二节 抛物线2
抛物线及其标准方程 课件
2．抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p＞0) p2，0 x＝－p2
y2＝－2px(p＞0) －p2，0 x＝p2
x2＝2py(p＞0) __0_，__p2_ _ _y_＝__－__p2__
________
x2＝－2py(p＞0) _0_，__－__p2__ __y_＝__p2___
温馨提示 在抛物线的方程中只有一个参数 p，它的几何意义是 焦点到准线的距离，因此 p＞0，p 越大，抛物线开口越开 阔，反之越扁狭．
类型 1 求抛物线的标准方程
[典例 1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方 程：
(1)焦点为(－2，0)； (2)准线为 y＝－1； (3)过点 A(2，3)； (4)焦点到准线的距离为52.
归纳升华 1．本题主要考查抛物线知识的实际应用．解答本题 首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的知识 解决．
2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为 坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得 标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常 数项，形式更为简单，便于应用．
抛物线及其标准方程
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦 点，直线 l 叫做抛物线的准线．
温馨提示 抛物线的定义中，定点 F 不能在直线 l 上，否则，动 点 M 的轨迹就不是抛物线，而是过点 F 垂直于直线 l 的 一条直线．
即|PB|＋|PF|的最小值为 4. 答案：4
[迁移探究 1] (变换条件)若将上例中的 B 点坐标改 为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
抛物线的基本知识点高二
抛物线的基本知识点高二抛物线的基本知识点抛物线是高中数学中的一种重要曲线，它具有广泛的应用和深厚的理论基础。
本文将介绍抛物线的基本知识点，包括定义、性质和应用。
通过学习本文，你将对抛物线有更深入的了解。
抛物线的定义抛物线是指平面上所有到定点 F 的距离等于到直线 l 的距离的点的集合。
其中，定点 F 称为焦点，直线 l 称为准线。
抛物线的形状取决于焦点的位置和准线的方向。
抛物线的一般方程抛物线的一般方程是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
a 决定了抛物线的开口方向和形状，b 影响了抛物线的位置，c 决定了抛物线与 y 轴的截距。
抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，也是标志着抛物线的转折处。
对于一般方程 y = ax^2 + bx + c 的抛物线，它的顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))，其中 f(-b/2a) 就是抛物线的最高点或最低点的纵坐标。
抛物线的对称轴抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是通过顶点且垂直于 x 轴的一条直线。
对于一般方程 y = ax^2 + bx + c 的抛物线，它的对称轴方程是 x = -b/2a。
抛物线的焦距和准线焦距是指焦点到对称轴的距离，用字母 p 表示。
准线是指与抛物线对称轴垂直且与抛物线不相交的直线，准线的方程为 x = -p。
抛物线的性质1. 抛物线是连续的曲线，没有断裂点。
2. 抛物线关于对称轴是对称的，即对称轴左右两侧的点关于对称轴的纵坐标相等。
3. 抛物线开口方向取决于 a 的正负，当 a > 0 时开口向上，当 a < 0 时开口向下。
4. 抛物线的最高点或最低点就是其顶点，位于对称轴上。
5. 当 a > 0 时，抛物线的最低点为最小值点；当 a < 0 时，抛物线的最高点为最大值点。
抛物线的应用1. 物理学中，抛物线描述了自由落体运动的轨迹。
2. 工程学中，抛物线被广泛应用于抛物面反射器、抛物天线等领域。
《抛物线》_课件详解人教版2
求它的焦点坐标和准线方程.
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,－2),
求它的标准方程．
(1)焦点为(
3 2
,
0)
,准线方程为x
3 2
.
(2)x2＝－8y.
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2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 第一课时
复习回顾
1.椭圆和双曲线的统一方程
Ax2＋By2＝1（AB≠0，A≠B） 2.椭圆和双曲线有什么共同的几何特征？
到焦点的距离与到相应准线的距离之比 等于离心率.
探求新知
平面内到一个定点F的距离与到一条定直
线l(不经过点F)的距离之比为常数e的点的轨
探求新知
抛物线y＝ax2(a≠0)，其焦点坐标和准 线方程分别是什么？
焦点为
(
0
,
1 4a
)
，
准线方程为 y
1 4a
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典例讲评
例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x,
交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点M的轨
迹方程.
y
A
y2＝2(x－1).
M
F
x
OB
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课堂小结
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义特征可 统一为：到一个定点的距离与到一条定直线 的距离之比为常数.
