高一数学柱锥台和球体的体积PPT优秀课件
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人教B版必修二1.1.7《柱、锥、台和球的体积》ppt课件1
证明：
五、课堂练习
练习2.已知正四棱锥底面正方形的边长4cm,高与斜 高的夹角是30°，求正四棱锥的体积.
P
D
C
A
B
五、课堂练习
练习3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左 视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形。 （1）求该几何体的体积V； （2）该几何体的表面积S
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
一、复习引入
在小学我们就已经知道长方体的体积V的计算公 式
V长方体 abc Sh
其中a，b，c分别是长方体的长、宽和高，S，h分 别是长方体的底面积和高。 长方体的体积公式是计算其它几何体体积的基础， 我们将上述结论作为已知事实来用。
等底等高柱体的体积相等吗？
例1．已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体
S-ABC，求它的体积。
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 S，D 平面ABC 于D． 连接BD并延长交AC于M。 依据正棱锥的S性D质，则SDB为2 底 B面D正2三角形a的2 中心3，3 Ma 为2 AC中36点a。
BC a, BD 2 BM 2 BC 2 CM 2 2 a2 ( a )2 3 a
下课
6
8
六、课堂总结
1.几何体的体积就是它们占据空间的大小，掌握它 们的体积公式及解有关问题的关键。 2.对于台体、球体的公式，应强加记忆。 3.注意体积公式中量，以及各量的求法。
4.三棱锥以任何一面都可以充当底面，在解题中要 注意体会。
七、布置作业
课本第32页，练习A，1，2，3题，练习B，1，2， 3 弹性作业： 课本第32页：习题1-1A，习题1-1B 优化设计，同步测控，第 页，我夯基，我达标
五、课堂练习
练习2.已知正四棱锥底面正方形的边长4cm,高与斜 高的夹角是30°，求正四棱锥的体积.
P
D
C
A
B
五、课堂练习
练习3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形， 主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左 视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形。 （1）求该几何体的体积V； （2）该几何体的表面积S
1.1.7 柱、锥、台和球的体积
一、复习引入
在小学我们就已经知道长方体的体积V的计算公 式
V长方体 abc Sh
其中a，b，c分别是长方体的长、宽和高，S，h分 别是长方体的底面积和高。 长方体的体积公式是计算其它几何体体积的基础， 我们将上述结论作为已知事实来用。
等底等高柱体的体积相等吗？
例1．已知棱长为 a，各面均为等边三角形的四面体
S-ABC，求它的体积。
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 S，D 平面ABC 于D． 连接BD并延长交AC于M。 依据正棱锥的S性D质，则SDB为2 底 B面D正2三角形a的2 中心3，3 Ma 为2 AC中36点a。
BC a, BD 2 BM 2 BC 2 CM 2 2 a2 ( a )2 3 a
下课
6
8
六、课堂总结
1.几何体的体积就是它们占据空间的大小，掌握它 们的体积公式及解有关问题的关键。 2.对于台体、球体的公式，应强加记忆。 3.注意体积公式中量，以及各量的求法。
4.三棱锥以任何一面都可以充当底面，在解题中要 注意体会。
七、布置作业
课本第32页，练习A，1，2，3题，练习B，1，2， 3 弹性作业： 课本第32页：习题1-1A，习题1-1B 优化设计，同步测控，第 页，我夯基，我达标
1.1.7柱、锥、台和球的体积(共17张PPT)
α
等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
棱柱和圆柱的体积
设有底面积都等于S， 高都等于h的任意一个 棱柱、一个圆柱和一 个长方体，使它们的 下底面在同一个平面α 内（右图）
s
s
s
根据祖暅原理，可知它们的体积相等。由于长方体的体积 等于它的底面积乘于高，于是我们得到柱体的体积公式
V柱体=S·h
其中S是柱体的底面积，h是柱体的高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积,h是高
球的体积
V球= 4 R3
3
球的表面积：S球面 4R2
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
1 3
RS球面
例1、如图所示，在长方体ABCD-A‘B’C‘D’中，用截面 截下一个棱锥C-A’DD’,求棱锥C-A‘DD’的体积与剩余部 分的体积之比。
3
5、有一个正四棱台形状的油槽，最多装油190L，假如它的 两底面边长分别等于60cm和40cm.则它的深度为_7_5_c_m__.
