2016秋高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积练习新人教B版必修2
高中数学 第一章 立体几何初步 1.7 简单几何体的面积和体积 1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、
2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7 简单几何体的面积和体积1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案（无答案）北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7 简单几何体的面积和体积1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案（无答案）北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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柱体、椎体、台体的体积姓名：___________________________【学习目标】准确掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用【重点难点】准确理解和掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用【知识链接】S圆柱侧=__________________________；S圆柱表=__________________________S圆锥侧=__________________________；S圆锥表=__________________________S圆台侧=__________________________; S圆台表=__________________________【学习过程】一、新课引入：柱体的体积公式______________________________________________________________注：通过学习柱体的体积公式,试分析公式中的h，对于棱柱来说是否就是棱柱的长度？锥体的体积公式______________________________________________________________注：由1V Sh3锥体,那么三棱锥的任何一个面都可以作底面吗?台体的体积公式______________________________________________________________(其中S上，S下_________________________________)注：柱体，锥体，台体的体积公式是适用于特殊的柱体，锥体，台体,还是适用于一般的柱体,锥体和台体？二、例题应用:例1、看课本例4并做练习1、2于导学案知识链结：直线方程的几种形式学习过程：直线的一般式方程把关于,x y 的二元一次方程__________________________________叫做直线方程的一般式.过点00(,)x y 的倾斜角为90或0的直线方程是什么？是不是关于,x y 的二元一次方程？例1、看课本例6，例8并做练习第3题,第4题,第5题，第6题，第9题于导学案上.例2、做练习第7题，第8题于导学案上.例3、看课本例7并做练习第2题于导学案上.例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面同步练习(含解析)新人教B版必
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棱柱、棱锥、棱台和球的表面1．正三棱锥的底面边长为a ,高为66a ，则此三棱锥的侧面积为（ )． A ．234a B ．232a C ．2334a D ．2332a 2．长方体的高等于h ,底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于（ ）．A ．222b ah +B ．2222b ah +C ．2222b ah +D ．222b ah +3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为( ）．A ．316 B ．916 C ．38 D ．9324．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．A ．372B ．360C ．292D ．2805．已知三个球的半径R 1、R 2、R 3满足R 1＋2R 2＝3R 3,则它们的表面积S 1、S 2、S 3满足的等量关系是______．6．有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a （a ＞0）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是______．7．已知正三棱锥S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.（1）求三棱柱的高;（2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．8．已知梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD 内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．参考答案1。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积课后作业 新人教B版必修2-新人教B
柱、锥、台和球的体积一、非标准1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A.1∶3∶4B.1∶3∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶2解析:设球的半径为R,则V圆锥=πR2(2R)=πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=πR3.所以V锥∶V柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.答案:B2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是( )A.216B.72C.108D.648答案:A3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+解析:该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体.如图所示.由题意知,圆柱的底面半径为1,高为2.正四棱锥的底面边长为,侧棱长为2,高为.所以V=π×12×2+×()2×=2π+.答案:C4.一个圆台的轴截面(等腰梯形)的腰长为a,下底长为2a,对角线长为a,则这个圆台的体积是( )A.πa3B.πa3C.πa3D.πa3解析:如图,由AD=a,AB=2a,BD=a,知∠ADB=90°.取DC中点E,AB中点F,分别过点D、点C作DH⊥AB,CG⊥AB,知DH=a.所以HB=a.所以DE=HF=a.所以V圆台=·a=πa3.答案:D5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.18解析:由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC⊥平面ACB,故所求几何体的体积为×3=9.答案:B6.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为( )A.1∶1∶1B.1∶1∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶4解析:设棱台的高为h,S△ABC=S,则=4S,所以S△ABC·h=Sh,·h=Sh.又V台=h(S+4S+2S)=Sh,所以=V台-=Sh-Sh-Sh=Sh.所以所求体积之比为1∶2∶4.答案:C7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.解析:该几何体为底面是直角梯形的四棱柱,V=×1=3.答案:38.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.解析:由几何体的三视图可知该几何体是一个底面是正方形的四棱锥,其底面边长为3,且该四棱锥的高是1,故其体积为V=×9×1=3.答案:39.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28cm,则这个几何体的总高度为cm.