高中数学选修2-1-抛物线的方程及性质
抛物线的方程及性质知识集结知识元抛物线的定义知识讲解1．抛物线的定义【概念】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．【标准方程】①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．【性质】我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（，0）；②准线方程为：x＝﹣；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等．【实例解析】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|＝＝＝，∴当x＝，即P（）时，|PQ|取最小值．故答案为：．这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为．故答案为：．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【考点分析】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．例题精讲抛物线的定义例1.'已知动圆过定点F（2，0），且与直线x=-2相切，求动圆圆心C的轨迹．'例2.'平面内哪些点到直线l：x=-2和到点P（2，0）距离之比小于1．'例3.'点M到点F（3，0）的距离等于它到直线x=-3的距离，点M运动的轨迹是什么图形？你能写出它的方程吗？能画出草图吗？'抛物线的标准方程知识讲解1．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y 2＝2px ，焦点在x 轴上，焦点坐标为F（，0），（p 可为正负）（2）x 2＝2py ，焦点在y 轴上，焦点坐标为F （0，），（p 可为正负）四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y 2＝2px （p ＞0），焦点在x 轴上x 2＝2py （p ＞0），焦点在y 轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x 轴焦点在x 轴长上y 轴焦点在y 轴长上焦点（，0）（0，）焦距无无离心率e ＝1e ＝1准线x ＝﹣y ＝﹣例题精讲抛物线的标准方程例1.'已知Q（1，1）是抛物线x2=2py（p>0）上一点，过抛物线焦点F作一条直线l与抛物线交于不同两点A，B．在点A处作抛物线的切线l1，在点B处作抛物线的切线l2，直线l1、l2交于P 点．（Ⅰ）求p的值及焦点F的坐标；（Ⅱ）求证PA⊥PB．'例2.'根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）；（2）焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5。
抛物线及其标准方程 课件
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
抛物线2
第6课时 抛物线的简单几何性质1 M 为抛物线y 2=2px ( p>0)上的一点，F 为抛物线的焦点，以线段MF 为直径的圆与y轴的关系是 （ ）A 相交B 相离C 相切D 不确定2已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且||||A K A F ，则AFK ∆的面积为( )（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）323 （2011山东高考）设M （0x ，0y ）为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 A ．（0，2） B ．[0，2] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞）4 原题不变5已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为_________________6 在直角坐标系xOy 中,有一定点A （2，1）。
若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是______;7（2010·浙江高考文）已知m 是非零实数，抛物线2:2C y px =（p>0）的焦点F 在直线2:02m l x my --=上.（I ）若m=2，求抛物线C 的方程；（II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B ，△A 1A F ,△1BB F 的重心分别为G,H求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外.能 力 提 升8 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且2132x x x =+， 则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 9 设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x轴正向的夹角为60︒，则OA为________.10 见原题9，把原题9 改为第10题11 （2011浙江高考）（本小题满分15分）如图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点。
九年级抛物线知识点2a-b
九年级抛物线知识点2a-b在数学课堂上，当老师提及到抛物线，我们通常都会很兴奋。
它是一种优雅而有趣的曲线，常常出现在我们生活中各种各样的形状中。
在这篇文章中，我们将深入研究九年级抛物线知识点2a-b，并探讨它们的实际应用。
1. 抛物线的方程：y = ax² + bx + c学习抛物线的第一步就是理解它的方程式。
一般来说，抛物线的方程可以写成 y = ax² + bx + c。
其中，a、b和c是常数。
a决定了抛物线的张开程度，a>0时，抛物线面向上打开，a<0时，抛物线面向下打开。
b则表示抛物线在x轴的位置，c是抛物线的y轴偏移量。
例如，当a=1，b=0，c=0时，方程变为y = x²，我们可以将其绘制成一条对称的抛物线。
2. 抛物线的顶点抛物线是一个连续光滑的曲线，它通常有一个最高点或最低点，我们称之为顶点。
顶点是抛物线的关键特征之一，它的横坐标可以通过计算公式x = -b/2a得到。
当找到顶点的横坐标后，将其代入方程式可以获得顶点的纵坐标。
通过计算顶点的坐标，我们可以更好地理解抛物线的形状和性质。
顶点也可以帮助我们求解一些实际问题，如抛物线的最大值或最小值。
3. 抛物线的焦点和准线除了顶点，抛物线还有两个特殊的点，分别是焦点和准线。
焦点是抛物线上到焦点距离和到准线距离相等的点。
准线是指与抛物线平行，且与抛物线不相交的一条直线。
通过焦点和准线，我们可以更好地理解抛物线的特性。
例如，焦点与顶点之间的距离称为焦距，它是抛物线的一个重要参数。
焦距越小，抛物线越扁平。
4. 抛物线的应用抛物线不仅在数学中有重要的地位，它还在现实世界中有广泛的应用。
让我们探讨一些实际问题中抛物线的应用。
首先，抛物线的形状使得它在物理学中得到了广泛应用。
例如，当一个物体自由落体时，其运动轨迹可以由一条抛物线表示。
通过理解抛物线的特性，我们可以计算出物体的最大高度、飞行距离等参数。
其次，抛物线也在工程学中发挥着重要的作用。
第二章2.4.2抛物线的几何性质PPT课件
焦点
F ( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2 •2
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程
y2 6x y2 4x
焦点
准线
F
(3Βιβλιοθήκη 2,0)x3 2
F(1,0) x 1
开口方向
开口向右
开口向左
x2 4y F(0,1) y 1
例3.斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点,且与抛物线相交于A，B两点， 求线段AB的长。
结论：直线l 经过抛物线y2=2px的焦点, 且与抛物线相交于A，B两点，则线段 AB的长|AB|=x1+x2+P.
