2019春九年级数学下册第24章圆小专题一旋转变换的证明与计算课时作业新版沪科版2019031431

小专题(一) 旋转变换的证明与计算1.任意一个图形绕旋转中心旋转α(0°<α≤180°),旋转后的图形与原图形的对应线段所在直线的夹角都为α或180°-α.2.当条件比较分散时,可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形中,其中旋转的角度是构图的关键.通常把图形旋转到特定的位置或特殊的角度,当三角形绕某一顶点旋转90°时,可出现等腰直角三角形,当三角形绕某一顶点旋转60°时,可出现等边三角形.于是可把陌生问题转化为熟悉问题,把复杂问题转化为简单问题.类型1 利用旋转变换证明1.如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O.(1)在图1中E 是OC 上一点,F 是OB 上一点,且OE=OF ,请问可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法,使△OAF 变换到△OBE 的位置?(2)如图2,若点E ,F 分别在OC ,OB 的延长线上,并且OE=OF ,试写出线段AF 与BE 的数量关系,并说明理由.解:(1)旋转,以点O 为旋转中心,逆时针旋转90度,可以使△OAF 变换到△OBE 的位置. (2)AF=BE.理由:∵四边形ABCD 是正方形,∴AC ⊥BD ,OA=OB ,∴∠AOB=∠BOC=90°,在△AOF 和△BOE 中,{AA =AA ,∠AAA =∠AAA ,AA =AA ,∴△AOF ≌△BOE (SAS ),∴AF=BE.类型2 利用旋转求线段长2.如图,在△ABC 中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的,连接BE ,CF 相交于点D. (1)求证:BE=CF ;(2)当四边形ABDF 为菱形时,求CD 的长.解:(1)∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到的,∴AE=AF=AB=AC=2,∠EAF=∠BAC=45°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE ,即∠BAE=∠CAF , 在△ABE 和△ACF 中,{AA =AA ,∠AAA =∠AAA ,AA =AA ,∴△ABE ≌△ACF ,∴BE=CF.(2)∵四边形ABDF 为菱形,∴DF=AF=2,DF ∥AB ,∴∠ACF=∠BAC=45°.∵AC=AF ,∴∠ACF=∠AFC=45°,∴△ACF 为等腰直角三角形,∴CF=√2AF=2√2, ∴CD=CF-DF=2√2-2.类型3 利用旋转求角的度数3.如图,菱形ABCD 是由两个正三角形拼成的,P 是△ABD 内任意一点,现把△BPD 绕点B 旋转到△BQC 的位置.(1)当四边形BPDQ 是平行四边形时,求∠BPD ; (2)当△PQD 是等腰直角三角形时,求∠BPD ;(3)若∠APB=100°,且△PQD 是等腰三角形时,求∠BPD.解:(1)连接DQ.当四边形BPDQ是平行四边形时,BQ=PD,由已知,得BQ=BP,∴BP=PD,∵△BQC由△BPD旋转所得,∴△BDP,△BCQ为等腰三角形,∵PD∥BQ,∴∠BDP=∠DBQ,∵∠BDP=∠DBP=∠CBQ,∴∠DBQ=∠CBQ,∵∠DBC=60°=∠DBQ+∠CBQ,∴∠BDP=∠DBP=∠CBQ=30°,∠DPB=180°-(∠BDP+∠DBP)=120°.(2)连接PQ.当DP=DQ,∠PDQ=90°时,由旋转的性质可得BP=BQ,∵∠DBQ+∠CBQ=∠DBC=60°,∠DBP=∠CBQ,∴∠DBP+∠DBQ=∠CBQ+∠DBQ=60°,∴△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,当DQ=PQ,∠PQD=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+45°=105°,当DP=PQ,∠DPQ=90°时,同理得△BPQ为等边三角形,∠BPQ=60°,∴∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+90°=150°.综上,∠BPD的度数为105°或150°.(3)连接AP.由旋转的性质可得BP=BQ,同理得△BPQ为等边三角形,则∠PQB=∠PBQ=∠BPQ=60°,∵BD=AB,BQ=BP,∠PBQ=∠ABD=60°,∴△BQD≌△BPA,则∠BQD=∠BPA=100°,∴∠PQD=∠BQD-∠PQB=40°.当PQ=PD时,∠DPQ=180°-2∠PQD=100°,∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+100°=160°;当PQ=DQ时,∠DPQ=1(180°-40°)=70°,∠BPD=∠BPQ+∠2DPQ=60°+70°=130°;当PD=DQ时,∠DPQ=∠PQD=40°,由∠BPD=∠BPQ+∠DPQ=60°+40°=100°.综上,∠BPD的度数为100°或130°或160°.类型4利用旋转求面积4.(德阳中考)如图,将△ABC沿BC翻折得到△DBC,再将△DBC绕点C逆时针旋转60°得到△FEC,.延长BD交EF于点H,已知∠ABC=30°,∠BAC=90°,AC=1,则四边形CDHF的面积为√335.(青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列,完成所提出的问题:(1)探究1:如图1,在等腰直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,BC=a ,将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ,连接CD.求证:△BCD 的面积为12a 2.(2)探究2:如图2,在一般的Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=a ,将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ,连接CD.请用含a 的式子表示△BCD 的面积,并说明理由.(3)探究3:如图3,在等腰三角形ABC 中,AB=AC ,BC=a ,将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ,连接CD.试探究用含a 的式子表示△BCD 的面积,要有探究过程.解:(1)如题图1,过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ,∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知AB=BD ,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°,∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE ,在△ABC 和△BDE 中,{∠AAA =∠AAA ,∠A =∠AAA ,AA =AA ,∴△ABC ≌△BDE (AAS ),∴BC=DE=a , ∴S △BCD =12BC ·DE=12a 2.(2)△BCD 的面积为12a 2.理由:如题图2,过点D 作BC 的垂线,与CB 的延长线交于点E.∴∠BED=∠ACB=90°,由旋转知AB=BD ,∠ABD=90°,∴∠ABC+∠DBE=90°.∵∠A+∠ABC=90°,∴∠A=∠DBE.在△ABC 和△BDE 中,{∠AAA =∠AAA ,∠A =∠AAA ,AA =AA ,∴△ABC ≌△BDE (AAS ),∴BC=DE=a.∴S △BCD =12BC ·DE=12a 2.(3)如题图3,过点A 作AF ⊥BC 于点F ,过点D 作DE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ,∴∠AFB=∠E=90°,BF=12BC=12a ,∴∠FAB+∠ABF=90°. ∵∠ABD=90°,∴∠ABF+∠DBE=90°,∴∠FAB=∠EBD.∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的,∴AB=BD.在△AFB 和△BED 中,{∠AAA =∠A ,∠AAA =∠AAA ,AA =AA ,∴△AFB ≌△BED (AAS ),∴BF=DE=12a. ∵S △BCD =12BC ·DE=12·a ·12a=14a 2.类型5 利用旋转求点的坐标6.(牡丹江中考)如图,矩形ABCD 的边BC 在x 轴上,点A 在第二象限,点D 在第一象限,AB=2√3,OD=4,将矩形ABCD 绕点O 旋转,使点D 落在x 轴上,则点C 的对应点的坐标是 (C )A.(-√3,1)B.(-1,√3)C.(-1,√3)或(1,-√3)D.(-√3,1)或(1,-√3)类型6 与旋转有关的探究题7.将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转a (0°<a<360°),得到矩形AEFG. (1)如图,当点E 在BD 上时,求证:FD=CD. (2)当a 为何值时,GC=GB ?