和圆有关的比例线段

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选讲：与圆有关的比例线段(切割线定理)

O A G
D F
∵∠DFE=∠EFA（公共角）, ∴ △DFE∽△EFA.
∴EF2 =FG2 ,即FG=EF.
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD. 证明：由切割线定理可得： PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB. ∴PC2=PD2. 即PC=PD．
选讲部分
与圆有关的比例线段 ----切割线定理
复习回顾
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
使割线PA绕P点运动到切线的位置，是否还有 PA∙PB=PC∙PD？
C D P
O A(B)
如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD 交 ⊙O于C、D. 求证：PA2=PC∙PD.
A
P
O
C
证明：连接AC、AD， ∵PA切⊙O于点A,∴∠D= ∠PAC. 又 ∠P=∠P, ∴ △PAC∽ △ PDA. ∴ PA ：PD=PC ：PA. ∴PA2= PC∙PD.
与圆有关的比例线段
T A B O C D P
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题. 探究1: 如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.

圆中的比例线段

第2讲圆幂定理理，圆中⽐比例例线段圆幂定理理是初中平⾯面⼏几何中重要定理理之⼀一，在有关计算和证明中应⽤用⾮非常多，尤其是在证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）时，能有效地考查学⽣生综合运⽤用相似形和圆的有关知识分析、解决问题的能⼒力力，因⽽而成为全国各省市中考及数学竞赛命题的⼀一个热点，切实加强这⽅方⾯面知识的复习与训练，全⾯面掌握这类问题的证明思路路和⽅方法，对每⼀一个同学都⾮非常重要.此外，证明圆中线段⽐比例例式（或等积式）的基本思路路有(1)利利⽤用平⾏行行线分线段成⽐比例例定理理；(2)利利⽤用相似三⻆角形给出证明；(3)利利⽤用圆幂定理理给出证明；(4)利利⽤用⾯面积或三⻆角函数给出证明.⼀一、基础知识1、相交弦定理理如果圆内两条弦AB和CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD（如下图1）；2、割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和PCD，那么PA·PB＝PC·PD（如下图2）；3、切割线定理理如果从圆外⼀一点P向圆引割线P AB和切线PC，那么PA·PB＝PC2（如下图3）；上述三个定理理统称为圆幂定理理.实际上，可以把切割线定理理看作是割线定理理的极限情形，于是上述三个结论可以合并为：如果交点为P的两条直线与圆O相交于A、B与C、D，那么就有PA·PB＝PC·PD，这⾥里里P、A、B共线及P、C、D共线；⼆二、例例题例例1．已知，如图AB是⊙O的弦，P是AB上⼀一点，AB＝10cm，P A＝4cm，OP＝5cm，求：⊙O的半径.例例2．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于CD两点，其外公切线AB分别切⊙O1、⊙O2于点AB，求证：直线CD 平分线段AB.例例3．如图，E是圆内弦AC、BD的交点，直线EF∥CB，交AD的延⻓长线于F，FG切圆于G，连结EG，求证：∠FEG＝∠FGE.例例4．如图，P A切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，M是P A的中点，MC交⊙O于N，PN的延⻓长线交⊙O于D，连结BD，求证：P A∥BD;例例5．如图，已知B是线段AC上任⼀一点，在AC同侧分别以AB、AC为直径作两个半圆、，若CD切半圆于点D，EB⊥AC，B为垂⾜足，且交半圆于E，M是DE的中点，求证：CM⊥DE.例例6．如图，在⊿ABC中，AB>AC，如果⊿ABC的内切圆把BC边上的中线AD三等分，求证：BC＝2AC；例例7．图中，AB是⊙O的直径，直线MN切⊙O于点C，AD⊥MN于D，AD交⊙O于E，AB的延⻓长线交MN于点P，求证：AC2＝AE·AP；例例8．如图，⊿ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于点D，和AB、AC分别相交于E、F，AD与EF相交于G，求证：BD·EG＝BE·EA；例例9．如图，已知BC是圆中⼀一条弦，EF切圆于A，AD⊥BC于D，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，求证：AD2＝BE·CF；例例10（2002年年东城区中考）如图，P是⊙O的直径AB延⻓长线上⼀一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于H，CF交AB于点E，求证：P A·PB＝PO·PE；例例11．如图，已知P A、PB是⊙O的切线，切点为A、B，PCD是割线，求证：AC·BD＝AD·BC例例12．如图，BC是圆的直径，O是圆⼼心，P是BC延⻓长线上⼀一点，P A切半圆于点A，AD⊥BC于点D，求证：PD·PO＝PC·PB例例13．如图，过⊿ABC的顶点A作外接圆的切线交BC的延⻓长线于D，求证：例例14（托勒勒密定理理）求证：在圆的内接四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＝AC·BD三、练习题1．如图，P A为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，P A＝10cm，PB＝5cm，求⊙O的半径.2．过⊙O外⼀一点P作⊙O的两条切线P A、PB，连结OP与AB交于D，与⊙O交于C，过C作AP的垂线，垂⾜足为E，若P A＝10cm，PC＝5cm，则CE＝_____；3．如图A、B、C、D四点在同⼀一个圆周上，且BC＝CD＝4，AE＝6，线段BE和DE的⻓长都是正整数，则BD的⻓长等于________；4．在平⾏行行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则DE＝_________；5．已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平⾏行行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC与DE交于点P，求证：EP＝PD；。

