和圆有关的比例线段-word文档资料
九年级奥数培训和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试
知识点、重点、难点在圆中,有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理统称圆幂定理。
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。
推论：若弦与直径垂直相交,则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。
3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。
圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系,它们之间有着密切的联系,我们应当熟悉以下基本图形。
例题精讲例1：如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,过点A 作⊙1O 的切线,交⊙2O 于点C ,过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切,且PA = 6,PC =2,PD =12时,求AD 的长。
解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ,所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ,所以∠D =∠E .又∠2=∠3,所以△APD ∽△CPE ,所以PA PDPC PE=, 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6,PC =2,PD =12,得6×PE =2×12,得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ,所以4PB =6×2,得PB =3.所以BD = PD －PB =9,DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ,所以DA 2= DB ·DE ,即AD 2=9×16,得AD ＝12.例2：如图,已知圆内接四边形ABCD ,延长AB 、DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F ,EM 、FN 为圆的切线,分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧,两弧交于K ,求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ,过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ,连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆,所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆,所以∠1=∠3,于是∠2 =∠3,故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED=EH ·EF ,FN2= FC ·FB=FH ·FE ,所以EM2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ,FN=FK ,所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形,且∠EKF =90°,即EK ⊥FK .例3：如图,⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点,在公共弦QP 延长线上取一点M ,过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ,所以A 、B 、D 、C 四点共圆,可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠,所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ,垂足为G ,过D 作DH ⊥MB ,垂足为H .所以CG ∥DH ,得△MGC ∽△MHD ,得.ADB ACB S DH DMS CG CM∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的弦AD 交小圆于B 、C ,大 圆的弦AF 切小圆于E ,经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ,求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ,且AE = EC ,求 ∠AFC 的度数。
与圆有关的比例线段
D．30°
解析：如图，连接 OO′，O′A ∵OA 为⊙O′的切线 ∴∠OAO′＝90° 又∵⊙O 与⊙O′为等圆且外切 ∴OO′＝2O′A ∴sin ∠AOO′＝OAOO′′＝12 ∴∠AOO′＝30° 又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60° 答案：B
6. 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和 ⊙O分别相切于L、M、N、P。 求证：AD＋BC＝AB＋CD 证明：由圆的切线长定理得 CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN ∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD ∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC) ＝(AL＋ND)＋(BL＋CN) ＝(AL＋BL)＋(ND＋CN) ＝AB＋CD 即AD＋BC＝AB＋CD
∠PCE＝∠PAD (2) ∠CPE＝∠APD⇒ △PCE∽△PAD⇒DECA＝PPAC；
∠∠PAEPAE＝＝∠∠PBDPDB⇒△PAE∽△PBD⇒BADE＝PPAB PA 是切线，PBC 是割线⇒ PA2＝PB·PC⇒PPAB＝PPAC 故DECA＝BADE，又 AD＝AE 故 AD2＝DB·EC
方法规律小结： 运用切线长定理时，注意分析
其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心 的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形 的有关性质进行计算与证明。
巩固练习
5． 两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线
OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝ ( )
A．90°
B．60°
C．45°
与圆有关的比例线段
1．相交定理 圆内的两条 相交弦 ，被交点分成的两 条线段长的积相等 。如图，弦AB与CD相 交于P点，则PA·PB＝ PC·PD 。
1-2.5.与圆有关的比例线段(切割线定理)
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条 割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
C
B
点P从圆内移动到圆外
D
P
O
D
图5 O
P
A 图3
B A
PA∙PB=PC∙PD
PA∙PB=PC∙PD
使割线PA绕P点
证明:连接AC、AD,同样可以证明
又∵∠ACF=∠AEC. ∴∠CFG=∠ACF. 故FG//AC. ……(6)
你还能推出其他结论吗？
问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD 变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？
B
B
E
D
E
A
D
O 图2
A Q
O 图3
F
G
CG
PC
探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论. 此外，
同理可证BD•AE=AC•CE. …………………… (3) ∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE. ………(4)
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC 交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中 EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引
D B
两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.
证明：由切割线定理可得：
A
PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB.
