江西省南昌市进贤一中2021届高三暑期摸底考试数学(理科)试卷 Word版含答案

进贤一中2021届高三暑期摸底考试（理科）数学试卷一、单选题1．已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1()g x x=的定义域为N ，则M N =（ ）A ．{}1x x ≤ B ．{1x x ≤且0}x ≠ C ．{1}x x > D ．{1x x <且0}x ≠ 2．若复数2(1iz i i=-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．二项式61()x x-的展开式中的常数项为（ ） A ．－15B ．20C ．15D ．－204．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<5．已知实数,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．11B ．9C ．8D ．36．“43m =”是“直线420x my m -+-=与圆224x y +=相切”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（ ）A ．15B ．14 C ．13 D ．128．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC （ ）A ．5665B ．3365-C ．5665或1665-D ．1665-9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） A ．23B ．43C ．13D ．1610．定义1nii nu =∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数”.若已知正项数列{}n a 的前n 项的“快乐数”为131n +，则数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前2019项和为（ ）A ．20182019B ．20192020C ．20192018D ．2019101011．已知点1F 是抛物线2:2C x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，设其中一个切点为A ，若点A 恰好在以12,F F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A1B．1C1D．212．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭二、填空题13．已知,a b 均为单位向量，若23a b -=，则a 与b 的夹角为________. 14．若2()21xf x a =-+是奇函数，则a =_______. 15．数式11111+++⋅⋅⋅中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则11t t+=，则210t t --=，取正值得12t =.用类似方法可得=__________.16．在四面体ABCD 中，若AB CD ==AC BD ==3AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为_______. 三、解答题（17－21题12分）17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.18．2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表： 年份()t 2012201320142015201620172018贫困发生率()%y10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.4（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率； （2）设年份代码2015x t =-，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y 与年份代码x 的相关情况，并预测2019年贫困发生率.附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()()1122211,ˆˆˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nx y bay bx x x xnx ==-==---==---∑∑∑∑(ˆb 的值保留到小数点后三位） 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，,60PA PD DAB =∠=.（1）证明：AD PB ⊥； （2）若6,2PB AB PA ===，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值.20．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，12,F F分别是椭圈C 的左、右焦点，椭圆C 的焦点1F 到双曲线2212x y -=渐近线的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线():0l y kx m k =+<与椭圆C 交于,A B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点2F ，且原点O 到直线l 的距离为25，求直线l 的方程. 21．已知函数()sin x f x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：对[0,),()1x f x ∀∈+∞1； （2）若函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，求实数a 的取值范围． 四、选做题二选一（10分）22．已知直线l 的参数方程为132(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点1(,0)2P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值. 23．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.理科数学参考答案1．D 2．D 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 9．A 10．B 11．C 12．C 由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13．3π14．1 15．4 16．10π 由题意可知，四面体ABCD 是由下方图形中的长方体切割得到，,,,A B C D 为长方体的四个顶点，则四面体ABCD 的外接球即为长方体的外接球设长方体长、宽、高分别为,,a b c则222222659a c b c a b ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩22210a b c ∴++= 10长方体外接球半径为体对角线长度一半，即R =∴四面体ABCD 外接球表面积：2410S R ππ==本题正确结果：10π17．（1）由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=，又()0,B π∈ sin 0B ∴≠2cos 1B ∴=，即1cos 2B =由()0,B π∈得：3B π=（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=又222a c ac +≥（当且仅当a c =时取等号） 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-= 即()max 4ac =∴三角形面积S 的最大值为：14sin 2B ⨯=18．