专题26平面向量的数量积及应用(检测) 2019年高考数学(文)名师一轮总复习Word版含解析
专题27平面向量的应用(检测)-2019年高考数学)名师揭秘之一轮总复习
(3)把运算结果“翻译”成几何关系 .
2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问
题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三
点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科） 专题 27 平面向量的应用
本专题特别注意：
1.平面向量的几何意义应用
2. 平面向量与三角形的心
3. 向量垂直的应用
4.向量的数量积问题等综合问题
5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题
6.向量数量积在解析几何中应用 7.向量数量积在三角形中的应用。 【学习目标】
a·b＝ 0，尽量用坐标运算 .
【高考模拟】：
一、单选题
1．在直角梯形 （）
中，
，同一平面内的两个动点
满足
，则
的取值范围为
A.
B.
【答案】 B
C.
D.
【解析】分析：由题意
，得点 是以点 为圆心，半径为 1 的圆上的一个动点，点
中点 ，连接
，利用三点共线时取得最值，即可求解 .
是 的中点，取 的
当点 在 之间时，
若 Pn A 1 xn 1 Pn B 2
2xn 1 PnC 0 ，则 x4的值为 ( )
A. 15 B. 17 C. 29 D. 31
【答案】 A
【解析】
由 Pn A
1 xn 1 Pn B
2
2xn 1 PnC 0 得 PnA
设 Pn D 2xn 1 PnC
要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料：专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用(教学案)(解析版)
专题26 平面向量的数量积及平面向量的应用（教学案）2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会实行平面向量数量积的运算．3.能使用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b 的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．4．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)求夹角问题，利用夹角公式 cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22(θ为a 与b 的夹角)． 5．向量在三角函数中的应用与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、向量夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．高频考点一 平面向量数量积的运算例1、(1)(2019·四川)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B.15 C ．9 D ．6(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．答案 (1)C (2)1 1解析 (1)AM →＝AB →＋34AD →， NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →， ∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9， 故选C.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1. 因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大即为DC ＝1， ∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.【感悟提升】(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →＝________.(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 (1)22 (2)2解析 (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)由题意知：AE →·BD →＝(AD →＋DE →)·(AD →－AB →) ＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－12AB →2＝4－0－2＝2. 高频考点二 用数量积求向量的模、夹角例2、(1)已知向量a ，b 均为单位向量，它们的夹角为π3，则|a ＋b |等于( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________．答案 (1)C (2)7＋1【变式探究】(1)(2019·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．答案 (1)A (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0，∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0，∴cos θ＝22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92. 当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，能够求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【举一反三】(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6D ．6答案 (1)223 (2)C(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， 即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2 ≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6， ∴|BC →|min ＝ 6.高频考点三 平面向量与三角函数例3、(2019·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，使用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．【变式探究】已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45 C.45 D.34答案 A解析 由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，因为α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A. 高频考点四 向量在平面几何中的应用例4、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心答案 C解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系．【变式探究】(1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)平面四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．梯形 C ．正方形 D ．菱形答案 (1)12 (2)D解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →， 又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →) ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2 ＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2 ＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)AB →＋CD →＝0⇒AB →＝－CD →＝DC →⇒平面四边形ABCD 是平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0⇒DB →⊥AC →，所以平行四边形ABCD 是菱形．高频考点五、 向量在解析几何中的应用例5、(1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx ＝______.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；(2)工具作用，利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题．【变式探究】已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是( )A ．5B ．6C ．10D ．12答案 B解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1，∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23， sin ∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos ∠EHF ＝cos2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12， HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|cos ∠EHF ＝23×23×12＝6，故选B.高频考点六 向量的综合应用例6、(1)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是( )A ．1 B.13 C.14D.18(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．答案 (1)D (2)3(2)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3.【感悟提升】利用向量的载体作用，能够将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算实行转化，使问题的条件结论明晰化．【变式探究】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 D1.【2019高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--（）（）2211114FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--=（）（）所以22513,FD BC ==，2222114167ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--=（）（）【2019高考山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠= ,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a 【答案】D 【解析】因为()BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅()22223cos 602BA BC BA a a a +⋅=+=故选D.【2019高考陕西，理7】对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤ B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【2019高考四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】311,443AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+，所以 221111(43)(43)(169)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD =+-=-=⨯-⨯=，选C.