浙江省桐庐县富春江初级中学八年级数学上册《第四章 实数》教案

【课标要求】1．了解无理数与实数的意义；2．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用； 3．能利用化简对实数进行简单的四则运算； 4．了解实数的意义，能对实数按要求进行分类； 5．掌握有理数的运算法则在实数范围内仍然适用； 6．能利用实数的性质熟练地进行四则运算；7．注意：（1）无理数应满足：①是小数；②是无限小数；③不循环；（2）无理数不是都带根号的数（例如π就是无理数），反之，带根号的数也不一定都是无理数（例如4，327就是有理数）．【知识网络】（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数【知识要点】 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）； （2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数零正有理数有理数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数． 【典型例题】例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2B. 2－5C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为 分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。

所以a =2， b =3；所以a b =8。

【知识运用】 一、填空题： 1.已知52-=a ,则a 的相反数是 ； a 的倒数是 ；若在数轴上表示a ,它在原点的 侧(填“左”或“右”)；且到原点的距离是 . 2.10在两个连续整数a 和b 之间, a ﹤10﹤b ,那么a 、b 3. (创新题)观察下列算式:21=2； 22=4； 23=8； 24=16； 25=32； 26=64； 27=128； 28=256；………通过观察,用你所发现的规律写出22007的末位数字是 图14．如图1，是一个正方体纸盒的展开图。

若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A 、B 、C 内的三个数依次为 5．某年的某个月中有5个星期三，它们的日期之和为80（把日期看作两位数， 如22日看作数22），那么这个月的3号是星期 ．6．，，，，已知：24552455154415448338333223222222⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+ …，若符合前面式子的规律，则。

10102+=⨯+=b a baa b二、选择题：7．以数轴的单位长度1为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） A.1.5 B. 1.4 C.3 D. 28．下列结论正确的是（ ）A.∵b a ，∴ a ﹥bB. 22)(a a =C. a 与a1不一定互为相反数 D. a +b ﹥a －b 9．请你估算11的大小（ ）A.1﹤11﹤2B. 2﹤11﹤3C. 3﹤11﹤4D. 4﹤11﹤5 10．若数轴上表示数a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（ ）A.－ aB. －3aC. aD. 3a 三、解答题：11．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于1，求a +b +x 2－cdx 的值．12．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 、y 满足04422=+++-y y x ，求2008220092()()()a b x cd y a b cd y xy +-+++的值．13．如图2，数轴上表示1和2的点分别为A 和B ，点B 关于点A 的对称点为C ．设C 点所表示的数为x ，求x+x2的值．图214．按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？（1）填写表内空格：（2）你发现的规律是 （3）用简要的过程证明你发现的规律．第2讲 实数的有关运算【知识要点】1.理解零指数幂和负整数指数幂的概念,掌握实数的运算法则,并能熟练地进行计算. 2．实数的运算在实数范围内，加、减、乘、除（除数不能为0）、乘方五种运算都可以进行，各种运算律在实数范围内仍然适用；但开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方．3.对于实数的运算应注意:(1) 实数的混合运算中,应先确定运算的符号及顺序,再进行运算,有小数的一般将其化 为分数较为简单；(2) 熟练掌握实数的运算需做到三点：一是熟悉运算律（包括正向与逆向）；二是灵活运 用各种运算法则；三是掌握一定的运算技巧；（3）注意零指数、负整数指数幂的意义，遇到绝对值一般要先去掉绝对值符号再进行计算，关键是把好符号关．4．实数的绝对值正实数的绝对值等于它本身；负实数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值是零． 【典型例题】 例1 计算下列各式：(1)02)3(45sin 2)1(21-+--+-π(2)461211)31()31()2(023-+÷+++⨯--解：(1)原式=2－1+1－2×22+1=1； (2) 原式=（－8）×9+1+623⨯+4=－72+1+3+4=－64． 例2 比较3－2与2－1的大小．分析：比较3－2与2－1的大小，可先将各数的近似值求出来， 即3－2≈1.732－1.414=0.318，2－1≈1.414－1=0.414，再比较大小。

例3 阅读下面的材料，并解答下列各题：在形如N a b=的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算；②已知b 和N ，求a ，这是开方运算。