市北资优九年级分册第27章 27.7 与圆有关的比例线段+薛琼

27.7与圆有关的比例线段前面，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，他们之间又有什么关系呢？实际上，它们之间存在着数量关系．如图27.7.1，从⊙O 内一点P 引圆的两条弦AB ,CD ，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P 点分成两条线段，只要联结AD ,BC ，我们马上发现这四条线段在两个△P AD 和△PBC 中，容易证得，△P AD ∽△PBC ，于是得到了PB PD PC PA =，转化成乘积式后为PD CP PB AP ⋅=⋅，便得到相交两条弦的重要性质．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．当圆的两条相交的弦在特殊位置时，如图27.7.2，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，则CP =PD =21CD ,这时2CP PB AP =⋅．也就是说，如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所得两条线段的比例中项．再来讨论两条割线相交于圆外一点时的有关比例线段．如图27.7.3，⊙O 的两条割线P AB 、PCD 交于圆外一点P ，得弦AB 、CD 以及有关线段P A 、PB 、PC 、PD ．由相交弦定理，能否也有PD CP PB AP ⋅=⋅．类似于相交弦定理的推导，可得同样结论．如图27.7.4，分别联结AD 与BC ，∵∠ADC 与∠ABC 所对的弧是AC ，∴∠ADC =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AD ∽△PCB ．∴PBPD PC PA =．∴PD PC PB PA ⋅=⋅．于是，得到如下定理：割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等．如果两条割线中的一条变为切线呢？又能得到什么结论？如图27.7.5，过⊙O 外一点P 引圆的一条割线P AB 和切线PC ，得弦AB 以及有关线段P A 、PB 、PC ．它们有怎样的关系呢？如图27.7.6，分别联结AC 与BC ．∵∠ACP 与∠ABC 所对的弧是AC ，PC 切⊙O 于点C ，∴∠ACP =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AC ∽△PCB ∴PB PC PC PA =． ∴PB PA PC ⋅=2．于是得到以下定理：切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项．例1 AB 为⊙0直径，点C 在⊙O 上，过点C 引直径AB 的垂线，垂足为D ，点D 分这条直径为2：3的两部分，如果⊙O 的半径等于5，求BC 的长．解如图27.7.7，延长CD 交⊙O 于点E ，设AD =2x ，则BD =3x （或AD =3x ，BD =2x ）．∵r =5，∴AB =10．∴2x +3x =10．即x =2．∴AD =4（或AD =6）．当AD =4时，BD =6；当AD =6时，BD =4．由相交弦定理，得BD AD ED CD ⋅=⋅．∵直径AB ⊥CE ．∴CD =ED ．∴BD AD CD ⋅=2．∴6264=⨯=CD ．当BD =6时，BC =1523624=+；当BD =4时，BC =1021624=+．例 2 已知：如图27.7.8，AE ⊥BC 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，AE 、BD 相交于点F ，求证：BD BF AE AF AB ⋅+⋅=2．证明作△BEF 的外接圆，设圆心为0，交AB 于M ．联结FM ，由切割线定理，得AB AM AE AF ⋅=⋅． ∵∠BEF =90°，∴BF 是⊙0的直径．∴∠BMF =∠BDA ．∵∠FBM =∠ABD ．∴△BMF ∽△BDA ． ∴BD BM AB BF =, 即BM AB BD BF ⋅=⋅． ∴2AB BM AB AB AM BD BF AE AF =⋅+⋅=⋅+⋅例3 已知：如图27.7.9，P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E 、F ，EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，G 为切点．