C
∴PC2=PD2. 即PC=PD．
第十六讲 和圆有关的比例线段(含解答)-
第十六讲和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析广告牌AB在视线的水平线DF之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF的水平线上,除D点外,•DF上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE处时∠ADB最大,看广告效果最好.那么如何求出CE的距离呢?由切割线定理可知,DF2=BF·AF,且CE=DF,因此,很容易得到D F2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P作与圆有关的两条直线,点P与圆的不同位置有两种:1.当点P在圆内时,这两条直线分别交圆于A、B和C、D,则PA·PB=PC·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3)2.当点P在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A、B与C、D,则PA·PB=PC·PD 称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M 时,得切割线定理:PA ·PB=PM 2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P 在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P 作弦EF ⊥OP,交圆于E 、F,由于PE=PF,故PA ·PB=PC ·PD=PE ·PF=PF 2=r 2-OP 2,其中r 为⊙O 的半径.如图4,点P 在圆外时,连OM 、ON 、OP,有 PA ·PB=PC ·PD=•PM ·PN=P M 2=OP 2-r 2. 综上所述,圆幂定理可以统一为PA ·PB=│r 2-OP 2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O 上一定点P 向⊙O 任作一直线交⊙O 于A 、B 两点,则有PA ·PB=│r 2-OP 2│.(r 2-OP 2叫做点对于⊙O 的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,割线CDF 交AB 于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O 的直径AB.解析 设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC 2=CD ·CF.∴42=k ·4k,•k=2. ∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt △ACE 中,由勾股定理,有AE=22CE AC -=2264-=25,根据相交弦定理,得AE ·EB=DE ·EF. ∴25·EB=4×2，EB=455。
与圆有关的比例线段
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】
如图,☉O 内的两条弦 AB,CD 交于圆内一点 P,已知
1
4
PA=PB=4,PC= , 求的长.
解:设 CD=x,
则 PD=
4
,
5
=
1
,
5
由相交弦定理知 PA·PB=PC·PD,
1
5
4
5
即 4×4= · , 解得x=10.故 CD=10.
2.垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定
理之间的关系
剖析:如图,PA,PB为☉O的两条切线,A,B为切点,PCD为过圆心O
的割线,连接AB,交PD于点E,则有下列结论:
(1)PA2=PB2=PC·PD=PE·PO;
(2)AE2=BE2=DE·CE=OE·PE;
(3)若AC平分∠BAP,
题型三
题型四
切割线定理的应用
【例 3】 如图,AB 切☉O 于点 B,ACD 为割线,E为 的中点
, 交于点. 求证: 2 = ·AD.
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:如图,连接BC,BD.
∵E为 的中点,
∴∠DBE=∠CBE.
又AB是☉O的切线,
∴∠ABC=∠CDB.
∴
=
.②
又∵PA=5,AB=7,CD=11,
∴PB=PA+AB=12.
由①式,得 5×12=PC(PC+11),
解得 PC=4 或 PC=-15(舍去).
∴PD=PC+CD=4+11=15.