2、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，三棱锥A’-BC’D的体积是 正方体体积的___1_/_3___.
3、体一和个圆正柱方的体体和积一比个为圆_柱__等__高__，_.并且侧面积相等，则这个正方
4
4、已知正四棱锥的侧面积都是等边三角形，它的斜高为 3 这个正四棱锥的体积为_4____2 __。
6
18
8
6
5 15
15
11
11
课堂小结
V柱体=Sh
V锥体= 1 Sh 1 r 2h
柱、锥、台和球的体积PPT教学课件
空间几何体的体积
零、复习回顾
1.正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长)
2.长方体的体积公式 V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)
一、教学情境
平面几何中我们用单位正方形的面积来 度量平面图形的面积,立体几何中用单位正方 体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几何体 的体积.
一个几何体的体积是单位正方体体积的 多少倍,那么这个几何体的体积的数值就 是多少。
二、学生活动 （１）取一摞书放在桌面上，并改变它们的位 置，观察改变前后的体积是否发生变化？
祖暅原理：
两等高的几何体若在所有等高处 的水平截面的面积相等，则这两个 几何体的体积相等．
（２）问题：两个底面积相等、高也相等的棱 柱（圆柱）的体积如何？
这里S、S′分别是上,下底面积,h是高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积,h是高
5.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放入 圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1
2 V球 ＝
R2 R 1 R2 R
三、数学建构 １．柱体（棱柱、圆柱）的体积：
V柱体 Sh
２．锥体（棱锥、圆锥）的体积：
问题:等底同高的锥体的体积有何关系?
V锥体
1 3
Sh
３．台体（棱台、圆台）的体积
V台体体积的关系：
V柱体=Sh 高
这里S是底面积,h是
S′= S
零、复习回顾
1.正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长)
2.长方体的体积公式 V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)
一、教学情境
平面几何中我们用单位正方形的面积来 度量平面图形的面积,立体几何中用单位正方 体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几何体 的体积.
一个几何体的体积是单位正方体体积的 多少倍,那么这个几何体的体积的数值就 是多少。
二、学生活动 （１）取一摞书放在桌面上，并改变它们的位 置，观察改变前后的体积是否发生变化？
祖暅原理：
两等高的几何体若在所有等高处 的水平截面的面积相等，则这两个 几何体的体积相等．
（２）问题：两个底面积相等、高也相等的棱 柱（圆柱）的体积如何？
这里S、S′分别是上,下底面积,h是高
S′=0
1 V锥体= 3 Sh
这里S是底面积,h是高
5.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放入 圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1
2 V球 ＝
R2 R 1 R2 R
三、数学建构 １．柱体（棱柱、圆柱）的体积：
V柱体 Sh
２．锥体（棱锥、圆锥）的体积：
问题:等底同高的锥体的体积有何关系?
V锥体
1 3
Sh
３．台体（棱台、圆台）的体积
V台体体积的关系：
V柱体=Sh 高
这里S是底面积,h是
S′= S
课件5：1.1.7 柱、锥、台和球的体积
[跟踪训练] 1．已知某圆台的上、下底面面积分别是 π，4π，母线长为 2，则这个圆台的 体积是________．
解析：设圆台的上、下底面半径分别为 r 和 R，高为 h，
则 S 上＝πr2＝π，S 下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，∵l＝2，
∴h＝
3，∴V＝13π(12＋22＋1×2)×
3＝7
所以体积为13×(
2)2×
3＝2
3 3，所以该几何体的体积为
2π＋2
3
3 .
[答案] C
【规律方法】 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则 可直接利用公式求解． (2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体 的直观图，然后根据条件求解．
(×)
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积
( ×)
(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差
(√ )
2. 如图所示，正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 1，
则三棱锥 D1-ACD 的体积是
()
1 A. 6
1 B. 3
1 C. 2
D．1
答案：A
3．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是________． 解析：由已知圆锥的高 h＝4， 所以 V 圆锥＝13π×32×4＝12π. 答案：12π 4．若一个球的直径是 12 cm，则它的体积为________ cm3. 解析：由题意知其半径为 R＝122＝6(cm)， 故其体积为 V＝43πR3＝43×π×63＝288 π(cm3)． 答案：288π
故球的表面积 S 表＝4πR2＝16π.