【2019高考安徽，理8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论准确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】如图，由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-=，则||2b =，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a =，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=-，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，而22(2)4AD a a b a b =++=+，所以()4C a b +⊥B ，故选D.【2019高考福建，理9】已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ）A ．13B ． 15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t-=（，-4)，1PC -=（，t-4)，所以PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t=-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【2019高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.BAD C EF1．（2019·北京卷）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．【答案】 5【解析】∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ，∴|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5. 2．（2019·湖北卷）设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． 【答案】±3【解析】因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.3．（2019·江西卷）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．【答案】2 234．（2019·全国卷）若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22 【答案】B【解析】因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )＝0，即2＋＝因为(＋b )⊥b ，所以(＋b )＝0，即b ＋2＝0，与2＋＝0联立，可得－2＝0，所以＝2＝ 2.5．（2019·新课标全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 【答案】A【解析】由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1. 6．（2019·山东卷）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______． 【答案】16【解析】因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16 .7．（2019·天津卷）已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 【答案】C8．(2019年高考湖北卷)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322 D ．－3152解析：AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB →|AB →·CD →|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.答案：A9．(2019年高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1] B.[]2－1，2＋2 C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]解析：由a ，b 为单位向量且a ·b ＝0，可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，又设c ＝(x ，y )，代入|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，又|c |＝ x 2＋y 2，故由几何性质得12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，即2－1≤|c |≤2＋1.答案：A10．(2019年高考辽宁卷)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值． 解析：(1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈[0，π2]时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.11．(2019年高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝ (3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质，知当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12. 所以，f (x )在[0，π2]上的最大值是1，最小值是－12.1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( ) A ．22＋ 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3. 2．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m 等于( ) A ．2 3 B. 3 C ．0D ．－ 3答案 B解析 ∵a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， a ·b ＝12＋32×32＋m 2×cos π6， ∴3＋3m ＝12＋32×32＋m 2×cos π6，∴m ＝ 3.3．设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32B.22C.52D.72 答案 A解析 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去)．4．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 即CB →·(AB →＋AC →)＝0，∵AB →－AC →＝CB →， ∴(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 是等腰三角形，故选C.5.在△ABC 中，如图，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( )A.89B.109C.259D.269 答案 B6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)的值为________．答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1， 所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM → ＝2×2×1×cos180°＝－4.7．如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案 1328．在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________(填“重心”、“垂心”、“内心”、“外心”)．答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线． 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心． 9．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又∵|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM→＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．12．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的取值范围．解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22，所以A ＝π4，或A ＝3π4.因为b ＞a ，所以A ＝π4.f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，11π12， 32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6≤2－12. ∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。
高考数学一轮复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例理含解析北师大版
高考数学一轮复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例理含解析北师大版课后限时集训(二十六) 平面向量的数量积与平面向量应用举例(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·陕西二模)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(x,4)．若a ⊥(a －b )，则x ＝( ) A ．1 B ．12C ．2D ．3B [由题意，得a －b ＝(2－x ，－1)．因为a ⊥(a －b )，所以2×(2－x )＋3×(－1)＝0，解得x ＝12，故选B ．]2．已知向量a ＝(x 2，x ＋2)，b ＝(－3，－1)，c ＝(1，3)，若a∥b ，则a 与c 夹角为( )A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．5π6A [cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－234＝－32，又由x 2≥0且a∥b 得a ，b 是反向共线，则cos 〈a ，c 〉＝－cos 〈b ，c 〉＝32，〈a ，c 〉∈[0，π]，则〈a ，c 〉＝π6，故选A.] 3．(2019·西宁模拟)如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，请设法计算AB →·AD →＝( )A ．10B ．11C ．12D ．13B [以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,1)，C (6,4)，AB →＝(4,1)，AD →＝BC →＝(2,3)，∴AB →·AD →＝4×2＋1×3＝11，故选B ．]4．(2019·银川模拟)在正方形ABCD 中，点E 为BC 的中点，若点F 满足AF →＝λAC →，且AE →·BF →＝0，则λ＝( )A.23 B ．34 C.45 D ．78A [以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形ABCD 的边长为2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,1)，由于AF →＝λAC →，则点F 在直线AC 上，设F (a ，a )，那么AE →·BF →＝(2,1)·(a －2，a )＝3a －4＝0，解得a ＝43，结合AF →＝λAC →，可得43＝2λ，解得λ＝23，故选A.]5．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a·b ＝12，则(a ＋c )·(2b －c )的最小值为( )A ．－2B ．－ 3C ．－1D ．0B [因为a·b ＝|a||b |·cos〈a ，b 〉＝cos 〈a ，b 〉＝12，所以〈a ，b 〉＝π3.