和圆有关的比例线段--旧人教版
A •P 切线长定理 PA=PB
B
•P C 点P在圆外 •P C A
A
切线与割线
•P
PA²=PC•PD
D B 割线与割线 PA•PB=PC•PD D
？
？
A •P C •O D 切线与割线 T A •P C 割线与割线 D
已知：PA切圆O于点A，PCD是割线，C、 D是它与圆O的交点。 求证：PA²=PC•PD PA PD 分析：要证PA²=PC•PD，需证 — = — ， PC PA 则必先证ΔPAD ∽ ΔPCA。
作业：
1、课本P119，习题7、4 A组5、7
课余探索：
在小结中把相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理 ）、切线长定理的结论统一为：过一点P（无论点P在圆内，还 是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重 合的“交点”）于点A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。 下面，试探索PA•PB（ PC•PD ）的值等于什么？ （1）若⊙O的弦AB、CD相交于点P，试证明PA•PB=PC•PD = r² –OP² .(提示：作过点P的直径） （2）若PA是⊙O的切线，PCD是⊙O的割线，试证明PA² = PC •PD=OP²–r² （3）若PAB、PCD是⊙O的割线，试证明 PA•PB=PC•PD = OP² –r² （提示：作直线PO）
证明：连结AC、AD。 ∠PAC=∠D ΔPAD∽ ΔPCA ∠APC=∠DPA PA PD —=— PA²=PC•PD PC PA
思考：当从P点向圆引两条割线时， 则PA•PB=PC•PD是否成立？ （分析：可从P点向圆引一条切线PT， 则有PA•PB，PC•PD都等于PT² ）
B
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
第2讲-5 与圆有关的比例线段
五与圆有关的比例线段1．相交弦定理(1)文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)图形语言如图2－5－1，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.图2－5－12．割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(2)图形语言图2－5－2如图2－5－2，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.3．切割线定理(1)文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(2)图形语言如图2－5－3，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图2－5－34．切线长定理(1)文字叙述从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示如图2－5－4，⊙O的切线PA、PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.图2－5－41．能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】能．如图，⊙O的弦AB、CD相交于P点，连接AD、BC，则△APD∽△CPB.故有PAPC＝PDPB，即PA·PB＝PC·PD.2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)AC＝BC，AD＝DB，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD.3．应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错．(1)如图所示，把PC2＝PA·PB错写成PC2＝PO·PB；(2)如图所示，把关系式PT2＝PB·PA错写成PT2＝PB·BA，把关系式PB·PA＝PD·PC错写成PB·BA＝PD·DC.图2－5－5如图2－5－5，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC＝2，PA＝8，则tan∠ACD的值为________．【思路探究】由垂径定理知，点P是BD的中点，先用相交弦定理求PD，再用射影定理或勾股定理求AD、CD，最后求tan∠ACD.【自主解答】∵BD⊥AC，∴BP＝PD，∴PD2＝PA·PC＝2×8＝16，∴PD＝4.连接AD，则∠ADC＝90°，∴tan∠ACD＝AD CD.又AD＝PA2＋PD2＝82＋42＝45，CD＝PC2＋PD2＝22＋42＝25，∴tan∠ACD＝4525＝2.【答案】 21．解答本题的关键是先用相交弦定理求PD，再用勾股定理或射影定理求AD、CD.2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．(2018·湖南高考)如图2－5－6，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图2－5－6【解析】由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，∴CD＝PC＋PD＝5.过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，∴OE＝r2－CD22＝7－254＝32.【答案】32图2－5－7已知如图2－5－7所示，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM ＝MN＝NC，若AB＝2.求：(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【思路探究】由AB2＝BM·BN求得BC→由CD·AC＝CN·CM求得CD→结果【自主解答】(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)．解得x ＝2，∴BC ＝3x ＝3 2. (2)在Rt △ABC 中， AC ＝BC 2－AB 2＝14， 由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知， CN ＝2，BC ＝32，CM ＝BC －BM ＝32－2＝22， AC ＝14， ∴CD ＝CN·CM AC ＝2147， ∴r ＝12(AC －CD)＝12(14－2147)＝51414.1．解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．