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面
柱体、锥体、台体的体积PPT教学课件
分 层 作 业
难
返 首 页
自 主 预
∴圆锥的体积 V＝13Sh＝13π×42×4＝634π，故选 A.
当 堂 达
习
标
• 探 新
(2)V＝13(S＋ SS′＋S′)h＝13×(2＋ 2×4＋4)×3＝6＋2 2.
• 固 双
知
基
故选 B.]
合 作 探
(3)V 三棱锥 A1-ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12a2·a＝16a3.
•
攻
重 难
答：这堆螺帽大约有252个。
课 时 分 层 作 业
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
1．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为( )
•
探
固
新 知
A．48 6
B．64
C．16
D．96
双 基
合
B [设正方体的棱长为 a，则 6a2＝96，∴a＝4.
作
探
∴其体积 V＝a3＝43＝64.故选 B.]
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
2．圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为( )
标
•
•
探 新
A．15π
B．30
C．12π
D．36π
固 双
知
基
合
C [设圆锥的高为 h，如图，则 h＝ 52－32＝4.
作
探 究 •
所以其体积 V＝13Sh＝13×π×32×4＝12π.故选 C.]
柱体的体积公式 V＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；
柱体、锥体、台体的体积 课件
其体积公式中的相关量是列出方程的关键.
题型四
易错辨析
易错点:考虑问题不全面而致错
【例4】 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面(连接处忽
略不计),求这个圆柱的体积.
错解:设卷成的圆柱的底面半径为r,母线长为l,
则根据题意有2πr=4,l=2,
2
8
所以 r= π . 所以V 圆柱=πr2l= π.
圆台的体积是(
)
A.18+6 2B. 6 + 2 2C. 24D. 18
1
解析:体积 V= (2 + 2 × 4 + 4) × 3 = 6 + 2 2.
答案:B
3
【做一做 3-2】 若圆台 OO'的上、下底面半径分别为 1 和 2,
高为 6,则其体积等于
.
1
3
解析:体积 V= π × (12 + 1 × 2 + 22) × 6 = 14π.
8
π
故这个圆柱的体积为 .
错因分析:错误的原因是考虑问题不全面,出现漏解.事实上,把矩
形卷成圆柱时,也可以以4为圆柱的高,即母线长,以2为圆柱的底面周
长.
正解:设圆柱的底面半径为r,母线长为l.
2
如图①,当 2πr=4,l=2 时,r= π , ℎ = = 2,
8
所以 V 圆柱=πr2h= π.
柱体、锥体、台体的体积
1.柱体的体积
(1)棱柱(圆柱)的高是指两个底面之间的距离,即从一底面上任意
一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的
距离.
(2)柱体的底面面积为S,高为h,其体积V=Sh.特别地,圆柱的底面半
题型四
易错辨析
易错点:考虑问题不全面而致错
【例4】 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面(连接处忽
略不计),求这个圆柱的体积.
错解:设卷成的圆柱的底面半径为r,母线长为l,
则根据题意有2πr=4,l=2,
2
8
所以 r= π . 所以V 圆柱=πr2l= π.
圆台的体积是(
)
A.18+6 2B. 6 + 2 2C. 24D. 18
1
解析:体积 V= (2 + 2 × 4 + 4) × 3 = 6 + 2 2.
答案:B
3
【做一做 3-2】 若圆台 OO'的上、下底面半径分别为 1 和 2,
高为 6,则其体积等于
.
1
3
解析:体积 V= π × (12 + 1 × 2 + 22) × 6 = 14π.
8
π
故这个圆柱的体积为 .
错因分析:错误的原因是考虑问题不全面,出现漏解.事实上,把矩
形卷成圆柱时,也可以以4为圆柱的高,即母线长,以2为圆柱的底面周
长.
正解:设圆柱的底面半径为r,母线长为l.
2
如图①,当 2πr=4,l=2 时,r= π , ℎ = = 2,
8
所以 V 圆柱=πr2h= π.
