北师大版必修5高中数学第2章解三角形导学案
数学必修5导学案：2-2 三角形中的几何计算
§2 三角形中的几何计算知能目标解读1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力.重点难点点拨重点：应用正、余弦定理解三角形.难点：灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算.学习方法指导一、三角形中的几何计算问题正弦定理、余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角有着密切的联系.解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形及一些不规则图形等，处理时，可通过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决，这是化复杂为简单，化未知为已知的化归思想的重要应用.注意：三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.二、正、余弦定理在几何计算问题中的应用规律1.对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.2.对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值，有时要用到不等式的均值定理（后面将要学习）求最值.3.正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系，对三角形中的任何元素加以变化，都会引起三角形的形状、大小等的变化，但边角之间仍符合正、余弦定理，所以不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好.甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化为简单问题来计算或证明. 知能自主梳理 三解形面积公式（1）S =21 ；（2）S =21ab sin C =21 =21 ;(3)S =21²r ² (r 为内切圆半径).［答案］ （1）底³高 （2）ac sin B bc sin A （3）(a+b+c )思路方法技巧命题方向 利用正、余弦定理求边长［例1］ 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长.［分析］ 本题的图形是由两个三角形组成的四边形，在△ABD 中，已知两边和其中一边的对角，用余弦定理可求出BD 的长，在△BCD 中，应用正弦定理可求出BC 的长.［解析］ 在△ABD 中，由余弦定理， 得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ²BD ²cos ∠ADB , 设BD ＝x ,则有142=102+x 2-2³10x cos60°, ∴x 2-10x -96=0,∴x 1=16,x 2=-6(舍去)，∴BD =16. 在△BCD 中，由正弦定理知，BCDBD CDBBC ∠=∠sin sin∴BC =·135sin 16︒sin30°＝82.［说明］ 解决此类问题的关键是将已知条件转化为三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求解. 变式应用1如图所示，在△ABC 中，已知BC =15,AB ：AC =7；8,sin B =734,求BC 边上的高AD 的长.［分析］ 要求高AD 的长，可先求AB 的长，再在Rt △ADB 中，求出AD 的长. ［解析］ 在△ABC 中，由已知设AB =7x ,AC =8x ,x >0,由正弦定理，得Bx Cx sin 8sin 7=,∴sin C =23734878sin 7=⨯=xB x .∴∠C =60°或120°.若∠C =120°，由8x >7x ，知∠B 也为钝角，不合题意，故∠C ≠120°. ∴∠C =60°.由余弦定理，得（7x ）2=(8x ) 2+152-2³8x ³15cos60°, ∴x 2-8x +15=0,解得x =3或x =5. ∴AB =21或AB =35. 在Rt △ADB 中，AD =AB sin B =AB ，734∴AD =123或203.命题方向 利用正、余弦定理求角度问题［例2］ 在△ABC 中，已知AB =，ABC ，66cos 364=∠AC 边上的中线BD =5,求sin A 的值.［分析］ 要求sin A 的值，需根据“D 是AC 的中点”这个条件，取BC 的中点E ，连结DE ，则DE ∥AB ，所以∠ABE +∠BED =180°,根据题目中的条件cos ∠ABC =66,进而求得cos ∠BED =－66.又由ＤＥ 21AB ,得DE ＝21³362664=.在△BDE 中，利用余弦定理可求出BE ，从而BC 可求.再在△ABC中，利用余弦定理可求出AC ，再利用正弦定理即可求出sin A 的值.［解析］ 如图所示，取BC 的中点E ，连结DE ，则DE ∥AB ,且DE =21AB =362.∵cos ∠ABC =66,∴cos ∠BED =-66.设BE ＝x ,在△BDE 中，利用余弦定理， 可得BD 2=BE 2+ED 2-2BE ²ED cos ∠BED , 即5=x 2+x 。
高中数学 第二章 解三角形 2_1_1_2 正弦定理的变形及三角形面积公式课件 北师大版必修5
课堂探究 互动讲练 类型一 正弦定理的变形应用 [例 1] 在△ABC 中，B＝30°，C＝45°，c＝1，求 b 及△ABC 外接圆的半径 R.
【解析】 已知 B＝30°，C＝45°，c＝1，
由正弦定理，得sibnB＝sincC＝2R， 所以 b＝cssiinnCB＝1×sinsi4n53°0°＝ 22，
a2＋b2－2abcosπ3＝7， 所以a2＋b2－ab＝7，即(a＋b)2－3ab＝7， 所以(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.
