分解因式3---完全平方公式
分解因式(三)---完全平方式
例题 (2)
解：
2 2 -x -4y ＋4xy
原式 ( x 2 - 4xy 4y 2 )
[x 2 x (2y) (2y) ]
2 2
( x 2 y) 2
练一练 因式分解：
（4）
2 -a -10a
2
-25
2
解:原式=-（a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
1.利用平方差公式分解因式 a2－b2=（a+b)(a-b) 2.分解因式应注意的问题 （1）左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式.
（2）因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考虑用公式.
（3）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
除了平方差公式外，回忆完全平方公式
a b a b
下列各式是不是完全平方式
2 2 1 a b 2ab 是
2 2 xy x y 3 x 4 xy 4 y 4 a 6ab b
2 2 2 2 2
2
2
是 是 否
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
2
例题 (3) 3ax2＋6axy＋3ay2
原式 3a( x 2xy y ) 解：
2 2
3a(x y)2
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 3 2 2 解：原式=-ab (a -2a×1+1 ) 3 2 =-ab (a-1)
例题 (4)
解：
(m n)2 6(m n) 9
例题 (1)
x2＋14x＋49
2 2
解：原式 x 2 x 7 1）25x2＋10x＋1
因式分解-完全平方公式
a +2ab+b =3a(x+y)2
2
2
(3)-x +4xy-4y 解:原式=-(x2_4xy+4y2) 2_ 2 =-[x 2x2y+(2y) ] a 2 a b + b 2 =-(x-2y)
2_ 2
注意： 用完全平方公式分解因式： 首先要考虑能不能提取 公因式。然后观察是否 符合完全平方公式。当 平方项系数为负数时，应 先将负号提出来。
一 号 题
二 号 题
三 号 题
1号题： 对下列式子因式分解并填空： (a+3)2 ① a2+6a+9 = ________________ -s2-t2+2st=_____________ -(s-t)2 (m+n)2+4m(m+n)+4m2=___________ (3m+n)2
2号题 因式分解下列各题：
(1)-x2+2xy-y2
(2)x2-6xyz+9y2z2
(3)(x+y)2+6(x+y)+9
3号题 用简便算法计算： 20052-4010×2003+20032 的值。
用完全平方公式分解获？
1、完全平方式 a
2
2ab b
2
及特征；
2、用完全平方公式分解因式。
用完全平方公式分解因式
a 2ab b
2
2
之辨析篇
例1.判别下列各式是不是完全平方式． x2+y2 不是 x2-2xy-y2 不是
2 2 - 2 是
x2 2xy y 2 是
讨论：完全平方式有什么特点？
1.3因式分解公式法------完全平方公式
2 2 2 4 a 4 ax (____) (____) ②
④ (___) 2 x 1 (___)2
三 应用迁移，巩固提高（例题讲解） 1 用完全平方公式分解因式 例1把下面多项式分解因式
（1）
x2 6x 1
x4 2 x2 1
2
（2）
-4x2 +12xy-9y 2
（3）
（4）a4+2a2b+b2
（4） y
2
2 y 2( y 2 2 y) 1
例2 x2+2(m-1)x+16是完全平方式，则m的值为多少？
2 提公因式法和公式法的综合运用
例3 把多项式分解因式
3ax 6axy 3ay
2
2
3 分解因式的应用
例4 计算34.52+69
2 公式的识别 (1)下面多项式是否适合完全平方式分解因式？ 2 x 2x 4 （1） （2） (3)
m2 +2m-1
a 2a b b
2 2
2
(4)
(5)x2+y2+2xy-2x-2y+1+2xy
1 2 m mn n 4
2
(2)填空： ① a2 2ax (____)2 (____)2 ③ x2 (___) 4 (___)2
作业
1. P 17 A 2,3 B3
2.如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么k 的值是 多少？
65.5+65.5
2
例4 若一个三角形的三条边a、b、c满足 a 2 2b2 c 2 2ab 2bc 0 试判断这个三角形的形状
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
因式分解——完全平方公式
14.3.2公式法（完全平方公式）一、内容及内容解析1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。
2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14.3.2公式法的内容。
主要是利用完全平方公式进行因式分解。
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。
因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。
完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。
二、目标及目标解析1.目标：（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
2.目标解析：达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。
达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。
从而培养学生的观察和联想能力。
再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。
三、教学问题诊断分析在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因式分解。
这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。
在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。
另外，平方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
14.3 因式分解--完全平方公式
2x2 18
解：原式 2x2 9
2x 3x 3
探索完全平方公式
多项式 a2+2ab+b2 你能用提公因式法或平方差公式来 分解因式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
a2 2ab b2 a2 2ab b2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2
分解因式：(1) –x2+4xy–4y2 3ax2+6axy+3ay2
解： –x2+4xy-4y2
(2) 解: 3ax2+6axy+3ay2
= –(x2-4xy+4y2) = –[x2-2·x·2y+(2y)2]
= – (x-2y)2
=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
分解因式: 4 -12(x-y) + 9(x-y)2
4 -12(x-y) + 9(x-y)2 解：原式= 22 - 2·3(x-y)·2+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2
• m2-12mn+36n2 • -a2 +8ax- 16x2 • a2 +2a(b+c) + (b+c)2 • -a3 +2a2 - a
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丁沛永
12 x
2
− 3y
2
− a
4
+ 16
(2 x + y )2 − (x + 2 y )2
完全平方下式法分解因式
一丶教学目标 1. 使学生理解完全平方下式的意义 使学生理解完全平方下式的意义, 2. 弄清完全平方下式的形式和特点 弄清完全平方下式的形式和特点. 3. 会下完全平方下式分解因式 会下完全平方下式分解因式.
1.下列下下式下下下下下 式分解因式； (1). 2x − 4x −1 ; (2). 1- 4x - 4x ;
2 2
(3). - 4x + 4x +1; (4). 4x − 2x +1;
2 2
1. 如果一个下下式是完全平方式 就可以运下完 如果一个下下式是完全平方式,就可以运下完 全平方下式分解因式; 全平方下式分解因式 (1). 先看是否有两下 同号 都可以写成 平方形式 先看是否有两下(同号 都可以写成__________. 同号)都可以写成
4x − 4x +1
2
− 3x + 6 xy − 3 y
2
2
6 xy − 9 x y − y
2 2
3
(a − b )
2
+ 2 ab
(7). ___ - 4x + 1________;
三丶乘法下式 反过来,就得到 反过来 就得到: a 2 就得到
+ 2ab + b = (a + b ) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
2
2
(a + b )2 = a 2 + 2ab +__;2 __________ b 2 (a - b ) = a 2 − 2ab + b 2 ____________;
(a + b )
2
= ____________;
(a - b )
2
= ____________;
两个数的和 或者差)_______等于这两个数 即:两个数的和(或者差 两个数的 或者差 等于这两个数 的平方和,加上 或者减去)这两个数的积的 加上(或者减去 这两个数的积的____, 的平方和 加上 或者减去 这两个数的积的
二丶复习提问 1. 口述平方差下式 口述平方差下式; 2. 填空: 填空
(1). x 3
(2). 9 - x 2 y 2 = ___________;
− 4 x = __________;
2
(3). (a + 2)
2
= __________;
2
(4). (a -1)
2
(5). a − 6a + __ = (a − _ ) 2 2 (6). x − __ + 16 = (x − _)
即如 : a 2 + b 2 (或 − a 2 − b 2 )的形式;
倍 (2). 再看第三下是否是前两下积的 2倍 再看第三下是否是前两下积的______
即如 : 2 ⋅ a ⋅ b( 或 − 2ab) 的形式 ;
下列各式是不是完全平方式？ 下列各式是不是完全平方式？
• 例5：分解因式
分解因式
两个数的平方和,加上 或者减去)这两个数的 即:两个数的平方和 加上 或者减去 这两个数的 两个数的平方和 加上(或者减去 倍 等于这两个数的和 或者差)_______. 积的____,等于这两个数的 或者差 积的 2倍 等于这两个数的和(或者差 的平方
x 2 + 4 xy + 4 y 2分解因式 把 分解因式; 例1:把