初中数学九年级《和圆有关的比例线段》
九年级数学与圆有关的比例线段例题解析(2021年整理)
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初三数学同步辅导教材(第16讲）一、教学内容本周主要学习7.12 解决和圆有关的比例线段．二、重点、难点剖析则PBPA ＝PAPC ，即PD＝PB,PA ＝PC （切线长定理）．弄清定理间的相互关系，对于理解、掌握并应用它们解决问题是十分有益，在学习和研究＝ ；＝ ;PC ＝ ；＝41PD ＝ ．＝PCPB PA ⋅＝567⨯＝43（舍去负值）说明(1)为了解题时避免失误,应画个草图，对照条件中的线段，正确使用定理;（2)由于相交弦定理的表达形式是等式，因此解这类题时常设未知数,以建立方程进 行求解;(3）注意区分所求的结论是弦长还是弦的一部分的长．例２ 如图，已知:PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点,割线PDB 交⊙O 于点D 、B .求证:AB△ADAB ＝CD。
因此，可以用“做做比比"的方法证得结论．AD＝PD。
CD＝PD。
PD ＝PD ．AD＝CD（比比后得出结论2（2) 连结AB 、CM .∵ PA ＝21PC ，PN ＝21PC , ∴ ∠PAN ＝∠PNA 。
又 ∵ ∠MNB ＝180o－∠PNA ，∠ABM ＝180o－∠ACM ＝180o－∠PAN ， ∴ ∠MNB ＝∠ABM . 则 △ABM ∽△BNM ∴BMAM ＝NMBM ，即 MB 2＝MN AM .例５ A 、B 是⊙O 上的两点，过点B 作⊙O 的切线BT ，D 是AB 上的一点，且∠DAB ＝∠OAB ，AB 的延长线交BT 于点C ，BC ＝4cm ，CD ＝2cm ．求AB 的长．证法１ 连结OB ，则OB ⊥CT 。
九年级数学与圆有关的比例线段(1)
D
AP
B
C
1、已知，如图，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10cm，
提 PA=4cm，OP=5cm。求⊙O的半径。 高 练 2、如图⊙O的半径为5cm，OP=8cm，若PC：CD=1：2， 习
求PC的长。
若PC是⊙O的切线呢？
A C
P
E
B
D
巩 固
1.如图：若⊙o的直径AB⊥CD于P，AP=CD=4cm.求 OP的长
练 2. 已知：Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为
习 3cm,4cm 以AC为直径作圆与斜边AB交于点D 。求BD的长.
D
A
.P
O
B
第1题 C
B
A D
.O
C
第2题
3、如图，弦AB和CD交于⊙O内一点P，AP=2cm， PB=6cm
C
.O
A
O.
B
p
p
B
E
A
C
D
D
第1题
第2题
O
P
C
已知：如图，AB为⊙O直径，PA切⊙O于A，PCB为⊙O的割线， OM⊥BC，AM交BC于N。
求证：PN2 = PC·PB
A
P
证明：
PA切⊙O于A
O
C ND
B
M PA⊥OA ∠ PAN＋∠OAM= 90°
OM⊥BC ∠OMA＋∠MND= 90° ∠ANP=∠DNM
和圆有关的比例线段
（复习课）
授课教师： 陈明锋 桥亭乡桥亭中学
2005年12月12日
和圆有关的 比例线段
内容 应用
市北资优九年级分册 第27章 27.7 与圆有关的比例线段+薛琼
27.7与圆有关的比例线段前面，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，他们之间又有什么关系呢？实际上，它们之间存在着数量关系．如图27.7.1，从⊙O 内一点P 引圆的两条弦AB ,CD ，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P 点分成两条线段，只要联结AD ,BC ，我们马上发现这四条线段在两个△P AD 和△PBC 中，容易证得，△P AD ∽△PBC ，于是得到了PB PD PC PA =，转化成乘积式后为PD CP PB AP ⋅=⋅，便得到相交两条弦的重要性质．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．当圆的两条相交的弦在特殊位置时，如图27.7.2，AB 是直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点P ，则CP =PD =21CD ,这时2CP PB AP =⋅．也就是说，如果弦和直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所得两条线段的比例中项．再来讨论两条割线相交于圆外一点时的有关比例线段．如图27.7.3，⊙O 的两条割线P AB 、PCD 交于圆外一点P ，得弦AB 、CD 以及有关线段P A 、PB 、PC 、PD ．由相交弦定理，能否也有PD CP PB AP ⋅=⋅．类似于相交弦定理的推导，可得同样结论．如图27.7.4，分别联结AD 与BC ，∵∠ADC 与∠ABC 所对的弧是AC ，∴∠ADC =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AD ∽△PCB ．∴PBPD PC PA =．∴PD PC PB PA ⋅=⋅． 于是，得到如下定理：割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等． 如果两条割线中的一条变为切线呢？又能得到什么结论？如图27.7.5，过⊙O 外一点P 引圆的一条割线P AB 和切线PC ，得弦AB 以及有关线段P A 、PB 、PC ．它们有怎样的关系呢？如图27.7.6，分别联结AC 与BC ．∵∠ACP 与∠ABC 所对的弧是AC ，PC 切⊙O 于点C ，∴∠ACP =∠ABC ．又∵∠P =∠P ，∴△P AC ∽△PCB ∴PB PC PC PA =． ∴PB PA PC ⋅=2．于是得到以下定理：切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项． 