•20
练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的 弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是
A.6或56.................B.4或34 C.3或23..................D.2
A.43........................B.75 C.85.........................D.3
•27
（三）、例题讲解：
变式题6：已知直线y=x+b与抛物线 x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为 坐标原点),求b的值.
A.23.......................B.2
C.52.......................D.
3 2
•28
y P(x,y)
o F ( p ,0) x
2
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有
两个顶点不同。
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典例探究
(2)由抛物线定义:|AF|等于点 A 到准线 x=- 的距离. ∴|AF|=x1+ ,同理:|BF|=x2+ . ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.② 又∵y=k(x- )(k≠0), ∴x= y+ .
2 1 1 2 2 2 2
∴x1+x2= (y1+y2)+p. 将③代入②得
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典例探究
③若直线 AB 的倾斜角为α,则|AB|=
2
2α
,S△AOB=
2
2
;
4
2
④A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1x 2= ,y1y 2=-p2; ⑤
| 1 | |
+
1
|
= 为定值.
2
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x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
(0,0) x轴 F(- ,0)
2
y轴 F(0, )
2
F(0,- )
2
x=-
2
x=
2
y=e=1
2
y=
2
y≥0
y≤0
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2.抛物线的焦点弦问题 过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.
如图所示,AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦(焦点弦),设 A(x1,y 1)、 2,y 2),AB B(x 的中点 M(x0,y 0),过 A、M、B 分别向抛物线的准线做垂线,垂足分别为 A1、M1、B1,则 根据抛物线的定义有|AF|=|AA1|、|BF|=|BB1|,故|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,又|MM 1|是 梯形 AA1B 1B 的中位线,|AB|=|AA1|+|BB1|=2|MM1|,故有下列结论: ①以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切; ②|AB|=x1+x2+p;
( (θ为直线 AB 与 x 轴正方向的夹角); );
;
| |
+
1
|
为定值;
(5)以 AB 为直径的圆与抛物线准线相切. 思路点拨:写出 AB 的点斜式方程,利用根与系数的关系可巧妙解决(1)(2)问,利用抛物线 的定义可灵活解决其余问题.
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证明:(1)∵y2=2px(p>0)的焦点 F( ,0), 设直线方程为 y=k(x- )(k≠0), 由 = ( - ),
2 2 2
消去 x 得 ky2-2py-kp2=0.① ∴y1·y2=-p
2
=2
2
,
当 k 不存在时,直线方程为 x= . 这时 y1=p,y2=-p, 则 y1·y2=-p ,x1·x 2= .
4
2
2
( 1 · 2 )2 2 ,x1·x 2= = . 4 2 4 2
因此,总有 y1·y2=-p ,x1·x 2= 成立.
2 1
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1 1 1 1
要点探究
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(4) =
|
| |
+
|
=
1 2 + 2 ( 1 + 2 )+ 4
1+ 2 +
1+2
+
2
2+2
,
2
又∵x1·x2= ,x1+x2= 2 +p, 代入上式得
1 2 | 1 4 | |
2
+
1
|
= =常数. = .