求证：EG =DE ．证明 ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△CEF ．∴DE :EF =AE :EC ． ①又∵AP ∥DC ，∴△AEP ∽△CED ．∴AE :EC =EP :DE ． ②由①、②得，DE :EF =EP :DE ；即EP EF DE ⋅=2．而EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，EFP 为此圆的割线∴EP EF EG ⋅=2．∴22EG DE =．∴DE =EG练习27．7（1）1．如图，⊙0的直径AB =10，P 是OA 上一点，弦MN 过点P ，且AP =2，MP =22，求弦心距OQ ．2．已知：如图，AB 是⊙0的直径，P 是⊙0外一点，PD ⊥AB 于D ，交⊙0于E ，P A 交⊙0于C ，BC 交PD 于F ．求证：DP DF DE ⋅=2．3．已知：如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，弦AQ 交CD 于点P ．如果AB =10．CD =8，求：（1）DE 的长；（2）AE 的长；（3）AQ AP ⋅的值．4．如图，A 、B 、C 、D 在同一圆上，BC =CD ，AC 、BD 交于E ．若AC =8，CD =4，且线段BE 、ED 为正整数，求BD 的长．5．如图，P AB 为过圆心O 的割线，且P A =OA =4，PCD 为⊙0的另一条割线，且PC =DC ．求：（1）PC 的长；（2）S △P AC :S △PDB ．6．已知：△ABC 是⊙0的内接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙0于E ．求证：DC BD AD AC AB ⋅+=⋅2过一点P 做与圆有关的两条直线，点P 与圆的不同位置有两种：当点P 在圆内时，这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅，这就是相交弦定理，如图27.7.10（1）．当点P 在圆外时，分两种情况：（1）这两条直线与圆都有两个交点，分别为A 、B 与C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅称作割线定理，如图27.7.10（2）（2）当这两条直线中一条与圆有两个交点，另一条只有一个交点（切点）M 时，得到割线定理：2PM PB PA =⋅相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论（割线定理），我们统称为圆幂定理．圆幂定理在形式上也可以进一步统一．如图27．7．10（3），点P 在圆内时，像所做的虚线那样，联结OP ，过点P 作弦EF ⊥OP ，交圆于E 、F ，由于PE =PF ，故222-OP r PF PF PE PD PC PB PA ==⋅=⋅=⋅，其中r 为⊙0的半径．如图27．7．10（4），点P 在圆外时，联结OM 、ON 、OP ，有222r OP PM PN PM PD PC PB PA -==⋅=⋅=⋅．综上所述，圆幂定理可以统一为|-|22OP r PB PA =⋅．换言之，圆幂定理可叙述为：通过不在⊙0上一定点P 向⊙0任作一直线交⊙0于A 、B 两点，则有|-|22OP r PB PA =⋅（22-OP r 叫做点P 对于⊙0的幂）．圆幂定理揭示了园中线段的比例关系，对于涉及相交弦，切割线的有关计算，常可利用圆幂定理去求．例1 如图27.7.11，AB 是⊙0的直径，AC 是⊙0的切线，A 为切点，割线CDF 交AB 于E ，并且CD :DE :EF =1:2:1，AC =4，求⊙0的直径AB ．解设CD =k ，则DE =2k ，EF =k ，CF =4k ，由切割线定理，有CF CD AC ⋅=2． ∴k k 442⋅=，k =2．∴CE =6，DE =4，EF =2．在Rt △ACE 中，由勾股定理，有52462222=-=-=AC CE AE ．根据相交弦定理，得EF DE EB AE ⋅=⋅．∴2452⨯=⋅EB ，554=EB ．。

九年级奥数培训和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试

知识点、重点、难点在圆中,有相交弦定理、切割线定理及其推论,这些定理统称圆幂定理。

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交,则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系,它们之间有着密切的联系,我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲例1：如图,已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点,过点A 作⊙1O 的切线,交⊙2O 于点C ,过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ,DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切,且PA = 6,PC =2,PD =12时,求AD 的长。

解连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ,所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ,所以∠D =∠E .又∠2=∠3,所以△APD ∽△CPE ,所以PA PDPC PE=, 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6,PC =2,PD =12,得6×PE =2×12,得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ,所以4PB =6×2,得PB =3.所以BD = PD －PB =9,DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ,所以DA 2= DB ·DE ,即AD 2=9×16,得AD ＝12.例2：如图,已知圆内接四边形ABCD ,延长AB 、DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F ,EM 、FN 为圆的切线,分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧,两弧交于K ,求证：EK ⊥FK ．证明连结EF ,过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ,连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆,所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆,所以∠1=∠3,于是∠2 =∠3,故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED=EH ·EF ,FN2= FC ·FB=FH ·FE ,所以EM2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ,FN=FK ,所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形,且∠EKF =90°,即EK ⊥FK .例3：如图,⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点,在公共弦QP 延长线上取一点M ,过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ =MC ·MD ,所以A 、B 、D 、C 四点共圆,可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠,所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ,垂足为G ,过D 作DH ⊥MB ,垂足为H .所以CG ∥DH ,得△MGC ∽△MHD ,得.ADB ACB S DH DMS CG CM∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图,两个同心圆的圆心为O ,大圆的弦AD 交小圆于B 、C ,大圆的弦AF 切小圆于E ,经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ,求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ,且AE = EC ,求 ∠AFC 的度数。

初中数学竞赛第十六讲和圆有关的比例线段(含解答)

第十六讲和圆有关的比例线段【趣题引路】某建筑物上装有一块长方形广告牌,上下边相距5m,下底边距离地面5.6m.•如果人的眼部高度为 1.6m,那么从远处正对广告牌走近时,看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远?解析广告牌AB 在视线的水平线DF 之上.如图,因此,可过AB•两点作一个圆,使圆与DF 相切,这时可看到,当人从远处走来时,人眼在DF 的水平线上,除D 点外,•DF 上的其余各点都在圆外 ,则当人走到DE 处时∠ADB 最大,看广告效果最好. 那么如何求出CE 的距离呢?由切割线定理可知,DF 2=BF ·AF,且CE=DF,因此,很容易得到 D F 2=4×9=36,∴DF=6(m)即人距离广告牌6m 左右看广告牌的效果最好.【知识延伸】过一点P 作与圆有关的两条直线,点P 与圆的不同位置有两种:1.当点P 在圆内时,这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D,则PA ·PB=PC ·PD,•这就是相交弦定理,如图1.（1） (2) (3) 2.当点P 在圆外时,分两种情况:(1)这两条直线与圆都有两个交点,分别为A 、B 与C 、D,则PA ·PB=PC ·PD称作割线定理:如图2.(2)当这两条直线中一条与圆有两个交点,另一条只有一个交点(切点)M时,得切割线定理:PA·PB=PM2.相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论(割线定理),•我们统称为圆幂定理.圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图3,点P在圆内时,像所作的虚线那样,连OP,过点P作弦EF⊥OP,交圆于E、F,由于PE=PF,故PA·PB=PC·PD=PE·PF=PF2=r2-OP2,其中r为⊙O的半径.如图4,点P在圆外时,连OM、ON、OP,有PA·PB=PC·PD=•PM·PN=P M2=OP2-r2.综上所述,圆幂定理可以统一为PA·PB=│r2-OP2│.换言之,•圆幂定理可叙述为:通过不在⊙O上一定点P向⊙O任作一直线交⊙O于A、B两点,则有PA·PB=│r2-OP2│.(r2-OP2叫做点对于⊙O的幂).圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系,对于涉及相交弦,切割线的有关计算,•常可利用圆幂定理去求.例1已知,如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,割线CDF交AB于E,并且CD:DE:EF=1:2:1,AC=4.求⊙O的直径AB.解析设CD=k,则DE=2k,EF=k,CF=4k.由切割线定理,有AC2=CD·CF.∴42=k·4k,•k=2.∴CE=6,DE=4,EF=2.在Rt△ACE中,由勾股定理,有根据相交弦定理,得AE·EB=DE·EF.∴EB=4×2，EB=5。