方法归纳
(1)本题采用了整体代换的思想，把a＋b，ab作为整体，求解
过程既方便又灵活．
(2)三角形面积公式有多种形式，根据题中的条件选择最合适
的面积公式．在解三角形中通常选用S＝
＝
40 6＋
2＝10(
6－
2) (km)．
即 C 到灯塔 A 的距离为 10( 6－ 2) km.
方法归纳
解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个 三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个 以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然 后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程，解方程得出所要求的解．
(2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为323，求 a＋b 的值．
【解析】
(1)因为
3a＝2csinA，所以sianA＝
2c 3.
由正弦定理知sianA＝sincC，
所以sincC＝ 2c3，所以sinC＝
3 2.
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝π3.
(2)因为c＝ 7，C＝π3，
(常考题)北师大版高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72B ．3C ．3D ．2．在ABC 中，内角,A ,B C 的对边分别为,a ,b c ，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的最大值为（ ）A B ．C ．D3．在△ABC 中，若222a c b -+=，则C ＝( )． A ．45° B ．30°C ．60°D ．120°4．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒5．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222sin sin sin sin A C B A C +-=，1b =，则2a -的最小值为（ ）A ．4-B ．-C ．2-D ．6．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ）A BC ．2D ．48．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A B C D ．109．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a =，cos si 3n 3b c C B -=，则B 的值是（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若3a =，2b =，45B =︒，则A =（ ）A ．30B ．30或150︒C ．60︒或120︒D ．60︒11．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF 与ABC 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．15D ．1712．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，13a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 二、填空题13．已知ABC 的面积为4，2tan 3B =，AB AC >，设M 是边BC 的中点，若5AM =，则BC =___________.14．在ABC 中，点M 是边BC 的中点，3AM =2BC =，则2AC AB +的最大值为___________.15．某小区拟将如图的一直角三角形ABC 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形DEF ，在其内建造文化景观.已知207m AB =，107m AC =，则DEF 区域面积（单位：2m ）的最小值大约为______2m .7 2.65≈；3 1.73≈）16．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75︒，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为__________海里/小时.17．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．18．在ABC 中，若3b =3c =，30B ︒=，则a 等于________.19．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 22sin sin b C c B a B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______． 20．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos cos sin b C c B a A +=，则A =________. 三、解答题21．在ABC 中，已知边长是5,7,8BC AC AB ===. （1）求角B ；（2）求ABC 的面积； （3）求ABC 外接圆面积.22．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()()()sin sin sin 3a b A B C c b -+=.（1）求角A ；（2）若ABC 的面积23ABC S =△a 的取值范围.23．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程22320x x -+=的两根，()2cos 1A B +=.（1）求角C 的度数； （2）求AB 的长.24．ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且AD =3CD ，BD 7，求AD 的值和sin ∠ABD 的值25．在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，a 、b 是方程22320x x -+=的两个根，且120A B +=︒，求ABC 的面积及AB 的长.26．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及sin b Bc的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值. 【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 3c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．