【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.7柱、锥、台和球的体积课件 新人教B版必修2

∴ V 平 行六面 体＝ Sa. 1 又 V 棱柱 ABC－ A′ B′ C′＝ V 平行 六面 体， 2 Sa ∴ V 棱柱 ABC－ A′ B′ C′＝ . 2
点评】 当所给几何体的体积不易求出时， 【 点评 】 当所给几何体的体积不易求出时 ， 我们可以通过“割补法” 我们可以通过 “ 割补法 ” ， 使之变形为我们 熟悉的几何体去解决． 熟悉的几何体去解决．
(1)如图 ， 当两个截面位于球心 O 的 同侧时 ， 有 如图 同侧时， 2 2 2 2 R － r1－ R － r2 ＝ 1， ， 2 2 ∴ R － 5＝ 1＋ R － 8.解得 R＝ 3， ＝ ＋ 解得 ＝ ， 4 3 ∴ V 球＝ π× 3 ＝ 36π. × 3 (2)当两个截面位于球心 O 的异侧时， 当两个截面位于球心 的异侧时， 2 2 2 2 有 R － r1＋ R － r2 ＝ 1，此方程无解． ，此方程无解． 综合(1)(2)知球的体积为 36π. 综合 知球的体积为
台体的体积 将台体的体积与上、 将台体的体积与上、下底面积及高建立函 数关系或者根据等量建立方程． 数关系或者根据等量建立方程．
例2 已知正四棱台两底面边长分别为 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和 和
10 cm，侧面积是 求正四棱台的体积． ，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积． 求正四棱台的体积 【分析】 分析】 借助于正四棱台内直角梯形，求得 借助于正四棱台内直角梯形，
球的体积 关键是找出球的半径或者半径与其它量之间 的关系． 的关系．
球的两个平行截面的面积分别是5π， ， 例3 球的两个平行截面的面积分别是 ， 8π， 两截面间距离为1，求球的体积． 两截面间距离为 ，求球的体积． 【分析】 分析】 半径． 半径． 应用轴截面中的直角三角形来求球的
如图， 【解 】 如图，设两个平行截面圆的半径分别为 r1， 2 r2 ，球半径为 R，则由 πr1 ＝ 5π，得 r1＝ 5. ， ， 2 ， 由 πr 2＝ 8π，得 r2＝ 2 2.
跟踪训练1 跟踪训练
正三棱柱侧面的一条对角线长
为2且与该侧面内的底边所成角为 °，求 且与该侧面内的底边所成角为45° 且与该侧面内的底边所成角为 此三棱柱体积． 此三棱柱体积．
解：如图为正三棱柱 ABC－ A1 B1 C1 ，则有 AB1＝ 2， － ， ∠ B1 AB＝ 45°， ＝ ， ∴ AB＝ BB1＝ 2， ＝ ， 1 3 3 ∴ S△ ABC＝ × 2× × 2＝ . × ＝ 2 2 2 3 6 ∴ V 三 棱柱＝ × 2＝ . ＝ 2 2 6 即此三棱柱的体积为 . 2
例1
如图， 过侧棱BB′ 、 CC′ 分别作侧面 【 解 】 如图 ， 过侧棱 ′ ′ AC′、 AB′的平行平面 ， DD′是交线 ， 再伸展 ′ ′ 的平行平面， ′ 是交线， 两 底 面 ， 得 到 平 行 六 面 体 ABDC － A′B′D′C′. ′ ′ ′ ′ 侧面AA′ ′ 的面积为 的面积为S，设此面为底面， ∵侧面 ′C′C的面积为 ，设此面为底面，则 平行六面体BDD′B′－ACC′A′的高为 ， 平行六面体 ′ ′ ′ ′的高为a，
3．祖暅原理的应用 ． 等高 ______________、_________的两个柱体或锥体 、 的两个柱体或锥体 等底面积 的体积相等． 的体积相等． 4．柱、锥、台、球的体积 ． 其中S表示面积 ， 表示高 ′ 表示高， 分别表示上、 其中 表示面积， h表示高 ， r′ 和 r分别表示上 、 表示面积 分别表示上 下底面的半径， 表示球的半径 表示球的半径. 下底面的半径，R表示球的半径
点评】 【 点评 】
在求台体的体积时， 在求台体的体积时 ， 关键是根据题设
条件， 分析得出所求问题需要哪些量， 条件 ， 分析得出所求问题需要哪些量 ， 现在已知 哪些量， 哪些量 ， 然后归纳到正棱台的直角梯形中列式求 解，最后代入体积公式求解体积． 最后代入体积公式求解体积． 跟踪训练2 跟踪训练 棱台的上底面积为16， 棱台的上底面积为 ，下底面积为
名称 棱柱 柱体 圆柱 棱锥 锥体 圆锥 棱台 台体 圆台 球
体积(V) 体积 Sh πr2h 1 Sh 3 1 2 πr h 3 1 h(S＋ SS′＋S′) ＋ ′ ′ 3 1 πh(r2＋rr′＋r′2) ′ ′ 3 4 3 πR 3
把锥体用平行于底面的平面截开， 把锥体用平行于底面的平面截开 ， 截得的小锥 体的体积与原锥体的体积之比等于截得小锥体 的高度与原锥体的高度之比的立方． 的高度与原锥体的高度之比的立方． 思考感悟
1 由 V 锥体＝ Sh， ， 那么三棱锥的任何一个面都可以 3 作底面吗？ 作底面吗？
提示：可以． 提示：可以．
课堂互动讲练
考点突破 柱体的体积 对于不易求出的柱体， 对于不易求出的柱体 ， 应当进行适当的变形 割补” 使其成为易求的柱体， 和 “ 割补 ” ， 使其成为易求的柱体 ， 运用公 式求之． 式求之．