解析:设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.答案:2910.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,求圆台的体积.分析:计算台体的体积时,需要计算其底面的面积和高.若是圆台,则要计算其上、下底面圆的半径,可根据条件建立相关的关系式求解.解:如图所示为圆台的轴截面,设圆台上、下底面圆半径及高分别为x,4x,4x,则在△ABC中,AC=4x,BC=4x-x=3x,AB=10,由于AB2=AC2+BC2,所以16x2+9x2=25x2=100.所以x=2.从而可知圆台的上、下底面圆半径及高分别为2,8,8.所以V圆台=(4+16+64)=224π.11.已知某几何体的俯视图是矩形(如图所示),主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由三视图特点可知,该几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是边长分别为6和8的矩形.如图,设底面矩形为ABCD,则AB=8,BC=6,高VO=4.(1)V=×(8×6)×4=64.(2)四棱锥侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形.在△VBC中,BC边上的高h1==4,在△VAB中,AB边上的高h2==5.所以此几何体的侧面积S=2=40+24.12.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.解:如图所示,过点A,B分别作AM,BG垂直于EF,垂足分别为点M,G,连接DM,CG,这样就将多面体分为两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱.由图形的对称性,知EM=GF=.在Rt△AME中,可求得AM=.在等腰三角形AMD中,可求得S△AMD=.所以V多面体=2V三棱锥E-ADM+V三棱柱ADM-BCG=·EM·S△AMD+AB·S△AMD=.。
人教B高中数学必修二课时跟踪检测：第一章 立体几何初步 含解析
第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积课时跟踪检测[A组基础过关]1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A．2 B．3C．4 D．6解析：由三视图可知三棱锥的直观图如图所示．其中AB为高，底面是直角三角形，V＝13AB×12BD×CD＝13×2×12×3×2＝2，故选A．答案：A2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．13＋π B．23＋πC．13＋2π D．23＋2π解析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A．答案：A3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是()A．96 B．128C．140 D．152解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，V＝S·h＝12×6×4×8＝96.答案：A4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A．839B．439C．239D．439或839解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝2 3，底面面积S＝34a2＝39，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝439；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝43，底面面积S′＝34a′2＝439，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.答案：D5．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A．26B．23C．33D．23解析：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成，正四棱锥的底面边长为1，高为22，∴V＝2×13×1×1×22＝23.故选B．答案：B6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为________．解析：由S侧＝πrl＝20π，l＝5得r＝4，∴圆锥的高h＝l2－r2＝3.∴圆锥的体积为V＝13πr2·h＝16π.答案：16π7．(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2＝43.答案：438．已知某几何体的俯视图是边长分别为8和6的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的侧面积．解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .如图所示，(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，因此S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.[B 组 技能提升]1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15解析：由三视图可知，正方体被平面截去三棱锥A1－AB1D1，设正方体的边长为a，V正＝a3，VA1－AB1D1＝13×12a2·a＝16a3，∴V A1－AB1D1V剩＝16a3a3－16a3＝15，故选D．答案：D2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为3，则这个球的体积为() A．9π B．932πC．27π D．2732π解析：∵棱长为3的正方体的体对角线长为33，∴球半径为332，∴V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫3233＝2732π.故选D．答案：D3．一个底面半径为R的圆柱形水桶中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球(水面漫过球)，水面高度恰好升高r，则Rr＝________.解析：由题知43πr3＝πR2·r，∴R r＝233.答案：23 34．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由主视图知，三棱锥的高为1，底面是腰长为2，底边为23的等腰三角形，∴V＝13×12×23×1×1＝33.答案：3 35．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843.6．圆台的母线长为6 cm，它的轴截面等腰梯形的一条对角线与一腰垂直且与下底所成的角为30°，求该圆台的体积．解：如图，等腰梯形AA1B1B为圆台的轴截面，AA1＝6 cm，∠AA1B＝90°，∠ABA1＝30°，于是AB＝2AA1＝12 cm，由A1B1∥AB，得∠B1A1B＝∠A1BA＝30°，又∠A＝90°－30°＝60°，得∠A1BB1＝60°－30°＝30°，故△A1B1B为等腰三角形，∴A1B1＝B1B＝6 cm.又OO1·AB＝AA1·A1B得，OO1＝AA1·A1BAB＝6×6312＝33(cm)，由圆台的体积公式：V圆台＝13π·OO1·(A1O21＋A1O1·AO＋AO2)＝13·π·33·(32＋3×6＋62)＝633π(cm3)．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.7 柱、锥、台和球的体积同步练习(含解析)新人教B版必修2