1 2
2
(5)设 AB 的中点为 M(x0,y 0),分别过 A、M、B 作准线的垂线,垂足为 C、N、D. 则|MN|= (|AC|+|BD|)= (|AF|+|BF|) = |AB|.
2 1
∴以 AB 为直径的圆与准线相切.
本题是一个抛物线焦点弦的典型例题,在解决此类问题时,一定要注意到斜 率不存在的情况,巧妙运用一元二次方程根与系数的关系及抛物线定义.
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变式训练 1 1:已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的弦为 AB,且|AB|=8,求 AB 中点 M 的横坐标 xM. 解:如图所示,由 y2=4x 知,焦点 F(1,0),准线 x=-1. 设 A(x1,y 1),B(x2,y 2), 则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1| =x1+1+x2+1=x1+x2+2=8, ∴x1+x2=6, ∴xM=
由函数讨论最值问题,一定要注意函数的类型及相应区间上的单调性.
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1 2
变式训练 3 1:已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,求 z=x2+ y2+3 的最小值. =(x+1)2+2
1 1 解:z=x 2+ y2+3=x2+ ×4x+3=x2+2x+3 2 2
∵x≥0,且函数在此区间上单调递增. ∴当 x=0 时,zmin=3. 所以 z=x2+ y2+3 的最小值为 3.
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焦点弦问题 【例 1】已知 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,F 为抛物证: (1)y1y2=-p ,x1x 2= ;
4
2
2
(2)|AB|=x1+x2+p= (3)S△AOB= (4)k=
| 1 2
2
2
2θ
2
1+ 2
=3.
抛物线中的最值问题 【例 2】求抛物线 y2=4x 上到焦点 F 的距离与到点 A(3,2)的距离之和最小的点的坐标, 并求出这个最小值.
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思路点拨:可以设抛物线上的点为 P,要求|PA|+|PF|的最小值,可利用抛物线定义,把|PF|转 化为 P 到准线的距离求解.
此类题目的实质是抛物线定义的应用,将抛物线上的点到焦点的距离转化 成到准线的距离,从而化曲为直,利用点到直线的距离求最小值.
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变式训练 2 1:本例中若将点 A 坐标改为(3,4),如何求解. 解:如图所示,当点 P,A,F 三点共线时|PA|+|PF|最小,最小值为|AF|= (3-1) + (4-0) =2√5. 直线 PA 的方程为 y=2(x-1). 由 = 2( -1) 2 1 得:x2-3x+1=0 2 =4
2 3
|PA|2=(x- )2+y2
3 2 3 1 3 1 3
2
关于 x 的二次函数求最值
结果
解:设抛物线上任一点 P(x,y),
则|PA|2=(x- )2+y2=(x- )2+2x=(x+ )2+ , ∵x≥0,且在此区间上函数单调递增,
2 3
故当 x=0 时,|PA|min= ,故距点 A 最近的点 P 的坐标为(0,0).
要点探究
典例探究
(3)如图:
S△AOB=S△AOF+SBOF
1 2 1 2 1 2 1 2 2
= |OF|·|AF|·sin(π-θ)+ |OF|·|BF|·sin θ = |OF|·sin θ(|AF|+|BF|) = ·|OF|·|AB|·sin θ = · · =
2
1 2
2
2
2θ
·sin θ
.
由方程①知,y1+y2= ,∴x1+x2= 2 +p.③ |AB|= 2 +2p=2p(1+ 2 )=2p(1+
2 1 1
2θ
2
2
)=
2
2θ
.
2
2θ
当 k 不存在时,|AB|=x1+x2+p= + +p=2p= 综上,|AB|=x1+x2+p=
2 2 2
2θ
(θ此时为 90°)
成立.
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解:设 P'是抛物线 y2=4x 上的任意一点,过 P'作抛物线的准线 l 的垂线,垂足为 D,连接 P'F, 由抛物线定义可知|P'F|=|P'D|. ∴|P'A|+|P'F|=|P'A|+|P'D|. 过 A 作准线 l 的垂线,交抛物线于 P,垂足为 Q,显然,直线段 AQ 的长小于折线段 AP'D 的 长,因而 P 点即为所求的 AQ 与抛物线交点. ∵直线 AQ 平行于 x 轴,且过 A(3,2), ∴直线 AQ 的方程为 y=2. 代入 y2=4x,得 x=1. ∴P(1,2)与 F、A 的距离之和最小,最小距离为 4.
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抛物线的简单性质(二 第二课时 抛物线的简单性质 二)
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