基于约束优化的B样条曲线形状修改
基于轮廓约束点的B样条曲面拟合算法
约束点数最多的 曲 线 为 准,将 其 余 曲 线 的 约 束 点
补齐以得到拓扑 矩 形 的 数 据 点 阵;最 后 计 算 出 公
用的 节 点 矢 量,获 得 最 终 的 B 样 条 单 向 蒙 皮 曲
面.对一组截面测量数据的曲面拟合实验验证了
算法的可行性.
得 B 样条拟合曲面.仿真实验结果表 明,该 方 法 可 显 著 压 缩 曲 面 模 型 的 控 制 顶 点 数 目,具 有 较 高 的 曲
面重构效率.
关键词:逆向工程;轮廓约束点;
B 样条;曲面拟合
中图分类号:
TP３９１．
７２ DOI:
１０．
３９６９/
．
s
sn．
１００４ １３２X．
２０１５．
个数据点,为了压缩拟合曲线的数据量,现通过曲
率值来确定初始轮廓约束点,以下简称约束点.
首先考虑曲率极大 值 法. 即 数 据 点 Pi 处 的
束点. 不 失 一 般 性,此 处 将 离 散 曲 率 的 平 均 值
合曲 线 如 图 ５ 所 示. 最 大 拟 合 偏 差 值 为 ０．
９６９
mm,平 均 偏 差 值 为 ０．
视 化 (v
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SC)的重要内容之一,在医学可视化、无损探伤
了节点插入操作,势 必 会 引 起 控 制 顶 点 数 量 的 膨
由截面测量数据进行曲面重构是科学计算可
三次B--样条曲线局部形状调整问题的研究的开题报告
三次B--样条曲线局部形状调整问题的研究的开题报告1.研究背景B样条曲线是计算机图形学中最常用的曲线表示方法之一，具有插值平滑、局部控制和弹性变形等优点，应用于许多领域。
然而，B样条曲线同样存在一些问题，如过拟合、局部形状不满足特定要求等。
因此，局部形状调整成为了B样条曲线研究的一个重要方面。
2.研究问题本课题旨在研究三次B样条曲线局部形状调整问题，具体包括：（1）了解三次B样条曲线的基本原理与相关算法；（2）分析三次B样条曲线局部形状调整的方法和策略；（3）设计并实现一种基于控制多项式的三次B样条曲线局部形状调整算法，并与其他算法进行对比分析；（4）应用实例验证算法的有效性和实用性。
3.研究内容和方法（1）三次B样条曲线基本原理和算法介绍三次B样条曲线的定义、性质及其计算公式，并进行代码实现，通过实例演示其插值平滑和局部控制特点。
（2）局部形状调整方法和策略探讨三次B样条曲线局部形状调整的方法和策略，包括节点权重法、多项式基函数法、节点移动法等，分析各方法的优缺点。
（3）基于控制多项式的局部形状调整算法基于控制多项式的方法提出一种三次B样条曲线局部形状调整算法，设计算法流程和具体计算方式，并编写程序实现。
（4）性能及实用性分析通过与其他局部形状调整算法的对比试验，评估新算法的优越性与实用性，并通过实例应用验证其有效性。
4.研究意义和预期结果（1）本研究将深入探讨三次B样条曲线局部形状调整问题，提出一种基于控制多项式的新方法，为三次B样条曲线的优化和应用提供参考。
（2）预期结果为一种高效、实用的三次B样条曲线局部形状调整算法，并通过应用实例验证其有效性和实用性，可为三次B样条曲线相关领域的研究和应用提供一定参考价值。
一种 B 样条曲线局部修改算法
一种 B 样条曲线局部修改算法丁小星【摘要】针对 B 样条曲线局部修改的问题，提出一种双正交非均匀 B 样条小波与外部能量约束相结合的算法。
与传统能量约束法相比，该算法使曲线除局部修改外整体形变较小，具有一定的保形效果。
%For the local shape modification using B-Spline curve, a integrated algorithm of biorthogonal nonuniform B-Spline wavelets and external energy constraints is proposed. The new B-Spline curve with little deformation except for local modifica-tion, which is generated by this approach. Compared with the traditional energy constraints method, it is better to preserve shape.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2013(000)007【总页数】3页(P176-178)【关键词】双正交小波;能量约束;B 样条曲线;形变【作者】丁小星【作者单位】公安海警学院基础部，浙江宁波 315801【正文语种】中文【中图分类】TP391当前在CAD、CAM等领域，因B样条曲线具有局部修改性等良好的性质而被广泛应用于表达各种复杂的几何形体。
传统的能量约束法能较直观、方便地修改与控制曲线曲面形状，对此已有不少文献[1-2]进行了研究。
文献[1]将能量优化法结合几何约束条件，利用求解能量最小曲线的方式来改变曲线的形状；文献[2]提供了一种基于外部能量约束的曲面形状修改法，将曲面形状修改所需的约束条件转化为外部能量约束项，通过求解一个使曲面能量变化量最小的无约束优化问题，得到变形后的曲面，其实质是一种逼近约束条件的过程。
b样条曲线 约束条件
b样条曲线约束条件
B样条曲线的约束条件包括：
1. 控制点约束：控制点是用来定义B样条曲线形状的点。
通
常情况下，每个控制点都有一个自由度，即可以自由移动控制点来调整曲线的形状。
因此，约束条件可以是控制点的位置或运动范围。
2. 边界约束：B样条曲线可能需要满足一些特定的边界条件。
例如，曲线的起始点和终止点可以被固定在给定的位置，或者可以指定曲线在某个边界点的切线方向。
3. 曲率约束：曲率是曲线在某一点上的弯曲程度，可以用于定义曲线的光滑程度。
曲率约束可以指定在某些点上的曲率值，或者在整个曲线上保持曲率连续。
4. 前后导数约束：为了使曲线更加光滑，可以指定曲线在某些位置的一阶或二阶导数值。
这些导数值可以通过控制点的位置来确定。
5. 节点约束：在B样条曲线中，节点是控制点之间的间隔点。
可以通过约束节点的位置或间隔来调整B样条曲线的形状。
总之，B样条曲线的约束条件可以涉及控制点的位置、边界条件、曲率、导数和节点的位置等方面，具体的约束条件可以根据实际需求来确定。
基于b样条的快速曲线造型算法
基于b样条的快速曲线造型算法随着计算机技术的不断发展，曲线造型已经成为了计算机图形学中一个重要的研究方向。
曲线造型可以用于建模、动画、游戏、虚拟现实等多个领域，因此对曲线造型的研究一直都是计算机图形学领域的热点之一。
B样条是一种广泛应用于曲线造型的数学方法，其具有良好的数学性质和实用性。
本文将介绍一种基于B样条的快速曲线造型算法，并对该算法进行分析和实现。
一、B样条的基本概念B样条是一种基于连续分段多项式的曲线或曲面，其具有良好的局部调整性能和高度的平滑性。
B样条曲线的定义域被分成若干个小区间，每个小区间内的曲线由一组多项式函数组成，这些多项式函数通常被称为B样条基函数。
B样条基函数的形式可以用递归的方式定义，具体如下：$$N_{i,0}(t)=begin{cases}1,t_ileqt<t_{i+1}0,text{otherwise}end{cases}$$$$N_{i,k}(t)=frac{t-t_i}{t_{i+k}-t_i}N_{i,k-1}(t)+frac{t_{i+k+1}-t}{t_{i+k+1}-t_{i+1}}N_{i+1,k-1}(t)$$其中，$t_i$表示定义域的第$i$个节点，$k$表示基函数的阶数，$N_{i,k}(t)$表示第$i$个节点上$k$阶B样条基函数在$t$处的取值。
B样条曲线的控制点是影响曲线形状的关键因素，通过调整控制点的位置和权值，可以实现对曲线的任意形状调整。
通常情况下，B 样条曲线的控制点和节点数量是相等的。
二、基于B样条的快速曲线造型算法传统的B样条曲线造型算法通常采用贝塞尔曲线或B样条曲线的插值方法，通过调整控制点的位置来实现对曲线的调整。
然而，这种方法需要对整个曲线进行重新计算，计算量较大，效率较低。
为了提高曲线造型的效率，我们可以采用一种基于B样条的快速曲线造型算法。
这种算法基于曲线的局部性质，只对曲线的局部进行调整，从而实现快速的曲线造型。
基于B样条曲面生成算法的研究与改进
B样条曲面生成算法的研究与改进摘要本文首先介绍了B样条曲面生成的已有算法：基于B样条曲线生成的德布尔算法的B样条曲面的生成算法、基于样条曲面反算方法的B样条曲面生成算法。
接着介绍了两种双三次B样条曲面生成的改进算法：1.基于deBoor和CoxB递推公式构造B样条曲面基的曲面生成算法，2.提高双三次B样条曲面的生成效率的改进算法。
第2种算法能显著提高效率，提出B样条曲面正等测投影的建立方法，讨论用高性能的动态数组和Excel软件存储任意数量控制点的实现方法等关键技术。
采用Visual C++6.0为编程工具开发软件系统，实现了任意数量控制点的双三次B样条曲面生成。
通过将改进的算法和已有的算法进行比较我们得出改进算法的优点。
关键词：B样条曲面生成算法 deBoor、CoxB递推公式1引言B样条曲线曲面是实体造型，虚拟现实等CAD／CAM领域中广泛使用的几何造型工具。
B样条曲面具有与B样条曲线相同的局部支柱性、凸包性、连续性和几何不变性等性质。
与Bezier曲面相比，B样条曲面极为自然地解决了曲面片之间的连接问题。
它不仅继承了Bézier曲线曲面的所有优点，而且具有局部修改的性质，因此得到工业界的广泛认可。
B样条曲面的生成算法一直都是学者们的研究热点。
在施法中提出的B样条曲线生成的德布尔算法[1]的基础上，谭浩强将此算法推广到B样条曲面的生成[2]；吕科，耿国华，周明全等人提出了基于样条曲面反算方法的B样条曲面生成算法[3]；而近几年又有很多人提出了许多改进的算法，其中本文主要介绍了基于deBoor和CoxB递推公式构造B样条曲面基的曲面生成算法[4] 和提高双三次B样条曲面的生成效率的改进算法[9]。
2.已有算法介绍2.1基于样条曲面反算方法的B 样条曲面生成算法定义n,m 分别为u 向、v 向上待插值数据点个数，k=3,l=3,分别为生成曲面在u 向、v 向上的次数。
述的 B 样条曲面为 P ( u, w ) = W B T T UBV。
B样条曲面的形状修改_基于等参线的曲面缝合
第41卷第5期2009年10月 南 京 航 空 航 天 大 学 学 报Jou rnal of N an jing U n iversity of A eronau tics &A stronau ticsV o l .41N o.5 O ct .2009B 样条曲面的形状修改——基于等参线的曲面缝合王志国 周来水 谭昌柏 鲍益东(南京航空航天大学机电学院,南京,210016)摘要:参数曲面的形状修改在几何建模的过程中具有非常重要的作用。
本文给出了两种方法:最小二乘法和能量法。
这两种方法能修改B 样条曲面,使得修改后曲面的等参线精确地通过指定的目标曲线并可在目标曲线处达到C 1连续拼接。
推导出明确的公式可以计算修改后的曲面的新控制顶点,该方法简单、快速。
最后给出了基于等参线B 样条形状修改和曲面曲面缝合在飞机和汽车外形逆向设计中的具体应用实例。
关键词:形状修改;光顺;物理造型;刚度矩阵中图分类号:T P 391 文献标识码:A 文章编号:100522615(2009)0520570206 基金项目:国家自然科学基金(50805075)资助项目;南京航空航天大学科研创新基金(Y 08062054)资助项目。
收稿日期:2008212215;修订日期:2009203207 作者简介:王志国,男,博士,讲师,1977年10月生,E 2m ail :w zgjjj @ 。
Shape M od if ica tion of B -Spl i ne Surface —Stitch of B -Spl i neSurfaces Ba sed on Isoparam etr ic CurveW ang Z h ig uo ,Z hou L a ishu i ,T an Chang ba i ,B ao Y id ong(Co llege of M echanical and E lectrical Engineering ,N anjing U niversityof A eronautics &A stronautics ,N anjing ,210016,Ch ina )Abstract :T he shap e m odificati on of p aram etric su rfaces p lays an i m po rtan t ro le in geom etric m odeling .Tw o app roaches ,least square based m ethod and energy m in i m izati on based m ethod ,are p resen ted to m odify the shap e of B 2sp line su rfaces.T he isop aram etric cu rve on the m odified su rface p asses th rough the specified target cu rve exactly and retain s C 1con tinu ity si m u ltaneou sly .Exp licit fo r m u lae are derived to com pu te the new con tro l vertices of the m odified su rface ,thu s the p ropo sed m ethods are si m p le and rap id .Exam p les of the isoparam etric B 2sp line cu rve based shap e m odificati on and su rface stitch are also p resen ted fo r the revere shape design of the aircraft and the car .Key words :shap e m odificati on ;fairness ;physically based m odeling ;stiffness m atrix 自由曲面已广泛地应用于飞机、汽车等行业的产品数字化设计。
基于自适应有限元和B样条曲线的结构优化算法_谷胜利
2011年 5月郑州大学学报(工学版)M a y 2011第32卷 第3期J o u r n a l o f Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y (E n g i n e e r i n g S c i e n c e )V o l .32 N o .3 收稿日期:2010-11-12;修订日期:2011-03-19 作者简介:谷胜利(1971-),男,河南尉氏人,郑州大学副教授,主要研究方向为结构无损检测.E -m a i l :g s l @z z u .e d u .c n . 文章编号:1671-6833(2011)03-0103-04基于自适应有限元和B 样条曲线的结构优化算法谷胜利1,2,王复明2(1.大连理工大学水利工程学院,辽宁大连116024;2.郑州大学水利与环境学院,河南郑州450001)摘 要:基于渐进结构优化算法(E S O )是结合单元误差估计和自适应有限元的结构形状优化算法.采用B 样条曲线描述设计域的边界形状,B 样条曲线由作为设计变量的主节点来控制,设计边界的最优形状通过根据节点的应力水平逐步移动和更新主节点的位置来实现.采用应力恢复和自适应F E M 的方法解决F E M 边界节点应力计算精度低的问题,提出一种边界主节点更新算法,将本算法的精度和效率与解析解进行了对比和讨论.关键词:渐进结构优化算法;B 样条曲线;误差估计中图分类号:O 633.11 文献标志码:A0 引言渐进结构优化算法(E S O )[1]是一个有效的设计工具,可用来改进和优化结构的设计.它基于一个简单的概念,即:逐步移除结构中的“低效”材料,结构将向最优的形状(拓扑)进化[2].E S O 算法的优化结果存在网格依赖和棋盘格式,优化的边界存在锯齿形状,需要进一步做光滑处理[3].最近,有学者提出了一些处理优化边界的锯齿形状问题的方法,主要途径有:(1)采用固定网格法(F G )[4].既有的数值分析包仅需简单修改就可以适应E S O 的需要.(2)采用对边界隐式描述的水平集函数法[5].(3)采用对边界直接的显式描述方法.较易通过移动网格的主节点或边界的控制点来显式修正结构形状(拓扑),有4类方法可用来对边界描述:F E M 边界节点、多项式法、B e z i e r 曲线和B 样条曲线.C e r v e r a 和T r e v e l y a n [6]提出了一种基于边界元的优化算法,采用非均匀有理样条曲线(N U R B S )描述边界,优化过程基于应力水平,低应力和高应力区是潜在的修改区域,在迭代中,通过改变边界的定义来实现结构局部区域的“减”或“添”.采用边界元限制了其方法的适用面.H y u n 等[7]在对汽车零件优化时,采用B 样条曲线作为边界的描述方法,提出显式描述法来确定节点的位移.在此类形状渐进优化算法中,以应力标准为例,确定样条曲线的主节点移动的标准是该节点在整个优化边界的所有主节点中的应力排序.有限元方法中应力的计算精度较差,且边界相比内部节点尤其明显.边界节点应力排序一旦失真,则优化计算容易失败,这是问题一.由主节点应力排序,确定需要移动的主节点后,需要进一步确定该节点的移动方向和移动量,这是问题二.笔者主要着眼于解决这两个问题,对于第一个问题,采用应力恢复和自适应有限元的方法予以解决.对于第二个问题,笔者提出了一种新的边界主节点更新算法,通过对比解析解及文献,对算法的精度、效率进行评价.1 形状优化算法1.1 B 样条曲线三次B 样条曲线二阶可导,有最小的平均曲率、且稳定,数值上简单易处理,笔者采用三次样条曲线来描述设计边界.沿着设计边界挑选一组节点作为主节点,主节点作为设计变量,在形状优化过程中直接重新定位,而边界上的其他节点则为从节点,其位置由B 样条曲线内插确定.步骤如下:(1)边界上的节点按照主、从节点进行归类,端点始终为主节点(如图1).(2)主节点的最新位置由形状优化过程确定.(3)根据主节点构造B 样条曲线.(4)主节点间的从节点按照等距内插确定(如图1).如此,边界上的所有节104 郑州大学学报(工学版)2011年点的维持可得到更新,同时保证设计边界的光滑和连续.图1 设计边界上的主、从节点F i g .1 Ma s t e r n o d e s a n ds l a v e n o d e s o na d e s i g nb o u n d a r y 若F E M 剖分时采用8节点4边形单元,则角节点可作为主节点,而中节点可作为从节点.1.2 优化过程具体优化过程如下:(1)定义结构的几何形状.与常规F E M 类似,施加边界约束条件、荷载等,并定义材料属性.(2)定义优化目标τ.(3)进行首次线性F E M 分析,该分析提供设计边界上的非零主应力分布.(4)通过S P R 算法,对边界节点应力进行恢复.(5)逐个单元计算单元误差指数,如果任何单元的误差指数ηe 大于预订的值 η,则需要对单元进行重新剖分.(6)根据主节点的应力水平计算主节点的移动矢量,从节点位置由B 样条曲线内插决定.(7)重复以上从(3)开始的迭代,直到优化指标S R 满足:S R ≥τ(1)1.3 节点应力恢复的S P R 算法在优化迭代过程中,边界的最优是通过主节点坐标的移动和更新来逐步实现的,主节点的移动距离由节点应力和边界最大应力之比确定,因此,节点应力的计算精度及最大应力的位置对于优化的效果至关重要,以位移作为求解基本未知数的F E M 得到的应力是片状连续,且最大应力一般决定优化的迭代过程,而最大应力一般位于边界上,对于F E M 而言,边界上的应力计算一般精度最差.最近,一些学者提出采用应力恢复算法来获得较为精确的光滑和连续应力场,其中由Z i e n k -i e w i c z 等[8]提出的S P R 算法应用较多.笔者也将采用S P R 算法.1.4 误差估计和自适应有限元在优化迭代中,随着主节点坐标的更新,网格常变得扭曲,为防止网格过度扭曲而影响应力的计算精度,笔者采取自适应有限元方法予以解决.为此,首先定义一个评价网格好坏的指标(即误差指示器,E r r o r e s t i m a t o r ).笔者采用能量范数形式的单元误差,即E e =12∫Ψe({σ＊}-{σ})T [C ]-1({σ＊}-{σ})d Ψ12(2)式中:{σ}为有限元的应力解;{σ＊}为光滑处理后的应力场;[C ]为本构矩阵.总误差为E =∑N Ee =1E2e12(3)单元的相对误差为ηe =E e[(E 2+S 2)/N E ]12(4)式中:S=12∫ΨσT [C ]-1σd Ψ12(5)Ψ=∑N Ee =1Ψe(6)一般取0.05作为单元相对误差的上限,如果某单元的相对误差大于该上限,则该单元需要重新加密剖分.1.5 主节点坐标更新标准笔者采用的主节点坐标更新标准为:任何迭代步中,若某主节点的切向应力σn o d e 满足下式,则该节点必须更新其坐标:σn o d e ≤σr e f (7)σr e f =k j +1·σm a x(8)k j +1=k j +Δk j +1(9)式中:σr e f 为参考应力;σn o d e 为主节点沿着切线方向的应力;σm a x 为设计边界上的最大切向应力;k j +1,k j 分别是第(j +1)和j 次迭代时的参考系数;Δk j +1是第(j +1)次迭代时的参考系数增量.主节点的移动方向笔者采取垂直于B 样条曲线,即沿着边界曲线的法向方向 n 移动,如图2所示.而节点移动距离则由下式计算:d i =d m a x ·f σn o de -σr e fσr e f(9)式中:d i 是第i 个主节点的移动距离;f 是标量系数,由试算确定;d m a x是主节点的最大移动距离.1.6 迭代结束标准笔者选取设计边界上切向应力的最小值与最 第3期谷胜利,等:基于自适应有限元和B 样条曲线的结构优化算法105 大值的比值S R 作为评价算法实际优化效果的指标,即:图2 设计边界的更新过程F i g .2 P r o c e d u r et ou p d a t e t h e d e s i g nb o u n d a r yS R=σm i nσm a x(10)式中:σm i n ,σm a x 分别是边界上主节点的最小切向应力和最大切向应力.显然,若S R 趋向于1.0,则设计边界的切向应力更均匀,优化效果更佳.一般,可指定一个值来控制优化迭代是否结束,笔者取τ=0.98.在迭代过程中若:S R ≥τ(11)则可认为优化算法趋于收敛,迭代结束.2 算例将选取双向受力的无限大板中小孔的结构优化算例对笔者的算法进行检验,材料弹性模量E =2000N /m m 2,泊松比为0.35,板厚1m ,因为对称,取模型的1/4进行分析,边界和荷载条件如图3所示.本算例的解析解是小孔边界为椭圆形且长短轴之比b /a 等于荷载比σy /σx ,即等于2.0,在孔周切向应力均匀分布,为7500P a .本算例中,主节点的最大切向应力作为参考标准σr e f .优化参数设置为:初始参考系数k =0.70,参考系数增量Δk j +1=0.2,或Δk j +1=0,d m a x =0.4,f =0.5,S R =0.995.若:S R j +1≤S R j,则:Δk j +1=0.2,否则Δk j +1=0.本算例优化需要46次迭代.S R 随迭代步序的变化情况如图4所示,该图表明算法收敛的实现过程.归一化后的边界应力分布随迭代步序的演变情况如图5所示.该图清楚表明,当趋于最优解时,孔周应力更趋于均匀,迭代结束时,S R 为0.9954(σm i n /σm a x =0.7942×104/0.7979×104=0.9954).孔周应力与解析解的最大误差为5.88%(如图6所示).数值解得到的椭圆长短轴之比b /a =1.913(解析解为2),形状误差为4.3%.以上比较综合说明,本算法得到的结果与解析解极其吻合.3 结论笔者提出了一种有效的基于常规渐进结构优106 郑州大学学报(工学版)2011年化算法并结合单元误差估计和自适应有限元的优化算法,该算法利用E S O的思路,并选择B样条曲线来描述设计边界,通过逐步移动和更新B样条曲线主节点的坐标来达到对结构形状的优化.同时,重点解决了迭代中边界节点应力的计算精度问题,并提出了一种主节点坐标更新的具体算法.通过对本算法优化结果与解析解的比较,表明,本算法的结果精度可靠,且计算效率较高.参考文献:[1] P A S I T.T h e e v o l u t i o n a r y s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o nm e t h-o d:t h e o r e t i c a l a s p e c t s[J].C o m p u t e.M e t h o d sA p p l.M e c h.E n g r g2002,191:5485-5498.[2] L I W e i,L I Q i n g,S T E V E NGP,e t a l.A ne v o l u t i o n a r ys h a p e o p t i m i z a t i o nf o r e l a s t i c c o n t a c t p r o b l e m s s u b j e c t t om u l t i p l e l o a dc a s e s[J].C o m p u t eM e t h o d sA p p l M e c hE n g r g,2005,194:3394-3415.[3] H I N T O NE,S I E N ZJ.F u l l y s t r e s s e 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a r y s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n(E S O) m e t h o d i n c o n j u n c t i o n w i t h e l e m e n t e r r o r e s t i m a t e a n da d a p t i v e F E M i s p r e s e n t e d.B-s p l i n e s a r e u s e d t o d e-s c r i b e t h e b o u n d a r y o f t h e d e s i g n d o m a i n;t h e s h a p e o f t h e s e B-s p l i n e s i s g o v e r n e d b y a s e t o f m a s t e r n o d e s w h i c h c a n b e t a k e n a s t h e d e s i g n v a r i a b l e s.T h e o p t i m a l s h a p e o f t h e d e s i g n b o u n d a r y w i t h c o n s t a n t s t r e s s i s a-c h i e v e d i t e r a t i v e l y b y t h e m o v e m e n t a n d u p d a t e o f t h e p o s i t i o n o f t h e m a s t e r n o d e s b a s e d o n n o d a l s t r e s s l e v e l-i n g.T h e r e s u l t q u a l i t y,i n t e r m s o f a c c u r a c y a n d e f f i c i e n c y,i s t e s t e d a n d d i s c u s s e dw i t ha na n a l y t i c a l s o l u-t i o n.K e y w o r d s:e v o l u t i o n a r y s t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o n;B-s p l i n e s;e r r o r e s t i m a t o r。
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基 于约束优 化 的 Ｂ样条 曲线形状修 改
前 后 曲 线 的距 离 范数 达到 最 小 ， 给 出相 应 的 实例 说 明 算 法 的 有效 性 。 并
关键词 Ｂ样 条 曲 线 约束 优 化 形状修 改 控制点 拉 格 朗 日方程
文 章 编 号 １０ — ３ ｌ （ Ｏ ６ ｌ — ０ ７ ｏ 文 献标 识 码 Ａ ０ ２ ８３ － ２Ｏ ）８ ０ ３ 一 ３ 中 图分 类 号 １Ｐ９ １ １ ３
ｍ ｔｏ ， ｅ ａｔｏｓ ｍ ｄｆ ｃｎｒｌｐ ｉ ｆｔｅｏ ｇｎ ｐｉ ｕｖｓｔ ａｉ ｈ ｉｅ ｏ ｓａｎ ｎ ｄｉ ｅ ｅ ｄｔ ｕｈ ｒ ｏ ｉ ｏｔ ｏｎ ｏ ｒ Ｍ Ｂ ｓｌ ｅ ｃｒｅ ｏ ｓｔｆ ｔｅ ｇｖｎ ｃｎｔ ｉｔ ａｄ ｍｏ ｆ ｔ ｈ ｈ ｙ ｏ ｓ ｔ ｈ ｉ ｉ ｎ ｓ ｙ ｒ ｓ ｙｈ
面 有 其 更 独特 的性 质 。 曲 线 的设 计 和 形 状 的修 改是 一 个重 要 的课 题 ， 是 计 算机 图形 学、 ＡＤＣ Ｍ 和 数 控技 术领 域 最 对 也 Ｃ ／Ａ
重 要 的研 究 主题 之 一 。论 文运 用约 束 优 化 的方 法 ， 改 均 匀 Ｂ 样 条 的 控 制 点 ， Ｂ样 条 曲 线通 过调 整 的 控 制 点 ， 修 改 修 一 使 使
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陶淑 一 吴庆 标
（ 浙江 大 学数 学 系科 学与 工程 计算研 究 所 ， 州 ３ ０ ２ ） 杭 １０８
Ｅ ｍａ ｌ ｔｏ ｈ ｙ １ ２ ＠ １ ３ｃ ｍ － ｉ ： ｓ ｕ ｉ０ ７ ６ ．ｏ ａ
摘 要
Ｂ样 条 曲 线 广 泛 应 用 于计 算机 辅 助 几 何 设 计 （ Ａ Ｄ） 并且 与 Ｂ ｚ ｒ 线 等 其 它 著 名 曲 线 相 比 ， 形 状 设 计 方 Ｃ Ｇ ， ６ｉ 曲 ｅ 在
ｌ 引 言
Ｂ 样 条 曲 线 和 曲 面 广 泛 应 用 于 计 算 机 辅 助 几 何 设 计 （ Ａ Ｄ） Ｃ 并 且 与 Ｂ ｚ ｒ曲线 等 其 它 著 名 曲线 相 比 ， 形 Ｃ Ｇ 和 Ｇ， ６ｉ ｅ 在