柱、锥、台和球的体积1．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )．A ．2B ．1C ．23 D ．132．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，已知点P 、Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B －APQC 的体积是( )．A ．12V B ．13V C ．14V D ．23V 3．64个直径均为4a的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲，一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )．A ．V 甲＞V 乙，S 甲＞S 乙B ．V 甲＜V 乙，S 甲＜S 乙C ．V 甲＝V 乙，S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙，S 甲＝S 乙4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积( )．A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关5．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm 3，则棱台的高为______． 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．7．在棱长为1的正方体内，有两球外切，并且分别与正方体相内切． (1)求两球的半径之和；(2)球的半径为多少时，两球的体积之和最小？8．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥的内切球的体积．9.如图所示，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，设V 1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )．A ．V 1＞2V B ．V 2＜2VC ．V 1＞V 2D ．V 1＜V 2参考答案1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：C4. 答案：C解析：∵三棱锥P －EFQ 的体积由底面积和高确定，又EF ＝1，且点Q 到EF 的距离为定值(，∴△EFQ 的面积为定值，∴体积与y 无关．∵三棱锥的高与DP 有关，∴三棱锥的体积与x 有关． 5. 答案：2 cm解析：设正四棱台的上底面边长为2a ，则斜高、下底面边长分别为5a 、8a .4.a =又∵2214(644143a a a ⨯⨯++=， ∴12a =，即高为2 cm. 6. 答案：103解析：该几何体是由一个正四棱锥与一个长方体组合而成的．7. 解：(1)如图，ABCD 为过球心的对角面，AC =设两球半径分别为R 、r ，则有)R r R r ++=∴32R r -+=(2)设两球的体积之和为V ，则()334π3V R r =+ ＝4π3(R +r )(R 2－Rr +r 2) ＝4π3(R +r )[(R +r )2－3Rr ]＝(22334π3333222R R ⎡⎤-⎛--⎢⎥⋅-+ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∴334R -=时，V 有最小值． 8. 解析：(1)如图所示，作圆锥的轴截面，则等腰三角形ABC 内接于O ，O 1内切于△ABC ．设O 的半径为R ，由题意得4π3R 3＝972π， ∴R 3＝729，R ＝9.∴CE ＝18. 已知CD ＝16，∴ED ＝2，连接AE . ∵CE 是直径，∴CA ⊥AE ，CA 2＝CD ·CE ＝18×16＝288. ∴122CA =.∵AB ⊥CD ，∴AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，4 2.AD =∴π4212296π.S =⋅⋅=圆锥侧 (2)设内切球O 1的半径为r .∵△ABC 的周长为(212242322= ∴113228216.22r ⋅=⨯ ∴r ＝4.∴内切球O 1的体积34π256π.33V r ==球 9. 答案：D解析：设大球的半径为R ，小球的半径为r ，则R ＝2r ，则大球的体积V ＝43πR 3，4个小球的体积为33424π()π323R R ⨯⋅=.∴V 2＝V －(23πR 3－V 1)＝33311422πππ333R R V R V -+=+＞V 1，∴C 不正确．∵32π23V R =，∴2.2V V >又4个小球的体积为32π3R ，∴12VV ＜.∴A，B 均不正确．。
高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱锥台和球的体积练习新人教B必修2201812264107
1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.已知高为3的直棱柱ABC A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示).则三棱锥B′ABC的体积为( D )(A)(B)(C)(D)解析:依题意:=×3××12=.故选D.2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( C )(A)1∶1 (B)1∶6 (C)1∶7 (D)1∶8解析:如图,设圆锥底半径OB=R,高PO=h,因为O′为PO为中点,所以PO′=,因为==,所以O′A=,所以V圆锥PO′=π·()2·=πR2h.V圆台O′O=·(()2+R2+·R)·=πR2h.所以=,故选C.3.一球的体积扩大为原来的8倍,则此球的表面积扩大为原来的( B )(A)2倍(B)4倍(C)2倍 (D)8倍解析:设球半径为r,扩大后半径为R,则有πR3=8×πr3,所以R=2r.所以扩大后球表面积为4πR2=4π×(2r)2=16πr2,而原球表面积为4πr2.故扩大为原来的4倍.4.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成),所有的棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为,故正八面体的体积V=2V2×=.故选B.正四棱锥=2××15.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( C )(A)36π (B)64π (C)144π(D)256π解析:由题意知当三棱锥的三条棱两两垂直时,其体积最大.设球的半径为r,则×r2·r=36,解得r=6,所以球O的表面积S=4πr2=144π,选C.6.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是( D )(A)6π(B)5π(C)4π(D)3π解析:如图所示,所形成的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥剩下的部分,这两个圆锥的底面半径r=AD=ABsin 60°=2×=,小圆锥的高是BD=ABcos 60°=2×=1,大圆锥的高是CD=BD+BC=1+3=4,则所形成的几何体的体积是×π×()2×4-×π×()2×1=3π.7.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为28 cm,则这个简单几何体的总高度为( A )(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm解析:在题图(2)和题图(3)中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为h,则有π×12(h-20)=π×32(h-28),解得h=29(cm).8.如图所示,扇形所在圆的圆心角为90°,弦AB将这个扇形分成两个部分,这两部分各以AO 所在直线为轴旋转一周,则这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比为.解析:△ABO绕AO所在直线旋转一周得圆锥,扇形ABO绕AO所在直线旋转一周得半球体,设AO=R,V半球=πR3,V圆锥=·R·R2=R3,所以V1∶V2=V圆锥∶(V半球-V圆锥)=1∶1.答案:1∶19.如图(1),一个正三棱柱形容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,现将容器放倒,把一个侧面作为底面,这时水面恰好为中截面,如图(2),则原来容器内水面的高度为.图(1) 图(2)解析:设题图(1)中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABC h.又题图(2)中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,所以h== a.答案: a10.如图,正方体ABCD A 1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B 1DBQ的体积;(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S. 解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)==×(×2×2)×2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)×=.11.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解:如图作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π(r)2·3r-πr3=πr3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是V′=π(h)2h=πh3.由V=V′得h=r.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学第1章立体几何初步1_7_2柱、锥、台的体积随堂巩固验收北师大版必修2