B解析：B 【分析】由正弦定理化边角，利用诱导公式两角和的正弦公式化简可得B 角，然后用余弦定理得2()33a c ac +-=，再利用基本不等式变形后解不等式得a c +的最大值．【详解】因为22cos c a b A -=，所以由正弦定理得，2sin sin 2sin cos C A B A -=，因为A B C π+=-，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B A B A B A +-=，化简得(2cos 1)sin 0B A -=，因为sin 0A ≠，所以2cos 10B -=，解得1cos 2B =，因为(0,)B π∈，所以3B π=，因为b =222232cos a c ac B a c ac =+-=+-，所以2()33a c ac +-=，所以222313()()()44a c a c a c ≥+-+=+，当且仅当a c =时取等号，所以a c +≤a c +的最大值为故选：B ． 【点睛】方法点睛：本题考查主要正弦定理、余弦定理，在三角形问题中出现边角关系时可用正弦定理化边为角，然后由利用三角函数恒等变换公式如诱导公式，两角和与差的正弦公式等化简变形得出所要结论．3．B解析：B 【分析】根据余弦定理，可以求出C 角的余弦值，进而根据C 为三角形内角，解三角方程可以求出C 角．【详解】∵222a c b -+=，∴22222a b c cosC ab +-==. 又∵C 为三角形内角∴30C =︒. 故选B ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属基础题．4．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin a b B A B =⇒=,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.5．A解析：A 【分析】由222sin sin sin sin A C B A C +-=，利用正弦定理和余弦定理，可得6B π=，再根据正弦定理、三角形内角和及两角和的余弦公式，得到2a -4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，借助角C 的范围，即可求得结果. 【详解】222sin sin sin sin A C B A C +-=，∴222a c b +-=，∴2222a c b ac +-=，∴cos 2B =，又0B π<<，∴6B π=，12sin sin sin sin 6b A C B ac π====，∴2sin a A =，2sin c C =，∴24sin a A C -=-4sin()B C C =+-4sin()6C C π=+-14cos 22C C C ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭2cos C C =-14cos sin 22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 4cos 3C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为506C π<<，所以7336C πππ<+<，所以当3C ππ+=时，2a -取得最小值，且最小值为4-.故选：A. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用、三角形内角和的应用、两角和的余弦公式及余弦型函数的最值问题，考查学生对这些知识的掌握能力，属于中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，一 般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理.6．D解析：D 【分析】根据cos cos a A b B =，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cos A A B B =，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解. 【详解】因为cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．C解析：C 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=，在Rt ADE ∆中，AD ==AC在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos2AC AD CD DAC AC AD +-∠===⋅， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．9．C解析：C 【分析】cos sin sin 33B C C B A =-，再由三角恒等变换化简可得sin 3=-B B ，进而可得tan 3B =.【详解】 因为1a =cos si 3n 3b c C B -=3cos sin 3b C c B a -=，cos sin sin 33B C C B A =-， 又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，33in n co c s s os in s 3s n n i i B C B C C B B C =-， 化简得sin sin 3sin C B B C =-， 因为()0,C π∈，()0,B π∈，所以sin 0C ≠， 所以sin 3=B B 即tan 3B = 所以23B π=. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 ∵3,2,45a b B ===︒∴根据正弦定理sin sin a b A B=，即sin sin a B A b ===∵a b =>=∴()45,135A ∈︒︒ ∴60A =︒或120︒ 故选C11．D解析：D 【分析】由题意得出点D 为AF的中点，由余弦定理得出AB =，结合三角形面积公式得出正确答案. 【详解】2,BD AD AF BD ==，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+解得：AB =)22ABC1()sin 601217sin 602DEFAD S S ︒︒∴== 故选：D 【点睛】本题主要考查了余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-== ∴cos 2B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.二、填空题13．