例1 AB 为⊙0直径，点C 在⊙O 上，过点C 引直径AB 的垂线，垂足为D ，点D 分这条直径为2：3的两部分，如果⊙O 的半径等于5，求BC 的长．解 如图27.7.7，延长CD 交⊙O 于点E ，设AD =2x ，则BD =3x （或AD =3x ，BD =2x ）．∵r =5，∴AB =10．∴2x +3x =10．即x =2．∴AD =4（或AD =6）．当AD =4时，BD =6；当AD =6时，BD =4．由相交弦定理，得BD AD ED CD ⋅=⋅．∵直径AB ⊥CE ．∴CD =ED ．∴BD AD CD ⋅=2．∴6264=⨯=CD ．当BD =6时，BC =1523624=+；当BD =4时，BC =1021624=+．例 2 已知：如图27.7.8，AE ⊥BC 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，AE 、BD 相交于点F ，求证：BD BF AE AF AB ⋅+⋅=2．证明 作△BEF 的外接圆，设圆心为0，交AB 于M ．联结FM ，由切割线定理，得AB AM AE AF ⋅=⋅． ∵∠BEF =90°，∴BF 是⊙0的直径．∴∠BMF =∠BDA ．∵∠FBM =∠ABD ．∴△BMF ∽△BDA ． ∴BD BM AB BF =, 即BM AB BD BF ⋅=⋅． ∴2AB BM AB AB AM BD BF AE AF =⋅+⋅=⋅+⋅例3 已知：如图27.7.9，P 是平行四边形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DP 与AC 、BC 分别交于点E 、F ，EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，G 为切点．求证：EG =DE ．证明 ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△CEF ．∴DE :EF =AE :EC ． ①又∵AP ∥DC ，∴△AEP ∽△CED ．∴AE :EC =EP :DE ． ②由①、②得，DE :EF =EP :DE ；即EP EF DE ⋅=2．而EG 是过B 、F 、P 三点的圆的切线，EFP 为此圆的割线∴EP EF EG ⋅=2．∴22EG DE =．∴DE =EG练习27．7（1）1．如图，⊙0的直径AB =10，P 是OA 上一点，弦MN 过点P ，且AP =2，MP =22，求弦心距OQ ．2．已知：如图，AB 是⊙0的直径，P 是⊙0外一点，PD ⊥AB 于D ，交⊙0于E ，P A 交⊙0于C ，BC 交PD 于F ．求证：DP DF DE ⋅=2．3．已知：如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，弦AQ 交CD 于点P ．如果AB =10．CD =8，求：（1）DE 的长；（2）AE 的长；（3）AQ AP ⋅的值．4．如图，A 、B 、C 、D 在同一圆上，BC =CD ，AC 、BD 交于E ．若AC =8，CD =4，且线段BE 、ED 为正整数，求BD 的长．5．如图，P AB 为过圆心O 的割线，且P A =OA =4，PCD 为⊙0的另一条割线，且PC =DC ．求：（1）PC 的长；（2）S △P AC :S △PDB ．6．已知：△ABC 是⊙0的内接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙0于E ．求证：DC BD AD AC AB ⋅+=⋅2过一点P 做与圆有关的两条直线，点P 与圆的不同位置有两种：当点P 在圆内时，这两条直线分别交圆于A 、B 和C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅，这就是相交弦定理，如图27.7.10（1）．当点P 在圆外时，分两种情况：（1）这两条直线与圆都有两个交点，分别为A 、B 与C 、D ，则PD PC PB PA ⋅=⋅称作割线定理，如图27.7.10（2）（2）当这两条直线中一条与圆有两个交点，另一条只有一个交点（切点）M 时，得到割线定理：2PM PB PA =⋅相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论（割线定理），我们统称为圆幂定理．圆幂定理在形式上也可以进一步统一．如图27．7．10（3），点P 在圆内时，像所做的虚线那样，联结OP ，过点P 作弦EF ⊥OP ，交圆于E 、F ，由于PE =PF ，故222-OP r PF PF PE PD PC PB PA ==⋅=⋅=⋅，其中r 为⊙0的半径．如图27．7．10（4），点P 在圆外时，联结OM 、ON 、OP ，有222r OP PM PN PM PD PC PB PA -==⋅=⋅=⋅．综上所述，圆幂定理可以统一为|-|22OP r PB PA =⋅．换言之，圆幂定理可叙述为：通过不在⊙0上一定点P 向⊙0任作一直线交⊙0于A 、B 两点，则有|-|22OP r PB PA =⋅（22-OP r 叫做点P 对于⊙0的幂）．圆幂定理揭示了园中线段的比例关系，对于涉及相交弦，切割线的有关计算，常可利用圆幂定理去求．例1 如图27.7.11，AB 是⊙0的直径，AC 是⊙0的切线，A 为切点，割线CDF 交AB 于E ，并且CD :DE :EF =1:2:1，AC =4，求⊙0的直径AB ．解 设CD =k ，则DE =2k ，EF =k ，CF =4k ，由切割线定理，有CF CD AC ⋅=2． ∴k k 442⋅=，k =2．∴CE =6，DE =4，EF =2．在Rt △ACE 中，由勾股定理， 有52462222=-=-=AC CE AE ．根据相交弦定理，得EF DE EB AE ⋅=⋅．∴2452⨯=⋅EB ，554=EB ．。
初三数学圆中比例线段知识精讲
初三数学圆中比例线段【本讲主要内容】圆中比例线段包括圆中相似三角形，得出成比例线段。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。