7．2 柱、锥、台的体积1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3B ．60 cm 3C ．64 cm 3D ．125 cm 3[解析] V ＝3×4×5＝60 cm 3，选B. [答案] B2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[解析] 由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)·h ＝7π，所以h ＝3.选A.[答案] A3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B．2π C．4π D．8π[解析] 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π. [答案] B4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48[解析] 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.[答案] D空间几何体体积计算常用方法与技巧空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解．1．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．【示例1】如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C、三棱锥C－A1B1C1的体积之比．[思路分析] 如图，三棱锥B－A1B1C可以看作棱台减去三棱锥A1－ABC和三棱锥C－A1B1C1后剩余的几何体，然后相比即可．[解][题后反思] 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法．[针对训练1] 如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB 上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积( )A ．与点E ，F 的位置有关B ．与点Q 的位置有关C ．与点E ，F ，Q 的位置都有关D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值[解析] 因为点Q 到平面A ′EF 的距离为正方体的棱长4，A ′到EF 的距离为正方体的棱长4，所以VA ′－QEF ＝VQ －A ′EF ＝13×12×2×4×4＝163，是定值，因此与点E ，F ，Q 的位置均无关．[答案] D 2．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．【示例2】 如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2,1 cm 2,3 cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．[思路分析] 三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积．[解] 设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝13S△OAB·OC＝13×12×1×3×2＝1(cm3)．[题后反思] 利用等积法求几何体的体积时，在保证几何体的体积不变的情况下，可以变换几何体的底面与及相应的高，例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．[针对训练2] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1－EDF的体积．[解]V D1－EDF＝V F－DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.。
2016_2017学年高中数学第一章立体几何初步第9课时1.1.7柱锥台和球的体积课时作业
第9课时 1.1.7 柱、锥、台和球的体积课时目标的底面是边长为1的正三角形33答案：D 解析：设正方体的棱长为x ，则正方体的体对角线长为3x ，由题设有43π⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 23＝323π，解得x ＝433.所以选D.二、填空题(每个5分，共15分)7．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 答案：12π解析：设球的半径为R ，则43πR 3＝43π，∴R ＝3，∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×3＝12π.8．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍． 答案：24030解析：由题意，得4πR 2木＝4πR 2地·120，所以R 木＝120R 地．所以V 木＝43πR 3木＝43π·(120R 地)3＝24030·43πR 3地＝24030V 地．9．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，AB ＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．答案：13解析：折叠起来后，B ，C ，D 三点重合，设为点S ，则围成的三棱锥为S －AEF ，其中，SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图，所以此三棱锥的体积V ＝13×12×1×1×2＝13. 三、解答题 10．(12分)已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积．解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r .∵S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2，∴r ＝S6π.已知四棱锥P －ABCD 的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱·PC ＝23.能力提升如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为( )若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何则该几何体的体积为π4，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D ，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示．画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； 求这个几何体的表面积及体积． 这个几何体的直观图如图所示．ABCD －A 1B 1C 1D 1和直三棱柱，可得PA 1⊥PD 1.＋2×2×2＋2×12×(2)2×2＝10.。
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第9课时 1.1.7 柱、锥、台和球的体积
课时目标
1.了解祖暅原理．
2．掌握柱、锥、台和球的体积计算公式．
3．会利用柱、锥、台和球的体积公式解决有关几何体的体积问题．
识记强化
1．柱体(棱柱、圆柱)的体积公式为V 柱体＝Sh ，(S 为柱体底面积，h 为柱体的高)，V 圆
柱＝πr 2
h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)．
2．若一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S ，高为h ，则它的体积是V 锥体＝1
3
Sh ，若圆锥
的底面半径为r ，高为h ，则它的体积为V 圆锥＝13
πr 2
h .
