§2.4.2_抛物线的简单几何性质(2)

O
二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交 与两点。 例：判断直线 y = x -1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得到一 元二次方程，需计 算判别式。相交。
O
x
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）

几何画板演示
解 由题意, 设直线l的方程为y 1 k x 2.
由方程组
2
y 1 k x 2 , y 4x ,
2

①
可得 ky 4 y 4 2k 1 0
1 当k 0时,由方程① 得 y 1,
1 把 y 1代入 y 4 x, 得 x . 4
0 2
162k 2 k 1.
1 3 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或 k 时, 方程 ①没有实数解, 从而 2 方程组 没有解.这时, 直线 l 与抛物线没有公共点 .
0 2
分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x , 直线 l 过定 点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
2
1 这时, 直线l 与抛物线只有一个公共 点 ,1 . 4
2 当k 0 时, 方程①的判别式为
1 1 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 k 1, 或k . 2 1 于是,当k 1, 或k 时 , 方程 ①只有一个解, 从 2 而方程组只有一个解.这时, 直线 l 与抛物线只 有一个公共点 . 1 0 2 2 由 0, 即 2k k 1 0, 解得 1 k . 2 1 于是,当 1 k 且k 0时, 方程 ①只有两个解, 2 从而方程组只有两个解.这时, 直线 l 与抛物线 有两个公共点 .
变1 已知抛物线 y 2x 截直线y=x+b所 得弦长为4,求b的值. 答: b=-1/2
2
变2 已知抛物线 y 2x 截直线y=kx-1/2 所得弦长为4,求k的值.
2
答: k=1 或 -2/3
例5 过抛物线焦点F 的直线 交抛物线于A, B两点, 通过点A 和 抛 物线顶点的直线交抛物 线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 DB平行于抛物线的对称轴 .
AD AF , BC BF
AF BF 2( 1 y) 4
ABF中, AF BF AB 2
2( y 1 3 ) 2, 即y 4 4
X
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）
一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离；2、相切；3、相交（一个交点， 两个交点）
y
与双曲线的 情况一样
O
x
二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离，无交点。
例：判断直线 y = x +2与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得 到一元二次方 程，需计算判 别式。相离。
这里有两个东西可以运用:一是中点条件,二是根的判别式.
课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y x 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 x 上,求正方形的边长. 点 A、

解：设 AB 的方程为 y=x+b, y xb 由 2 消去 x 得 y2-y+b=0， y x
p 因为点F的坐标是 ,0 , 所以 2 p x y 直线AF的方程为 2 2 . y0 p y0 2p 2 与 y 2 2 px联立, 可得B点的纵
l
y
A
o
F
D B
x
图2.3 5
p2 5 坐标为 y . y0 5得, DB // x轴, 故DB平行于抛物线的对称轴 由4 、 .
综上, 我们可得 1 当k 1, 或 k , 或 k 0 时 , 直线 l 与抛物线只有 2 一个公共点 ; 1 当 1 k , 且k 0时 , 直线 l 与抛物线有两个公 2 共点; 1 当k 1 , 或k , 时 , 直线 l 与抛物线没有公共点 . 2
思考2： 过抛物线 y2=2x的焦点做倾斜角 为450的弦AB,则AB的长度是多少? 答: 4
例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中 点纵坐标的最小值。
y
M A D F
解： 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y )
B
2 MN AD BC , MN
x
o
N C
AD BC 2(
1 y) 4
p 1 y y, 2 4
你还有其他证明方法吗 ?
【课堂小结】 判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一） 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
直线与抛物线的 对称轴平行（重合）
得到一元二次方程
计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 4 x 仅有一个公共点的 y 1或 x 0或 y x 1 直线的方程是__________________________.
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交（一个交点）
相交
相切
相离
三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（二） 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 数形结合 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)
>0
相交
=0
相切
<0
相离
思考 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物线的方程为 y 4 x , 直线 l 过定 点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与抛物 线 y 2 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?
l
y
A
o
F
D B
设抛物线方程为y 2 2 px,
1
x
2 y0 点A的坐标为 2 p , y0 , 则直 图2.3 5 2p 2 线OA的方程为y x, y0 p 抛物线的准线方程为 x . 3 2 p2 3, 可得D点的纵坐标为y . 4 联立2、 y0
课外思考: 1.求抛物线 y 2 x 2 的一组斜率为 2 的平行弦的中点 （即在抛物线的内部） 的轨迹方程. x 2 （ y ≥ 2 2 ） 2.若抛物线 y 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 关于直 3 1 . 线 y x m 对称,且 x1 x2 ,则 m _____ 2 2
设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB 1 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=
( y1 y1 )2 4 y1 y2 = 2 8b ，
,由 ABCD 为正方形有 2 8b =
4b 2
4b 2
,
解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .
l
y
A
o
F
D B
x
分析 我们用坐标法证明 ,即通 图2.3 5 过建立抛物线及直线的 方程, 借 助方程研究直线 DB与抛物线对 称轴之间的位置关系 .
建立如图 2.3 5所示的直角坐标系 , 只要证明 点D的纵坐标与点 B的纵坐标相等即可 .
证明 如图2.3 5, 以抛物线 对称轴为x轴,它的顶点为原 点, 建立直角坐标系 .
y k x1 联立 2 y 4x
k
消去 x 得 ky 2 4 y 4 0
点评：本题用了分类讨论的方法.若先用数 形结合，找出符合条件的直线的条数，就不会 造成漏解。
学习小结: 无论是弦长问题,还是中点问题,以及对 称问题,其方法的核心都是设而不求,联立方 程组,韦达定理,大胆计算分析的实践.
思考 2: 2 若抛物线 y x 存在关于直线 l : y 1 k ( x 1) 对称的两点,求实数 k 的取值范围. 答案: 2 k 0
分 析： 假设 存在 关于 直线 l : y 1 k ( x 1) 对 称 的 两 点 A、B,看 k 应满足什么条 件. 显然 k 0 不合题意,∴ k 0 1 ∴直线 AB 的方程为 y x b k 继续尝试估计主要也是设而不求,联立方程组,韦达定理找条件.
O
x
二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切，交与一点。
例：判断直线 y = x +1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得 到一元二次方 程，需计算判 别式。相切。
O
x
二、判断方法探讨 3、直线与抛物线的对称轴平行，相交与 一点。
y
例：判断直线 y = 6与抛 物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果：得到一 元一次方程，容易 x 解出交点坐标