柱体、锥体、台体的体积
1.柱体的体积
(1)棱柱(圆柱)的高是指两个底面之间的距离,即从一底面上任意
一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的
距离.
(2)柱体的底面面积为S,高为h,其体积V=Sh.特别地,圆柱的底面半
1.3.1柱,锥,台体的体积.ppt
其中，S上，S下分别为棱台的上、下底面积，h为高.
思考交流
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？ 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
V = Sh
S′ = 0
S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 h为锥体高 为锥体高
S′ = S 1 1 V = Sh V = (S′ + S′S + S)h 3 3 S为底面面积， 为底面面积， 为底面面积 S分别为上、下底面 分别为上、 分别为上 h为柱体高 为柱体高 面积， 面积，h 为台体高
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、 圆锥、圆台的体积
阳泉十一中
数学教研组
一、棱柱和圆柱
我们知道， 我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地， 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即 它的底面即乘高 即
V柱体=Sh
其中， 为柱体的底面积 为柱体的底面积， 为柱体的高 为柱体的高. 其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高
埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前 其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 年，其形状为正四棱锥，金字塔高 ， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 底面边长 问 和体积各是多少？ 和体积各是多少？ A
B
﹒ C
已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 例2 已知一正四棱台的上底边长为 下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。 ，高为 求其体积。 边长为 求其体积
等底等高柱体的体积相等吗？ 等底等高柱体的体积相等吗？
定理： 定理：等底等高柱体的体积相等
二、棱锥和圆锥
棱锥和圆锥的体积可以用下面的公式来 计算： 计算：
高中数学必修2课件：1.3.1柱、锥、台、球的表面积与体积(共13张PPT)
例2、一个圆台形花盆盆中直径为20cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm, 盆壁长15cm。为了美化花盆的外观，需要涂 油漆。已知每平方米用100毫升油漆，涂100 个这样花盆需要多少油漆
练习1、长方体的长、宽、高分别为a、b、c 则它的表面积为＿2(＿ab+＿b＿c+＿ac)
2、若一个圆柱的侧面展开图是一个正方 形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ＿＿(1+＿2＿π)/＿2 π＿
柱、锥、台、球的表面积与体积
• 一、展开图 • 1、定义：把由平面围成的几何体沿着若
干条棱剪开后，几何体的各面就可展开 在一个平面内，得到一个平面图形。这 个平面图形就叫做这个几何体的展开图 • 注意：剪开的棱不同，同一个几何体的 展开图可以不同。但同一个几何体展开 图的面积是一样的。
2、正方体和长方体的展开图 展开图是由六个矩形组成的图形
4.正方体的全面积为a2,则这的体积为 6 a3 36
5、已知棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1 E、F是棱A1B1，C1D1的中点，则几何体 ABCD—A1EFD1的体积为 6
6、两个球的体积之比8:27，则它的表面积
之比为
4：9
7、有三个球与一个正方体，第一个球与正 方体的各个面相切，第二个球与正方体的
1、S棱柱＝S上＋S下＋S侧 2、S棱锥＝S底＋S侧
3、S台＝S上＋S下＋S侧
4、S圆柱＝ S上＋S下＋S侧＝ 2 r2 2 rl
（l为母线，r为底半径)
5、S圆锥＝S底＋S侧＝ r 2 r l
6、S圆台＝S上＋S下＋S侧＝
r 2 R2 (r R)l
三、例与练习
例1、已知棱长为a，各面均为等边三角形 的四面体S－ABC,求它的表面积
练习1、长方体的长、宽、高分别为a、b、c 则它的表面积为＿2(＿ab+＿b＿c+＿ac)
2、若一个圆柱的侧面展开图是一个正方 形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ＿＿(1+＿2＿π)/＿2 π＿
柱、锥、台、球的表面积与体积
• 一、展开图 • 1、定义：把由平面围成的几何体沿着若