（1）由数据表可知，贫困发生率低于5%的年份有3个从7个贫困发生率中任选两个共有：2721C =种情况选中的两个贫困发生率低于5%的情况共有：233C =种情况∴所求概率为：31217p == （2）由题意得：321012307x ---++++==； 10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.4 5.85y ++++++==；71310.228.57.20 4.52 3.13 1.439.9i ii x y==-⨯-⨯-+++⨯+⨯=-∑；721941014928ii x==++++++=∑39.9ˆ 1.42528b-∴==-，ˆ 5.8a = ∴线性回归直线为：ˆ 1.425 5.8yx =-+ 1.4250-< 2012∴年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%当201920154x =-=时， 1.4254 5.80.1y =-⨯+=2019∴年的贫困发生率预计为0.1%19．（1）证明：取AD 中点E ，连接PE ，BE ，BD四边形ABCD 为菱形 AD AB ∴=又60DAB ∠= ABD ∴∆为等边三角形，又E 为AD 中点 AD BE ∴⊥PA AD =，E 为AD 中点 AD PE ∴⊥,BE PE ⊂平面PBE ，BE PE E ⋂= AD ∴⊥平面PBE又PB ⊂平面PBE AD PB ∴⊥（2）以E 为原点，可建立如下图所示空间直角坐标系：由题意知：2AD AB ==，1AE =，223PE PA AE =-，223BE PB PE =-=则(3P ，()3,0B，()1,0,0D -，()3,0C -(0,3,3PB ∴=-，(3DP =，()3,0DC =-设平面PDC 的法向量(),,n x y z =3030DP n x z DC n x ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令3x =1y =，1z =- ()3,1,1n ∴=-设直线PB 与平面PDC 所成角为θ23sin 56PB n PB nθ⋅∴===⨯即直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为：520．（1）由题意知，()1,0F c -，()2,0F c双曲线方程知，其渐近线方程为：2y x =±∴焦点1F到双曲线渐近线距离：3d ==，解得：1c = 由椭圆离心率2c e a ==得：a = 2221b a c ∴=-= ∴椭圆C的方程为：2212x y +=（2）原点O =，整理得：()22415m k =+设()11,A x y ，()22,B x y由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kmx m +++-= 则()()222216412220k m km∆=-+->，即：22210k m -+>122412km x x k∴+=-+，21222212m x x k -=+ 以AB 为直径的圆过点2F 220AF BF ∴⋅=又()21,0F ()2111,AF x y ∴=--，()2221,BF x y =--()()()()()221212*********AF BF x x y y x x x x kx m kx m ∴⋅=--+=-+++++ ()()()()()()222221212222214111111212m k km km k x x km x x m m k k-+-=++-+++=-++++ 22341012m km k+-=+即：23410m km +-=由()2224153410m k m km ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩且k 0<得：121k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，满足22210k m ∆=-+>∴直线l 方程为：112y x =-+ 21．(1)当1a =时，()sin xf x e x =-，于是，()cos xf x e x '=-. 又因为，当()0,x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤. 故当()0,x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>.所以，函数()sin xf x e x =-为()0,+∞上的增函数，于是，()()01f x f ≥=.因此，对[)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥； (2) 方法一：由题意()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，①当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立. 于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 所以00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点； ②当1a ≥时，()cos cos 0x xf x ae x e x ≥-'=->在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值； ③当0a ≤时，()cos 0xf x ae x =-<'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上成立， 所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上没有极值， 综上所述，使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值的a 的取值范围是()0,1. 方法二：由题意，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值，则()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点. 即cos x x a e =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点. 设()cos xx g x e =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数. 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点.下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值.事实上，当()0,1a ∈时，()cos xf x ae x '=-为0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上的增函数； 即00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值点.综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值. 22．（1）由直线l 参数方程消去t可得普通方程为：210x --=曲线C 极坐标方程可化为：22cos ρρθ=则曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即()2211x y -+= （2）将直线l 参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理可得：2304t -= 设,A B 两点对应的参数分别为：12,t t，则12t t +=，1234t t =-122PA PB t t ∴+=-===23．（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}37x x -≤≤（2）由()()27f x a x ≥--得：()()27a f x x ≤+- 由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x ≤-时，()()min 170g x g =-=当15x -<<时，()()510g x g >=当5x ≥时，()()min 69g x g ==综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞。