2017-2018年广西梧州市岑溪市九年级上学期数学期中试卷与解析

2017-2018学年广西梧州市岑溪市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.53．（3分）对于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣1）B．图象关于y轴对称C．图象位于第二、四象限D．当x＜0时，y随x的增大而减小4．（3分）如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列比例式中错误的是（）A．=B．=C．=D．=5．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列判断中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y16．（3分）如图，在4×4正方形网格中画出的三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．7．（3分）下列四个命题：①两角分别相等的两个三角形相似；②三边成比例的两个三角形相似；③两直角边成比例的两个直角三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似．其中是真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．①②8．（3分）如果把抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的解析式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+3）2C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x+1）2+29．（3分）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＜2 B．x＞0 C．x＞﹣2 D．x＜011．（3分）对抛物线y=x2﹣x+1，下列分析正确的是（）A．开口向下B．与x轴没有交点C．顶点坐标是（1，0）D．对称轴是直线x=﹣112．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．c＜0 B．a+b+c＜0 C．2a﹣b=0 D．b2﹣4ac=0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是．14．（3分）若=，则=．15．（3分）如图，已知点A是反比例函数y=图象上的任意一点，经过点A作AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积为．16．（3分）一条抛物线的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则该抛物线的函数表达式是．17．（3分）已知P是线段AB上一点，且AP：PB=2：5，则AB：PB=．18．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c=0的解是，．三、解答题（共66分）19．（5分）请直接写出二次函数y=（x﹣1）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20．（6分）已知y与x成反比例，且当x=2时，y=﹣3，求当x=﹣1时，y的值．21．（7分）如图所示，小华站在距离路灯的灯杆（AB）5m的C点处，测得她在路灯灯光下的影长（CD）为2.5m，已知小华的身高（EC）是1.6m，求路灯的灯杆AB的高度．22．（7分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠B=∠ACD．求证：AC2=AD•AB．23．（9分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图（1）和（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，请回答下列问题．（1）柱子OA的高度为多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？24．（10分）已知：如图，一次函数y=﹣2x﹣3的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？25．（10分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，但始终保持EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）若正方形的边长为4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式；（3）当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值．26．（12分）已知：如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0）和C（0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，求线段AB的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P，使△ABP的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年广西梧州市岑溪市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【解答】解：把点（2，﹣1）代入解析式得﹣1=，解得k=﹣2．故选：A．2．（3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【解答】解：∵直线a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3，∴=，即=，解得DF=4.5．故选：B．3．（3分）对于反比例函数y=，下列说法正确的是（）A．图象经过点（1，﹣1）B．图象关于y轴对称C．图象位于第二、四象限D．当x＜0时，y随x的增大而减小【解答】解：A、把点（1，﹣1）代入反比例函数y==1，即该函数图象不经过点（1，﹣1），故本选项错误；B、该函数图象是中心对称图形，故本选项错误；C、由于k=1＞0，则该函数图象经过一、三象限，故本选项错误；D、由于k=1＞0，则它的图象在每一象限y随x的增大而减小，故本选项正确；故选：D．4．（3分）如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列比例式中错误的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴=，故A正确，选项不符合题意；∴，即=，故B正确，B选项不符合题意；∴△DEF∽△AEB，∴=，错误，C选项符合题意；∴=，即=，故D正确，D选项不符合题意．5．（3分）若点（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则下列判断中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【解答】解：由题意，得点（x1，y1）、（x2，y2）在第二象限，（x3，y3）在第四象限，∴y3最小，∴x1＜x2，∴y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故选：B．6．（3分）如图，在4×4正方形网格中画出的三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知，三角形是直角三角形，两直角边分别为、2，A、不是直角三角形，与图中的三角形不相似，故本选项错误；B、是直角三角形，两分别为直角边2、4，与图中的三角形相似，故本选项正确；C、是直角三角形，两分别为直角边2、3，与图中的三角形不相似，故本选项错误；D、不是直角三角形，与图中的三角形不相似，故本选项错误．故选：B．7．（3分）下列四个命题：①两角分别相等的两个三角形相似；②三边成比例的两个三角形相似；③两直角边成比例的两个直角三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似．其中是真命题的是（）A．①②③B．①②④C．①②③④D．①②【解答】解：①两角分别相等的两个三角形相似，是真命题；②三边成比例的两个三角形相似，是真命题；③两直角边成比例的两个直角三角形相似，是真命题；④顶角相等的两个等腰三角形相似，是真命题；故选：C．8．（3分）如果把抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位长度，所得到的抛物线对应的解析式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+3）2C．y=（x+1）2﹣2 D．y=（x+1）2+2【解答】解：把抛物线y=（x+1）2向右平移2个单位长度所得抛物线的表达式是y=（x+1﹣2）2．即y=（x﹣1）2．故选：A．9．（3分）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=的图象经过二、四象限，∴k＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x=﹣=＜0，即对称轴在y轴的左边．故选：D．10．（3分）已知函数y=x2﹣2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＜2 B．x＞0 C．x＞﹣2 D．x＜0【解答】解：∵y=x2﹣2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故选：D．11．（3分）对抛物线y=x2﹣x+1，下列分析正确的是（）A．开口向下B．与x轴没有交点C．顶点坐标是（1，0）D．对称轴是直线x=﹣1【解答】解：A、∵a=＞0，∴抛物线开口向上，结论A错误；B、令y=0，则x2﹣x+1=0，∵△=（﹣1）2﹣4××1=﹣1＜0，∴该抛物线与x轴没有交点，结论B正确；C、∵抛物线的解析式为y=x2﹣x+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，），结论C错误；D、∵﹣=1，∴抛物线的对称轴是直线x=1，结论D错误．故选：B．12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．c＜0 B．a+b+c＜0 C．2a﹣b=0 D．b2﹣4ac=0【解答】解：∵抛物线与y轴相交于原点，∴c=0，故A选项错误；当x=1时，函数值y＞0，∴a+b+c＞0，故B选项错误；∵二次函数图象与x轴相交于点（﹣2，0）（0，0），∴对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴b=2a，∴2a﹣b=0，故C选项正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，故D选项错误．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≠2．【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．14．（3分）若=，则=．【解答】解：∵=，∴设a=3k，b=4k（k≠0），∴==．故答案为：．15．（3分）如图，已知点A是反比例函数y=图象上的任意一点，经过点A作AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积为1．=|k|=×2=1，【解答】解：根据题意可知：S△ABO故答案为1．16．（3分）一条抛物线的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则该抛物线的函数表达式是y=﹣x2+4x﹣3．【解答】解：根据题意设y=a（x﹣2）2+1，把B（1，0）代入得：a+1=0，即a=﹣1，则抛物线的函数表达式是y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．故答案为：y=﹣x2+4x﹣317．（3分）已知P是线段AB上一点，且AP：PB=2：5，则AB：PB=7：5．【解答】解：∵P是线段AB上一点，且AP：PB=2：5，∴AB：PB=（2+5）：5=7：5．故答案为：7：5．18．（3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=5．【解答】解：由图象可知对称轴x=2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x=2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．所以x1=﹣1，x2=5．故答案是：x1=﹣1，x2=5．三、解答题（共66分）19．（5分）请直接写出二次函数y=（x﹣1）2+2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【解答】解：∵y=（x﹣1）2+2，∴该函数的开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，2）．20．（6分）已知y与x成反比例，且当x=2时，y=﹣3，求当x=﹣1时，y的值．【解答】解：设y=，依题意得﹣3=，解得k=﹣6，所以y与x之间的函数关系式为：y=﹣．把x=﹣1代入得：y=﹣=6．21．（7分）如图所示，小华站在距离路灯的灯杆（AB）5m的C点处，测得她在路灯灯光下的影长（CD）为2.5m，已知小华的身高（EC）是1.6m，求路灯的灯杆AB的高度．【解答】解：依题意知：AB∥EC，∴△ABD∽△ECD，∴=，即=，解得AB=4.8．答：路灯的高度AB是4.8米．22．（7分）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠B=∠ACD．求证：AC2=AD•AB．【解答】证明：在△ABC和△ACD中，∵∠A=∠A，∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴=，∴AC2=AD•AB．23．（9分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图（1）和（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，请回答下列问题．（1）柱子OA的高度为多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【解答】解：（1）当x=0时，y=，故OA的高度为1.25米；（2）∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，∴顶点是（1，2.25），故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米；（3）解方程﹣x2+2x+=0，得x1=﹣，x2=，∴B点坐标为，∴OB=．故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．24．（10分）已知：如图，一次函数y=﹣2x﹣3的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（﹣2，1），∴m=﹣2×1=﹣2，∴该反比例函数的解析式为y=﹣；（2）依题意由，解之得：，，所以点B的坐标为（，﹣4）；（3）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．25．（10分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，但始终保持EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）若正方形的边长为4，设AE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式；（3）当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值．【解答】（1）证明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，∴∠1+∠2=90°，又EF⊥DE，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△ADE∽△BEF．（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4﹣x得：=，即：=，得：y=﹣x2+x（0＜x＜4）．（3）解：∵y=﹣x2+x=﹣（x2﹣4x）=﹣（x﹣2）2+1∵﹣＜0，当x=2时，y有最大值，y的最大值为1，26．（12分）已知：如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0）和C（0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，求线段AB的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P，使△ABP的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；（2）∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4；（3）设P（m，n），∵△ABP的面积为8，∴AB•|n|=8，解得：n=±4，分两种情况讨论：①当n=4时，m2+2m﹣3=4，解得：m=﹣1，∴P1（﹣1+2，4）、P2（﹣1﹣2，4）；②当n=﹣4时，m2+2m﹣3=﹣4，解得：m=﹣1，∴P3（﹣1，﹣4）；综上，在这条抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，且点P的坐标为P1（﹣1+2，4）、P2（﹣1﹣2，4）、P3（﹣1，﹣4）．。