4【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式建立关于的方程再分别求根据余弦定理求结合条件求得的值【详解】得：解得：①中利用余弦定理②由①②可得解得：或即当时得此时不成立当时得此时成立故故答案为：4【点 解析：4【分析】首先利用余弦定理和三角形面积公式，建立关于,a c 的方程，再分别求,a c ，根据余弦定理求b ，结合条件AB AC >，求得BC 的值.【详解】2tan 3B =，得：sin 13B =，cos 13B =11sin 422ABC S ac B ac ===，解得：ac =① ABM中，利用余弦定理222252cos 5424a a a c c B c =+-⋅⋅=+= ② 由①②可得22174ac a c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：2a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩， AB AC >，即c b >当2a c ==时，2222cos 32b a c ac B =+-=，得b =c b <，不成立，当4,a c == 2222cos 5b a c ac B =+-=，得b =c b >，成立，故4BC a ==.故答案为：4【点睛】易错点点睛：本题的易错点是求得,a c 后，还需满足条件AB AC >这个条件，否则会增根. 14．【分析】用余弦定理表示出求出后利用余弦函数性质可得最大值【详解】记则在中同理在中可得∴设则其中是锐角显然存在使得∴的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理考查换元法求最值解题方法是用解析：【分析】用余弦定理表示出,AC AB ，求出2AC AB +后利用余弦函数性质可得最大值．【详解】记AMC α∠=，则AMB πα∠=-，在AMC中，2222cos 314AC AM MC AM MC ααα=+-⋅=+-=-， 同理在AMB中可得24AB α=+，∴228AB AC +=，设AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．则12cos )cos )2AC AB x x x x x x +=+=+=+)x θ=+，其中cos θθ==θ是锐角， 显然存在0(0,)22x ππθ=-∈，使得0sin()1x θ+=， ∴2AC AB +的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出,AB AC ，得出228AB AC +=，利用三角换元法AB x =，AC x =，(0,)2x π∈．这里注意标明x 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．15．【分析】设那么在中利用正弦定理求出关于的函数并求出其最大值即可求解【详解】在中可得所以设那么在中由正弦定理可得其中所以当时取到最小值最小值为故面积的最小值故答案为：【点睛】本题考解三角形的实际应用考 解析：130【分析】设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=，在BEF 中，利用正弦定理，求出x 关于θ的函数，并求出其最大值，即可求解.【详解】在Rt ABC △中，AB =，AC =，可得CB =. 所以6ABC π∠=设CED θ∠=，m DE x =，那么6BFE πθ∠=+，cos CE x θ=.在BFE △中，由正弦定理，可得sin sin 66xπθ=+ ⎪⎝⎭，132(cos sin )cos 1021,(3sin 2cos )102122x x xθθθθθ++=+=， 2121101010sin()3sin 2cos 7s 3in()x θαθθθα===+++，其中23tan α=， 所以当sin()1θα+=时，x 取到最小值，最小值为103， 故DEF 面积的最小值21sin 75375 1.73129.7513023S x π=⨯=≈⨯=≈. 故答案为：130【点睛】本题考解三角形的实际应用，考查正弦定理，三角恒等变换，以及三角函数的性质，属于中档题.本题解题的关键在于设CED θ∠=，m DE x =，进而在BFE △中，得1021cos sin sin 66xx θππθ-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而将问题转化为求边x 的最小值问题. 16．【解析】如图在△MNO 中由正弦定理可得则这艘船的航行速度(海里/小时)点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题然后把求未知的另外边长问题解析：176 【解析】如图,在△MNO 中，由正弦定理可得，68sin120686346sin 45MN === 则这艘船的航行速度6642v ==(海里/小时). 点睛：(1)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．(2)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理解决．17．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=． 所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．18．或【分析】由正弦定理求得得到或分类讨论即可求得的值【详解】由正弦定理可得所以因为所以或当时可得；当时此时综上可得或故答案为：或【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用其中解答中利用正弦定理求得的值得出的解析：【分析】由正弦定理，求得sin C =，得到60C ︒=或120C ︒=，分类讨论，即可求得a 的值. 【详解】 由正弦定理，可得sin sin b c B C =，所以sin 3sin c B C b ⋅===， 因为(0,180)C ∈，所以60C ︒=或120C ︒=，当60C ︒=时，90A ︒=，可得a =；当120C ︒=时，30A ︒=，此时a b ==综上可得a =a =故答案为：.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中利用正弦定理求得sin C 的值，得出C 的大小是解答的关键，着重考查分类讨论，以及运算与求解能力. 19．【分析】由正弦定理得由平方关系和余弦定理可得再利用面积公式即可得解【详解】由已知条件及正弦定理可得易知所以又所以所以所以即所以的面积故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用 解析：32【分析】由正弦定理得sin A =32bc =，再利用面积公式1sin 2S bc A =即可得解. 【详解】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin 2A =， 又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos A =32bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题. 20．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】由于为三角形内角可得故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为 解析：2π 【分析】 根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sin A 的值进【详解】cos cos sin b C c B a A +=，2sin cos sin cos sin()sin sin B C C B B C A A ∴+=+==，sin 0A ≠，sin 1A ∴=，∴由于A 为三角形内角，可得2A π=． 故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦． 三、解答题21．（1）3π；（2）3）493π. 【分析】（1）由余弦定理，求得1cos 2B =，即可求得角B 的大小； （2）由三角形的面积公式，即可求得ABC S的面积； （3）由正弦定理，求得2sin AC R B ==. 【详解】 （1）由题意，在ABC 中，5BC =，7AC =，8AB =， 由余弦定理有2222225871cos 22582BC AB AC B BC AB +-+-===⋅⨯⨯， 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由三角形的面积公式，可得ABC S=11sin 8522AB BC B ⋅=⨯⨯= （3）由正弦定理，可得72sin sin 3AC R B π===，所以外接圆面积为2493ππ⨯=. 22．（1）30；（2）2a ≥【分析】（1）由正弦定理化角为边可得222b c a +-=，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可得8bc =+.（1）由已知结合正弦定理可得()()()3a b a b c c b -+=-，即2223b c a bc +-=， 则由余弦定理可得22233cos 2b c bc A bc a +===-， ()0,180A ∈，30A ∴=；（2）11sin 2324ABC S bc A bc ===+△，则843bc =+， 由2223234a b c bc bc bc =+-≥-=，当且仅当b c =时等号成立，2a ∴≥.23．（1）23C π=；（2）10AB . 【分析】（1）利用诱导公式可得角C 的余弦值，从而可求C 的大小.（2）利用余弦定理和韦达定理可求AB 的长.【详解】（1）由题设可得()1cos 2C π-=即1cos 2C =-， 而C 为三角形内角，故23C π=. （2）由韦达定理可得23,2a b ab +==， 由余弦定理可得()2222222cos 10AB a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-=，故10AB. 24．6；32114． 【分析】在BCD 中，根据AD =3CD ，BD =27，利用余弦定理求解CD ，在A BD 中,利用正弦定理求解.【详解】如图所示：在等边ABC 中，AD =3CD ，所以AC =2CD ．又BD 7所以BD 2=BC 2+CD 2-2BC ⋅CD ⋅cos ∠BCD ，即)2=(2CD )2+CD 2-2⋅2CD ⋅CD ⋅cos120°，解得CD =2，可得AD=6,由sin 60AD ABD =∠, 得6sin 60ABD =∠， 解得sin ∠ABD25．S AB == 【分析】 利用韦达定理求出,a b ab +,再利用余弦定理,得到关于c 的方程，解之可得AB 的长；再结合面积公式可得.【详解】,a b 是方程220x-+=的两个根, 2a b ab ∴+==,又因为120A B +=︒则60C =︒,所以由余弦定理得：()(22222222221cos 22222c a b ab c a b c C ab ab -⨯-+--+-====⨯，解得c= 所以AB =ABC的面积11sin 222S ab C ==⨯= 26．3A π=，sin b B c 2= 【分析】 由已知条件变形，结合余弦定理可求得A ，由2b ac =得=b a c b，结合正弦定理可求得sin b B c. 【详解】由2b ac =，且a 2－c 2=ac －bc ，得222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以3A π=. 因为2b ac =，所以=b ac b ，所以sin sin sin 2b B a B A c b === 故3A π=，sinb Bc =【点睛】关键点点睛：利用正弦定理和余弦定理求解是解题关键.。
数学必修5导学案：2-3 第2课时角度和物理问题
第2课时 角度和物理问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解三角形的实际问题.2.学会处理测量角度问题等解三角形的实际问题.3.用解三角形的知识，解决有关的实际问题，目的是进一步巩固所学知识，提高分析和解决简单的实际问题的能力、动手操作能力以及用数学语言进行交流的能力，增强应用数学的意识，以达到学习数学的目的.重点难点点拨重点：构建数学模型探求角度测量方法. 难点：将实际问题抽象成数学模型.学习方法指导要测量角的大小，可利用测角仪或通过测量出距离计算角的大小，根据所测出的三角形中的量，运用正、余弦定理和三角形中的有关性质计算出所要求的角.在计算面积和航海问题中，也都与求角的问题相联系.要清楚问题中的角的含义，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根据已知线段和角以及要求的角，选择有充分条件的三角形求解. 知能自主梳理1.测量角度就是在三角形内利用 和 求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夹角叫做 .3.坡面的铅直高度与水平宽度之比（如图中的LH ），叫做 .［答案］ 1.正弦定理 余弦定理 2.坡角 3.坡比思路方法技巧命题方向 测量角度问题［例1］ 在南海伏季渔中，我渔政船甲在A 处观测到一外国偷渔船乙在我船北偏东60°的方向，相距a 海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的3倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？［解析］ 如图所示，设乙船沿B 点向北行驶的速度大小为v,则甲船行驶的速度大小为3v ,两船相遇的时间为t ,则BC =vt ,AC =3vt ，在△ABC 中，∠ABC =120°,AB =a , 由余弦定理，得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos120°,即 3v 2t 2=a 2+v 2t 2+vat ,∴2v 2t 2-vat -a 2=0,解得t 1=v a ,t 2=-va2 (舍去).