3. 过切点的半径垂直于切线。
4. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：如图，AB 是圆O 直径，C 是圆O 上一点，CD ⊥AB 于D 。
求证：（1）AB AD AC 2⋅=； （2）BD BC 2=（3）AD CD 2=分析：由AB 图形”欲证AD AC 2=CD AB BD BC 2⋅=，证明：（1）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90°又CD ⊥AB∴∠ADC ＝90° ∴∠ACB ＝∠ADC ∵∠CAD ＝∠CAB ∴△ABC ∽△ACDADACAC AB =∴AB AD AC AC ⋅=⋅∴即AB AD AC 2⋅= （2）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90° 又CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90° ∴∠ACB ＝∠CDB 又∠CBD ＝∠CBA ∴△ABC ∽△CBDAB BD BC BC BDBCBC AB ⋅=⋅∴=∴即AB BD BC 2⋅= （3）∵AB 是圆O 直径 ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB∴∠ADC ＝∠CDB ＝90° ∠ACD ＝∠CBD ∴△ACD ∽△CBDCDADBD CD =∴DB AD CD CD ⋅=⋅∴ 即DB AD CD 2⋅=评析：当题目中给出等积式时，通常的办法先改写成比例式，再找出它们所在的两个三角形，通过证它们相似加以解决。
九年级数学奥数知识点专题精讲---和圆有关的比例线段
知识点、重点、难点在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。
1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。
推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。
3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。
圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。
例题精讲例1：如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线，交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切，且PA = 6，PC =2，PD =12时，求AD 的长。
解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ，所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ，所以∠D =∠E .又∠2=∠3，所以△APD ∽△CPE ，所以PA PDPC PE=， 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6，PC =2，PD =12，得6×PE =2×12，得PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ，所以4PB =6×2，得PB =3.所以BD = PD －PB =9，DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ，所以DA 2= DB ·DE ，即AD 2=9×16，得AD ＝12.例2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于E ，延长AD 、BC 交于F ，EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于K ，求证：EK ⊥FK ．证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆，所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2=EC ·ED =EH ·EF ，FN 2= FC ·FB=FH ·FE ，所以EM 2＋FN 2=(EH ＋FH )·EF =EF 2．又因为EM=EK ，FN=FK ，所以EK 2＋FK 2=EF 2．故△EKF 为直角三角形，且∠EKF =90°，即EK ⊥FK .例3：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点，在公共弦QP 延长线上取一点M ，过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：.AD BD DMAC CB CM=证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ=MC ·MD ，所以A 、B 、D 、C 四点共圆，可得∠ADB =∠ACB .又11sin ,sin 22ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=∠=∠，所以.ADB ACB S AD BDS AC BC∆∆=过C 作CG ⊥MB ，垂足为G ，过D 作DH ⊥MB ，垂足为H .所以CG ∥DH ，得△MGC ∽△MHD ，得.A D B A C B S DH DMS CG CM∆∆==所以AD BD AC BC =.DMCM例4：如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的弦AD 交小圆于B 、C ，大 圆的弦AF 切小圆于E ，经过B 、E 的直线交大圆于M 、N，求证：(1) AE 2= BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ，且AE = EC ，求∠AFC 的度数。
