高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.2 抛物线的几何性质对点训练 理

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.2 抛物线的
几何性质对点训练 理
1．如图，设抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )
A.|BF |－1|AF |－1
B.|BF |2
－1|AF |2
－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2
＋1
答案 A
解析 由题可知抛物线的准线方程为x ＝－1.如图所示，过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2，过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2，则
S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB 2||AA 2|＝|BF |－1
|AF |－1
.
2.已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一
个交点．若FP →＝4FQ →
，则|QF |＝( )
A.72 B ．3 C.52
D ．2
答案 B
解析 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4.
过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ， 则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34，∴|HQ |＝3.
∴|QF |＝3.
3．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )
A ．－43
B ．－1
C ．－34
D ．－12
答案 C
解析 由点A (－2,3)在抛物线C ：y 2
＝2px 的准线上，得焦点F (2,0)，∴k AF ＝3－2－2＝
－3
4
，故选C. 4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2
＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．[0,2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
答案 C
解析 设圆的半径为r ，因为F (0,2)是圆心，抛物线C 的准线方程为y ＝－2，由圆与准线相交知4<r ，因为点M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2
＝8y 上一点，所以r ＝|FM |＝y 0＋2>4，所以y 0>2.故选C.
5．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x
2
＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．
答案 32
解析 由题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ，抛物线的焦点坐标为F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，p 2.不妨设
点A 在第一象限，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝b a
x
x 2＝2py
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2pb
a
y ＝2pb
2
a
2
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0
y ＝0，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a
，2pb 2
a 2.所
以k AF ＝2pb
2
a 2－
p
22pb a
＝4b 2－a 2
4ab
.由已知F 为△OAB 的垂心，所以直线AF 与另一条渐近线垂直，故
k AF ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，即4b 2
－a 2
4ab ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b a ＝－1，整理得b 2＝54a 2，所以c 2＝a 2＋b 2
＝94a 2，故c ＝32a ，
即e ＝c a ＝3
2
.
6．若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 29＋y 2
5＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为
________．
答案 x ＝－2
解析 ∵c 2
＝9－5＝4，∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2,0)，∴p
2＝2，∴抛物线
的准线方程为x ＝－2.
7．已知A 是抛物线y 2
＝4x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线FA 交抛物线的准线于点
B (点B 在x 轴上方)，若|AB |＝2|AF |，则点A 的坐标为________．
答案 (3，－23)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，233
解析 依题意，①若点A 位于x 轴上方，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A 1，则有|AB |＝2|AF |＝2|AA 1|，∠BAA 1＝60°，直线AF 的倾斜角为120°.又点F (1,0)，因此直线AF ：y ＝－3(x －1)．
由⎩⎨
⎧
y ＝－3x －1y 2＝4x y >0
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝13y ＝233
，此时点A 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，233.②若点A 位
于x 轴下方，则此时点F (1,0)是线段AB 的中点，又点B 的横坐标是－1，故点A 的横坐标是2×1－(－1)＝3，相应的纵坐标是y ＝－4×3＝－23，点A 的坐标是(3，－23)．综
上所述，点A 的坐标是(3，－23)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，233.
8．已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2
＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →
.
(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．
解 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1.
设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)．
由PF →＝3FM →
，分别得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫223，23.
(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，
x 2
＝4y 得x 2
－4kx －4m ＝0.
于是Δ＝16k 2
＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， 所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2
＋m )．
由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2
＋m －1)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2
－3m .由x 20＝4y 0得k 2
＝－15m ＋415
.
由Δ>0，k 2
≥0，得－13<m ≤43.
又因为|AB |＝41＋k 2
·k 2
＋m ， 点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝
|m －1|1＋k
2
.
所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2
＋m ＝
1615
3m 3
－5m 2
＋m ＋1.
记f (m )＝3m 3－5m 2
＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13
<m ≤43.
令f ′(m )＝9m 2
－10m ＋1＝0，解得m 1＝19
，m 2＝1.
可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫19＝256243>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43. 所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±55
15.
所以，△ABP 面积的最大值为2565
135
.
9．设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；
(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A 、B 两点，且|AB |＝26，求k 的值； (3)设点P 的轨迹是曲线C ，点Q (1，y 0)是曲线C 上的一点，求以Q 为切点的曲线C 的切线方程．
解 (1)过P 作x 轴的垂线且垂足为N ，则|PN |＝y ，由题意可知|PM |－|PN |＝1
2
，∴
x 2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
y －12
2＝y ＋12
，
化简得x 2
＝2y (y ≥0)，即为所求． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2
＝2y 化简得x 2
－2kx －2＝0，
∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2， |AB |＝1＋k
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝1＋k
2
4k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2
≥0，
∴k 2
＝1，∴k ＝±1.
(3)因为Q (1，y 0)是曲线C 上一点，∴12
＝2y 0，∴y 0＝12，
∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，由y ＝12x 2，求导得y ′＝x ， ∴当x ＝1时，k ＝1.
则切线方程为y －1
2＝x －1，即2x －2y －1＝0.。