∴BC =a ,∴∠CAB =30°.即甲船应沿北偏东30°的方向去追赶乙船，在乙船行驶a 海里处相遇.［说明］ 解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.. 变式应用1在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶仰角为2θ，再向塔走103米，测得塔顶仰角为4θ，试求角θ的度数.［分析］ 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解.［解析］ 解法一：∵∠P AB =θ，∠PBC =2θ， ∴∠BP A =θ，∴BP=AB =30， 又∵∠PBC =2θ，∠PCD =4θ， ∴∠BPC =2θ，∴CP=BC =103，在△BPC 中，根据正弦定理得：()θπθ4sin 2sin -=PBPC ，即θ2sin 310=θ4sin 30， ∴310302sin 2cos 2sin 2=θθθ，由于sin2θ≠0,∴cos2θ=23， ∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°, ∴θ=15°.解法二：在△BPC 中，根据余弦定理得：PC 2=PB 2+BC 2-2PB ·BC ·cos2θ 把PC=BC =103，PB =30代入上式得， 300=302+（103）2-2×30×103cos2θ 化简得：cos2θ=23, ∵0°<2θ<90°，∴2θ=30°, ∴θ=15°.解法三：如下图，过顶点C 作CE ⊥PB ，交PB 于E ， ∵△BPC 为等腰三角形, ∴PE =BE =15, 在Rt △BEC 中， cos2θ=2331015==BC BE , ∵0°<2θ<90°, ∴2θ=30°, ∴θ=15°.命题方向 与角度有关的问题［例2］ 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在距A 处北偏东45°方向、距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿东偏南15°的方向，以9 n mile/h 的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.［分析］ 根据题意画出图形（如图），由题意知AC =10，设渔轮向小岛B 靠近，舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C 到B ′处相遇，则∠ACB ′=120°,利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C 到B ′所用时间相同这一条件，解△AB ′C 即可.［解析］ 设舰艇与渔轮相遇所需时间为t h ，则AB ′=21 t, B ′C =9t.在△AB ′C 中，根据余弦定理，则有 AB ′2=AC 2+B ′C 2-2AC ·B ′C cos120°, 可得212t 2=102+81t 2+2×10×9t ×21,整理，得360t 2-90t-100=0. ∴362t-9t-10=0,∴(12t+5)(3t-2)=0. ∴t=32或t=-125(舍去)， ∴舰艇靠近渔轮所需的时间为32h. 此时AB ′=14 n mile,B ′C =6 n mile.由正弦定理，得︒='∠120sin sin ABB CA BC , 则sin ∠CAB ′=14236⨯,∴∠CAB ′≈21.8°,∴ 舰艇航行的方位角为北偏东66.8°.［说明］ 本题应首先理解方位角的概念（方位角指的是从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的最小正角），然后作出示意图，利用等差关系列方程求解即可，最后回答行驶的方向时，要注意正确描述方位角. 变式应用2（2010·陕西高考）如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3+3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？［分析］ 利用正弦定理求BD →利用余弦定理求DC →结论 ［解析］ 由题意知AB =5（3+3）， ∠DBA =90°-60°=30°,∠DAB =45°, ∴∠ADB =105°∴sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°=46222232122+=⨯+⨯. 在△ABD 中，由正弦定理得，ADBABDAB BD ∠=∠sin sin∴BD=()︒︒+=∠∠105sin 45sin 335sin sin ADB DAB AB()46222·335++==().3103131310=++又∠DBC ＝180°-60°-60°=60°. BC =203，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2=BD 2+BC 2-2×BD ×BC ×cos60°=300+1200-2×103×203×21=900. ∴CD =30（海里）， 则需要的时间t =3030=1（小时）. 答:救援船到达D 点需要1小时.探索延拓创新命题方向 正、余弦定理在物理中的应用［例3］ 图所示用两根分别长52米和10米的绳子，将100N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）.［分析］ 决此类问题要先依据题意将物理向量用有向线段来表示，利用向量加法的平行四边形法则，将物理问题转化为数学中向量的加法，然后由已知条件进行计算.［解析］ 图所示，由已知条件可知AG 与铅直线成45°角，BG 与铅直方向成60°角，A 处所受力为f a ，在△GED 中，∠EGD =45°,∠GED =60°， ∴∠GDE =180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得︒=︒75sin 60sin GEGD ，∴GD =︒︒75sin 60sin GE =46223100+⨯=1502-506. ∴A 处所受力大小为（1502-506）N. 变式应用3地球与金星的公转轨道分别是直径为2.98×108km 和2.14×108km 的近似圆，圆心为太阳，某时刻，地球和金星的连线与地球和太阳的连线成18°的角，如图，求此时地球与金星之间的距离（地球、金星、太阳均视为点，结果保留3个有效数字）.［解析］ 此时刻太阳、地球、金星的位置分别在点O 、A 、B 处，则OA =2.98×108km,OB =2.14×108km,∠A =18°，由正弦定理，得sin ∠ABO =OBOA ︒18sin ≈0.4303，∵OA >OB ,∴∠ABO =25.49°或∠ABO =154.51°, 当∠ABO =25.49°时，∠AOB =136.51°， AB =︒∠18sin sin AOBOB ≈4.77×108（km ）.当∠ABO =154.51°时，∠AOB =7.49°， AB =︒∠18sin sin AOBOB ≈9.03×107（km ）.答：此时地球与金星之间的距离约为4.77×108km 或9.03×107km.名师辨误做答［例4］ 海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处（3-1）n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船.此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？［误解］ 缉私船用t 小时，在D 处追上走私船，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠CAB =(3-1) 2+22-2×（3-1）×2×cos120°＝6，∴BC =6.在△BCD 中，BD =10t,CD =103t,由余弦定理，得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ×cos ∠CBD , ∴(103t) 2=6+(10t) 2-2×6×10t ×（-21）， 整理，得100t 2-56t-3=0,解得t =106. ∴BD =6,又BC =6,∠CBD =120°. ∴∠BCD =∠BDC =30°.故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.［辨析］ 述解法错误的原因在于默认为∠CBD =120°，而没有给出证明，并且多余的求出时间t . ［正解］ 缉私船用t 小时在D 处追上走私船.在△ABC ,由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠CAB =(3-1) 2+22-2×（3-1）×2×cos120°＝6， ∴BC =6.在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠ABC =BC AC sin ∠BAC =22, ∴∠ABC =45°，∴BC 与正北方向垂直. ∴∠CBD =120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BCDBD CBD CD ∠=∠sin sin ,∴BCDt ∠=︒sin 10120sin 310, ∴sin ∠BCD =21,∴∠BCD =30°. 故缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船.课堂巩固训练一、选择题1.在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的（ ） A.北偏西34°27′ B.北偏东55°33′ C.北偏西55°32′ D.南偏西55°33′ ［答案］ A2.如果在测量中，某渠道斜坡的坡比为43，设α为坡角，那么cos α等于（ ） A.53 B. 54 C.43 D. 34 ［答案］ B［解析］ 由题意，得tan α=43,∴43cos sin =αα, ∴169cos sin 22=αα,即169cos cos 122=-αα,∵α为锐角， ∴cos α=54. 3.一船以226km/h 的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°,1小时30分后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°,则灯塔S 与B 之间的距离为 ( ) A.66 km B.132 km C.96 km D.33 km ［答案］ A［解析］ 如图，∠ASB =180°-15°-45°=120°，AB =226×63323=， 由正弦定理，得︒=︒45sin 120sin 633SB， ∴SB =66km. 二、填空题4.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过3h ，该船实际航程为 . ［答案］ 6 km［解析］ 如图，水流速和船速的合速度为v ，在△OAB 中： OB 2=OA 2+AB ２-2OA ·AB ·cos60°，∴OB =v =23km/h.即船的实际速度为23km/h ，则经过3h ，其路程为23×3=6 km.5.一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后，再向右转105°爬行20cm ，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x = . ［答案］3620cm ［解析］ 如图△ABC 中，∠A =45°＋15°＝60°，∠B =45°+30°=75°,∠ACB =45°,由正弦定理知AACB x sin 20sin =∠,∴x =3620. 课后强化作业一、选择题1.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（ ）A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10° ［答案］ B［解析］ 如图，由题意知∠ACB =180°-40°-60°＝80°， ∵AC =BC ,∴∠ABC =50°, ∴α=60°-50°=10°.2.甲船在B 岛的正南A 处，AB =10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是 ( ) A.7150 min B. 715h C.21.5min D.2.15h ［答案］ A［解析］ 如图，设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知：PQ 2=BP 2+BQ 2-2BP ·BQ ·cos120°， 即s 2=(10-4x ) 2+(6x ) 2-2(10-4x )×6x ×(-21)=28x 2-20x +100. 当x =-1452=a b 时，s 2最小，此时x =145h=7150min. 3.如图所示，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β、α（α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于（ ）A.()αββα-sin sin sin a B. ()αββα-cos sin sin aC.()αββα-sin cos sin a D. ()αββα-cos cos cos a［答案］ A ［解析］ 由tan α=CB a AB +,tan β=CB AB ，联立解得AB ＝()αββα-sin sin sin a .4.