数学培优之圆(九年级)-第5讲-圆中比例线段
数学培优之圆（九年级）-第5讲-圆中比例线段知识点归纳角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB、CD交于点P，则PAPBPCPD。
2、切割线定理如图②，若从圆外一点P引圆的切线TP，和割线PAB，则PTPAPB。
3、割线定理如图③，若从圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，则PAPBPCPD。
ATCDOPBPAOBCPAOB2D例题精讲【例1】如图，已知AB是o的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，若DE3CE，AC85,D点为EF的中点，则AB_______.4(全国初中数学联赛题)思路点拨设法求出AE，BE的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。
【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB4,BE5,则DE的长为（）。
A.3B.4C.1516D.45（全国初中数学联赛题）思路点拨连AC、CE,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。
【例3】如图，已知o是ABC的外接圆，BC是o的直径，D是劣弧AC 的中点，BD交AC于点E。
（1）求证：ADDEDB;2（2）若BC55,CD,求DE的长。
22（泸州市中考题）思路点拨对于（1），只需证明ADE∽BDA。
图，已知AC为o的直径且PAAC，BC是o的【例4】如一条弦，直线PB交直线AC于点D，DBDC2.DPDO3（1）求证：直线PB是o的切线；（2）求coBCA的值。
（呼和浩特市中考题）思路点拨对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2）将问题转化求线段的比值。
【例5】如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。
与圆有关的比例线段 课件
1．如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， 连接OP交AB于C，连接OA，OB，则图中等腰三角形、直 角三角形的个数分别为( )
A．1,2
B．2,2
C．2,6
D．1,6
【答案】C
2．如图所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线 交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长 线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平 分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④ AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是( )
【解析】连接 OC，则 OC⊥DE.
又 AD⊥DE，∴AD∥OC．∴OADC＝OAEE.
由切割线定理可得 CE2＝BE·AE， ∴(2 3)2＝BE·(BE＋4)． 解得 BE＝2，∴OE＝4，AE＝6. ∴AD＝OCO·EAE＝2×4 6＝3.
四条定理统称为圆幂定理，它们之间的相互联系如下： 相交弦定理―弦―交―点―P―拉―到―圆―外→割线定理 割―线―P―AB―绕―P―转―到―相→切切割线定理 割线―P―C―D―再―绕―P―转―到→相切切线长定理．
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②④
【答案】D
3．如图所示，PA 切⊙O 于 A，PBC 是⊙O 的割线，PB＝
BC，PA＝3 2，那么 BC 的长为( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．3 3
【答案】C
证明
【例1】 如图所示，AB是⊙O的直径，过A，
B引两条弦AD和BE，相交于C．
求证：AC·AD＋BC·BE＝AB2. 【解题探究】 无法在已知圆中利用相关定
理解决问题，可考虑作辅助线构造新圆．
【证明】如图所示，连接AE，BD， 过C作CF⊥AB，与AB交于F. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°. ∵∠AFC＝90°，∴A，F，C，E四点共圆． ∴BC·BE＝BF·BA．① 同理可证F，B，D，C四点共圆． ∴AC·AD＝AF·AB．② ①＋②得AC·AD＋BC·BE＝AB·(AF＋BF)＝AB2.
初中数学与圆有关的比例线段
初中数学与圆有关的比例线段
与圆有关的比例线段
《宫长路》
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．
——相交弦、切割线、切线长定理
五与圆有关的比例线段
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题. 探究1:如图1,AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB,AB 与CD 相交于P,线段PA、PB、PC、PD 之间有什幺关系？
证明:连接AD、BC.
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.
∴Rt△APD∽Rt△CPB.
探究2:将图１中的AB 向上（或向下）平移,使AB 不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？
证明:连接AD、BC.
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.