不妨设a＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a ＋c )·(2b －c )＝2a·b －a·c ＋2b·c －c 2＝1－cos θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ－1＝3sin θ，所以(a ＋c )·(2b －c )的最小值为－3，故选B ．] 二、填空题6．(2019·青岛模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝5，|a ＋b |＝4，|a －b |＝6，则向量a 在向量b 上的投影为________．－1 [设向量a ，b 的夹角为θ，则|a ＋b |2＝|a |2＋2|a||b |cos θ＋|b |2＝|a |2＋10|a |cos θ＋25＝16，|a －b |2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝|a |2－10|a |cos θ＋25＝36，两式相减整理得|a |cos θ＝－1，即向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ＝－1.]7．(2018·南昌一模)平面向量a ＝(1，m )，b ＝(4，m )，若有(2|a |－|b |)(a ＋b )＝0，则实数m ＝________.±2 [由题意可得a ＋b ≠0，则2|a |＝|b |，即4(1＋m 2)＝16＋m 2，解得m 2＝4，m ＝±2.] 8．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n 与t m －n 夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________．(－∞，0)∪(0,4) [∵n 与(t m －n )夹角为钝角， ∴n ·(t m －n )＜0且n 与(t m －n )不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧t m·n －n 2＜0，t ≠0，又m·n ＝|m||n|cos 〈m ，n 〉＝34n 2×13＝14n 2.即t4n 2－n 2＜0且t ≠0，∴t ＜4且t ≠0.]三、解答题9．(2017·江苏高考)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0. 于是ta n x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.10．已知|a |＝2，|b |＝1.(1)若a ⊥b ，求(2a －b )·(a ＋b )的值；(2)若不等式|a ＋x b |≥|a ＋b |对一切实数x 恒成立，求a 与b 夹角的大小． [解] (1)∵a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，∴(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋a ·b －b 2＝7. (2)设向量a ，b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2cos θ.不等式|a ＋x b |≥|a ＋b |两边平方可得：a 2＋2a ·b x ＋x 2b 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2，即：4＋4x cos θ＋x 2≥4＋4cos θ＋1. 整理得：x 2＋4x cos θ－4cos θ－1≥0.(*)因为不等式对一切实数x 恒成立， 则Δ＝16cos 2θ＋4(4cos θ＋1) ＝4(4cos 2θ＋4cos θ＋1) ＝4(2cos θ＋1)2≤0， ∴2cos θ＋1＝0， 即cos θ＝－12.又θ∈[0，π]， ∴θ＝23π.B 组 能力提升1．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．5π6A [由|a ＋b |＝|a －b |知，a·b ＝0，所以a⊥B．将|a －b |＝2|b |两边平方，得|a |2－2a·b ＋|b |2＝4|b |2，所以|a |2＝3|b |2，所以|a |＝3|b |，所以cos 〈a ＋b ，a 〉＝a ＋b ·a|a ＋b ||a |＝|a |22|b||a|＝3|b |22|b |·3|b |＝32，所以向量a ＋b 与a 的夹角为π6，故选A.]2．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B ．32 C.2516D ．3A [以D 为原点建立平面直角坐标系，如图所示．连接AC ，易知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°， ∴D (0,0)，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)， 则AE →＝(－1，y )， BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y －32，∴AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －342＋2116，∴当y ＝34时，AE →·BE →有最小值2116，故选A.] 3．在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，a ，b ，c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB →·BC →＝________.－32 [由a ，b ，c 成等比数列得ac ＝b 2，在△ABC 中，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c2－3ac 2ac ，则34＝9－3ac2ac，解得ac ＝2，则AB →·BC →＝ac cos(π－B )＝－ac cos B ＝－32.]4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD→|的最小值；(2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n 的最小值及对应的θ值．[解] (1)设D (t,0)(0≤t ≤1)， 由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22.(2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1.所以m·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
专题28平面向量的数量积及应用(检测)-2019年高考数学(理)名师揭秘之一轮总复习
一、单选题
1．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是
A. −1 B. +1 C. 2 D. 2−
【答案】A
【解析】分析:先确定向量 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
2.公式a·b＝|a||b|cosθ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.
3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.
4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0与a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0要区分清楚.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，
点 在 上，则 ，设 ，则：
，即 ，
据此可得： ，且：
， ，
由数量积的坐标运算法则可得：
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
2019版高考数学(文)高分计划一轮：4.3 平面向量的数量积及其应用 3
4．3 平面向量的数量积及其应用[知识梳理]1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a ⊥b ⇔a·b＝0.(3)当a 与b 同向时，a·b＝|a||b|； 当a 与b 反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a . (4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)(a ＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y)，则|a|2＝x 2＋y 2或|a|＝x 2＋y 2.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB|＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.特别提醒：(1)a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影不是一个概念，要加以区别．(2)对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b＝0时，有可能a ⊥b.(3)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab|＝|a|·|b|，若a·b＝b·c(b≠0)，则a ＝c.但对于向量a ，b 却有|a·b|≤|a|·|b|；若a·b＝b·c(b≠0)，则a ＝c 不一定成立．例如a·b＝|a||b|cos θ，当cos θ＝0时，a 与c 不一定相等．又如下图，向量a 和c 在b 的方向上的投影相等，故a·b＝b·c，但a ≠c.(4)两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.(5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)． (6)a·b 中的“·”不能省略． [诊断自测] 1．概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( ) (3)若a·b>0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b<0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) (4)在△ABC 中，A B →·B C →＝|A B →|·|B C →|cosB.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2．教材衍化(1)(必修A4 P 108T 3)已知a·b＝－122，|a|＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b|为( ) A ．12 B ．6 C ．3 3 D ．3 答案 B解析 a·b＝－122＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选B.(2)(必修A4 P 104例1)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b|cos θ＝4×cos120°＝－2. 3．小题热身(1)(2017·包头质检)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30° B．45° C．60° D．120° 答案 A解析 cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝32，所以∠ABC ＝30°.故选A.(2)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a|＝2, |b|＝1，则|a ＋2b|＝________. 答案 2 3解析 由题意知a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×12＝1，则|a ＋2b|2＝(a ＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.所以|a ＋2b|＝2 3.题型1 平面向量数量积的运算角度1 求数量积典例 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118本题可采用向量基底法、坐标法．答案 B解析 解法一：如图，AF →·BC →＝(AD →＋DF →)·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BA →＋32DE →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BA →＋34AC →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12BA →＋34BC →－34BA →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－54BA →＋34BC →·BC →＝－54BA →·BC →＋34BC →2＝－54×1×1×cos60°＋34×12＝18.故选B.解法二：建立平面直角坐标系，如图．则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， 所以BC →＝(1,0)．易知DE ＝12AC ，则EF ＝14AC ＝14，因为∠FEC ＝60°，所以点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，所以AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538·(1,0)＝18.故选B.方法技巧求两个向量的数量积的两种方法1．利用定义．2．利用向量的坐标运算．如典例． 冲关针对训练1．若菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712 答案 C解析 以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD →＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC →＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56.故选C.2．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 解法一：AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.解法二：以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)，则AE →·BD →＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.角度2 平面向量的夹角与垂直问题典例1 若非零向量a ，b 满足|a|＝223·|b|，且(a －b)⊥(3a ＋2b)，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π本题采用定义法．答案 A解析 ∵(a －b)⊥(3a ＋2b)，∴(a －b)·(3a＋2b)＝0⇒3|a|2－a·b－2|b|2＝0⇒3|a|2－|a||b|cos 〈a ，b 〉－2|b|2＝0.又∵|a|＝223|b|，∴83|b|2－223|b|2·cos〈a ，b 〉－2|b|2＝0. ∴cos 〈a ，b 〉＝22.∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π4.选A.典例2 平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A. －2B. －1C. 1D. 2本题采用坐标法、方程思想．答案 D解析 a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，则c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，|a|＝5，|b|＝25，∴a·c＝5m ＋8，b·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴c·a |c||a|＝c·b |c||b|，∴5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.故选D.典例3 (2018·邢台模拟)已知△ABC 周长为6，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 成等比数列，则BA →·BC →的取值范围为( )A ．[2,18)B.⎝⎛⎦⎥⎤3(5－1)2，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，27－952D ．(2,9－35)本题采用转化思想、向量法、余弦定理．答案 C解析 由题意可得a ＋b ＋c ＝6，且b 2＝ac ， ∴b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b2，从而0<b ≤2.再由|a －c|<b ，得(a －c)2<b 2，(a ＋c)2－4ac<b 2， ∴(6－b)2－4b 2<b 2，得b 2＋3b －9>0. 又b>0，解得b>35－32，∴35－32<b ≤2， ∵cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac2ac，∴BA →·BC →＝accosB ＝a 2＋c 2－b 22＝(a ＋c )2－2ac －b 22＝(6－b )2－3b 22＝－(b ＋3)2＋27，则2≤BA →·BC →<27－952.故选C.方法技巧求平面向量的夹角的方法1．定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a·b|a||b|，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系．如典例2.2．坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.3．解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解．如典例3.冲关针对训练1．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝2|a|，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6答案 B解析 作▱ABCD ，使AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，由|a ＋b|＝|a －b|，知▱ABCD 为矩形．又|a ＋b|＝2|a|，所以∠CAB ＝π3.故选B.2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为______．答案712解析 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.角度3 求向量的模(或最值、范围)典例已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC.若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9本题采用三角函数法、不等式法．答案 B解析 解法一：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径． 故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)(O 为坐标原点)．设B(cos α，sin α)，∴PB →＝(cos α－2，sin α)，∴PA →＋PB →＋PC →＝(cos α－6，sin α)，|PA →＋PB →＋PC →|＝(cos α－6)2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B(－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得PA →＋PC →＝2PO →(O 为坐标原点)，又PB →＝PO →＋OB →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|3PO →＋OB →|≤3|PO →|＋|OB →|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO →与OB →同向时取等号，此时B 点坐标为(－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|max ＝7.故选B.方法技巧求向量模及最值(范围)的方法1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；见典例答案解法一． 2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；见典例答案解法二．3．利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的取值范围．见典例答案解法二． 冲关针对训练已知向量a ，b ，c ，满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c －2a)·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝0，则|b －c|的最小值是( ) A ．2－ 3 B ．2＋ 3 C ．1 D ．2 答案 A解析 根据条件，设a ＝(1, 3)，b ＝(3,0)，设c ＝(x ，y)，则(c －2a)·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝(x －2，y －23)·(x－2，y)＝0；∴(x －2)2＋(y －3)2＝3；∴c 的终点在以(2，3)为圆心，3为半径的圆上，如图所示：∴|b －c|的最小值为(2－3)2＋(3－0)2－3＝2－ 3. 故选A.角度4 求参数的取值典例 在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k)，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________．本题采用方程思想，并依据直角的位置可分三种情形讨论．答案 －23或113或3±132解析 ①若∠A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0，解得k ＝－23.②若∠B ＝90°，则有AB →·BC →＝0，因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)，所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113.③若∠C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k(k －3)＝0，解得k ＝3±132.综上所述，得k ＝－23或113或3±132.方法技巧平面向量中的参数及范围的求法1．利用方程思想，由已知列出方程或方程组，进而求解．如典例．2．利用等价转化思想将已知转化为不等式或函数，求出参数的取值．如冲关针对训练． 冲关针对训练设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3，若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 由向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，得(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)|2te 1＋7e 2||e 1＋te 2|<0，即(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)，λ<0， 可求得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 题型2 平面向量的综合应用角度1 在平面几何中的应用典例1 已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则CP →·(BA →－BC →)的最大值为________．本题采用坐标法、基向量法．答案 9解析 (坐标法)以C 为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P 点坐标为(x ，y)且0≤y ≤3,0≤x ≤4，则CP →·(BA →－BC →)＝CP →·CA →＝(x ，y)·(0,3)＝3y ，当y ＝3时，取得最大值9.典例2 如图，在△ABC 中，已知点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AB ＝3AD ，BC ＝2BE.(1)用向量AB →，AC →表示DE →；(2)设AB ＝9，AC ＝6，A ＝60°，求线段DE 的长．本例(1)问采用数形结合法，(2)问采用向量法．解 (1)∵AB ＝3AD ，BC ＝2BE ， ∴DB →＝23AB →，BE →＝12BC →＝12(AC →－AB →)，∴DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋12AC →－12AB →＝16AB →＋12AC →.(2)AB →2＝81，AC →2＝36，AB →·AC →＝9×6×cos60°＝27， ∴DE →2＝136AB →2＋16AB →·AC →＋14AC →2＝634，∴DE ＝|DE →|＝634＝372. 角度2 三角函数与向量典例 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b|＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．利用转化法将向量方程转化为三角方程．解 (1)证明：由题意得|a －b|2＝2，即(a －b)2＝a 2－2a·b＋b 2＝2. 因为a 2＝b 2＝|a|2＝|b|2＝1，所以1－2a·b＋1＝2.所以a·b＝0. 故a ⊥b.(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β)，由 0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，所以α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，又α>β，所以α＝5π6，β＝π6.角度3 向量与解三角形的综合典例1 已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.33 B.12 C.32 D.23用三角形重心定理．答案 A解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OA →＋OB →＝－OC →， ∴O 为三角形的重心，∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13.∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝2. ∵∠BAC ＝60°， ∴|AB →|·|AC →|＝4，△ABC 面积为12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33. 故选A.典例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A 2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m·n＋|m|＝22，AB→·AC →＝1. (1)求角A 的大小； (2)求△ABC 的面积S.利用转化法将向量等式转化为三角方程．解 (1)因为2m·n＝2sin A 2cos A 2－2cos 2A2＝sinA －(cosA ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m|＝1，所以2m·n＋|m| ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A<π， 所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.(2)cosA ＝cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝6－24，因为AB →·AC →＝bccosA ＝1，所以bc ＝6＋ 2.又sinA ＝sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝12(6＋2)×6＋24＝2＋32.角度4 向量与解析几何的综合典例1已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且满足|AB|＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3运用数形结合思想，坐标法化为代数问题．答案 A解析 动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点， 且满足|AB|＝2， 则△OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为y ＝3(x ＋2)，根据题意可得B(－2,0)，A(－1，3)， ∵M 是线段AB 的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. 设C(x ，y)， ∵CB →＝52CA →，∴(－2－x ，－y)＝52(－1－x ，3－y)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－x ＝52(－1－x )，－y ＝52(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝533，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533， ∴OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，533·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32＝12＋52＝3，故选A.典例2 已知圆C 经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线m ：3x －2y ＝0平分圆C. (1)求圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与圆C 交于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得OM →·ON →＝6(O 为坐标原点)，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．坐标法，利用向量的坐标与解析几何的坐标的关系求解．解 (1)线段AB 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，k AB ＝3－21－2＝－1， 故线段AB 的中垂线方程为y －52＝x －32，即x －y ＋1＝0.因为圆C 经过A ，B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上． 又因为直线m ：3x －2y ＝0平分圆C ，所以直线m 经过圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即圆心的坐标为C(2,3)，而圆的半径r ＝|BC|＝(2－2)2＋(2－3)2＝1， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋2代入圆C 的方程，即(1＋k 2)x 2－(2k ＋4)x ＋4＝0， 由Δ＝(2k ＋4)2－16(1＋k 2)>0，得0<k<43，∴x 1＋x 2＝2k ＋41＋k 2，x 1x 2＝41＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4＝6， ∴(1＋k 2)41＋k 2＋2k·2k ＋41＋k 2＋4＝6，即3k 2＋4k ＋1＝0， 解得k ＝－1或k ＝－13.此时不满足Δ>0，与直线l 与圆C 交于M ，N 两点相矛盾， 所以不存在直线l ，使得OM →·ON →＝6. 角度5 向量与函数、不等式的综合典例1 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8将向量问题用坐标法转化为函数问题求解．答案 C解析 由题意，得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204.因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2.因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.故选C.典例2 已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21将向量问题化归为均值不等式问题．答案 A解析 由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0， C(0，t)，∵AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|，∴P(1,4)，∴PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4，PC →＝(－1，t －4)，∴PB →·PC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1－4(t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ， 由基本不等式可得1t ＋4t ≥21t·4t＝4， ∴17－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋1t ≤17－4＝13， 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴PB →·PC →的最大值为13.故选A. 方法技巧1．平面向量的模及其应用的类型及解题策略(1)求向量的模的方法：①公式法，利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；②几何法，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．如题型1中角度3典例．2．向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些．如题型2角度1典例1.3．向量与三角函数综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．如题型2中角度2典例．4．向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b＝0；a ∥b ⇔a ＝λb(b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到．如题型2角度4典例1.冲关针对训练1．(2018·沈阳模拟)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20B ．15C ．9D ．6 答案 C解析 如图所示，∵四边形ABCD 为平行四边形，点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，∴根据图形可得：AM →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋23DC →＝AD →＋23AB →，∴NM →＝AM →－AN →，∵AM →·NM →＝AM →·(AM →－AN →)＝AM →2－AM →·AN →， AM →2＝AB →2＋32AB →·AD →＋916AD →2，AM →·AN →＝23AB →2＋34AD →2＋32AB →·AD →，|AB →|＝6，|AD →|＝4，∴AM →·NM →＝13AB →2－316AD →2＝12－3＝9.故选C.2．已知a ，b 为平面向量，若a ＋b 与a 的夹角为π3，a ＋b 与b 的夹角为π4，则|a||b|＝( )A.33 B.64 C.53 D.63答案 D解析 如图所示：在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝a ＋b ，∠BAC ＝π3，∠DAC ＝π4，在△ABC 中，由正弦定理得，|a||b|＝sinπ4sinπ3＝2232＝63.故选D. 3．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝16x D ．y 2＝42x答案 B解析 如图所示，AF →＝FB →⇒F 为线段AB 中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°.由BA →·BC →＝48，得BC ＝43，得AC ＝4.∴由中位线的性质有p ＝12AC ＝2.故抛物线的方程为y 2＝4x.故选B.1.(2018·沧州调研)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1答案 B解析 解法一：设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)． 而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.故选B.解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(－1,0)，B(1,0)，C(0，3)，设P(x ，y)，取BC 的中点D ， 则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y·⎝⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎪⎫y －342－34.因此，当x ＝－14，y ＝34时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.故选B. 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 答案 7解析 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b)·a＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.3．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x ，y)．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)． AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ， |AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2， cos θ＝AQ AP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]． 所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.解法二：如图所示，因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)， 所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时“＝”号成立．4．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R)，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．答案311解析 解法一：由B D →＝2D C →得A D →＝13A B →＋23A C →，所以A D →·A E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13A B →＋23A C →·(λAC →－A B →)＝13λAB →·A C →－13A B →2＋23λAC →2－23A B →·A C →，又A B →·A C →＝3×2×cos60°＝3，A B →2＝9，A C →2＝4， 所以A D →·A E →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B(3,0)，C(1，3)，又B D →＝2D C →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以A D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而A E →＝λAC →－A B →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此A D →·A E →＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665答案 C解析 由题可知，设b ＝(x ，y)，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)．由cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝1665.故选C.2．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b|a·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2 D.54答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a －b|＝5，∴|2a －b|a·(a ＋b )＝55＝1.故选B.3．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为( )A ．6B ．－6C ．2 3D ．－2 3 答案 B解析 由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →. ∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF. 连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°. ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin60°×2＝4 3.∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos〈EF →，FD →〉＝43cos150°＝－6.故选B. 4．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形答案 D解析 因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC. 又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．故选D.5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－92 D.92答案 D解析 由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA →＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →＝9－92＝92.故选D.6．(2017·龙岩一模)已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数m n的值为( )A.16B.14 C ．6 D ．4 答案 A解析 OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3，∵OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，∴(mOA →＋nOB →)·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝(m －n)OA →·OB →－mOA →2＋nOB →2＝0， ∴3(m －n)－9m ＋4n ＝0， ∴m n ＝16.故选A. 7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1 B．±32 C ．±22 D ．±12答案 C解析 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y 得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝4m 2－8(m2－1)>0，得－2<m<2，又x A x B ＝m 2－12，x A ＋x B ＝－m ，所以y A y B ＝(x A ＋m)(x B ＋m)＝m 2－12，由AO →·AB →＝AO →·(OB→－OA →)＝－OA →·OB →＋OA →2＝－x A x B －y A y B ＋1＝－m 2＋2＝32，解得m ＝±22.故选C.8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a·b 和b·a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a·b 等于( ) A.52 B.32 C ．1 D.12 答案 D解析 根据新定义，得a·b＝a·b b·b ＝|a||b|cos θ|b|2＝|a||b|cos θ，b·a＝b·a a·a ＝|a||b|cos θ|a|2＝|b||a|cos θ. 又因为a·b 和b·a 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，设a·b＝n 12，b·a＝n 22(n 1，n 2∈Z)，那么(a·b)·(b·a)＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1，故a·b＝n 12＝12.故选D.9．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 B解析 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y)，则由c·a＝c·b＝1，得c ＝(1,1)，c ＋ta ＋1t b ＝(1,1)＋t(1,0)＋1t (0,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1，1＋1t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋ta ＋1t b ＝(t ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t＋2≥22，当且仅当t ＝1时等号成立．故选B.10．已知a ，b 是单位向量，a·b＝0.若向量c 满足|c －a －b|＝1，则|c|的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]答案 A解析 以a 和b 分别为x 轴和y 轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y)，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b|＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y)是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|＝x 2＋y 2.所以|c|可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|－r ≤|c|≤|OM|＋r ，即|c|∈[2－1，2＋1]．故选A.二、填空题11．已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝2，|a －2b|＝27，则|b|＝________. 答案 3解析 因为|a|＝2，|a －2b|＝27，所以(a －2b)2＝28，即4－4a·b＋4|b|2＝28，又向量a ，b 的夹角为60°，所以4－4×2×|b|cos60°＋4|b|2＝28，解得|b|＝3.12．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.答案223解析 a·b＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8.∵|a|2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×1×1×13＝9，∴|a|＝3.∵|b|2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－6×1×1×13＝8，∴|b|＝22，∴cos β＝a·b |a|·|b|＝83×22＝223.13．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB ，AD 的长分别为2,1.若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．答案 [2,5]解析 如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ，则λ∈[0,1]，AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝AB →·AD →＋(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD →＋λ(λ－1)BC →·CD →＝1×2×12＋(λ－1)×(－4)＋λ×1＋λ(λ－1)×(－1)＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－(λ＋1)2＋6.∵λ∈[0,1]，∴AM →·AN →∈[2,5]．14．(2018·杭州质检)在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则A C →·A E →＝________.答案 94解析 建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫34，－14，∴A C →＝(3，0)，A E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14，∴A C →·A E →＝3×334＝94.三、解答题15．在直角坐标系xOy 中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．解 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减，得m －n ＝y －x.令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1. 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B)，sin(A －B))，n ＝(cosB ，－sinB)，且m·n＝－35.(1)求sinA 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 解 (1)由m·n＝－35，得cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，所以cosA ＝－35.因为0<A<π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sinA ＝bsinB ，则sinB ＝bsinA a ＝5×4542＝22，因为a>b ，所以A>B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝ccosB ＝1×22＝22.。