3．若一个台体上、下底面的面积分别为S ′、S ，高为h ，则它的体积公式为V 台体＝1
3h (S
＋SS ′＋S ′)，若圆台上、下底面半径分别为r ′、r ，高为h ，则它的体积为V 圆台＝13
πh (r
2
＋rr ′＋r ′2
)．
4．球的半径为R ，则球的体积为V 球＝43
πR 3
.
课时作业
一、选择题(每个5分，共30分)
1．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3 D ．192π cm 3 答案：C
解析：圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫122π2
×8＝288π cm 3.当圆柱的高为12 cm 时，V ＝
π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫82π2
×12＝192π cm 3.
2．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为( )
A.2281π
B.881
π
8181答案：C 解析：圆锥的底面圆的周长为240°360°×2π×1＝4
3π，设底面圆的半径为r ，则有2πr
＝43π，所以r ＝2
3，于是圆锥的高h ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，故圆锥的体积V ＝13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫232
×
53
＝4581π. 3.
已知高为3的棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B 1—ABC 的体积为( )
A.14
B.12
C.
36 D.34 答案：D 解析：VB 1—ABC ＝13×34×12
×3＝34
.
4．在棱长为a 的正方体中，连接各相邻面的中心，以这些线段为棱的几何体是一个正八面体，则该正八面体的体积为( )
A.13a 3
B.14a 3
C.16a 3
D.112a 3 答案：C
解析：正八面体可以看成由两个正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为2
2
a ，
高为12a ，则正八面体的体积V ＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2×12a ＝16
a 3
.
5．设正三棱柱的外接圆柱体积为V 1，内切圆柱体积为V 2，则V 1：V 2的值为( ) A ．2：1 B ．4：1 C ．8：1 D ．9：1 答案：B
解析：由于这些棱柱的高相等，因此它们的体积比就等于底面积的比，设正三棱柱底面
边长为a ，则内切圆半径为36a ，外接圆半径为3
3
a ，
∴V 1：V 2＝π⎝
⎛⎭⎪⎫33a 2：π⎝ ⎛⎭
⎪⎫36a 2
＝4：1. 6．已知正方体外接球的体积是32
3π，那么正方体的棱长等于( )
A ．2 2 B.23
3
33答案：D 解析：设正方体的棱长为x ，则正方体的体对角线长为3x ，由题设有43π⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 23＝32
3π，
解得x ＝43
3
.所以选D.
二、填空题(每个5分，共15分)
7．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 答案：12π
解析：设球的半径为R ，则43
πR 3＝43π，∴R ＝3，∴球的表面积S ＝4πR 2
＝4π×3
＝12π.
8．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍． 答案：24030
解析：由题意，得4πR 2木＝4πR 2
地·120，所以R 木＝120R 地．
所以V 木＝43πR 3木＝43π·(120R 地)3
＝24030·43
πR 3地＝24030V 地．
9．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，AB ＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．
答案：13
解析：折叠起来后，B ，C ，D 三点重合，设为点S ，则围成的三棱锥为S －AEF ，其中，
SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图，所以此三棱锥的体积V ＝13×1
2
×1×1×2
＝13
. 三、解答题 10．(12分)已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积．
解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r .
∵S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2
，
∴r ＝
S
6π
.
∴内接正四棱柱的底面边长a ＝2r sin45°＝2r . ∴V ＝S 底·h ＝(2r )2
·2r ＝4r 3
＝4·(S
6π
)3
＝
6πS
9π
2·S . 即圆柱的内接正四棱柱的体积为
6πS 9π
2S . 11．(13分)已知四棱锥P －ABCD 的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．
解：由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2，
∴V P －ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PC ＝2
3
.
能力提升
12．(5分)如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2
，则
该几何体的俯视图可以是( )
答案：C
解析：若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何
体的俯视图是选项B ，则该几何体的体积为π
4
，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项C ，
则该几何体的体积为12，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D ，则该几何体的体积为π
4
，
不满足题意．故选C.
13．(15分)某几何体的三视图如图所示．
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解：(1)这个几何体的直观图如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1和直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体． 由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.
故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12
×(2)2
＝22＋42，
所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2
×2＝10.。