现在我们研究第三种情况：已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果N a b =（a ﹥0，a ≠1，N ﹥0），则b 叫做以a 为底N 的对数，记作b =Na log ． 例如：因为23=8，所以82log =3；因为2－3=81，所以812log =－3．Ⅰ．根据定义计算：①813log = ②33log = ③13log = ④如果16log x =4，那么x= Ⅱ．设,,N a M a y x ==则y x Na Ma ==log ,log （a ﹥0，a ≠1，M ﹥0，N ﹥0）， ∵,y x y x a a a +=∙∴N M a yx ∙=+，∴y x MNa+=log ，即Na M a MNalog log log +=．这是对数运算的重要性质之一，我们可以进一步得出：nM M M M a321log = （其中a ﹥0，a ≠1，M 1，M 2，M 3，……M n均为正数），NMalog = （a ﹥0，a ≠1，M ﹥0，N ﹥0）．分析：从所学的知识中引申出一系列新知识，是培养学生获取数学知识能力的捷径之一．如本例，从形如N a b=的等式出发，介绍了乘方运算和开方运算，考生只要认真阅读所提供的材料，不难从对数定义及其运算性质获知：Ⅰ．①813log =4， ②33log =1， ③13log =0。

④从乘方运算与对数运算互为逆运算获知： 如果16log x =4，那么x 4=16，即x=2． Ⅱ．易推得：nM M M M a321log =nM aM aM aM alog log log log 321++++ ；NMa log =Na M a log log -．【知识运用】 一、填空题：1. 计算:cos60º+(cot45º)－2+02)25()52(++-=2.用计算器比较大小填“﹤”、“=”或“﹥”).3.已知1028.0,)8(,)32(---=-=-=c b a π,则a ,b ,c 三数的大小关系是4.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，且x －2=1，y =2，则式子22006)(y cd x b a --++ 的值是5．下面是一个有规律排列的数表：第一列 第二列 第三列………第n 列第一行 11 ， 21 ， 31 ，……… n 1第二行 12 ， 22 ， 32 ，……… n 2第三行 13 ， 23 ， 33 ，……… n3………………上面数表中第九行，第七列的数是 6．（观察下列各等式:466422-+-=2； 433455-+-=2； 411477-+-＝２；42241010---+-＝２； 依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式4(?)(?)42020-+-＝２成立．二、选择题：7．设,25,32,23-=-=-=c b a 则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a ﹥b ﹥cB. a ﹥c ﹥bC. c ﹥b ﹥aD. b ﹥c ﹥a 8．小明的作业本上有以下四题：①24416a a =；②a a a 25105=∙； ③a aa a a=∙=112；④a a a =-23．做错的题是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9．现规定一种新的运算“*”：a *b =a b ，如3*2=32=9，则21*3等于（ ） A.81 B. 8 C. 61 D.23 10．若“！”是一种运算符号，且有1！=1；2！=2×1；3！=3×2×1；4！=4×3×2×1；………则=!2005!2006（ ） A ．2006 B ．2005 C ．2004 D ．以上答案都不对 11．下列运算：① （－3）3=－9； ② （－3）－2=9； ③ 23×23=29；④ －24÷（－2）2=（－2）2=4； ⑤1)32(0=-；⑥ 5÷61×6=5÷1=5； 其中错误的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 三、解答题： 1202010)+13．若规定一种新的运算“*”：a *b =a +b +a b ，求〔（－1）*1〕*2的值．14．在图1的集合圈中，有5个实数，请你计算其中的有理数的和与无理数的积的差． 图1实数专题测试一、选择题:1.某专卖店在统计2005年第一季度销售额时发现二月份比一月份增加10%,三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( )A. 增加10%B. 减少10%C. 不增不减D. 减少1% 2.实数722,20092010, 2+1,2π, (3)0,3-中,有理数的个数是( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3.从A 地到C 地,可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从A 地到B 地,有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地,有3条陆路可选择，走空中从A 地不经B 地可直接到C 地,则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ）A. 20种B. 8种C. 5种D. 13种 4．下列说法正确的是（ ）A. 负数和零没有平方根B.12009的倒数是2009 C.22是分数 D. 0和1的相反数是它本身 二、填空题：5．写出和为6的两个无理数 （只需写出一对） 6．观察下面一列有规律的数：,486,355,244,153,82,31………根据这个规律可知第n 个数是 （n 是正整数）．7．如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走3米到达A 1点，再向正北方向走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东方向走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离O 点的距离是 米． 8．。