层次分析法简介

上述两相邻判断的中值
因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij
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目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij
A (aij )nn , aij
0, a ji
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表)
通过一致
一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
性检验
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4. 层次总排序及其一致性检验
• 计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对 重要性的权值，称为层次总排序。
• 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
B1 : a1b11 a2b12 amb1m B2 : a1b21 a2b22 amb2m
Bn : a1bn1 a2bn2 ambnm
A B
B1 B2 Bn
A1, A2 ,,11 b12
m
b1m
a jb1 j b1
j 1
b21 b22
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵
A， Saaty等人建议用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
但允许范围是 多大？如何界 定？ 这就是矩阵的 一致性检验！23
3. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经 归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
(Analytic Hierarchy Process)
5
层次分析法（AHP）是美国匹茨堡大学教授、运筹 学家萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国 防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小 而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目 标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当CR 0.1 时，认为层次总排序通过一致性检验。层次
总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比 率高的判断矩阵的元素取值。
到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。35
选择旅游地 记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为
根据线性代数知识，我们不难证明，n是矩阵A 的唯一非零的，也是最大的特征值，而W为其 所对应的特征向量。
9
一、层次分析法原理
上述事实提示我们：如果有一组物体，需要知道它们的重 量排序，但又没有衡器，那么我们就可以通过两两比 较它们的相互重量，得出每对物体重量比的判断，从 而构成判断矩阵；然后通过求解判断矩阵的最大特征 值λmax和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物 体的相对重量。
12
一、层次分析法原理
但如何证明“小的扰动”足够小，以至于不影响最后的排 序结果呢？这就是矩阵的一致性程度的检验。
令
13
一、层次分析法原理
14
二、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时，可以分 为以下五个步骤：
1. 建立层次结构模型 2. 构造判断(成对比较)矩阵 3. 层次单排序及其一致性检验 4. 层次总排序及其一致性检验 5. 判断矩阵的特征向量，即为权数
3 0.587 0.324 0.089
0.268
精确结果: w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010
29
定义一致性比率 ： CR CI 其中，
RI
Saaty的随机一致性指标 RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
“选择旅游地”中 准则层对目标的权 向量及一致性检验
最大特征根=5.073
准则层对目标的成对比较阵
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
令a w / w
成对比较
A
w1
w1 w2
w1
wn
w2 w2
w2
wn
ij
i
j
满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2,, n 的正互反阵A称一致阵。
wn
w1
wn
wn
w2
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n
Aw nw
性质 • 非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量
b2m
m
a jb2 j b2
j 1
bn1 bn2
bnm
m
a jbnj bn
j 1
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层次总排序的一致性检验
设 B 层 B1, B2,, Bn 对上层( A 层)中因素 Aj ( j 1,2,, m)
的层次单排序一致性指标为 CI j ，随机一致性指为 RI j ，
则层次总排序的一致性比率为：
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一、层次分析法原理
层次分析法的基本原理可以用以下的简单事例分析来说 明。假设有n个物体A1，A2，…，An，它们的重量分别 记为W1，W2，…，Wn。现将每个物体的重量两两进 行比较如下： 若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，即：
W 1 / W 1 A W 2 / W 1
...... Wn / W 1
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1. 建立层次结构模型
• 将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象 按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层， 绘出层次结构图。
• 最高层：决策的目的、要解决的问题。 • 最低层：决策时的备选方案。 • 中间层：考虑的因素、决策的准则。 • 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
在A、B、C三个公司中，选择一个信用最 好的公司作为贷款对象。选择标准为偿债能 力、营运能力、盈利能力。
3
问题的共性
1.都是方案选择问题 2.选择范围有限 3.选择标准多元 4.方案在各标准上的评价比较模糊
例如：
费用可以精确计量，但风景却无法计量；
费用与风景之间比较也因效用函数不同而不同
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层次分析法(AHP法)简介
W1/W 2 W 2 /W 2
...... Wn / W 2
...... W 1 /Wn
......
W
2
/
Wn
...... ......
......
Wn
/
Wn
（1）
8
一、层次分析法原理
（1）式中，A称为判断矩阵。若取重量向量
W=[W1，W2，…，Wn]T，则有：
AW=n·W
（2）
这就是说，W是判断矩阵A的特征向量，n是A 的一个特征值。
21
成对比较的不一致情况
1 1/ 2
A
2
1
4 7
不一致
a21 2 (C2 : C1)
a13 4 (C1 : C3)
一致比较
a23 8 (C2 : C3)
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
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考察完全一致的情况
W ( 1) w1, w2 ,wn 可作为一个排序向量
w1
w1
w2
这种方法的特点是在对复杂的决策问题，利用较少 的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、 多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策 方法。
6
一、层次分析法原理
• 层次分析法(AHP法) 将定量分析与定性分析结合 起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现 的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个 决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方 案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定 量方法解决的课题。
素相互比较的困难，以提高准确度。
a1 / a1 a1 / a2 ...... a1 / an
A a2 / a1 a2 / a2
......
a2
/
an
...... ...... ai / aj ......
an / a1 an / a2
......
an
/
an
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2. 构造判断(成对比较)矩阵
根据这一思路，可以用这种方法来度量各因素之间的相对 重要性（权重），从而为有关决策提供依据。上述思 路就是层次分析法的基本原理。
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一、层次分析法原理
然而，矩阵A必须满足一定的条件：
Wii 1
Wij 1 Wji
Wij Wik Wjk
满足这些条件的矩阵， 成为一致性矩阵。 可以证明：一致性矩阵 的最大特征值为n，特征 向量为 W=[W1，W2，…， Wn]T
经济管理中的软计算方法 层次分析法（AHP）简介
1
问题的提出
在桂林、黄山、北戴河三处选择一个 旅游点。要考虑景点的景色、居住的 环境、饮食的特色、交通便利和旅游 的费用。
如何选择？
2
类似的问题
在苹果、戴尔、联想和华硕四个品牌的手 提电脑中选购一种。要考虑品牌、电脑性 能、价格、硬盘容量、售后服务。
1 aij
C1
C2
选 择 旅
C1 C2
1 1/ 2
2
1
游 地
C3 A 1/ 4
C4
1/ 3
1/ 7 1/ 5
C5