画出图形,并说明理由.解:(1)连接AF.∵矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得,∴BD=AF,∠EAF=∠ABD,∵AB=AE,∴∠ABD=∠AEB,∴∠EAF=∠AEB,∴BD∥AF,∴四边形BDFA是平行四边形,∴FD=AB,∵AB=CD,∴FD=CD.(2)如答图1,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时,GC=GB.易知点G是AD的垂直平分线上的点,∴DG=AG,又∵AG=AD,∴△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,∴a=60°.如答图2,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的左边时,GC=GB.同理,△ADG是等边三角形,∴∠DAG=60°,此时a=300°.综上所述,当a为60°或300°时,GC=GB.8.如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-1,0), 点B的坐标为(0,√3).(1)求∠BAO的度数.(2)如图1,将△AOB绕点O顺时针旋转得△A'OB',当点A'恰好落在AB边上时,设△AB'O的面积为S1,△BA'O的面积为S2, S1与S2有何关系?为什么?(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置,S1与S2的关系发生变化了吗?请说明理由.解:(1)∵A(-1,0),B(0,√3),∴AO=1,BO=√3,∴tan∠BAO=AAAA =√31=√3,∴∠BAO=60°.(2)S1=S2.理由:根据旋转的性质可得AO=A'O ,∠OA'B'=∠OAB=60°,∴△AOA'是等边三角形,∴∠AOA'=60°,∴∠AOA'=∠OA'B',∴A'B'∥x 轴,∴A'B'⊥y 轴.设题图1中A'B'与y 轴交于点C ,在Rt △A'CO 中,A'O=1,∠A'OC=90°-60°=30°,∴A'C=12,CO=√32.∴S 1=12AO ·CO=12×1×√32=√34,S 2=12BO ·A'C=12×√3×12=√34,∴S 1=S 2. (3)S 1与S 2的关系没有发生变化.理由:如题图2,过点B'作B'D ⊥x 轴于点D ,过点B 作BE ⊥OA'于点E ,∴∠ODB'=∠OEB=90°.∵∠AOA'=∠BOB',∴∠BOE=∠B'OD.又∵OB=OB',∴△OBE ≌△OB'D ,∴BE=B'D.又∵OA=OA',S 1=12AO ·B'D ,S 2=12A'O ·BE ,∴S 1=S 2.9.如图1,在矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,以点E 为直角顶点的直角三角形EFG 的两边EF ,EG 分别过点B ,C ,∠F=30°. (1)求证:BE=CE ;(2)将△EFG 绕点E 按顺时针方向旋转,当旋转到EF 与AD 重合时停止转动,若EF ,EG 分别与AB ,BC 相交于点M ,N (如图2). ①求证:△BEM ≌△CEN ;②若AB=2,求△BMN 面积的最大值;③当旋转停止时,点B 恰好在FG 上(如图3),求sin ∠EBG 的值.解:(1)∵四边形ABCD 为矩形,∴∠A=∠D=90°,AB=DC.∵E 为AD 中点,∴AE=DE ,∴△ABE ≌△DCE ,∴BE=CE.(2)①∵△ABE ≌△DCE ,∴∠AEB=∠DEC.∵∠FEG=90°,∴∠BEC=90°,∴∠AEB=∠DEC=45°,∴∠ABE=∠ECB=45°. ∵∠BEM+∠BEN=∠CEN+∠BEN=90°, ∴∠BEM=∠CEN.∵BE=CE ,∴△BEM ≌△CEN.②由①可知△ABE 和△DEC 都是等腰直角三角形,E 为AD 中点,∴BC=AD=2AB=4.设BM=CN=x ,则BN=4-x ,2≤x ≤4.S △MBN =12BM ·BN=12x (4-x )=-12x 2+2x=-12(x-2)2+2, ∴当x=2时, △BMN 的面积最大,最大面积为2. ③∵BC ∥AD ,∠FEG=90°,∴∠BNG=∠FEG=90°.∵∠F=30°,∴∠NBG=∠F=30°.由①可知∠EBN=45°.设NG=y ,则BG=2y ,BN=√3y ,EN=√3y ,∴BE=√6y ,∴S △EBG =12·EB ·BG sin ∠EBG=12EG ·BN , ∴sin ∠EBG=AA ·AAAA ·AA =√3A √3A√6A ·2A=√6+√24.。