图2－5－8(2018天津高考)如图2－5－8，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC.过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E.若AB ＝AD ＝5，BE ＝4，则弦BD 的长为________．【解析】 因为AB ∥DC ，所以四边形ABCD 是等腰梯形，所以BC ＝AD ＝AB ＝5.又AE 是切线，所以AE ∥BD ，AE 2＝BE·EC＝4(4＋5)＝36，所以AE ＝6.因为∠CDB ＝∠BAE ，∠BCD ＝∠ABE ，所以△ABE ∽△DCB ，所以AE DB ＝BE BC ，于是BD ＝5×64＝152. 【答案】152如图2－5－9B 两点的切线分别交于点E 、F ，AF 与BE 交于点P.图2－5－9求证：∠EPC ＝∠EBF. 【思路探究】 由切线→EA＝EC ，FC ＝FB→EC FC ＝EPPB→CP∥FB→结论【自主解答】 ∵EA ，EF ，FB 是⊙O 的切线， ∴EA ＝EC ，FC ＝FB ，∵EA ，FB 切⊙O 于A ，B ，AB 是直径， ∴EA ⊥AB ，FB ⊥AB ， ∴EA ∥FB ， ∴EA BF ＝EP BP ， ∴EC FC ＝EP PB ， ∴CP ∥FB ， ∴∠EPC ＝∠EBF.1．解答本题的关键是利用对应线段成比例得到CP ∥FB.2．运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．图2－5－10如图2－5－10所示，已知⊙O 的外切等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝DC ，梯形中位线为EF. (1)求证：EF ＝AB ；(2)若EF ＝5，AD ∶BC ＝1∶4，求此梯形ABCD 的面积． 【解】 (1)证明：∵⊙O 为等腰梯形ABCD 的内切圆， ∴AD ＋BC ＝AB ＋CD.∵EF 为梯形的中位线，∴AD ＋BC ＝2EF.又∵AB＝DC，∴2EF＝2AB，∴EF＝AB.(2)∵EF＝5，∴AB＝5，AD＋BC＝10. ∵AD∶BC＝1∶4，∴AD＝2，BC＝8. 作AH⊥BC于H，则BH＝12(BC－AD)＝12(8－2)＝3.在Rt△ABH中，AH＝AB2－BH2＝52－32＝4.∴S梯ABCD＝EF·AH＝5×4＝20.(教材第40页习题2.5第3题)如图2－5－11，点P为⊙O的弦AB上的任意点，连接PO，PC⊥OP，PC交圆于C，求证：PA·PB＝PC2.图2－5－11(2018·湖南高考)图2－5－12如图2－5－12所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．【【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.【答案】61．如图2－5－13，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝( )图2－5－13A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】 B2．如图2－5－14，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC ＝9，则PA等于( )图2－5－14A．4 B．6C．9 D．36【解析】由切割线定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.【答案】 B3．如图2－5－15，PA、PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝80°，则∠C＝________.图2－5－15【解析】∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°.∴∠ACB＝∠PAB＝50°.【答案】50°4．(2018·重庆高考)如图2－5－16，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．图2－5－16【解析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10 3.∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5 3.由切割线定理得DC2＝DE·DB，即(53)2＝15DE，∴DE＝5.【答案】 5一、选择题1．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A、B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝( )A.45B.12C.38D.34【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝PTPO＝45.【答案】 A图2－5－172．如图2－5－17，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为( ) A．5.5 B．5C．6 D．6.5【解析】由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝AP·BPCP＝4×63＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.【答案】 A图2－5－183．如图2－5－18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC、AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为( )A．1 B.12C.13D.14【解析】观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝AC2＋BC2＝5.如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根据切割线定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝13 .【答案】 C4.图2－5－19(2018·北京高考)如图2－5－19，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是( )A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；③项，延长AD于M，连结FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.【答案】 A二、填空题图2－5－205．(2018·天津高考)如图2－5－20，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交wEw.【解析】因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，所以34＝2BD，即BD＝83.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝649，所以x＝43 .【答案】4 36．(2018·北京高考)如图2－5－21，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.图2－5－21【解析】由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.根据切割线定理有PA2＝PD·PB.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a ＝15，∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △PAB 中，AB 2＝PB 2－AP 2＝25－9＝16，故AB ＝4.【答案】 954 三、解答题图2－5－227．如图2－5－22所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，D 为⊙O 上的点，且AD ＝AC ，AD ，BC 相交于点E.(1)求证：AP ∥CD ；(2)设F 为CE 上的一点，且∠EDF ＝∠P ，求证：CE·EB＝FE·EP.【证明】 (1)∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC.又∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴∠ACD ＝∠PAD.∴∠PAD ＝∠ADC ，∴AP ∥CD.(2)∵∠EDF ＝∠P ，且∠FED ＝∠AEP ，∴△FED ∽△AEP.∴FE·EP＝AE·ED.又∵A 、B 、D 、C 四点均在⊙O 上，∴CE·EB＝AE·ED，∴CE·EB＝FE·EP.8．如图2－5－23，圆的两弦AB 、CD 交于点F ，从F 点引BC 的平行线和直线AD 交于P ，再从P 引这个圆的切线，切点是Q ，求证：PF ＝PQ.图2－5－23【证明】 ∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ADF ＝∠ABC.∵PF ∥BC ，∴∠AFP ＝∠ABC.∴∠AFP ＝∠FDP.∵∠APF ＝∠FPD ，∴△APF ∽△FPD.∴PF PA ＝PD PF.∴PF 2＝PA·PD.∵PQ 与圆相切，∴PQ 2＝PA·PD.∴PF 2＝PQ 2，∴PF ＝PQ.9．如图2－5－24，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝60°，求阴影部分的周长．图2－5－24【解】 如下图所示，连接OA ，OB.∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∠APO ＝12∠APB ＝π6，在Rt △PAO 中，AP ＝PO·cos π6＝4×32＝2 3 (cm)，OA ＝12PO ＝2 (cm)，PB ＝23(cm)．∵∠APO ＝π6，∠PAO ＝∠PBO ＝π2，∴∠AOB ＝2π3， ∴l AB ＝∠AOB·R＝2π3×2＝43π(cm)，∴阴影部分的周长为PA ＋PB ＋l AB ＝23＋23＋43π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋4π3cm.10.如图，已知AD 是⊙O 的切线，D 为切点，割线ABC 交⊙O 于B 、C 两点，若DE ⊥AO 于E. 求证：∠AEB ＝∠ACO.【证明】 连接DO.∵AD 为切线，∴AD ⊥DO.∴△ADE ∽△AOD.∴AD AE ＝AO AD .即AD 2＝AE·AO.又∵AD 为切线，∴AD 2＝AB·AC.∴AE·AO＝AB·AC，即AE AB ＝AC AO .∵∠EAB ＝∠CAO ，∴△EAB ∽△CAO.∴∠AEB ＝∠ACO.。
和圆有关的比例线段(二)
和圆有关的比例线段(二)引言在前一篇文档中，我们介绍了圆和比例线段的基本概念，并给出了一些例题来帮助读者更好地理解这些概念。
本文将继续探讨和圆有关的比例线段，介绍一些相关的性质和定理，并提供一些例题帮助读者加深理解。
一、增量法在前一篇文档中，我们提到了圆内的比例线段的特性，即相交于同一弦上的两个比例线段相等。
接下来，我们将介绍一个很有用的方法，即增量法，用于计算比例线段的长度。
当我们已知两个比例线段中的一个，以及一个边上的长度，如何求另一个比例线段的长度呢？这就是增量法的应用。
我们假设已知比例线段AB和AC，即AB:AC，以及边AB的长度a，边AC的长度b。
下面介绍求比例线段BC的长度的步骤：1.根据相似三角形的性质，我们可以得到a:AB = b:AC。
2.根据等式a:AB = b:AC，我们可以得到a * AC = b * AB。
3.我们将上式进行展开，得到a * (AB + BC) = b * AB。
4.将上述等式变形，得到BC = (b * AB - a * AC) / a。
通过上述步骤，我们可以通过已知的比例线段和边长来求得另一个比例线段的长度。
二、圆与切线圆与切线是圆的一个重要性质，也与比例线段有关。
在圆上任意取一点P，并且作P点的切线，切线与半径的交点分别为A和B。
则有以下性质成立：1.在圆上任取一点P，连接P与圆心O，并做切线PA、PB。
2.连接AO、OB。
3.则有AO ⊥ PA、OB ⊥ PB。
4.根据直角三角形的性质，我们可以得到AO:PA = OB:PB，即AO:AO + PA = OB:OB + PB。
由上述性质可知，AO:PA = OB:PB，即AO与PA的比例等于OB与PB的比例。
三、圆的外切线除了切线以外，圆还有另外一种线与圆相关，它被称为圆的外切线。
圆的外切线有以下几个重要性质：1.圆的外切线与切线相比，多了一个交点，即切点。
2.外切线上的两个切点分别在圆的两条半径上。
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和圆有关的比例线段
教材分析
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点：相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理.这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点;这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明.
难点：正确地写出定理中的等积式.因为图形中的线段较多，学生容易混淆.
2、教学建议
本节内容需要三个课时.第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2.第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3.第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3.
(1)教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情;
(2)在教学中，引导学生观察猜想证明应用等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动.
第1课时：相交弦定理
教学目标：
1.理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的
简单证明和计算;
2.学会作两条已知线段的比例中项;
3.通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神;
4.通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法. 教学重点：
正确理解相交弦定理及其推论.
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理.
教学活动设计
(一)设置学习情境
1、图形变换：(利用电脑使AB与CD弦变动)
①引导学生观察图形，发现规律：D，B.
②进一步得出：△APC∽△DPB.
.③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?
组织学生观察，并回答.
2、证明：
已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P.
求证：PAPB=PCPD.
(A层学生要训练学生写出已知、求证、证明;B、C层学生在老师引导下完成)
(证明略)
(二)定理及推论
1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中;弦AB，CD相交于点P，那么PAPB=PCPD.
2、从一般到特殊，发现结论.
对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且ABCD于P.
提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?
指出：PC2=PAPB.
请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确.教师纠正，并板书.
推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.
3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2=PAPB. 若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：
PC2=PAAC2=APCB2=BPAB
(三)应用、反思
例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长.
引导学生根据题意列出方程并求出相应的解.
例2 已知：线段a，b.
求作：线段c，使c2=ab.
分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段.
作法：口述作法.
反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用.同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图.
练习1 如图，AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP=1厘米，求CD. 变式练习：若AP=2厘米，PB=2.5厘米，CP，DP的长度皆为整数.那么CD的长度是多少?
将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣
练习2 如图，CD是⊙O的直径，ABCD，垂足为P，AP=4厘米，PD=2厘米.求PO的长.
练习3 如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交⊙O
于C. 求证：PC2=PAPB
引导学生分析：由APPB，联想到相交弦定理，于是想到延长CP交⊙O于D，于是有PCPD=PAPB.又根据条件OPPC.易证得PC=PD问题得证.
(四)小结
知识：相交弦定理及其推论;
能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力;
思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法.
(五)作业
教材P132中 9，10;P134中B组4(1).
第2课时切割线定理
教学目标：
1.掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明;
2.掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力
3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点.
教学重点：
理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理.
教学难点：
定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点.
教学活动设计
(一)提出问题
1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点.如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系?(如图1)
当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系?
2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PAPB.
3、证明：
让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想. 分析：要证PT2=PAPB，可以证明，为此可证以 PAPT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB.(图3).容易证明PTA=B又P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证.
4、引导学生用语言表达上述结论.
切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
(二)切割线定理的推论
1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?
观察图4，提出猜想：PAPB=PCPD.
2、组织学生用多种方法证明：
方法一：要证PAPB=PCPD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明PAC=D，P，因此△PAC∽△PDB. (如图4)
方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB.容易证明D，又P. 因此△PAD∽△PCB.(如图5)
方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现.PT2=PAPB，同时PT2=PCPD，于是可以得出PAPB=PCPD.PAPB=PCPD
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.(也叫做割线定理)
(三)初步应用
例1 已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径.
分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解.
(解略)教师示范解题.
例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC=BD，AE，
BF分别切⊙O于点E，F，
求证：AE=BF.
分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC=BD，AD=BC. 因此它们的积相等，问题得证.
学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2=ACCD和BF2=BDDC等.
巩固练习：P128练习1、2题
(四)小结
知识：切割线定理及推论;
能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式;
方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握.
(五)作业教材P132中，11、12题.
探究活动
最佳射门位置
国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足球门宽7.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置(精确到l米).
分析与解如图1所示.AB是足球门，点P是边锋所在的位置.最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P 上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B
且与边线相切的圆的切点，如图1所示.即OP是圆的切线，而OB是圆的割线.
故，又，
OB=30.34+7.32=37.66.
OP= (米).
注：上述解法适用于更一般情形.如图2所示.△BOP可为任意角.。