∴Rt△APD∽Rt△CPB.。
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过P引圆的两条弦C
A 弦和直径垂直时 A
• P
•P
C •P •O D
点在圆内
B
D
PA•PB=PC•PD
B PA²=PB²=PC•PD
定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项。
思考：若点P在圆外时，过P引圆的两条直线，则有又会有什 么情况发生？
2、相交弦定理，切割线定理及其推论，经常用于证线段的比 例式或等积式，证明线段相等，角相等，且直线平行或垂直等。
作业：
1、课本P119，习题7、4 A组5、7
课余探索：
在小结中把相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理 ）、切线长定理的结论统一为：过一点P（无论点P在圆内，还 是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重 合的“交点”）于点A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与
圆的交点的两条线段长的积相等。（常称之为“割线定理”）
例1、已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB
=8cm,PO=10.9cm，求⊙O的半径。
解：设⊙O的半径为r，PO和它的延
长线交⊙O于C、D。根据切割线定
下面，试探索PA•PB（ PC•PD ）的值等于什么？ （1）若⊙O的弦AB、CD相交于点P，试证明PA•PB=PC•PD = r²–OP².(提示：作过点P的直径） （2）若PA是⊙O的切线，PCD是⊙O的割线，试证明PA²= PC
•PD=OP²–r² （3）若PAB、PCD是⊙O的割线，试证明 PA•PB=PC•PD = OP² –r²（提示：作直线PO）
PP—AC
=
—PPAD，
证明：连结AC、AD。
∠PAC=∠D ∠APC=∠DPA
PP—AC = PP—AD
ΔPAD∽ ΔPCA PA²=PC•PD
思考：当从P点向圆引两条割线时， 则PA•PB=PC•PD是否成立？
（分析：可从P点向圆引一条切线PT， 则有PA•PB，PC•PD都等于PT²）
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是
•P 点P在圆外
A •P
B A
•P C
A •P
C
切线长定理 PA=PB
切线与割线
？
PA²=PC•PD D B
割线与割线
？
PA•PB=PC•PD D
A
•P
•O
C
D
切线与割线
T B
A •P
C D
割线与割线
已知：PA切圆O于点A，PCD是割线，C、
D是它与圆O的交点。
求证：PA²=PC•PD
分析：要证PA²=PC•PD，需证 则必先证ΔPAD ∽ ΔPCA。
当A沿数轴移动4个单位到点B时，点B
所表示的实数是( )
A2B -6ຫໍສະໝຸດ C -6或2 D 以上都不对
直接分类法
练习1、商场促销活动中，将标价为 200元的商品，在打8折的基础上，再 打8折销售，现该商品的售价是( ) A 160元 B 128元 C 120元 D 88元
直接计算
2
练8习2、下列与 2 是同类二次根式 的是( 10)
B
AC=BD，AE、BF分别切⊙O于
Γ FC
E、F。求证：AE=BF。
•O
AC
D
B
E
小结：
1、我们已经学习了下列有关的定理和推论：
相交弦定理 CA
•P
BD PA•PB=PC•PD
割线定理
切割线定理
PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD
切线长定理 （B）
（D） PA=PC
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两 条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点 A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。
下面举例再回顾一下解数学选择题的几种常用方 法，供大家复习时参考，希望对同学们有所启发和帮 助。
一、直接法：
直接根据选择题的题设，通过计算、推理、判断得出正确选项
例1、抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是（ A、（-2，1） B、（-2，-1） C、（2，1） D、（2，-1）
）。
类比：点A为数轴上表示-2的动点，
的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ D ）
A
（A）PC•CA=PB•BD （B）CE•AE=BE•ED
C
•P
E •O
（C）CE•CD=BE•BA （D）PB•PD=PC•PA 2、已知：Rt△ABC的两条直角边
B AD
AC、BC的长分别为3cm、4cm。 以AC为直径作圆与斜边AB交于
D •O
点D。求BD的长。 3、如图，线段AB和⊙O交于C、D，
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4
C -2
D2
直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
C2 D3
直接代入法
选项代入
在模拟考试中，有学生大题做得 好，却在选择题上失误丢分，主 要原因有二:
1、复习不够全面，存在知识死角，或者部分
知识点不够清楚导致随便应付；
2、解题没有注意训练解题技巧 ，导致耽误宝
贵的时间。
选择题考查的内容覆盖了初中阶段所学的重要 知识点，要求学生通过计算、推理、综合分析进行判 断，从“相似”的结论中排除错误选项的干扰，找到 正确的选项。部分学生碰到选择题提笔就计算，答题 思维比较“死”，往往耗时过多，如果一个选择题是 "超时"答对的,那么就意味着你已隐性丢分了,因为占 用了解答别的题目的时间.因此，除了具备扎实的基 本功外，巧妙的解题技巧也是必不可少的。
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
B
理的推论，有
A
PA•PB=PC•PD
•P C
•O D ∵PB=PA+AB=14，
PC=10.9–r,
PD=10.9+r, ∴(10.9–r)(10.9+r)=6×14. 取正数解，得 r=5.9(cm). ∴ ⊙O的半径为5.9cm.
练习
1、选择题：如图， ⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB