2019-2020学年辽宁省实验中学高二(上)期中数学试卷 试题及答案
2023-2024学年广东省实验中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ）A ．6B ．√5C ．2√5D ．43．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣34．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.35．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√326．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π68．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ）A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i 10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2311．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2] 三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ ． 14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 ． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 ．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 ．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；（2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．19．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，AB ＝PC ＝2，PA =PB =√2． （1）证明：面P AB ⊥面ABCD ．（2）M 是棱PD 上的中点，若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交P A 于点Q ，求面CQM 与面PCB 夹角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值．22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．2023-2024学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：∵直线l 的方向向量是e →=(−1，√3)， ∴倾斜角α的正切值为tan α=√3−1=−√3；又α∈[0，π）， 则l 的倾斜角为α=2π3， 故选：C ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的短轴长为4，焦距为2，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为（ ） A ．6B ．√5C ．2√5D ．4解：根据题意可得2b ＝4，2c ＝2， ∴b ＝2，c ＝1，∴a =√5，∴椭圆C 的上顶点到右焦点的距离为√b 2+c 2=a =√5． 故选：B ．3．已知e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共线的向量，平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b→=−e 1→+2e 2→+μe 3→，若α∥β，则λ+μ＝（ ） A ．5B ．﹣5C ．3D ．﹣3解：因为e 1→，e 2→，e 3→为空间内三个不共面的向量，所以e 1→，e 2→，e 3→可以作为空间内的一组基底， 又平面α和平面β的法向量分别为a →=e 1→+λe 2→+3e 3→和b →=−e 1→+2e 2→+μe 3→，且α∥β， 所以a →∥b →，则a →=tb →，即e 1→+λe 2→+3e 3→=t （−e 1→+2e 2→+μe 3→）， 所以{−t =12t =λtμ=3，解得{t =−1λ=−2μ=−3，所以λ+μ＝﹣5．故选：B ．4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：高三一班：36.1，36.2，m ，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃）， 高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，n ，37.1（单位：℃） 若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则n ﹣m 为（ ） A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3解：高三一班的第25百分位数是m ，第90百分位数是12×（36.8+37.0）＝36.9； 高三二班的第25百分位数是36.3，第90百分位数是12（n +37.1）；所以m ＝36.3，12（n +37.1）＝36.9，解得n ＝36.7，所以n ﹣m ＝0.4． 故选：C ．5．已知f(x)=sin2x −√3cos2x ，若方程f(x)=23在（0，π）的解为x 1，x 2，则sin （x 1+x 2）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−√32D ．√32解：f(x)=sin2x −√3cos2x =2sin(2x −π3)，x ∈（0，π） 所以−π3＜2x −π3＜5π3， 故sin(2x −π3)=13，根据函数的对称性2x 1−π3+2x 2−π3=2×π2， 故x 1+x 2=5π6， 所以sin （x 1+x 2）=12． 故选：A ．6．若命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上至多有一个解”是假命题，则m 的取值范围是（ ） A ．(−3，−54)B ．(−3，1−√2)C ．(−54，1)D ．(−54，1−√2)解：由题意可得命题“关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1＝0在（﹣1，3）上有两个不同的解”是真命题， 令f （x ）＝x 2+2mx +2m +1在（﹣1，3）上有两个不同的零点，即{ f(−1)＞0f(3)＞0−1＜−m ＜3f(−m)＜0，即{ 2＞010+8m ＞0−3＜m ＜1−m 2+2m +1＜0，解得：−54＜m ＜1−√2． 故m 的范围为（−54，1−√2）． 故选：D ．7．已知cos α=35，α∈(0，π2)，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π），则α﹣β＝（ ）A ．π4B ．−π4C ．π6D ．−π6解：cos α=35，α∈(0，π2)， 所以sinα=45，角β的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(7√210，√210)且β∈（0，π）， 所以sinβ=√210，cosβ=7√210；且β∈(0，π2)， 由于cos β＞cos α，所以α＞β， 故cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=35×7√210+45×√210=25√250=√22； 故α−β=π4． 故选：A ．8．“曼哈顿距离”是由赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）的曼哈顿距离为：L PQ ＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．若点P （1，2），点Q 为圆C ：x 2+y 2＝4上一动点，则L PQ 的最大值为（ ） A ．1+√2B ．1+2√2C ．3+√2D ．3+2√2解：由题意设Q （2cos θ，2sin θ）（0≤θ＜2π）， 则L PQ ＝|1﹣2cos θ|+|2﹣2sin θ|， 当cos θ≥12时，即当θ∈[0，π3]∪[5π3，2π）时，L PQ ＝2cos θ﹣1+2﹣2sin θ＝1+2√2cos （θ+π4）， ∵θ∈[0，π3]∪[5π3，2π），∴θ+π4∈[π4，7π12]∪[23π12，94π），则当θ+π4=2π时，L PQ 的最大值为1+2√2；当cos θ＜12时，即当θ∈（π3，5π3）时，L PQ ＝1﹣2cos θ+2﹣2sin θ＝3−2√2sin （θ+π4）， ∵θ∈（π3，5π3）∴θ+π4∈（7π12，23π12），则当θ+π4=32π时，L PQ 的最大值为3+2√2． 综上所述，L PQ 的最大值为3+2√2． 故选：D ．二．多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．若复数z ＝m 2﹣2m ﹣3+（m 2﹣1）i （m ∈R ），则下列正确的是（ ） A ．当m ＝1或m ＝﹣1时，z 为实数 B ．若z 为纯虚数，则m ＝﹣1或m ＝3C ．若复数z 对应的点位于第二象限，则1＜m ＜3D ．若复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上，则z ＝12+24i解：对于A ，当m ＝1或m ＝﹣1时，m 2﹣1＝0，故z 为实数，故A 正确， 对于B ，若z 为纯虚数，则{m 2−2m −3=0m 2−1≠0，解得m ＝3，故B 错误， 对于C ，∵复数z 对应的点位于第二象限， ∴{m 2−2m −3＜0m 2−1＞0，解得1＜m ＜3，故C 正确， 对于D ，∵复数z 对应的点位于直线y ＝2x 上， ∴m 2﹣1＝2（m 2﹣2m ﹣3），解得m ＝5或m ﹣1， ∴z ＝12+24i 或z ＝0，故D 错误． 故选：AC ．10．下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）A ．一个袋子中装有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有除颜色外其他均相同的8个白球，4个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的6个白球，6个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是23解：对于A ，袋中有2件正品和2件次品，任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故A 正确；对于B ，密码被破译的概率为P ＝1﹣（1−15）（1−13）（1−14）=35，故B 错误； 对于C ，设从甲袋中取到白球为事件A ，则P （A ）=812=23， 从乙袋中取到白球为事件B ，则P （A ）=612=12， ∴取到同色球的概率为P =23×12+13×12=12，故C 正确；对于D ，∵P （A ∩B ）＝P （B ∩A ），∴P （A ）P （B ）＝P （B ）P （A ）， ∴P （A ）[1﹣P （B ）]＝P （B ）[1﹣P （A ）]，∴P （A ）＝P （B ）， ∵两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，∴P （A ）＝P （B ）=13，∴P （A ）=23，故D 正确． 故选：ACD ．11．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ），g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，则（ ） A ．f （f （1））＜f （f （2）） B ．f （g （1））＜f （g （2）） C ．g （f （1））＜g （f （2））D ．g （g （1））＜g （g （2））解：f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以f （x ）在（0，+∞）上是增函数，g （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）在（﹣∞，0]单调递减，所以g （x ）在（0，+∞）上是减函数， 所以g （x ）在R 上是减函数，所以f （1）＜f （2），g （0）＝0，f （1）＜f （2），但是不能判定两个的正负，所以A 不正确； 0＞g （1）＞g （2），可得f （g （1））＜f （g （2）），所以B 正确； g （f （1））＞g （f （2）），所以C 不正确； g （g （1））＜g （g （2）），所以D 正确； 故选：BD ．12．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 为正方体的中心，M 为DD 1的中点，F 为侧面正方形AA 1D 1D 内一动点，且满足B 1F ∥平面BC 1M ，则（ ）A ．若P 为面ABCD 上一点，则满足△OP A 的面积为√22的点的轨迹是椭圆的一部分 B ．动点F 的轨迹是一条线段C ．三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是随点F 的运动而变化的D ．若过A ，M ，C 1三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]解：对于A ，设O 为底面正方形ABCD 的中心，连接AO ，AO ′，OO ′， 则AO ′=12AC =√2，OO ′=12AA 1=1，所以△OO ′A 的面积为12AO′⋅OO′=12×√2×1=√22， 所以在底面ABCD 上点P 与点O 必重合，同理正方形ABB 1A 1的中心，正方形ADD 1A 1的中心都满足题意，又当点P 为正方体各条棱的中点时也满足△OP A 的面积为√22，故A 不正确； 对于B ，如图，分别取AA 1，A 1D 1的中点H ，G 连接B 1G ，GH ，HB 1，AD 1， 因为B 1H ∥C 1M ，B 1H ⊂平面BGH ，C 1M ⊄平面BGH ， 所以C 1M ∥平面BGH ，因为GH ∥BC 1，GH ⊂平面BGH ，BC 1⊄平面BGH ， 所以BC 1∥平面BGH ，C 1M ⊂平面BC 1M ，BC 1⊂平面BC 1M ，BC 1∩C 1M ＝C 1， 所以平面B 1GH ∥平面BC 1M ，而B 1F ∥平面BC 1M ，所以B 1F ⊂平面B 1GH ，所以点F 轨迹为线段GH ，故B 正确；由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面BC 1M ，则点F 到平面BC 1M 的距离为定值， 又△BC 1M 的面积为定值，从而可得三棱锥F ﹣BC 1M 的体积是定值，故C 不正确； 如图，设截面Ω与平面BAA 1B 1交于AN ，N 在BB 1上， 因为截面Ω∩平面DAA 1D 1＝AM ，平面DAA 1D 1∥平面CBB 1C 1，所以AM ∥NC 1，同理可证AN ∥MC 1，所以截面AMC 1N 为平行四边形，所以点N 为BB 1中点， 在四棱锥A 1﹣AMC 1N 中，侧棱A 1C 1最长，且A 1C 1＝2√2，设四棱锥A 1﹣AMC 1N 的高为h ， 因为AM ＝MC 1=√5，所以四边形AMC 1N 为菱形，所以△AMC 1的边AC 1上的高为面对角线的一半，即为√2，又AC 1＝2√3， 则S △AMC 1=12×2√3×√2=√6，V C 1−AA 1M =13S △AA 1M •D 1C 1=13×12×2×2×2=43， 所以V A 1−AMC 1=13S △AMC 1וh =√63h =V C 1−AA 1M =43，解得h =2√63， 综上，可知线段A 1Q 长度的取值范围为[2√63，2√2]，故D 正确．故选：BD ．三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣3）x +（4﹣a ）y +1＝0与l 2：2（a ﹣3）x ﹣2y +3＝0平行，则a ＝ 3或5 ． 解：当a ＝3时两条直线平行， 当a ≠3时有2=−24−ka ≠3所以a =5 故答案为：3或5．14．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2=14，则椭圆的离心率为 23 ．解：如图；因为|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，可得|PF 1|＝2a ﹣2c ，cos ∠PF 1F 2=14，可得|PF 2|2＝|F 1F 2|2+|PF 1|2﹣2|PF 1|•|PF 2|•cos ∠PF 1F 2， 即：（2c ）2＝（2a ﹣2c ）2+（2c ）2﹣2×2c ×（2a ﹣2c ）×14， 解得a =32c ，（a ＝c 舍）． 故离心率e =c a =23． 故答案为：23． 15．已知a ＞0，b ＞0，1a +12b=1，则3a a−1+4b2b−1的最小值为 5+2√6 ．解：因为a ＞0，b ＞0，1a+12b=1，所以0＜a ＜1，且2b =a a−1， 所以3a a−1+4b 2b−1=3(a−1)+3a−1+2(2b−1)+22b−1=3+3a−1+2+22b−1＝5+3a−1+2aa−1−1=5+3a−1+2（a ﹣1）≥5+2√3a−1×2(a −1)=5+2√6，当且仅当3a−1=2（a ﹣1），即a ＝1+√62时等号成立．故答案为：5+2√6．16．已知圆C 1：(x +1)2+(y −3m −3)2=4m 2(m ≠0)，直线l 的方程y ＝x +m +2，圆C 1关于直线l 对称的圆为C 2，则C 2所表示的一系列圆的公切线方程为 y =−34x +74或x ＝1 ． 解：圆C 1的圆心为C 1（﹣2，3m +3）设C 1关于直线l 对称点为C 2（a ，b ），则{b−3m−3a+1=−13m+3+b 2=a−12+m +2，解得：{a =2m +1b =m +1，∴圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 设直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，则√1+k 2=2|m|．即（﹣4k ﹣3）m 2+2（2k ﹣1）（k +b ﹣1）m +（k +b ﹣1）2＝0，∵直线y ＝kx +b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m 值都成立， 所以有：{−4k −3=02(2k −1)(k +b −1)=0(k +b)2=0，解得：{k =−34b =74，所以C 2所表示的一系列圆的公切线方程为：y =−34x +74． 当切线的斜率不存在时，圆C 2的方程为（x ﹣2m ﹣1）2+（y ﹣m ﹣1）2＝4m 2． 圆心（2m +1，m +1），半径为2m ，此时切线方程为：x ＝1． 综上，圆的公切线方程为：y =−34x +74或x ＝1． 故答案为：y =−34x +74或x ＝1．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如图所示．（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；（2）在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[70，80）的概率． 解：（1）由题意知样本容量n =80.016×10=50，y =250×10=0.004，x ＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030． ∴估测本次竞赛学生成绩的平均数为：x =55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04＝70.6．（2）在[70，80），[80，90）内的学生人数分别为0.040×10×50＝20人和0.010×10×50＝5人，在[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩， 则在[70，80），[80，90）内各抽取4人和1人，设成绩在[70，80）内的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80，90）的学生为E ， 则从这5人中抽取2人有10种情况，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）， 2人成绩都在[70，80）的情况有6种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（B ，C ），（B ，D ），（C ，D ），∴从这5名学生中随机抽取2人，2 人成绩都在[70，80）的概率为P =35．18．（12分）已知分别过定点A ，B 的直线l 1：ax +y ﹣3＝0，l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0，l 2与x 轴交于C 点．（1）若l 1为△ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程； （2）若l 1为△ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程． 解：（1）直线l 1：ax +y ﹣3＝0可知直线恒过A （0，3），l 2：3x +（a ﹣2）y ﹣4a ﹣1＝0整理可得：a （y ﹣4）+3x ﹣2y ﹣1＝0，恒过B （3，4）， 直线l 2与x 轴的交点C （4a+13，0），k BC =43−4a+13=32−a ，由题意可得：﹣a •32−a=−1，可得a =12，即C （1，0），所以BC 的中点D （2，2），k AD =3−20−2=−12， 所以BC 边的中线为y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； （2）由（1）可得BC 的中点D （4a+13+32，42），即D （2a+53，2），由题意可得D 在BC 的中线l 1上，即a •2a+53+2﹣3＝0，即2a 2+5a ﹣3＝0，可得a =12或a ＝﹣3， 当a =12时，C （1，0），所以k BC =43−1=2， 所以BC 边上的高的斜率为−12，所以BC 边上的高的所在的直线方程为：y =−12x +3，即x +2y ﹣6＝0； 当a ＝﹣3时，C （−113，0），此时k BC =43−−113=35，BC边上的高的斜率为−53，所以BC边上的高所在的直线方程为：y=−53x+3，即5x+3y﹣9＝0．所以BC边上的高所在的直线方程为：x+2y﹣6＝0或5x+3y﹣9＝0．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC＝60°，AB＝PC＝2，PA=PB=√2．（1）证明：面P AB⊥面ABCD．（2）M是棱PD上的中点，若过点C，M的平面α与BD平行，且交P A于点Q，求面CQM与面PCB 夹角的余弦值．证明：（1）取AB中点O，连接OP和OC，如图所示，由于AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以OC⊥AB，且OC=√3，又因为PA=PB=√2，AB＝2，所以P A2+PB2＝AB2，则P A⊥PB，OP⊥AB，所以OP=12AB=1，所以PO2+OC2＝PC2，所以OP⊥OC，因为OP⊥AB，OP⊥OC，AB∩OC＝O，AB、OC⊂面ABCD，所以OP⊥面ABCD，又因为OP⊂面P AB，所以面P AB⊥面ABCD；解：（2）由（1）知，OC，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，OC，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则P （0，0，1），A （0，﹣1，0），B （0，1，0），C （√3，0，0）， D(√3，−2，0)，M(√32，−1，12)所以BD →=(√3，−3，0)，BC →=(√3，−1，0)，CP →=(−√3，0，1)，CM →=(−√32，−1，12)，AP →=(0，1，1)，CA →=(−√3，−1，0)，取PB 的中点N ，因为M 为PD 的中点，则MN ∥BD ， 因为BD ⊄平面CMN ，MN ⊂平面CMN ，所以BD ∥平面CMN ， 所以平面CMN 和平面CQM 是同一平面， 则N （0，12，12），所以MN →=(−√32，32，0)， 设平面CMN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅CM →=−√32x 1−y 1+12z 1=0m →⋅MN →=−√32x 1+32y 1=0， 解得{y 1=√33x 1z 1=5√33x 1，令x 1＝3，则y 1=√3，z 1=5√3，所以m →=(3，√3，5√3)，即平面CQM 的一个法向量为m →=(3，√3，5√3)，解得{y 2=√3x 2z 2=√3x 2，令x 2＝1，则y 2=√3，z 2=√3，所以n →=(1，√3，√3)，设平面CQM 与平面PCB 的夹角为θ，cos θ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=√3×√3+5√3×√3|9+3+75×7=√60929，所以平面CQM 与平面PCB 的夹角的余弦值√60929． 20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2﹣4x ＝0及点A （﹣1，0），B （1，2）． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于D ，E 两点，且DE ＝AB ，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得|P A |2+|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由． 解：（1）圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4，所以圆心C （2，0），半径为2． 因为l ∥AB ，A （﹣1，0），B （1，2），所以直线l 的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l 的方程为x ﹣y +m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d =|2+m|√2． 因为DE ＝AB =√22+22=2√2，而CD 2＝d 2+（MN2）2，所以4=(2+m)22+2， 解得m ＝0或m ＝﹣4，故直线l 的方程为x ﹣y ＝0或x ﹣y ﹣4＝0．（2）假设圆C 上存在点P ，设P （x ，y ），则（x ﹣2）2+y 2＝4， P A 2+PB 2＝（x +1）2+（y ﹣0）2+（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝12， 即x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝4， 因为|2﹣2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x ﹣2）2+y 2＝4与圆x 2+（y ﹣1）2＝4相交， 所以点P 的个数为2．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2csinAcosB +bsinB =52csinA ． （1）求sinA sinC．（2）若a ＞c ，角B 的平分线交AC 于D ， （Ⅰ）求证：BD 2＝BA •BC ﹣DA •DC ． （Ⅱ）若a ＝1，求DB •AC 的最大值． 解：（1）因为2csinAcosB +bsinB =52csinA ，结合正弦定理和余弦定理可得2ac ⋅a 2+c 2−b 22ac +b 2=52ac ， 即2a 2+2c 2﹣5ac ＝0，方程两边同时除以c 2（c ≠0）， 得2(ac )2+2−5ac =0，令a c =t(t ＞0)，所以2t 2+2﹣5t ＝0，解得t ＝2或12，即a c=2或12，所以sinA sinC=a c=2或12；（2）（Ⅰ）证明：在△ABD 中，由正弦定理得AD sin∠ABD=AB sin∠ADB①，由余弦定理得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos ∠ADB ②， 同理在△BCD 中，则CD sin∠CBD=BC sin∠CDB③，BC 2＝CD 2+BD 2﹣2CD •BD cos ∠CDB ④，因为BD 是∠ABC 的角平分线，则∠ABD ＝∠CBD ， 所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ，又∠ADB +∠CDB ＝π， 则sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ，cos ∠ADB +cos ∠CDB ＝0， ①÷③得AD CD=AB BC⑤，所以AD AC=AB AB+BC，CD AC=BC AB+BC，CD ×②+AD ×④得CD •AB 2+AD •BC 2＝CD •AD （AD +CD ）+（CD +AD ）•BD 2 ＝CD •AD •AC +AC •BD 2，所以BD 2=CD⋅AB 2+AD⋅BC 2AC −CD ⋅AD =BC⋅AB 2+AB⋅BC 2AB+BC−CD ⋅AD =BA ⋅BC −DA ⋅DC ，得证．（Ⅱ）因为a ＞c ，所以sinA sinC =2，即a ＝2c ＝1，由⑤式可知AD CD=AB BC=12，所以AD =13AC ，DC =23AC ， 由（1）得BD 2=12−29AC 2， 所以BD 2+29AC 2=12，BD 2+29AC 2≥2√23BD ⋅AC ，当且仅当BD =12，AC =3√24时等号成立， 所以BD ⋅AC ≤3√28，故DB •AC 的最大值为3√28． 22．（12分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =√22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP 'Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：（Ⅰ）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，左焦点F 1（﹣c ，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得y =±b 2a ，所以b 2a=2①，ca =√22②，a 2＝b 2+c 2③，联立①②③解得a ＝4，b =2√2， 所以椭圆方程为：x 216+y 28=1；（Ⅱ）设Q （t ，0）（t ＞0），圆的半径为r ，直线PP ′方程为：x ＝m （m ＞t ）， 则圆Q 的方程为：（x ﹣t ）2+y 2＝r 2， 由{(x −t)2+y 2=r 2x 216+y 28=1得x 2﹣4tx +2t 2+16﹣2r 2＝0，由Δ＝0，即16t 2﹣4（2t 2+16﹣2r 2）＝0，得t 2+r 2＝8，①把x ＝m 代入x 216+y 28=1，得y 2=8(1−m 216)=8−m 22，所以点P 坐标为（m ，√8−m 22），代入（x ﹣t ）2+y 2＝r 2，得(m −t)2+8−m22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2﹣4mt +m 2＝0，即m ＝2t ， S △PP′Q=12|PP′|(m −t)=√8−m 22×（m ﹣t ）=√8−2t 2×t =√2(4−t 2)t 2≤√2×(4−t 2)+t 22= 2√2， 当且仅当4﹣t 2＝t 2即t =√2时取等号，此时t +r =√2+√6＜4，椭圆上除P 、P ′外的点在圆Q 外，所以△PP 'Q 的面积S 的最大值为2√2，圆Q 的标准方程为：(x −√2)2+y 2=6．当圆心Q、直线PP′在y轴左侧时，由对称性可得圆Q的方程为(x+√2)2+y2=6，△PP'Q的面积S的最大值仍为2√2．。
2019-2020学年辽宁省实验中学高一(上)第一次月考数学试卷及答案
2019-2020学年辽宁省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|＜2}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若U＝R，则A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x≤1或2≤x＜4}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜0或x＞4}2．（5分）命题p：∀x＞0，＞0，则命题p的否定是（）A．∃x＞0，≤0B．∃x≤0，≤0C．∃x＞0，＜0D．∃x＞0，0≤x≤23．（5分）下列不等式中，正确的是（）A．若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞bB．若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＞1C．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，则ac2＞bc24．（5分）集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[3，4]C．[1，2]D．（2，3]5．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，并且满足+＝1，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或16．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8] 7．（5分）已知命题p：0＜a＜4，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则命题p是命题q为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且+＝1，则+的最小值为（）A．8B．10C．10D．169．（5分）设x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，则x+y的最小值为（）A．B．25C．11D．5+310．（5分）已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为真命题的是（）A．∀（x，y）∈A，4x+2y＜2B．∃（x，y）∈A，4x+2y＜2C．∀（x，y）∈A，4x+2y＜10D．∃（x，y）∈A，4x+2y＞1011．（5分）已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5B．9C．4+D．1012．（5分）关于x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，6]D．[﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的真子集个数为．14．（5分）已知命题p：﹣2≤x≤4，命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则m3﹣24m+2019＝．16．（5分）已知正数x，y满足xy++4y2＝2，则y的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知a，b，c∈R+，证明：（1）若a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2≥（a+b+c）2；（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，证明：++≥1．18．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B＝{x|ax2﹣2x+8＝0}．（1）是否存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．（10分）解关于x的不等式＞0（a∈R）．20．（10分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米（1≤x≤5）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．2019-2020学年辽宁省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|＜2}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若U＝R，则A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x≤1或2≤x＜4}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜0或x＞4}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜2}，U＝R，∴∁U B＝{x|x≤1或x≥2}，A∩∁U B＝{x|0＜x≤1或2≤x＜4}．故选：A．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题p：∀x＞0，＞0，则命题p的否定是（）A．∃x＞0，≤0B．∃x≤0，≤0C．∃x＞0，＜0D．∃x＞0，0≤x≤2【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题，结合命题与它的否定命题之间的关系，判断即可．【解答】解：命题p：∀x＞0，＞0，由于命题p中x取不到2，其命题的否定中应能取到，所以选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题与它的否定命题之间关系应用问题，解题时要注意“含定义域限制切记不要直接变号”，是基础题．3．（5分）下列不等式中，正确的是（）A．若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞bB．若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＞1C．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】根据不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞b，故A正确；对于B：若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＜1，故B错误；对于C：令a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，则ac＜bd，故C错误；对于D：c＝0时，错误；故选：A．【点评】本题考查了不等式问题，是一道基础题．4．（5分）集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[3，4]C．[1，2]D．（2，3]【分析】直接解分式是不等式以及二次不等式求出A，B，进而求出结论．【解答】解：∵集合A＝{x|≤0}＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝（2，3]．故选：D．【点评】本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，属于基础题．5．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，并且满足+＝1，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或1【分析】由根与系数的关系，可得x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又由+＝1，即可求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，∴△＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，∴m＞﹣，∵x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又∵+＝1，∴x1+x2＝x1•x2，∴2m+3＝m2，解得：m＝﹣1或m＝3，∵m＞﹣，∴m＝3，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2＝﹣，x1x2＝的应用．6．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8]【分析】由题意知，要使a+b≥c恒成立，即a+b的最小值≥c，利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵a，b均为正数，，∴a+b＝（a+b）×＝（5+）≥（5+2）＝，当且仅当，即b＝2a时，取等号；∴a+b的最小值是，由题意可知c，故选：A．【点评】本题通过恒成立问题的形式，考查了均值不等式，灵活运用了“2”的代换，是高考考查的重点内容．7．（5分）已知命题p：0＜a＜4，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则命题p是命题q为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对于命题q：讨论当a＝0的情况和a≠0时，根据一元二次函数图象与不等式的关系求得a的取值范围；再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，当a＝0时，1＞0成立，因此a＝0满足题意当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．综上可得：q：0≤a＜4．∵命题p：0＜a＜4⇒命题q：0≤a＜4，反之，命题q：0≤a＜4推不出命题p：0＜a＜4．∴命题p是命题q为真命题的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、充分必要条件的判定方法，考查了计算能力，属于基础题8．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且+＝1，则+的最小值为（）A．8B．10C．10D．16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：因为a＞0，b＞0，且+＝1，所以a+b＝ab，即（a﹣1）（b﹣1）＝1，则+＝＝，＝8a+2b﹣10，＝（8a+2b）（）﹣10，＝＝8，当且仅当且+＝1，即a＝，b＝3时取等号，此时取得最小值8．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．9．（5分）设x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，则x+y的最小值为（）A．B．25C．11D．5+3【分析】由已知变形可得9＝（x﹣4）（y﹣1），然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：∵x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，∴xy﹣x﹣4y＝5即x（y﹣1）﹣4y＝5，∴x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝9，∴9＝（x﹣4）（y﹣1）≤，∵x＞0，y＞0，∴x+y﹣5≥6即x+y≥11，当且仅当x＝7，y＝4时取等号．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为真命题的是（）A．∀（x，y）∈A，4x+2y＜2B．∃（x，y）∈A，4x+2y＜2C．∀（x，y）∈A，4x+2y＜10D．∃（x，y）∈A，4x+2y＞10【分析】令4x+2y＝μ（x+y）+λ（x﹣y），根据对应关系求出μ，λ的值，结合x+y，x﹣y 的范围，求出4x+2y的范围即可．【解答】解：令4x+2y＝μ（x+y）+λ（x﹣y），则，解得：μ＝3，λ＝1，故4x+2y＝3（x+y）+（x﹣y），而1＜x+y＜3，故3＜3（x+y）＜9，﹣1＜x﹣y＜1，则4x+2y∈（2，10），故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，考查转化思想，是一道常规题．11．（5分）已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5B．9C．4+D．10【分析】根据题意，将x+y＝++8变形可得（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，即有（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，结合基本不等式的性质可得（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，设t＝x+y，则有t2﹣8t﹣9≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，x+y＝++8，则（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，变形可得：（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，又由+≥2＝4，则有：（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，设t＝x+y，又由x，y＞0，则t＞0，则有t2﹣8t﹣9≥0，解可得t≥9或t≤﹣1，又由t＞0，则t≥9，则x+y的最小值为9；故选：B．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对x+y＝++8的变形．12．（5分）关于x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，6]D．[﹣2，+∞）【分析】由题意可得a≥在﹣2≤x≤0恒成立，即a≥在﹣2≤x≤0的最大值，由基本不等式求得最大值，可得a的范围．【解答】解：由﹣2≤x≤0，可得x﹣1∈[﹣3，﹣1]，x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，等价为a≥在﹣2≤x≤0恒成立，由＝＝（x﹣1）++2＝﹣[（1﹣x）+]+2≤﹣2+2＝2﹣4＝﹣2，当且仅当x＝﹣1时取得等号，所以a≥﹣2，故选：D．【点评】本题考查二次不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的真子集个数为7．【分析】求出集合M，从而求出M的真子集的个数即可．【解答】解：a＝1，b＝1时，x＝2，a＝1，b＝2时，x＝3，a＝0，b＝2时，x＝2，a＝0，b＝1时，x＝1，故M＝{1，2，3}，故M的真子集的个数是：23﹣1＝7个，故答案为：7．【点评】本题主要考察了集合的定义及性质，属常考题型，解题的关键是要根据集合M 的定义求出集合M．14．（5分）已知命题p：﹣2≤x≤4，命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是[4，+∞）．【分析】由命题p得到￢p：{x|x＜﹣2或x＞4}，设为集合A，同理得到￢q：{x|x＜2﹣m 或x＞2+m}，设为集合B．根据￢p是￢q的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，利用数轴建立关于m的不等式并解之，即可得到实数m的取值范围．【解答】解：∵p：{x|﹣2≤x≤4}，∴￢p：{x|x＜﹣2或x＞4}，设为集合A又∵q：{x||x﹣2|≤m，m＞0}．∴￢q：{x|x＜2﹣m或x＞2+m}，设为集合B∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，∴（两个等号不同时成立）解之得：m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．【点评】本题给出关于x的不等式的两个条件，在已知￢p是￢q的必要不充分条件的情况下求m的取值范围．着重考查了充分必要条件的判断和集合的包含关系等知识，属于基础题．15．（5分）已知m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则m3﹣24m+2019＝2014．【分析】根据m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，得到m2﹣5m+1＝0，再把所求等式转化为用m2﹣5m+1来表示即可求解结论．【解答】解：根据题意，m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，即m2﹣5m+1＝0，则m3﹣24m+2019＝m（m2﹣5m+1）+5（m2﹣5m+1）+2014＝2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用以及整体代换思想的应用，属于基础题．16．（5分）已知正数x，y满足xy++4y2＝2，则y的最大值为．【分析】由已知结合基本不等式x+≥2可建立关于y的不等式，解不等式可求．【解答】解：由题意可得，，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，所以4y2+2y﹣2≤0，解可得，﹣1，因为y＞0，故0＜y即y的最大值．故答案为：【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二次不等式的求解，属于基础试题．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知a，b，c∈R+，证明：（1）若a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2≥（a+b+c）2；（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，证明：++≥1．【分析】（1）把（a+b+c）2展开，然后利用基本不等式放缩即可证明结论；（2）由，，，作和后结合a+b+c＝1证得结论．【解答】证明：（1）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）＝3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥（a+b+c）2，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵a，b，c∈R+，∴，，，则，∴，即++≥1，当且仅当a＝b＝c时等号成立．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，是中档题．18．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B＝{x|ax2﹣2x+8＝0}．（1）是否存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可得a×22﹣2×2+8＝0，解得a＝﹣1，可求此时B＝{2，4}，即可得解．（2）由题意可得B只可能∅，{0}，{4}，{0，4}，分类讨论即可求解．【解答】解：（1）因为A＝{x|x2﹣4x＝0}＝{0，4}，所以2∈B且B中不含除0，2，4以外的实数，即a×22﹣2×2+8＝0，解得a＝﹣1，验证：此时B＝{2，4}，所以不存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}．（2）题干A∩B＝B可转化为B⊆A，即B只可能∅，{0}，{4}，{0，4}，①B＝∅，即△＜0，解得a＞，②B＝{0，4}，即，a无解，③B中只有一根时，i，a＝0，解得B＝{4}成立；ii，a≠0，即△＝0，解得a＝，此时B＝{8}不符合题意，综上所述，a∈{0}∪（，+∞）．【点评】本题主要考查了交集，并集及其运算，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题．19．（10分）解关于x的不等式＞0（a∈R）．【分析】不等式即（x2﹣x﹣2）（ax﹣1）＞0，分类讨论，求出它的解集．【解答】解：关于x的不等式＞0，即（x2﹣x﹣2）（ax﹣1）＞0，（1）当a＝0时，不等式即x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣1，2）．（2）当a≠0时，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，它的根为﹣1，2，．若＜﹣1，即﹣1＜a＜0，不等式即（﹣ax+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，）∪（﹣1，2）．若＝﹣1，即a＝﹣1，不等式即（x+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．若﹣1＜＜0，即a＜﹣1，不等式即（﹣ax+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，2）．若0＜＜2，即a＞2，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，）∪（2，+∞）．若＝2，即a＝2，不等式即（x﹣2）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，2）∪（2，+∞）．若＞2，即0＜a＜，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，2）∪（，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式、高次不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（10分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米（1≤x≤5）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．【分析】（1）设甲工程队的报价为y元，则y＝3（300×2x+400×）+14400，化简后，利用均值不等式即可求得最小值；（2）由题意知，1800（x+）+14400＞对任意的x∈[1，5]恒成立，参变分离后，得＞a恒成立，再令x+1＝t∈[2，6]，结合均值不等式求出y＝的最小值即可得解．【解答】解：（1）设甲工程队的报价为y元，而1≤x≤5，y＝3（300×2x+400×）+14400＝1800（x+）+14400≥1800×2×+14400＝28800，当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，所以当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为28800元．（2）由题意知，1800（x+）+14400＞对任意的x∈[1，5]恒成立，即＞，从而＞a恒成立，令x+1＝t∈[2，6]，则＝＝t++6≥2+6＝12，当且仅当t＝，即t＝3时，等号成立，所以0＜a＜12．【点评】本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，还涉及参变分离法和换元法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年辽宁省实验中学、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高一上学期期末考试数学试题
2019-2020高一上学期期末辽宁省五校联考数学试卷一. 选择题1．已知集合{}124A =，，，集合{}2log (1)1B x x =+>，则A B =（ ）A ．{}14，B ．{}24，C ．{}12，D ．{}42．用反证法证明命题“若220a b +=，则a ，b 全为0（a ，b R ∈）”，其假设正确的是（ ）A ．a ，b 至少有一个不为0B ．a ，b 至少有一个为0C ．a ，b 全不为0D ．a ，b 中只有一个为03．已知函数2()log (39)x f x =- ）A ．(23)，B ．(34]，C ．(24]，D ．(23)(34]，，4．已知2log 3.4a =， 1.22.1b =，0.3log3.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b c a << D ．c b a <<5．设0a >且1a ≠，则“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”是“函数()xf x a =在R 上是减函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7. 点O 在ABC ∆内部，520AO AB AC --=，则AOB ∆与ABC ∆的面积比为（ ） A. 51 B. 52 C. 53 D. 548. 若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 在)0,(-∞上是减函数，0)2(=f ，则不等式0)(≥x f 的解集为（ ）A. ),2[]2,(+∞⋃--∞B. ]2,0[]2,(⋃--∞C. ]2,0(]2,(⋃--∞D. ]2,2[- 9. 函数()()222x f x x x e =+的图象大致是（ ）A. B. C. D.10. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次，甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”.从以上回答分析，丙是第一名的概率是（ ）A.31 B. 41 C. 51 D. 6111. 已知函数x x x f 2)(2+=，m x g x +=)21()(，若对任意]2,1[1∈x ，存在]1,1[2-∈x ，使得)()(21x g x f ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A.]2,(-∞B. ]25,(-∞C. ),2[+∞D. ),25[+∞12. 已知函数)0(1)(11<-=++x ee xf x x 与xx ae e x g -=2)(的图像上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A.)11,(e +-∞B. ),1(+∞-eC. )11,(e --∞D. ),12(+∞-e二. 填空题13. 求2,3,5,6,8,10,12,13,15,16,18,19的25%的分位数_________.14. 已知平面向量(2,-1),(1,1),-2,1a b c ===（），如果//a kb c +（），则实数k 的值为____...15. 若2个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是____.16. 已知函数()()1022-10xx f x f x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩，，，（1）()2f =_____；（2）若方程f （x ）=32x +a有且仅有一个实根，则实数a 的取值范围_______.三. 解答题17．已知命题p ：{}2230A x x x x R =--≤∈，， 命题q ：{}22240B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈，， （1）若[13]AB =，，求实数m 的值；（2）若p 是q ⌝的充分条件，求实数m 的取值范围．18. 已知幂函数)()(322Z m x x f m m∈=++-是奇函数，且)2()1(f f <.（1）求m 的值，并确定)(x f 的解析式；（2）求函数()()22212log log f x f x y ⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦，]2,21[∈x 的值域.19. 港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件，从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，有测量结果得到如果所示的频率分布直方图，质量指标落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1（1）求这些桥梁构件质量指标值的平均值；（2）用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中抽取2件桥梁构件，求这2件桥梁构件都在区间[45,65)内的概率.20. 已知ABC ∆中，AB mAM =，AC nAN =，（0m >，0n >），若MN 与BC 交于点O ，且点O 为BC 的中点.（1）如果ABC ∆内一点D 满足420DA BD BC -+=，求DODA的值； （2）求12m n+的最小值.21. 已知函数()22f x x mx =--. （1）当1m =时，13212223x xx n f -⎛⎫≤--⎪⎝⎭在[]1,1x ∈-上恒成立，求n 的取值范围. （2）若函数()22f x x mx =--的两个零点分别为12,x x ，若对[]1,1m ∀∈-，[]1,1a ∀∈-，不等式22123x x t at -≤-+恒成立，求实数t 的取值范围.22. 已知函数()f x 的定义域为D ，对于给定的()*k k N ∈，若存在[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①函数()f x 在[],a b 上是单调函数；②函数()f x 在[],a b 上的值域是[],ka kb ，则称[],a b 是函数()f x 的k 级“理想区间”.（1）判断函数3y x =是否存在1级“理想区间”，若存在，请写出它们所有的“理想区间”（只需要直接写出结果）；（2）证明：函数()xf x e =存在3级“理想区间”；（ 2.71828e ≈）；（3）设函数()241xg x x =+，[]0,1x ∈，若函数()g x 存在k 级“理想区间”，求k 的值.。
辽宁省五大名校(辽宁实验中学等)2020-2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷命题学校：辽宁省实验中学命题人：高三数学组 校对人：高三数学组一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合AA ={xx |xx 2≤4}，BB ={xx ||xx |>1}，则AA ∩BB =( )AA . {xx |1<xx ≤2} BB . {xx |−2<xx <−1或1<xx <2} CC . {xx |−2≤xx <−1} DD . {xx |−2≤xx <−1或1<xx ≤2} 2.复数zz 满足：zz (1+ii )=1−ii ，则zz 的虚部等于（ ） AA . −ii BB . −1 CC .0 DD . 13. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ；标准差分别为1s ，2s ，则下面正确的是( )AA . 12m m >，12s s > BB . 12m m >，12s s < CC . 12m m <，12s s <DD . 12m m <，12s s >4.设0.45a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） AA . a b c << BB . c a b <<CC .c b a << DD . b c a <<5. 已知α是第二象限角，54sin =α，则=α2sin （ ） AA . 2524− BB . 2524 CC .2512− DD . 25126. 四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有（ ）种不同的排班方式.AA . 240 BB . 480 CC .420 DD . 360 7.已知抛物线CC ：yy 2=2ppxx (pp >0)，过焦点FF 的直线ll 交抛物线CC 于PP 、QQ 两点，交yy 轴于点AA ，若点PP 为线段FFAA 的中点，且|FFQQ |=2，则pp 的值为( )AA .32 BB . 34CC . 2 DD . 3 8.在底面边长为1的正四棱柱1111ABCD A B C D −中，侧棱长等于2，则（ ）AA . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有一个BB . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有两个CC . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有三个DD . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有四个二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分. 9.已知等比数列{aa nn }的前nn 项和为SS nn ，公比qq >1，nn ∈NN +，则（ ）AA . {aa nn }一定是递增数列 BB . {aa nn }可能是递增数列也可能是递减数列CC . aa 3、aa 7、aa 11仍成等比 DD . ∀nn ∈NN +,SS nn ≠010.定义在实数集RR 上的函数ff (xx )满足ff (1+xx )=−ff (1−xx )，且xx ≥1 时函数ff (xx )单调递增则（ ）AA . ff (1)=0 BB .ff (xx )是周期函数CC .方程ff (xx )=0有唯一实数解 DD .函数ff (xx )在(−∞,0)内单调递减11.为了得到)32sin(2π−=x y 的图像只需把函数)62cos(2π+=x y 的图像（ ） AA .向右平移2πBB .向左平移2πCC .关于直线xx =4π轴对称 DD .关于直线xx =6π轴对称12.方程ee xx +xx −2=0的根为xx 1，ln xx +xx −2=0的根为xx 2，则（ ） AA . xx 1xx 2>12BB .xx 1ln xx 2+xx 2ln xx 1<0CC .ee xx 1+ee xx 2<2ee DD . xx 1xx 2<√ee 2三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21,F F 为双曲线191622=−y x 的左、右焦点，则||21F F =14.已知正实数aa 、bb 满足aa +2bb =1，则2aa +1bb的最小值为15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有D C B A ,,,四位同学，已知AA 与BB 没有选择相同的兴趣小组，CC 与DD 没有选择相同的兴趣小组，BB 与CC 选择的兴趣小组恰有一个相同，且BB 选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①CC 可能没有选择足球兴趣小组；②AA 、DD 选择的两个兴趣小组可能都相同； ③DD 可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组； 其中正确判断是16.已知c b a ,,是平面向量，c a ,是单位向量，且3,π>=<c a ，若02092=+⋅−c b b ，则最大值是四、解答题：本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)在①74=ac ②sin BB =2sin AA ③csin AA =√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c 值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在∆AABBCC ，它的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且bb cos AA +aa cos BB +2cc cos CC =0，∆AABBCC 的面积是32， ？18.(本小题满分12分)某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为XX ，求XX 的分布列和数学期望；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19. (本小题满分12分)在四棱锥PP −AABBCCDD 中，PPDD ⊥底面AABBCCDD ，底面AABBCCDD 是菱形，PPDD =AADD =4， 60=∠BAD ，点FF 在棱PPDD 上. （1）若PD PF 21=，在棱BBCC 上是否存在一点EE ，使得CCFF //平面PPAAEE ，并说明理由； （2）若直线AAFF 与平面BBCCFF 所成的角的正弦值是1015，求二面角AA −FFBB −CC 的余弦值.20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且，31=a11−=+n n a S ，数列{}n b 为等差数列，42b a =，且752b b b =+，（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若()12++=n nn nb n b ac ，求{}n c 的前n 项和n T .21. (本小题满分12分)已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点FF 1、FF 2在x 轴上，离心率21=e ，经过点)3,(−c M (cc 为椭圆的半焦距).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)21MF F ∠的平分线l 与椭圆的另一个交点为N ，O 为坐标原点，求直线OOOO 与直线OONN 斜率的比值.22. (本小题满分12分)设函数x e ax x f 2)1()(−+=，曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程为1+−=x y . （1）求实数a 的值.（2）求证：当[]1,0∈x 时，)6cos 4(2)(22−+≥−x x x x f .。
2024-2025学年辽宁省沈阳市辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(含解析)
2024-2025学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若p ：lo g 2(a−1)<1,q ：3a−1<9，则p 是q 的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2.若sinθ=−2cosθ，则sinθ(sinθ+cosθ)=( )A. −65B. −25C. 25D. 653.已知函数f(x)=ln(x 2−ax−3+a 2)在[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A. (−∞,−1]B. (−∞,−1)C. (−∞,2]D. (2,+∞)4.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinAk =sinB3=sinC4(k 为非零实数)，则下列结论错误的是( )A. 当k =5时，△ABC 是直角三角形B. 当k =3时，△ABC 是锐角三角形C. 当k =2时，△ABC 是钝角三角形D. 当k =1时，△ABC 是钝角三角形5.耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪(如图所示)，已知噪音的声波曲线是y =3cos2x ，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是y =Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，0≤φ<2π)，则φ=( )A. π3B. π2C. πD. 3π26.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递减，若实数a 满足f(log 3a)+f(log 13a)≤2f(2)，则a 的取值范围是( )A. [19,9]B. (−∞,19]C. [12,2]D. (0,19]∪[9,+∞]7.已知正数x ，y ，z ，满足3x =4y =6z ，则下列说法不正确的是( )A. 1x +12y =1zB. x >y >zC. 1x +1z <2yD. 3x <4y <6z8.设函数f(x)=2sin(ωx−π6)−1(ω>0)在[π,2π]上至少有两个不同零点，则实数ω的取值范围是( )A. [32,+∞) B. [32,73]∪[52,+∞)C. [136,3]∪[196,+∞)D. [12,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
辽宁省实验中学2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷
2023-2024学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（每题5分）磁波在空气中的传播速度约为0.3km/μs ，1海里 1.852km =），则点P 的坐标（单位：海里）为（）A ．135322,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭B ．903211,77⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．3217,3⎛⎫± ⎪⎝⎭D ．()45,162±二、多选题（每题5分）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．他发现平面内到两个定点的距离之比为定值()1λλ≠的点所形成的图形是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()()1,0,1,0A B -．点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为E ，下列结论正确的是（）A ．曲线E 的圆心坐标为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．443PB ≤≤C ．曲线E 的周长为πD ．曲线E 上的点到直线10x y +-=的最小距离为()4213-10．已知曲线C 的方程为222113x y m m +=--（1m ≠±且3m ≠），则下列结论正确的是（）A ．当2m =时，曲线C 是焦距为4的双曲线B ．当4m =时，曲线C 是离心率为22的椭圆C ．曲线C 可能是一个圆D ．当3m =-时，曲线C 是渐近线方程为320x y ±=的双曲线11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（）A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为377y x =±C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为610-三、填空题（每题5分）四、解答题答案第1页，共1页。
辽宁省沈阳铁路实验中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
沈阳铁路实验中学2019-2020学年度下学期第二次月考数学试卷一.选择题（每题只有一个选项正确，每题5分） 1.函数1y x x=+的导数是（ ） A. 211x -B. 11x-C. 211x +D. 11x+【答案】A 【解析】试题分析：因为1y x x =+，由1()n n x nx -='可得211y x'=-，选A. 考点：导数的运算.2.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】B 【解析】方法数有1134C C 12=种.故选B.3.2101()x x+的展开式中含5x 项的系数为（ ） A. 160 B. 210 C. 120 D. 252【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定理及其二项展开式通项得：210203110101()()rrr r r r T C x C x x--+==，令2035r -=，解得r 的值，进而求得其系数.【详解】()102203110101rrrr rr T C xC xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当=5r 时，555610252T C x x ==. 故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项，属于基础题.4.设()f x 、()g x 在[],a b 上可导，且()()f x g x ''>，则当a x b <<时有（ ） A. ()()f x g x >B. ()()f x g x <C. ()()()()f x g b g x f b +>+D. ()()()()f x g a g x f a +>+【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()()F x f x g x =-，利用导数推导函数()y F x =在区间(),a b 上的单调性，进而可得出结果.【详解】设()()()F x f x g x =-，当a x b ≤≤时，()()f x g x ''>，则()()()0F x f x g x '''=->，所以，函数()y F x =在区间[],a b 上是增函数， 当a x b <<时，()()()F a F x F b <<，所以，()()()()f x g x f a g a ->-，即()()()()f x g a g x f a +>+；()()()()f x g x f b g b -<-，即()()()()f x g b g x f b +<+.故选：D.【点睛】本题考查函数不等式正误的判断，利用导数不等式的结构构造合适的函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5.()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（ ）A. 9-B. 5-C. 7D. 8【答案】A 【解析】 【分析】 将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x-+=⋅-,即可求得答案.【详解】()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C xx --⋅⋅=--42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=-- ∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题. 6.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A. 6 B. 6-C. 24D. 24-【答案】B 【解析】 【分析】 把x+1x 看作一项，写出61(1)x x +-的展开式的通项，再写出61()r x x-+的展开式的通项，由x 的指数为5求得r 、s 的值，则答案可求． 【详解】61(1)x x +-的展开式的通项为6161()(1)rr r r T C x x-+=⋅+⋅-． 61()r x x -+的展开式的通项为6161()s r s s s r T C x x--+-=⋅⋅=626s r s r C x ---⋅．由6﹣r ﹣2s=5，得r+2s=1， ∵r，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴在61(1)x x+-的展开式中，含x 5项的系数为10656C C -⋅=-． 故选B ．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7.已知函数()2ln 38f x x x =+，则0(12)(1)lim x f x f x∆→-∆-∆的值为（ ）A. 20-B. 10-C. 10D. 20【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则可得(1)10f '=，由导数的定义可得()0(12)(1)1lim 2x f x f f x∆→-∆-'=-∆，即可得解.【详解】由题意可得2()8f x x '=+，则2(1)8101f '=+=， 由导数的概念可得()0(12)(1)1lim102x f x f f x∆→-∆-'==-∆， 则00(12)(1)(12)(1)lim2lim 202x x f x f f x f x x∆→∆→-∆--∆-=-=-∆-∆. 故选：A.【点睛】本题考查了导数的定义和运算，属于基础题.8.如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）A. 36B. 48C. 72D. 108【答案】C 【解析】 【分析】对面SAB 与面SDC 同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案. 【详解】当面SAB 与面SDC 同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有2种方法，即4321248⨯⨯⨯⨯=种当面SAB 与面SDC 不同色时，面ABCD 有4种方法，面SDC 有3种方法，面SAD 有2种方法，面SAB 有1种方法，面SBC 有1种方法，即4321124⨯⨯⨯⨯=种 即不同的染色方法总数为482472+=种。
辽宁省实验中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含答案
辽宁省实验中学 2016 — 2017学年度上学期期中阶段测试咼一数学试卷考试时间: 120分钟 试题满分：150分 命题人： 王晓强校对人：石慧媛是符合题目要求的）1.设 U 二{1,2,3,4,5}，若 A 二{1 ,3,5}, B 二{1 ,2,3,4} , (C d Ap B=( )、选择题（本大题共 12小题，每题 5分，满分60分.在每题给出的四个选项中，只有一个A {1 ,2,4}B . {1 ,2}C{1 ,4}D• {2 ,4}2.以下各组两个函数是相同函数的是（ A. f x = . x -1 一 x 1 ,g x = . x 2 -1B. _______ 2f x -、2x -5 ,g x i=2x -5C.f (x) =| x -1|, g(x)二，x 2 - 2x 1D. f (n) =2n -1(n Z), g(n) =2n 1(n Z)3. 函数f （x ）二 1 -x 2 2」 (x ：： 1)f(f(-2))=( A.B.4. 函数f (x)x二 e -eA. 奇函数, C. 偶函数, (x-1)C.2D.且在（_：：,•：：）上是增函数奇函数，且在 （-：：,=）上是减函数 且在（」：，丫：）上是增函数偶函数，且在 （-：：,=）上是减函数5.已知函数2f （x ）二log 2（4x - X ），函数的值域A.(0 , 4)B. (一:：,2]C.(0 , 2)D.(」=,2)6.幕函数y =x ＞的图像如右图所示，则 :的值可以为(8.二次函数y =ax 2・bx 与指数函数y =(—)x 的图象只可能是()a19.已知f (x) =X 3 -()心则其零点所在区间为()2A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)② 函数图像关于原点中心对称； ③ 函数是值域是R ；④ 函数图像经过第一、三象限 .其中正确命题的个数是(A. 3B. -3C. 2D.-27.已知 X =1.10.1, 1.1y=0.9z 二 log 42 ，则(33A. x y zB.y x z C. y z xD.110. 定义在R 上的奇函数f (x)，满足f (? x)A f (0.3) ：：： f ( 、2) ：： f(20)B.C. f (0.3) ：：： f (20) ：： f(、2)D.11. 关于函数y =lnC x 2，1 -x)有如下命题：① 函数是R 上的单调递减函数； 1 1= f(—-x)，在区间［,0］上递增，则()2 2f(20) ：： f (0.3) ：：： f C ，2)12. 定义在R 上的奇函数f (x),当X _ 0时，x ・[t,t ・2], f(x ・t)_2f(x)恒成立，则实数t 的范围是(、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分) 13.已知函数f(x) =a x +b(a >0且a 幻)的图像经过点(1, —2)，它的反函数的图像经过点 (-4, 0)，则 f (2)=a b1 1 1 nt[14. 已知 2 =7 = m ，•则 m =a 2b 215. 函数f (x) =| x 2 • 2x -4| _k 有两个不同的零点则 k 的取值范围是16. 定义区间 c,d 、C,d 、c,d 1、lc,d 1的长度均为d-cd c .已知实数a, b a b .23则满足1的x 构成的区间的长度之和为x-a x-b三、解答题(本大题共 6小题，满分70分.解答须写出必要的文字说明或演算步骤) 17. (本小题满分10分)已知关于x 的方程(m 2「1)x 2「(m • 1)x 「2 = 0 (x • R)，若方程的两根一个比 「1大，一个比-1小，求实数m 的取值范围18. (本小题满分12分)记函数f(x)=lg(x -X-2)的定义域为集合 A ，函数g(x)「3-|x|的定义域为集合 B . (1) 求 A - B 和 A_ B ;(2) 若= ^x| 4x p :: 0｝， C 二A ，求实数p 的取值范围. 19. (本小题满分12分)1 133A.4B. 3C. 2D. 1of (x) =x ,对任意的A. t _ 2B.t _2 C.已知函数f(x)=( - -) x310 -1 2(1)求函数f (x)的定义域；⑵判定并证明f(x)的奇偶性；⑶求证：f (x) 020. (本小题满分12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元, 但实际出厂单价不能低于51元。
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2019-2020学年辽宁省实验中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每题只有一个正确选项，将正确选项涂在答题卡相应位置，每题正确得5分，错误不得分，共10题，满分50分） 1．数列1，3，7，15，⋯⋯的通项可以是( ) A ．21n -B ．21n -C ．21n -D ．21n n -+2．点(3,2)A -，(3,2)B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A ．4132a-剟 B ．1a …或1a -… C ．11a -剟D ．43a …或12a …3．若直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则(a = ) A ．2或1-B ．2C ．1-D ．以上都不对4．以双曲线22:13y C x -=的右焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程是( ) A ．22(2)3x y -+= B ．22(2)3x y ++=C ．22(2)1x y -+=D ．22(1)1x y ++=5．若圆22240x y x y m +-++=截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．31-6．若直线1:30(0)l x y m m ++=>与直线2:2630l x y +-=，则(m = ) A ．7B ．172C ．14D ．177．已知椭圆22:134x y C +=的上焦点为F ，直线10x y +-=和10x y ++=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D ，则||||||||(AF BF CF DF +++= ) A．B．C ．4D ．88．数列{}n a ，{}n b 满足11111,2,n n n nb a b a a n N b +++==-==∈，则数列{}n a b 的前n 项和为( )A ．14(41)3n --B ．4(41)3n -C ．11(41)3n --D ．1(41)3n -9．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D ．1310．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点(3,3)A --，31(,)22B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为( )A B +C D ．二、多项选择题（每题至少有两个正确选项，将所有正确选项涂在答题卡相应位置，每题5分，全部正确得5分，选项不全得2分，若有错误选项得0分，共2题，满分10分） 11．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记(0,1)n a n n b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是( )A ．nB ．nqC ．12(1)n n nq nq nq q q ++---D ．2112(1)n n n q nq nq q q ++++---12．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)C x y r ++=和22222:(2)C x y r -+=，其中1r ，2r 为正常数，满足124r r +<或12||4r r ->，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( ) A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线三、填空题（将正确答案填在答题卡相应位置，每题5分，共20分） 13．实轴长为12，离心率为2，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为 ．14．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，且*21()n n n a a a n N ++=-∈，则2020a = ． 15．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k = ．16．已知数列{}n a 中，11a =，1(2,)n n a a n n n N --=∈…，设12321111n n n n nb a a a a +++=+++⋯+，若对任意的正整数n ，当[1m ∈，2]时，不等式213n m mt b -+>恒成立，则实数t 的取值范围是 ．四、解答题（将解题步骤，必要的文字说明和计算结果写在答题卡相应位置，共70分） 17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．如图，DP y ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||3||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时，（1）求点M 的轨迹方程．（2）过点1(1,)3Q 作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l的方程．19．黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色，黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的．只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊．在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为32000/m s ，黄河水的含沙量为32/kg m ，洮河水的含沙量为320/kg m ，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换31000m 的水量，即从洮河流入黄河31000m 的水混合后，又从黄河流入31000m 的水到洮河再混合．（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于30.01/kg m ？（不考虑泥沙沉淀）20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F ，且过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点，2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC 的方程．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F ，M 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△12MF F 的周长为4+． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:(0)l y kx m k =+≠是圆224:3O x y +=的切线，l 与椭圆C 交与不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值．22．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A 是指该球的球心点A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图，设母球A 的位置为(0,0)，目标球B 的位置为(4,0)，要使目标球B 向(8,4)C -处运动，求母球A 球心运动的直线方程；（2）如图，若母球A的位置为(0,2)-，目标球B的位置为(4,0)，能否让母球A击打目标B 球后，使目标B球向(8,4)-处运动？（3）若A的位置为(0,)a时，使得母球A击打目标球B时，目标球(4,0)B运动方向可以碰到目标球11(8,)2-，求a的最小值（只需要写出结果即可）2019-2020学年辽宁省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每题只有一个正确选项，将正确选项涂在答题卡相应位置，每题正确得5分，错误不得分，共10题，满分50分） 1．数列1，3，7，15，⋯⋯的通项可以是( ) A ．21n -B ．21n -C ．21n -D ．21n n -+【解答】解：依题意，1112a +=，所以1121a =-，2212a +=，所以2221a =-， 3312a +=，所以3321a =-，⋯⋯故数列1，3，7，15，⋯⋯的通项可以是21n -， 故选：C ．2．点(3,2)A -，(3,2)B ，直线10ax y --=与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是( ) A ．4132a-剟 B ．1a …或1a -… C ．11a -剟D ．43a …或12a …【解答】解：由直线10ax y --=的方程，判断恒过(0,1)P -， 如下图示：1PA K =-，1PB K =，结合图象可得：实数a 的取值范围是：1a -…或1a …． 故选：B ．3．若直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则(a = )A ．2或1-B ．2C ．1-D ．以上都不对【解答】解：直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行， (1)210a a ∴--⨯=，解得2a =，或1a =-当2a =时，两直线重合． 故选：C ．4．以双曲线22:13y C x -=的右焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程是( )A ．22(2)3x y -+=B ．22(2)3x y ++=C ．22(2)1x y -+=D ．22(1)1x y ++=【解答】解：根据题意，双曲线22:13y C x -=，其焦点在x 轴上，且1a =，b =， 则2c =，则双曲线的右焦点坐标为(2,0)，渐近线方程为y =0y ±=，则右焦点到渐近线的距离d ==则要求圆的圆心为(2,0)，半径r =， 则要求圆的方程为22(2)3x y -+=， 故选：A ．5．若圆22240x y x y m +-++=截直线30x y --=所得弦长为6，则实数m 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．31-【解答】解：由圆22240x y x y m +-++= 即22(1)(2)5x y m -++=-， ∴圆心为(1,2)-，∴圆心在直线30x y --=上， ∴此圆直径为6，则半径为3，253m ∴-=，4m ∴=-故实数m 的值为4-． 故选：C ．6．若直线1:30(0)l x y m m ++=>与直线2:2630l x y +-=，则(m = ) A ．7B ．172C ．14D ．17【解答】解：直线1:30(0)l x y m m ++=>，即2620x y m ++=， 它与直线2:2630l x y +-=，∴=，求得172m =， 故选：B ．7．已知椭圆22:134x y C +=的上焦点为F ，直线10x y +-=和10x y ++=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D ，则||||||||(AF BF CF DF +++= ) A．B．C ．4D ．8【解答】解：如图：两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接1AF ，FD ．由椭圆的对称性可知，四边形1AFDF （其中1F 是椭圆的下焦点）为平行四边形，所以1AF FD =，同理1BF CF =．所以1148AF BF CF DF AF BF BF AF a +++=+++==． 故选：D ．8．数列{}n a ，{}n b 满足11111,2,n n n nb a b a a n N b +++==-==∈，则数列{}n a b 的前n 项和为( )A ．14(41)3n --B ．4(41)3n -C ．11(41)3n --D ．1(41)3n -【解答】解：数列{}n a ，{}n b 满足11111,2,n n n nba b a a n N b +++==-==∈，则数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列． 故21n a n =-，12n n b -=， 所以22124n n n a b --==，所以1411144(41)413n n n n S --=++⋯+==--， 故选：D ．9．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，则该椭圆的离心率为( )A ．12B C D ．13【解答】解：椭圆的长轴为2a ，短轴的长为2b ，“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，可得2cos602ba=︒，即2a b =，所以c e a ===． 故选：C ．10．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点(3,3)A --，31(,)22B ，则||||||AP PQ QB ++的最小值为( )A B +C D ．【解答】解：由平行线距离公式得：||PQ ==，设(,2)P a a --，则3(2Q a +，1)2a --， 所以2232|||((3AP PQ QB +++，设点(,)M a a ，(1,3)C -，(1,0)D -，如下图：则有：||||||MC MD CD =+=…（即当D 、M 、C 三点共线时等号成立），综上，||||||AP PQ QB ++． 故选：B ．二、多项选择题（每题至少有两个正确选项，将所有正确选项涂在答题卡相应位置，每题5分，全部正确得5分，选项不全得2分，若有错误选项得0分，共2题，满分10分） 11．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记(0,1)n a n n b a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是( )A ．nB ．nqC ．12(1)n n nq nq nq q q ++---D ．2112(1)n n n q nq nq q q ++++---【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =，即2111(3)()(7)a d a d a d +=++，化简得：(1)0d d -=，所以0d =或1， 故1n a =或n a n =，所以n b q =或n n b n q =，设{}n b 的前n 项和为n S ， ①当n b q =时，n S nq =； ②当n n b n q =时，23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）， 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2），（1）-（2）得：2311(1)(1)1n nn n n q q q S q q q q n q n q q++--=+++⋯⋯+-⨯=-⨯-，所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---， 故选：BD ．12．在平面直角坐标系中，有两个圆22211:(2)C x y r ++=和22222:(2)C x y r -+=，其中1r ，2r 为正常数，满足124r r +<或12||4r r ->，一个动圆P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( ) A ．两个椭圆B ．两个双曲线C ．一个双曲线和一条直线D ．一个椭圆和一个双曲线【解答】解：根据题意圆1(2,0)C -，半径1r ，圆2(2,0)C ，半径2r ，所以124C C =，设圆P 的半径为r ，（1）当124r r +<，即两圆外离时，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，①均内切时11||PC r r =-，22||PC r r =-，此时1212||||||||PC PC r r -=-， 当12r r ≠时，此时P 点的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线， 当12r r =时，此时点P 在1C ，2C 的垂直平分线上．②均外切时11||PC r r =+，22||PC r r =+，此时1212||||||||PC PC r r -=-． 此时P 点的轨迹是与①相同．③与一个内切与一个外切时，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切， 11||PC r r =-，22||PC r r =+，2112||||PC PC r r -=+与圆2C 内切，与圆1C 外切时，同理得，1212||||PC PC r r -=+ 此时点P 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．（2）当124r r +>，两圆相交，动圆P 可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切， ④均内切时轨迹和①相同． ⑤均外切时轨迹和①相同⑥与一个内切另一个外切时，不妨设与圆1C 内切，与圆2C 外切， 11||PC r r =-，22||PC r r =+，1212||||PC PC r r +=+此时点P 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆．与圆2C 内切，与圆1C 外切时，同理得1212|||PC PC r r +=+， 此时点P 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆． 故选：BCD ．三、填空题（将正确答案填在答题卡相应位置，每题5分，共20分）13．实轴长为12，离心率为2，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为2136108y -= ． 【解答】解：根据题意，要求双曲线的实轴长为12，则212a =，即6a =， 又由其离心率2e =，即2ce a==，则有12c =，则b ==，又由双曲线的焦点在x 轴上，则其标准方程为：22136108x y -=； 故答案为：22136108x y -=． 14．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，且*21()n n n a a a n N ++=-∈，则2020a = 1- ． 【解答】解：法一：令1n =，则321514a a a =-=-=； 令2n =，则432451a a a =-=-=-；令3n =，则543145a a a =-=--=-；令4n =，则6545(1)4a a a =-=---=-； 令5n =，则7654(5)1a a a =-=---=； 令6n =，则8761(4)5a a a =-=--=； ∴数列{}n a 为周期为6的周期数列，20203366441a a a ⨯+∴===-．法二：*21()n n n a a a n N ++=-∈①， 321n n n a a a +++=-②，①+②得32121n n n n n n a a a a a a ++++++=-+-， 3n n a a +∴=-，63n n n a a a ++∴=-=，{}n a 周期为6， 2020336644a a a ⨯+∴==，∴由11a =，25a =，得34a =，41a =-．15．已知直线1:350l x y +-=，2:310l kx y -+=．若1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k = 1± ．【解答】解：由题意知，1l ，2l 与两坐标轴围成的四边形有一组对角互补．由于直线1:350l x y +-=是一条斜率等于13-的固定直线，直线2:310l kx y -+=经过定点(0,1)A ，当直线2l 的斜率大于零时，应有12l l ⊥，3∴1()13k ⨯-=-，解得1k =．当直线2l 的斜率小于零时，如图所示：设直线1l 与y 轴的交点为B ，与x 轴的交点为C ，2l与x 轴的交点为D ，要使四边形ABCD 是圆内接四边形，应有ABC ∠与ADC ∠互补，即tan tan ABC ADC ∠=-∠． 再由1tan(90)3BC ABC K ︒+∠==-，可得tan 3ABC ∠=，tan 33AD ADC K k ∴∠=-==，解得1k =-．综上可得，1k =或1k =-， 故答案为：1±．16．已知数列{}n a 中，11a =，1(2,)n n a a n n n N --=∈…，设12321111n n n n nb a a a a +++=+++⋯+，若对任意的正整数n ，当[1m ∈，2]时，不等式213n m mt b -+>恒成立，则实数t 的取值范围是 (,1)-∞ ．【解答】解：11a =，1(2,)n n a a n n n N --=∈…，当2n …时，1n n a a n --=，121n n a a n ---=-，⋯，212a a -=， 并项相加，得：1(1)32n a a n n -=+-+⋯++， 1123(1)2n a n n n ∴=+++⋯+=+， 又当1n =时，111(11)12a =⨯⨯+=也满足上式， ∴数列{}n a 的通项公式为1(1)2n a n n =+， 12321111n n n n nb a a a a +++∴=+++⋯+222(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n n n =++⋯++++++1111112()1223221n n n n n n =-+-+⋯+-+++++211222()112123123n n n n n n n=-==++++++， 令1()2(1)f x x x x =+…，则21()2f x x'=-，当1x …时，()0f x '>恒成立， ()f x ∴在[1x ∈，)+∞上是增函数，故当1x =时，()min f x f =（1）3=，即当1n =时，1()3n max b =，对任意的正整数n ，当[1m ∈，2]时，不等式213n m mt b -+>恒成立， 则须使211()33n max m mt b -+>=， 即20m mt ->对[1m ∀∈，2]恒成立，即t m <的最小值， 可得得1t <，∴实数t 的取值范围为(,1)-∞，故答案为：(,1)-∞．四、解答题（将解题步骤，必要的文字说明和计算结果写在答题卡相应位置，共70分） 17．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． 149a a ∴+=，14238a a a a ==．解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍)， 解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a -=；（2）1(1)211n n n a q S q -==--， 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-∴===-， ∴数列{}n b 的前n 项和11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+⋯+-=-=--．18．如图，DP y ⊥轴，点M 在DP 的延长线上，且||3||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时，（1）求点M 的轨迹方程．（2）过点1(1,)3Q 作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l的方程．【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，则(0,)D y ，0y y =，0||||DP x =，||||DM x =， ||3||DM DP =，03x x ∴= 003x x y y =⎧⎨=⎩， ∴003x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩① P 在圆221x y +=上，∴2201x y +=， 把①代入可得：2219x y +=．||3||DM DP =，||0DP ∴≠，0x ∴≠， ∴221(0)9x y x +=≠． （2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．代入可得：221119x y +=，222219x y +=，相减可得：12121212()()()()09x x x x y y y y +-++-=．又122x x +=，1223y y +=．∴22093l k +=，可得：13l k =-． ∴直线l 的方程为：11(1)33y x -=--，化为：320x y +-=． 19．黄河被称为我国的母亲河，它的得名据说来自于河水的颜色，黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色，黄河的水源来自青海高原，上游的1000公里的河水是非常清澈的．只是中游流经黄土高原，又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊．在刘家峡水库附近，清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合，在两条河流的交汇处，水的颜色一清一浊，互不交融，泾渭分明，形成了一条奇特的水中分界线，设黄河和洮河在汛期的水流量均为32000/m s ，黄河水的含沙量为32/kg m ，洮河水的含沙量为320/kg m ，假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点，两股河水在流经相邻的观测点的过程中，其混合效果相当于两股河水在1秒内交换31000m 的水量，即从洮河流入黄河31000m 的水混合后，又从黄河流入31000m 的水到洮河再混合．（1）求经过第二个观测点时，两股河水的含沙量；（2）从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于30.01/kg m ？（不考虑泥沙沉淀）【解答】解：（1）在第二个观测点时，洮河流入黄河31000m 的水混合后， 黄河的含沙量为：3220002010008/3000kg m ⨯+⨯=，又从黄河流入31000m 的水到洮河再混合后，洮河的含沙量为38100020100014/2000kg m ⨯+⨯=．（2）设在第n 个观测点时黄河的含沙量为n a ，洮河的含沙量为n b ， 由题意有12a =，120b =，且110002*********n n n nn b a a b a +++==， 1110001000220003n n n nn b a a b b ++++==， 所以111()3n n n n b a b a ++-=-，1118b a -=，所以1118()3n n n b a --=⨯，根据题意，有1118()0.013n -⨯<，即131800n ->，解得7n >，所以从第8个观测点开始．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F ，且过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一位于x 轴上方的动点，2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC 的方程．【解答】解：（1）将两点代入椭圆方程，有2222111213124a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）因为A 在x 轴上方，可知2AF 斜率不为0，故可以设2AF 的方程为1x ty =+，22221(2)21021x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 得1221222212t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以12||||AB y y =-= 设原点到直线2AF 的距离为d，则d =所以2ABC OAB S S ∆∆= 12||2AB d =⨯⨯⨯==，ABC ∆．在0t =时取到等号成立，此时AB 的方程为：1x =，可得，A，(1,B，(1,C -，此时BC的方程为：y = 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点1F ，2F ，M 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△12MF F的周长为4+． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:(0)l y kx m k =+≠是圆224:3O x y +=的切线，l 与椭圆C 交与不同的两点Q ，R ，证明：QOR ∠的大小为定值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知周长为224a c +=+ 焦点在圆上，所以b c =，222c a b =-，解得2,a b c ===所以椭圆方程为22142x y +=． （2=，即22344m k =+， 联立22222(12)4240142y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理可得21221222412412m x x k kmx x k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩，1212()()y y kx m kx m ∴=++221212()()k x x km x x m =+++222222222222444121212m k k k m m k m k k k --=-+=+++，∴22121224()()12m k y y kx m kx m k -=++=+， ∴2212122344021m k OP OQ x x y y k --=+==+， ∴2ROQ π∠=为定值．22．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球A 是指该球的球心点A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：（1）如图，设母球A 的位置为(0,0)，目标球B 的位置为(4,0)，要使目标球B 向(8,4)C -处运动，求母球A 球心运动的直线方程；（2）如图，若母球A 的位置为(0,2)-，目标球B 的位置为(4,0)，能否让母球A 击打目标B 球后，使目标B 球向(8,4)-处运动？（3）若A 的位置为(0,)a 时，使得母球A 击打目标球B 时，目标球(4,0)B 运动方向可以碰到目标球11(8,)2-，求a 的最小值（只需要写出结果即可）【解答】解：（1）点(4,0)B 与点(8,4)C -的直线方程为：40x y +-=，依题意，知A ，B 两球碰撞时，球A 的球心在直线40x y +-=上，且在第一象限， 此时||2AB =，设A ，B 两球碰撞时球A 的球心坐标为(,)a b ，则有：4020,0a b a b +-=⎧=>>⎪⎩，解得：4a =b =，即：A ，B 两球碰撞时球A的球心坐标为(4A '， 所以，母球A运动的直线方程为：y ==（2）(0,2)A -，(4A '-，要使B 沿着40x y +-=的方向移动，则AA '的斜率小于等于1，而1AA k '==>， 故不可能让母球A 击打目标球B 球后，使目标球B 向(8,4)-运动；（3）得a 最小为2-．。