人教版中考数学知识点分类 知识点29 等腰三角形与等边三角形(2)

一、选择题
1. （2019宁夏，5，3分） 如图，在△ABC 中，AC BC =，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD AE =．连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若40C ∠=︒，则GAD ∠的度数为（ ）．
A ．40︒
B ．45︒
C ．55︒
D ．70︒
【答案】C
【解析】因为AC BC =，所以(180)270BAC C ∠=︒-∠÷=︒，因为(180)270BAC C ∠=︒-∠÷=︒，所以(180)255ADC BAD ∠=︒-∠÷=︒，因为//GH DE ，所以55GAD ADC ∠=∠=︒，故本题正确选项为C ．
【知识点】平行线的性质、等腰三角形的性质．
二、填空题
1. （2019贵州省毕节市，题号17，分值5分）如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为 ．
【答案】34°．
【解析】解：∵∠B ＝40°，∠C ＝36°，
∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104°
∵AB ＝BD
∴∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°，
∴∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝34°.
【知识点】等腰三角形的性质．
2. （2019贵州黔西南州，13，3分）如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为 ．
【答案】34°
【解析】解：∵∠B ＝40°，∠C ＝36°，
∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104°
∵AB ＝BD
∴∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝34°
故答案为：34°．
【知识点】等腰三角形的性质
3. (2019黑龙江绥化,17题,5分)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝______度.
第17题图
【答案】16
【解析】∵BD＝AD,设∠A＝∠ABD＝x,∴∠BDC＝2x,∵BD＝BC,∴∠C＝∠BDC＝2x,∵AB＝AC,∴∠ABC＝∠C＝2x,∴x+2x+2x＝180°,∴x＝36°.
【知识点】三角形内角和,外角,等边对等角
4.（2019黑龙江哈尔滨，20，8分）如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,∠A=60°,点E为AD边上一点,连接BD、CE,CE与BD交于点F,且CE∥AB,若AB=8,CE=6,则BC的长为_______________．
【答案】
【解析】解：如图，连接AC交BD于点O
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，
BO＝OD＝4
∵CE∥AB
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°
∴∠DAO＝∠ACE＝30°
∴AE＝CE＝6
∴DE＝AD﹣AE＝2
∵∠CED＝∠ADB＝60°
∴△EDF是等边三角形
∴DE＝EF＝DF＝2
∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2
∴OC
∴BC＝
【知识点】等边三角形的性质和判定; 勾股定理
三、解答题
1.（2019黑龙江哈尔滨，22，7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上；(1)在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC,点B在小正方形顶点上；(2)在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD,点D在小正方形的顶点上,且△ACD的面积为8。

【思路分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【解题过程】解：（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点B；
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【知识点】尺规作图;等腰三角形的性质
2.（2019湖北孝感，18，8分）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
【思路分析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解题过程】解：证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AE＝BE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
21.3.（2019吉林省，24，8分）
性质探究
如图①，在等腰三角形ABC中，∠ACB=120°，则底边AB与腰AC的长度之比为
理解运用
（1）若顶点为120°的等腰三角形的周长为
3
4
8 ，则它的面积为；
（2）如图②，在四边形EFGH中，EF=EG=EH
①求证：∠EFG+∠EHG=∠FGH;
②在边FG,GH上分别取中点M,N，连接MN，若∠FGH=120°，EF=10,直接写出线段MN的长. 类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为（用含α的式子表示）
【思路分析】性质探究
如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则AB=2AE,∵∠ACB=120°，∴∠ACD=60°，Rt △ACD 中，AD:AC=2
3:1，∴AB;AC=13：
理解运用
（1）根据性质探究可知底边AB 与腰AC 的长度之比为13：，已知周长为348+，所以可以求出AB 的长，进而求出CD 的长，利用三角形的面积公式可以求出等腰三角形的面积
（2）①根据等边对等角，∵EF=EG ，∴∠EFG=∠EGF,∵EG=EH,∴∠EGH=∠EHG ，
∴可证∠EFG+∠EHG=∠FGH;
②如图，连接FH
∵∠EFG=∠EGF ，∠EGH=∠EHG ，又∵∠FGH=120°∴∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，∵四边形EFGH 内角和
360°，∴∠FEH=120°,由性质探索可知底边AB 与腰AC 的长度之比为13：
，∴FH=310，△FHG 中，MN 为中位线，∴MN=353102
1=⨯ 类比拓展
如图,等腰三角形ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
∠ACB=2α,则∠ACD=α，AB=2AD,Rt △ACD 中，AD:AC=sinα,∴AB:AC=2sinα:1
【解题过程】
性质探究
如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
则AB=2AE,
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=60°，
Rt △ACD 中， AD:AC=23
:1，
∴AB;AC=13：
理解运用
（1）根据性质探究可知,底边AB 与腰AC 的长度之比为13：
， 设AC=x ，则AB=x 3 ∵周长为348+，
∴AB=4，AB=34
∴CD=2， ∴三角形的面积为34
（2）①∵EF=EG ，
∴∠EFG=∠EGF,
∵EG=EH,
∴∠EGH=∠EHG ，
∴∠EFG+∠EHG=∠FGH;
②如图，连接FH
∵∠EFG=∠EGF ，∠EGH=∠EHG ，
又∵∠FGH=120°
∴∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，
∵四边形EFGH 内角和360°，
∴∠FEH=120°,
由性质探索可知底边AB 与腰AC 的长度之比为13：
， ∴FH=310，
△FHG 中，MN 为中位线，
∴MN=3531021=⨯
类比拓展
如图,等腰三角形ABC 中，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，
∠ACB=2α,
则∠ACD=α，AB=2AD,
Rt△ACD中，AD:AC=sinα,
∴AB:AC=2sinα:1
【知识点】等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形中位线定理。