知新益能 1．长方体的体积公式 ． abc V长方体＝________＝_________. ＝ Sh 其中a、 、 分别是长方体的长 宽和高， 、 分 分别是长方体的长、 其中 、b、c分别是长方体的长、宽和高，S、h分 别是长方体的底面面积和高． 别是长方体的底面面积和高． 2．祖暅原理 ． 幂势既同，则积不容异． 幂势既同，则积不容异． 这就是说，夹在______________的两个几何体 的两个几何体， 这就是说，夹在 两个平行平面间的两个几何体， 平行于这两个平面 的任意平面所截 的任意平面所截， 被__________________的任意平面所截，如果的面积 总相等 ，那么这两个几何 体的体积________． 体的体积 相等 ．
点评】 【点评】
球既是中心对称又是轴对称的几
何体，它的任何截面均为圆，过球心的截面 何体， 它的任何截面均为圆， 都是轴截面， 都是轴截面，因此球的问题常转化为圆的有 关问题解决． 关问题解决．
不规则几何体的体积 不规则的无体积公式的几何体通过割补 变换， 变换，转化为能直接用体积公式计算的 几何体． 几何体．
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
学习目标 1.了解祖暅原理及等体积变换的意义． 了解祖暅原理及等体积变换的意义． 了解祖暅原理及等体积变换的意义 2． 掌握柱 、 锥 、 台 、 球的体积公式并会求它们 ． 掌握柱、 的体积． 的体积．
课前自主学案
1．1.7 1．
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
棱 柱 ABC － A′B′C′ 的 侧 面 ′ ′ ′ AA′C′C的面积为 ， 且这个侧面到与它相对 的面积为S， ′ ′ 的面积为 的侧棱BB′ 之间的距离为 ， 求这个棱柱的体 的侧棱 ′ 之间的距离为a， 积． 分析】 此题若直接求底面ABC的面积及其 【 分析 】 此题若直接求底面 的面积及其 上的高，将是困难的， 上的高，将是困难的，能否考虑采取补充或截割 的办法，以已知面积的侧面为底来解呢？如图， 的办法，以已知面积的侧面为底来解呢？如图， 设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱， 设法补上一个与原三棱柱全等的三棱柱，成为一 个平行六面体，再将面AA′C′C看做底来求． 个平行六面体，再将面 ′ ′ 看做底来求． 看做底来求
E、F分别为 、AC的中点，平面 1C1F将 、 分别为 分别为AB、 的中点 平面EB 的中点， 将 三棱柱分成体积为V 的两部分， 三棱柱分成体积为 1、V2(V1>V2)的两部分， 的两部分 求V1∶V2.
如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若 － 例4 如图所示，三棱柱
【分析】 V1 对应的几何体 AEF－ A1 B1 C1 是一个 分析 】 － 棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等， 棱台 ，一个底面的面积与棱柱的底面积相等， 另 1 V 一个底面的面积等于棱柱底面积的 ； 2 对应的是 4 一个不规则几何体， 无法直接表示， 一个不规则几何体，显然 V2 无法直接表示，可以 来表示． 考虑间接的办法， 考虑间接的办法， 用三棱柱的体积减去 V1 来表示．
棱台底面积及高，从而求解其体积． 棱台底面积及高，从而求解其体积．
如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1 【 解 】 如图所示 ， 正四棱台 － 中 ， A1B1 ＝ 10 cm， AB＝ 20 cm.取 A1B1 的中点 ， ＝ 取 E1，AB的中点 ，则E1E是侧面 的中点E， 是侧面ABB1A1的高．设 的高． 的中点 是侧面 O1 、 O 分 别 是 上 、 下 底 面 的 中 心 ， 则 四 边 形 是直角梯形． EOO1E1是直角梯形．
点评】 【 点评 】 不规则几何体的体积可通过对几何 体分割， 使每部分都能够易求得其体积， 体分割 ， 使每部分都能够易求得其体积 ， 或者 使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何 体体积． 体体积． 跟踪训练3 如图所示 ， 已知等腰梯形 如图所示，已知等腰梯形ABCD的 跟踪训练 的 上 底 AD ＝ 2 cm ， 下 底 BC ＝ 10 cm ， 底 角 所在直线旋转一周， ∠ABC＝60°，现绕腰 所在直线旋转一周， ＝ ° 现绕腰AB所在直线旋转一周 求所得的旋转体的体积． 求所得的旋转体的体积．
∴ AA1∶ BB1 ∶ CC1 3 ＝ 1∶ ∶ 2＝ 2∶ 3∶ 4. ∶ ＝ ∶ ∶ 2 3 3 3 ∴ V 小∶ V 中∶V 大＝ 2 ∶ 3 ∶ 4 ＝ 8∶ 27∶ 64， ∶ ∶ ， ∴ (V 中－ V 小 )∶ (V 大－ V 中 )＝(27－ 8)∶ (64－ 27) ∶ ＝ － ∶ － ＝ 19∶ 37， ∶ ， 即上、 即上、下两部分体积之比为 19∶ 37. ∶
解：过 D 作 DE⊥ AB 于 E，过 C 作 CF⊥ AB 于 ⊥ ， ⊥ F，所以 Rt△ BCF 绕 AB 所在直线 ， △ 为底面半径， 旋转一周形成以 CF 为底面半径， BC 为母线长 的圆锥； 的圆锥；直角梯形 CFED 绕 AB 所在直线旋转一 周形成圆台； △ ADE 绕 AB 所在直线旋转一周 Rt△ 周形成圆台 ； 形成一个圆锥 圆锥， 形成一个圆锥，那么梯形 ABCD 绕 AB