切线长定理弦切角和圆有关的比例线段通用版

切线长定理弦切角和圆有关的比例线段一. 本周教学内容：切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。

4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。

5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。

6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

二. 重点、难点：重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。

易错点分析：1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。

2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。

另外弦切角的三个条件缺一不可。

弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。

3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。

等积式中的各线段要记牢，不要记混。

【例题分析】例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。

A FB G ED H C已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。

求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CGAF FB DH CH AE BG DE CGAB CD AD BC，同理，，即例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EGF分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。

数学教案-和圆有关的比例线段

数学教案－和圆有关的比例线段1. 简介本教案主要围绕着和圆有关的比例线段展开，通过引入相关概念并辅以例题和练习，帮助学生掌握解决与圆相关的比例线段问题的方法和技巧。

2. 目标与要求本教案的目标是使学生能够通过本节课程掌握以下能力： * 理解比例线段的定义和性质； * 掌握解决与圆有关的比例线段问题的方法； * 能够应用所学知识解决实际问题。

3. 知识点讲解3.1 比例线段在开始讲解和圆有关的比例线段之前，我们先回顾一下比例线段的概念。

比例线段是指当两个线段之间的比例关系保持不变时，这两个线段称为比例线段。

3.2 圆的性质和相关公式在学习和圆有关的比例线段之前，我们需要了解一些和圆相关的性质和公式，这些内容将会在本课程中用到。

圆的性质： * 圆是一个平面上的封闭曲线，由距离等于半径的所有点组成； * 圆上的任意两点与圆心的距离相等； * 圆的直径是通过圆心的一条直线，并且它的长度是半径的两倍； * 圆的周长公式：$C = 2\\pi r$； * 圆的面积公式：$S = \\pi r^2$。

3.3 求解和圆有关的比例线段问题的方法接下来，我们将学习如何求解和圆有关的比例线段问题。

下面是一般的解题步骤： 1. 确定问题中涉及的线段和圆的关系； 2. 根据已知条件，列出方程或比例关系； 3. 解方程或比例关系，求出所需的线段长度。

4. 例题分析4.1 例题一问题描述：在一个圆中，已知线段AB的长度为8，CD为12，且AB和CD 是比例线段。

求圆的半径。

解题步骤： 1. 将已知条件写出：AB / CD = 8 / 12 2. 根据圆的性质，得到AB = 2r和CD = 2r，其中r为圆的半径。

3. 代入已知条件，得到2r / 2r = 8 / 12，化简得到r = 6。

4. 因此，圆的半径为6。

4.2 例题二问题描述：已知在一个圆中，线段EF的长度为10，EF与圆的切点距离圆心的距离为6。

求圆的半径。

和圆有关的比例线段(二)

和圆有关的比例线段(二)引言在前一篇文档中，我们介绍了圆和比例线段的基本概念，并给出了一些例题来帮助读者更好地理解这些概念。

本文将继续探讨和圆有关的比例线段，介绍一些相关的性质和定理，并提供一些例题帮助读者加深理解。

一、增量法在前一篇文档中，我们提到了圆内的比例线段的特性，即相交于同一弦上的两个比例线段相等。

接下来，我们将介绍一个很有用的方法，即增量法，用于计算比例线段的长度。

当我们已知两个比例线段中的一个，以及一个边上的长度，如何求另一个比例线段的长度呢？这就是增量法的应用。

我们假设已知比例线段AB和AC，即AB:AC，以及边AB的长度a，边AC的长度b。

下面介绍求比例线段BC的长度的步骤：1.根据相似三角形的性质，我们可以得到a:AB = b:AC。

2.根据等式a:AB = b:AC，我们可以得到a * AC = b * AB。

3.我们将上式进行展开，得到a * (AB + BC) = b * AB。

4.将上述等式变形，得到BC = (b * AB - a * AC) / a。

通过上述步骤，我们可以通过已知的比例线段和边长来求得另一个比例线段的长度。

二、圆与切线圆与切线是圆的一个重要性质，也与比例线段有关。

在圆上任意取一点P，并且作P点的切线，切线与半径的交点分别为A和B。

则有以下性质成立：1.在圆上任取一点P，连接P与圆心O，并做切线PA、PB。

2.连接AO、OB。

3.则有AO ⊥ PA、OB ⊥ PB。

4.根据直角三角形的性质，我们可以得到AO:PA = OB:PB，即AO:AO + PA = OB:OB + PB。

由上述性质可知，AO:PA = OB:PB，即AO与PA的比例等于OB与PB的比例。

三、圆的外切线除了切线以外，圆还有另外一种线与圆相关，它被称为圆的外切线。

圆的外切线有以下几个重要性质：1.圆的外切线与切线相比，多了一个交点，即切点。

2.外切线上的两个切点分别在圆的两条半径上。

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和圆有关的比例线段
【同步达纲练习】(时间：45分钟，满分：100分)
一、填空题(8分×5=40分)
(1)⊙O 内弦CD 垂直于直径AB ，E 为垂足，且AE=4cm ，BE=9cm ，CD=_4 _.
(2)圆内两相交弦，一弦长3cm 被交点平分，另一弦被交点分成1：4，则此弦长为______.
(3)已知圆的切线PT 的长是6cm ，割线PAB 的长是9cm ，则弦AB 的长是______.
(4)在直径为2的圆外有一点P 到圆的最近点的距离为3，则过这点的切线长是______.
(5)⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，已知：PA=6cm,AB=731
cm,PO=12cm,则⊙O 的半径
为______.
二、选择题(8分×5=40分)
(1)圆的两弦相交，一弦被分为12cm 和8cm 两段，另一弦被分为3：8，则另一弦长是( )
A ．11cm B.9 cm C.22cm D.33cm
(2)圆内接正方形ABCD 的边长为2,弦AK 平分边BC,则AK 的长为( ) A.556 B.554 C.5 D.221
(3)从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,则从这一点到圆的最短距离是
( ) A.93 B.93-9 C.95-9 D.9
(4)已知⊙O 外一定点P,P 与O 的距离为4cm,从P 点向圆作切线,切线长与圆的半径之差
为2cm,则圆的半径为( ) A.(1+7)cm B.(7-1)cm 或(1+7)cm C.(7-1)cm 或(1+7)cm D.(7-1)cm
(5)已知PA 是圆的切线,A 为切点,PBC 是圆的割线,与圆相交于B 、C 两点,若PB=3,BC=6,
则PA 的长为( )
A.6
B.23
C.33
D.32
三、解答题：(10分×2=20分)
(1)如图7-120，BC是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，B是切点，AB=BC，AC交⊙O于
D，E在CB的延长线上，BE=BC，DE交⊙O于F，求证AF⊥DE.
(2)如图7-121,M为弦AB的中点,C为圆上任意一点,切线AD交CB的延长线于D,连DM
并延长交AC于E,求证AD2:BD2=CE:AE.
【素质优化训练】
1.如图7-122,AB是⊙O的直径,CD⊥AB于D,CT切⊙O于T,求证:BE2+CT2=BC
2.
2.如图7-123,已知CB、CD切⊙O于B、D点,过B作直径交⊙O于E交CD的延长线于
A,若AD=m·AE,且tg 2C =31
,求m 的值.
参考答案
【同步达纲练习】
一、(1)12cm (2)415
cm (3)5cm (4)15 (5)8cm
二、C B C C C
三、(1)连AE ，△AEC 为Rt△, AE 2=EB·EC=EF·ED，∴AF⊥DE
(2)过B 作BF∥DE 交AC 于F ，则：AD 2：BD 2=CD ：BD=CE ：EF=CE ：AE
【素质优化训练】
1．连AE 、AF ，则∠AEB=90°，△ABE ∽△EBD，∴BE 2=AB·BD，又△AFB∽△CDB，∴AB·DB=BC·BF，
∴BE 2=BC·BF，又CT 2=CF·BC，∴BE 2+TC 2=BC·BF+BC·CF=BC 2
2．连OD 、OC 则：∠BCO=∠DCO=21∠C，∵tg 2C = 31,BC OB = 31,再证△ADO∽△ACB，∴ AB AD BC OD =，又∵OD=OB，∴31=AB AD ，∴AB=3AD，由切割线定理知：AD 2=AE· AB=AE· 3AD， ∴AD=3AE，∴m=3。