干条棱剪开后，几何体的各面就可展开 在一个平面内，得到一个平面图形。这 个平面图形就叫做这个几何体的展开图 • 注意：剪开的棱不同，同一个几何体的 展开图可以不同。但同一个几何体展开 图的面积是一样的。
2、正方体和长方体的展开图 展开图是由六个矩形组成的图形
4.正方体的全面积为a2,则这的体积为 6 a3 36
5、已知棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1 E、F是棱A1B1，C1D1的中点，则几何体 ABCD—A1EFD1的体积为 6
6、两个球的体积之比8:27，则它的表面积
之比为
4：9
7、有三个球与一个正方体，第一个球与正 方体的各个面相切，第二个球与正方体的
1、S棱柱＝S上＋S下＋S侧 2、S棱锥＝S底＋S侧
3、S台＝S上＋S下＋S侧
4、S圆柱＝ S上＋S下＋S侧＝ 2 r2 2 rl
（l为母线，r为底半径)
5、S圆锥＝S底＋S侧＝ r 2 r l
6、S圆台＝S上＋S下＋S侧＝
r 2 R2 (r R)l
三、例与练习
例1、已知棱长为a，各面均为等边三角形 的四面体S－ABC,求它的表面积
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V球
4R3
3
探究
S1
R
3 4 R 3 V 球 1 3 R 1 1 3 S R 2 1 3 S R 3 S 1 3 R 球 S 面
球的表面积： S球面 4R2
四.数学应用
例1. 如图所示，在长方体ABCD－A’B’C’
D’中，用截面截下一个棱锥C－A’DD’，
求棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分的体
2021/02/25
20
这里S、S′分别是上,下底面积,h是高
S′=0
1
V锥体= 3 Sh
这里S是底面积,h是高
5.球的体积
实验:
给出如下几何模型
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放入 圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1 2
Vห้องสมุดไป่ตู้
球
＝
R2R1R2R
3
５．球的体积计算公式：
例2．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知螺帽 底面是正六边形，边长为12mm,内孔直径 为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约 有多少个（ 取3.14，可用计算器）？ 解：六角螺帽的体积是 六棱柱的体积与圆柱体 积之差，
V3 12 26 1 0 3 .1 4 (1)2 0 10
三、数学建构 １．柱体（棱柱、圆柱）的体积：
V柱体 Sh
２．锥体（棱锥、圆锥）的体积：
问题:等底同高的锥体的体积有何关系?
V锥体
1 3
Sh
３．台体（棱台、圆台）的体积
V 台 体1 3h(SSSS)
４．柱、锥、台体积的关系：
V柱体=Sh 高
这里S是底面积,h是
S′= S
V台＝ 体1 3h(S S'SS')
1.1.7柱、锥、台和球 体的体积
零、复习回顾
1.正方体的体积公式 V正方体=a3(这里a为棱长)
2.长方体的体积公式 V长方体=abc(这里a,b,c分别为长方体长、宽、高) 或V长方体=sh(s,h分别表示长方体的底面积和高)
一、教学情境
平面几何中我们用单位正方形的面积来 度量平面图形的面积,立体几何中用单位正方 体(棱长为1个长度单位)的体积来度量几何体 的体积.
4
2
295(m6m 3)2.95(c6m 3)
因此约有
5.8×103÷(7.8×2.956) ≈252(个)
答：螺帽的个数约为252个.
练习1:有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重 5.8kg，已知底面六边形边长是12mm，高 是10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛 坯多少个？（铁的比重是7.8g/cm3）
练习2.如图所示,是一个奖杯的三视图(单位:cm), 试画出它的直观图,并计算这个奖杯的体积 (精确到0.01cm).
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一个几何体的体积是单位正方体体积的 多少倍,那么这个几何体的体积的数值就 是多少。
二、学生活动 （１）取一摞书放在桌面上，并改变它们的位 置，观察改变前后的体积是否发生变化？
祖暅原理：
两等高的几何体若在所有等高处 的水平截面的面积相等，则这两个 几何体的体积相等．
（２）问题：两个底面积相等、高也相等的棱 柱（圆柱）的体积如何？
积之比。
解：已知长方体可以看
D'
C'
作是直四棱柱ADD’A’－ A'
B'
BCC’B’。
设底面ADD’A’的面积
D
是S，高为h，
A
C B
则它的体积为 V=Sh.
因为棱锥C－A’DD’的底面面积是 1 S，
高是h，
2
所以棱锥C－A’DD’的体积是
VC－A’DD’=
11Sh1Sh 32 6
所以 棱锥C－A’DD’的体积与剩余部分 的体积之比是1：5.