随机运筹学-2

X（ω）：Ω→R，称X（ω）为随机变量。 ）：Ω→R，称X 例3 某射手进行射击训练，他每次射中目标的概 率是p 率是p，且各次射击是否击中相互独立。如果射手 只射击了n次，记这n次射击命中目标的次数X 只射击了n次，记这n次射击命中目标的次数X，那 么X就是一个随机变量。如果他开始射击，直到第 一次命中目标后就停止射击，记他首次命中目标 时的射击次数为Y 时的射击次数为Y，也是一个随机变量。 例4 （有奖销售）某商店在年末大甩卖中进行有 奖销售，摇奖时从摇箱中摇出的球的可能颜色
卡片ω登记他的身高L 卡片ω登记他的身高L（ω），将这些卡片放在一 起，若从中随机地取出一张卡片，那么L 起，若从中随机地取出一张卡片，那么L（ω）的 取值随试验结果ω的不同而不同，因而L 取值随试验结果ω的不同而不同，因而L（ω）取 值也是随机的，L 值也是随机的，L（ω）也是随机变量。 二、随机变量 定义1 定义1 设E是随机试验，样本空间Ω={ω}为有限 是随机试验，样本空间Ω 集或可列集，若对每个样本点ω 集或可列集，若对每个样本点ω∈ Ω，都有一个 实数X 实数X（ω）与其对应，即X（ω）是定义在Ω上 ）与其对应，即X ）是定义在Ω 取值在R 取值在R上的单值实值函数（映射），记作
数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X 数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～Po （λ）。 例5 自1875年至1955年中某63年间，某市夏季 1875年至1955年中某63年间，某市夏季 （5-9月）共发生暴雨180次。每年夏季共有 月）共发生暴雨180次。每年夏季共有 n=31+30+31+31+30=153天。每次 暴雨以1 n=31+30+31+31+30=153天。每次 暴雨以1天计算， 每天发生暴雨的概率则为p=180/（63×153），这 每天发生暴雨的概率则为p=180/（63×153），这 个值很小。但是n=153很大，应用泊松分布，在一 个值很小。但是n=153很大，应用泊松分布，在一 个夏季发生k次暴雨的概率p 个夏季发生k次暴雨的概率pk为多少？ 例6 某电话交换台有3000和用户，在任何时刻各用 某电话交换台有3000和用户，在任何时刻各用 户是否需要通话是相互独立的，且每个用户需要
通话的概率是1/600。设该交换台只有8 通话的概率是1/600。设该交换台只有8条线路供 用户同时使用，试求在某一给定时刻用户打不通 电话的概率。 例7 由一商店过去的销售记录知道，某种商品每 月的销售数可以用参数λ=10的Poisson分布来描 月的销售数可以用参数λ=10的Poisson分布来描 述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在 述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在 月底至少应进某种商品多少件？ 4、几何分布 定义6 若离散型随机变量X 定义6 若离散型随机变量X取值正整数，且满足
品；X=0，若取得不合格产品。则X 品；X=0，若取得不合格产品。则X服从参数为 0.95的两点分布。 0.95的两点分布。 2、二项分布 在n重Bernoulli试验中A发生的次数，以X表示事件 Bernoulli试验中A发生的次数，以X A出现的次数，则X是一个随机变量，其可能取值 出现的次数，则X 为0，1，2，…，n。同时，在n次试验中A发生k次 。同时，在n次试验中A发生k 的概率为P X=k） 的概率为P（X=k）=Cnkpk（1-p）n-k（k=0，1， k=0， 2， …，n）。 定义4 若随机变量X满足：P X=k） 定义4 若随机变量X满足：P（X=k）=Cnkpk（1-p） n-k，k=0，1，2， …，n，则称随机变量X服从参 k=0， ，则称随机变量X
P{X=k}=（1-p）k-1p，k={0，1，2，3，…， {X=k}=（ ={0， 0≦p≦1，则称随机变量X服从参数为p的几何分布， ，则称随机变量X服从参数为p的几何分布， 记为X 记为X～G（p）。 在伯努利独立重复试验中，若事件A 在伯努利独立重复试验中，若事件A在一次试验 中出现的概率为p，即P 中出现的概率为p，即P（A）=p。记X为首次发生 =p。记X A的试验次数，则X～G（p）。 的试验次数，则X 5、超几何分布 定义7 若离散型随机变量X取值正整数，N 定义7 若离散型随机变量X取值正整数，N≧M， N≧n，n，M，N∈Z+，且满足P{X=k}=CMkCN-Mn且满足P k/C n，max{0，n-（N-M）}≦k≦min{n，M}，则 max{0， min{n，M}，则 N
为：红、黄、蓝、白、黑五种，其对应的奖金金 额分别为：1000元、100元、10元、1元、1 额分别为：1000元、100元、10元、1元、1元。假 定摇箱内装有很多球，其中红、黄、蓝、白、黑 的比例分别为0.1%、0.5%、1%、10%、88.4%。我 的比例分别为0.1%、0.5%、1%、10%、88.4%。我 们把一次摇奖就看作一次随机试验，其概率空间 为Ω={红，黄，蓝，白，黑}，∮={Ω的一切子 红，黄，蓝，白，黑} 集}，定义在Ω上的一个函数X（ω）， ，定义在Ω上的一个函数X （ω∈Ω）： X（红）=1000， X（黄）=100， X （红）=1000， （黄）=100， （蓝）=10， （白）=X（黑）=1。 （蓝）=10， X （白）=X（黑）=1。
定义2 （严格定义）设（Ω 定义2 （严格定义）设（Ω，∮，P）是一概率空 间，X 间，X（ω）是定义在Ω上一个实值函数，如果 ）是定义在Ω 对一切x 对一切x∈R，有{ω：X（ω）≦x}∈ ∮，则称X ，有{ x}∈ ，则称X （ω）为（Ω，∮，P）上的随机变量。 ）为（ 定义3 （事件A 定义3 （事件A的示性函数） 设（Ω，∮，P）为 设（Ω 一概率空间，A 一概率空间，A ∈ ∮，令 IA（ω）=1，ω∈A =1， 0， ω≮A 则称I 为事件A 则称IA为事件A的示性函数。
k，有Cnkpk（1-p）n-k=λke-λ/k！ ，有C /k！ 例4 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修 工人。现有同类型设备300台独立工作，发生故障 工人。现有同类型设备300台独立工作，发生故障 的概率都是0.01。在通常情况下一台设备的故障可 的概率都是0.01。在通常情况下一台设备的故障可 0.01 由一个人来处理。问至少需要多少人才能保证当 设备发生故障时，不能及时维修的概率小于0.01？ 设备发生故障时，不能及时维修的概率小于0.01？ 3、泊松分布（ Poisson分布） Poisson分布） 定义5 若随机变量X满足P{X=k}=λ 定义5 若随机变量X满足P{X=k}=λke-λ/k！， /k！， k∈N={0，1，2，3，…}，其中λ >0是一个常 N={0， ，其中λ >0是一个常
=p，P（X=0）=1-p（0≦p≦1），则称随机变量X =p， X=0）=1），则称随机变量X 服从参数为p的两点分布，简记为：X~B（ 服从参数为p的两点分布，简记为：X~B（1，p）。 若事件A发生随机变量X ，否则X 若事件A发生随机变量X取1，否则X取0；即任意 A∈∮，X（ω）= IA（ω）=1，ω∈A； X（ω） ∈∮， =1， = IA（ω）=0，ω≮A。则P（A）=P{IA（ω） =0， 。则P }=1=1}=p， P（Ac）=P{IA（ω）=0 }=1-p。 =1}=p， 例2 200件产品，190件是合格的，10件是不合格 200件产品，190件是合格的，10件是不合格 的，现从中任取一件，若规定X=1，若取得合格产 的，现从中任取一件，若规定X=1，若取得合格产
随机运筹学
之2 随机变量及其分布
壹、随机变量
一、实例 1、投篮时会出现两种情况：ω1=“投中”， 、投篮时会出现两种情况：ω =“投中”， ω0=“未投中”，则其样本空间为Ω={ω1 ，ω0}。 =“未投中”，则其样本空间为Ω 若用数字1代表投中，用0 若用数字1代表投中，用0代表未投中，这样将试 验结果量化，同时引入了一个变量X 验结果量化，同时引入了一个变量X，就是 X=X（ X=X（ω）=1 ω=ω1 0 ω=ω1 X（ω）随试验结果ω不同而取不同的值。 ）随试验结果ω 例2 在某学校中，随机地抽取一人ω，用对应的 在某学校中，随机地抽取一人ω
次的试验，P 次的试验，P{X=k}=Ck-1r-1pr（1-p）k-r，k={r，r+1， ={r，r+1， r+2，r+3， r+2，r+3，…}，0≦p≦1，则称随机变量X服从参 ，则称随机变量X 数为p的负二项分布，记为X NB（ 数为p的负二项分布，记为X～NB（r，p）。 例9 （老虎机模型）假定每次需要花费0.25美元来 （老虎机模型）假定每次需要花费0.25美元来 0.25 玩一次老虎赌博机，每次玩后或零返回，或返回 一枚五分镍币，或返回一枚一角银币，或返回一 枚两角五分的纸币，或返回一美元，其相应的概 率分别为0.5、0.45、0.04、0.009和0.001。假定某玩 率分别为0.5、0.45、0.04、0.009和0.001。假定某玩 家决定当老虎机总共五次出现零返回时停止赌博。 问该玩家将玩刚好12次的概率？ 问该玩家将玩刚好12次的概率？
称随机变量X 称随机变量X服从超几何分布。 例8 一个学校的校务委员会由十二名官员选举产 生：其中七名是民主党成员，四名是共和党成员， 另外一名是无党派人士。一个分会由四名成员组 成，用来调查学校的暴力事件。问：假设四名成 员随机选择时，民主党成员的人数为0 员随机选择时，民主党成员的人数为0、1、2、3、 4的概率是多大？ 6、负二项分布（Pascal分布） 、负二项分布（Pascal分布） 定义8 若随机变量X表示重复独立直到事件发生r 定义8 若随机变量、离散型随机变量 定义1 如果随机变量X 定义1 如果随机变量X（ω）所有可能取值是有限 个或可列多个，则称X 个或可列多个，则称X（ω）为离散型随机变量。 定义2 定义2 设离散型随机变量X（ω）所有可能取的值 离散型随机变量X 为xk，k=N\{0}， X（ω）取各个值的概率为 k=N\{0}， {0}，称P{X=x {0}） P{X=xk}=pk，k∈N\{0}，称P{X=xk}=pk（k∈N\{0}） 为离散型随机变量X（ω）的概率分布或分布律。 离散型随机变量X 离散型随机变量X 离散型随机变量X（ω）的概率分布反映了它取各