(福建专用)2019高考数学一轮复习课时规范练26平面向量的数量积与平面向量的应用理新人教A版
( ) 1 1
3
∴ ������������ = ������������ + ������������ = 2,
32
2,
( ) ( ) ( ) 1 3
3
1
∴ ������������ = , ∴ ������������ = - 1, ,������������ = , - 3
2 2,
2
2
,
13 ‒
m+n∈[1,2],则|������������|的取值范围是( )
A.[ 5,2 5]
B.[ 5,2 10)
C.( 5, 10)
D.[ 5,2 10]
课时规范练 26 平面向量的数量积与平面向量的应用 1.B A 项,设向量 a 与 b 的夹角为 θ,
则 a·b=|a||b|cos θ≤|a||b|,所以不等式恒成立; B 项,当 a 与 b 同向时,|a-b|=||a|-|b||;当 a 与 b 非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||. 故不等式不恒成立; C 项,(a+b)2=|a+b|2 恒成立; D 项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立. 综上,选 B. 2.B 由已知,得|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角 θ=60°, 则(2a-b)·b=2a·b-b2 =2|a||b|cos θ-|b|2 =2×1×1×cos 60°-12=0, 故选 B. 3.C 设 a,b 的夹角为 θ,
A.-1
B.0
C.1
D.2
3.(2017 河南新乡二模,理 3)已知向量 a=(1,2),b=(m,-4),若|a||b|+a·b=0,则实数 m 等于( )
2019版高考数学一轮复习习题：平面向量的数量积及其应用 (word版含答案)
§5.3 平面向量的数量积及其应用考纲解读分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.五年高考考点一 数量积的定义1.(2017浙江,10,5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB ⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC 与BD 交于点O.记I 1=·,I 2=·,I 3=·,则( )A.I 1<I 2<I 3B.I 1<I 3<I 2C.I 3<I 1<I 2D.I 2<I 1<I 3 答案 C2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为( )A.-B.C.D.答案B3.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5答案A4.(2015湖北,11,5分)已知向量⊥,||=3,则·= .答案9教师用书专用(5)5.(2013湖北,6,5分)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( )A. B.C.-D.-答案A考点二平面向量的长度问题1.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案D2.(2014浙江,8,5分)记max{x,y}=min{x,y}=设a,b为平面向量,则( )A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2答案D3.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= .答案2教师用书专用(4)4.(2013天津,12,5分)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为.答案考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用1.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=.若n⊥(t m+n),则实数t的值为( )A.4B.-4C. D.-答案B2.(2015山东,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=( )A.-a2B.-a2C.a2D.a2答案D3.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21答案A4.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是.答案教师用书专用(5—8)5.(2015重庆,6,5分)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )A. B. C. D.π答案A6.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3,=2,则·=( )A.20B.15C.9D.6答案C7.(2014重庆,4,5分)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k=( )A.-B.0C.3D.答案C8.(2014安徽,15,5分)已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4+x5·y5,S min表示S所有可能取值中的最小值.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①S有5个不同的值②若a⊥b,则S min与|a|无关③若a∥b,则S min与|b|无关④若|b|>4|a|,则S min>0⑤若|b|=2|a|,S min=8|a|2,则a与b的夹角为答案②④三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一数量积的定义1.(2018北京朝阳期中,7)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则·=( )A.5B.-5C.1D.-1答案D2.(2017福建龙岩二模,7)已知向量与的夹角为60°,且||=3,||=2,若=m+n,且⊥,则实数的值为( )A. B. C.6D.4答案A3.(2017江西抚州七校联考,7)在Rt△AOB中,·=0,||=,||=2,AB边上的高线为OD,点E位于线段OD上,若·=,则向量在向量上的投影为( )A. B.1C.1或D.或答案D4.(2017广东惠州调研,13)已知|a|=4,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则(a-2b)·(a+b)= .答案12考点二平面向量的长度问题5.(2018全国名校大联考,10)设向量a,b,c满足|a|=|b|=2,a·b=-2,<a-c,b-c>=60°,则|c|的最大值等于( )A.4B.2C.D.1答案A6.(2017福建漳州八校4月联考,5)在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·的值为( )A.3B.-3C.-D.答案D7.(2017湖南永州一模,11)已知向量a与向量b的夹角为,且|a|=|b|=2,若向量c=x a+y b(x∈R且x≠0,y∈R),则的最大值为( )A. B. C. D.3答案A8.(2016江西赣南五校二模,6)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+且||=||,则向量在方向上的投影为( )A. B. C.-D.-答案A考点三平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用9.(2018福建三明一中期中,8)已知O是△ABC所在平面上一点,满足||2+||2=||2+||2,则点O( )A.在过点C且与AB垂直的直线上B.在∠A的平分线所在直线上C.在边AB的中线所在直线上D.以上都不对答案A10.(2017豫南九校4月联考,4)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于( )A.-B.1C.2D.答案B11.(人教A必4,二,2-4A,7,变式)若e1,e2是平面内夹角为60°的两个单位向量,则向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°答案D12.(2017河北衡水中学模考,15)已知在△ABC所在平面内有两点P、Q,满足+=0,++=,若||=4,||=2,S△APQ=,则·的值为.答案±4B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:35分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018广东广州华南师大附中,10)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则·的最大值为( )A. B. C.1D.答案C2.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且·=5,则△ABC的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种情况都有可能答案B3.(2017湖南郴州质量检测,9)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C 是线段AB上不与A、B重合的动点,MN是圆O的一条直径,则·的取值范围是( )A. B.[-1,1)C. D.[-1,0)答案A4.(2017湖北黄冈二模,10)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为( )A.0B. C. D.答案D二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2017河南郑州一中模拟,14)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,其内切圆切AC边于D点,O为圆心.若||=2||=2,则·= .答案-36.(2016福建福州3月质检,14)已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为O,则·= .答案10三、解答题(共15分)7.(2018湖南中原名校第四次质量考评,17)已知两个不共线的向量a,b满足a=(1,),b=(cosθ,sinθ),θ∈R.(1)若2a-b与a-7b垂直,求|a+b|的值;(2)当θ∈时,若存在两个不同的θ,使得|a+b|=|m a|成立,求正数m的取值范围.解析(1)由条件知|a|=2,|b|=1,又2a-b与a-7b垂直,所以(2a-b)·(a-7b)=8-15a·b+7=0,所以a·b=1.所以|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=4+2+1=7,故|a+b|=.(2)由|a+b|=|m a|,得|a+b|2=|m a|2,即|a|2+2a·b+3|b|2=m2|a|2,即4+2a·b+3=4m2,7+2(cosθ+sinθ)=4m2,故4sin=4m2-7.由θ∈,得θ+∈,又θ要有两解,结合三角函数图象可得,6≤4m2-7≤4,即≤m2≤,因为m>0,所以≤m≤.故正数m的取值范围为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求向量长度的方法1.(2018四川双流中学期中,9)已知平面向量,满足||=||=1,·=-,若||=1,则||的最大值为( )A.-1B.-1C.+1D.+1答案D2.(2017河南高三4月质检,9)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=5,AC=4,D是AB上一点,且·=5,则||等于( )A.6B.4C.2D.1答案C3.(2017广东五校协作体联考,15)已知a,b是两个互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=1,则对任意的正实数t,的最小值是.答案2方法2 求向量夹角问题的方法4.(2018云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角余弦值为( )A. B.-C. D.-答案C5.(2017河南天一大联考(一),7)已知|a|=,a·b=-,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为( )A. B. C. D.答案C6.(2017河南百校联盟4月联考,14)已知非零向量a,b满足:2a·(2a-b)=b·(b-2a),|a-b|=3|a|,则a与b的夹角为.答案90°方法3 数形结合的方法和方程与函数的思想方法7.(2017广东七校3月联考,11)在等腰直角△ABC中,∠A BC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为( )A. B. C. D.答案C8.(2018北京西城月考,16)如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连接AE,作EF⊥AE交∠BCD的外角角平分线于F.设BE=x,设f(x)=·,则函数f(x)的值域是.答案(0,4]9.(2017湖南长郡中学六模,14)如图,点O为△ABC的重心,且⊥,||=6,则·的值为.答案72。
【新高考数学】一轮基础过关训练26：平面向量的数量积及平面向量的应用(含答案)
1．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ). 若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．23 B. 3 C ．0D ．－ 3解析：选B.因为a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ， 又a ·b ＝12＋（3）2×32＋m 2×cos π6，所以3＋3m ＝12＋（3）2×32＋m 2×cosπ6，所以m ＝ 3. 2．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则AC →·BD →＝( )A ．2B ．3C ．6D ．12解析：选C.AC →·BD →＝(AB →＋BC →)·(AD →－AB →)＝(AB →＋BC →)·(2BC →－AB →)＝2|BC →|2＋BC →·AB →－ |AB →|2＝8＋2×2×12－4＝6.3．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，找出D 点的位置，AB →·AD →的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选B.以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A (0，0)，B (4，1)，C (6，4)，根据四边形ABCD 为平行四边形，可以得到D (2，3)，所以AB →·AD →＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B.4．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，且∠DAB ＝90°，AB ＝2，AD ＝1，若点Q满足AQ →＝2QB →，则QC →·QD →＝( )A ．－109B.109 C ．－139D.139解析：选D.以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B (2，0)，C (1，1)，D (0，1)．又AQ →＝2QB →，所以Q ⎝⎛⎭⎫43，0， 所以QC →＝⎝⎛⎭⎫－13，1，QD →＝⎝⎛⎭⎫－43，1， 所以QC →·QD →＝49＋1＝139.故选D.5．如图，AB 是半圆O 的直径，P 是AB ︵上的点，M ，N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →等于( )A ．13B ．7C ．5D ．3解析：选C.连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5.6．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为________． 解析：因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0，即a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0，所以b 2＝a 2＝2a ·b ，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝a·b |a |2＝12.因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π3.答案：π37．已知点M ，N 满足|MC →|＝|NC →|＝3，且|CM →＋CN →|＝25，则M ，N 两点间的距离为________． 解析：依题意，得|CM →＋CN →|2＝|CM →|2＋|CN →|2＋2CM →·CN →＝18＋2CM →·CN →＝20，则CM →·CN →＝1，故M ，N 两点间的距离为|MN →|＝|CN →－CM →|＝|CN →|2＋|CM →|2－2CN →·CM →＝9＋9－2＝4. 答案：48．已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，且AM →·BC →＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，所以AB →＝(0，2)，AC →＝(1，0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →，即(x ，y )＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案：149．已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R . (1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0， 即为－sin α(sin α－2)－cos 2 α＝0， 即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2， 即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2， 即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2α＝2， 即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×916＝－18.10．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)法一：由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得： (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11， 所以t ＝－115.法二：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3，5)， t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.。
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《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）
专题26平面向量的数量积及应用
本专题特别注意：
1.平面向量数量积的模夹角公式的应用
2. 平面向量数量积的坐标公式应用问题
3. 向量垂直的应用
4.向量的数量积问题等综合问题
5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题
6.向量数量积在解析几何中应用
7.向量数量积在三角形中的应用。
【学习目标】
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．
2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系．
5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．
【方法总结】
1.要准确理解两个向量的数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的五个重要性质及三个运算规律.向量的数量积的运算不同于实数乘法的运算律，数量积不满足结合律：(a·b)·c≠a·(b·c)；消去律：a·b＝a·c b ＝c；a·b＝0 a＝0或b＝0，但满足交换律和分配律.
2.公式a·b＝|a||b|cos θ；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|2＝a2＝x2＋y2的关系非常密切，必须能够灵活综合运用.
3.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断相应的两直线是否垂直.
4.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0与a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0要区分清楚.
【高考模拟】：
一、单选题
1．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的
最小值是
A. −1
B. +1
C. 2
D. 2−
【答案】A
【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.
2．在如图的平面图形中，已知,则的值为
A. B.
C. D. 0
【答案】C
【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
3．如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，
点在上，则，设，则：
，即，
据此可得：，且：
，，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得：，
结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.
本题选择A选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
4．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】D
【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得
，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
5．已知向量，满足，，则
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
【答案】B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
6．已知平面向量，，当时，的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意，在OB上取，在AB上取动点C，使，则
，则即可所求答案.
详解：如图，在中，已知，，。