一质点受到平面上的三个力1F 、2F 、3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知 1F 、2F 成60°角，且1F 、2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为 ( ) A.6 B.2 C.25 D.27 ［答案］ D［解析］ 由题意，得1F +2F +3F ＝0， ∴1F ＋2F 、3F ＝-3F , ∴(1F +2F )2=3F 2,∴1F +2F 2+21·2F ·＝3F 2， ∴4+16+2×2×4×cos60°＝3F 2， ∴3F 2＝28， ∴|3F |=27.故选D.5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（ ）A.5海里B.53海里C.10海里D.103海里 ［答案］ C［解析］ 如图，依题意有∠BAC =60°,∠BAD =75°，∴∠CAD =∠CDA =15°，从而CD=CA =10， 在Rt △ABC 中，求得AB =5， ∴这艘船的速度是5.05=10(海里/小时). 6.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）A.103米B.1003米C.203米D.30米 ［答案］ D［解析］ 设炮台顶部为A ，两条船分别为B,C ,炮台底部为D ，可知∠BAD =45°，∠CAD =60°，∠BDC =30°，AD =30.分别在Rt △ADB ,Rt △ADC 中，求得BD =30,DC =303.在△DBC 中，由余弦定理得BC 2=DB 2+DC 2-2DB ·DC cos30°，解得BC =30.7.如图，在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是（ ）A.20（1+33）m B.20（1+3）m C.10（26+）m D.20（26+）m［答案］ B［解析］ 由仰角与俯角的意义可知， ∠DAE =60°，∠EAC ＝45°， 又EC ＝20m, ∴BC =AE =20m,在△AED 中，DE =AE tan60°＝203m.∴塔吊的高度是20（1+3）m.8.如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为（ ）A.2617海里/小时 B.346海里/小时 C.2217海里/小时 D.342海里/小时 ［答案］ A［解析］ 由题意知PM =68，∠MPN =120°，∠N =45°, 由正弦定理知︒=︒120sin 45sin MN PM ⇒MN =68×23×2=346, ∴速度为26174634=（海里/小时）. 二、填空题9.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC =50°，∠CBE =70°，AC =90，BC =150，则DE = .［答案］ 210［解析］ 由题意知∠ACB =120°， 在△ACB 中，由余弦定理，得 AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos ∠ACB =902+1502-2×90×150×（-21）＝44100. ∴AB =210,DE =210.10.在静水中划船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为 . ［答案］ 30°［解析］ 水流速度与船速的合速度为v ,方向指向河岸，如图由题意可知sin α=214020==船水v v ∴α=30°.11.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸 米.［答案］ 50（26-） ［解析］ 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， ∠ABC =45°， AB=100,∴AC =502.又在△ACD 中，∠ADC =30°， ∴∠DAB =45°-30°＝15°. sin15°=sin(45°-30°)=426-. 在△ABD 中，由正弦定理，得ADBABDAB BD ∠=∠sin sin ,∴BD =2142610030sin 15sin 100-⨯=︒︒⨯=50(26-)（米）. 12.在灯塔上面相距50米的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离 . ［答案］ 25（3+1）（米）［解析］ 由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°， 可知∠CBD =30°，∠BAC =45°+90°=135°,∴∠ACB =180°-135°-30°=15°, 又AB =50,在△ABC 中，由正弦定理，得︒=︒30sin 15sin ACAB ,∴AC =426215015sin 30sin -⨯=︒︒⨯AB ＝25（26-）（米）. ∴出事渔船离灯塔的距离CD=()()132522·262522+=+=AC (米). 三、解答题13.甲船在A 处遇险，在甲船西南10海里B 处的乙船收到甲船的求救信号后，测得甲船正沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近.如果乙船要在40分钟内追上甲船，问乙船应以多大速度、向何方向航行？（注：sin21°47′=1433） ［分析］ 解答本题可先画示意图，然后运用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向. ［解析］ 设乙船速度为v 海里/时，在△ABC 中，由余弦定理可知： BC 2=AC 2+AB 2-2AC ·AB ·cos ∠CAB ,︒⨯⨯⨯⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 1093221093232222v ,∴v =21海里/时. 又由正弦定理可知：BAC BAC BC sin sin =∠,∴sin B =1433120sin 2132932sin =︒⨯⨯⨯=∠⋅BC BAC AC , ∴∠B ≈21°47′,即乙船应按北偏东45°－21°47′＝23°13′的方向航行.14.A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD = 120°，又在B 点测得∠ABD =45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .［解析］ 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD =45°,所以CD=AD .因此，只需在△ABD 中求出AD 即可.在△ABD 中，∠BDA =180°-45°-120°=15°,由()138004262280015sin 45sin 45sin 15sin +=-⨯=︒︒⋅=︒=︒AB AD ，AD AB 得（m ）. ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD =45°， ∴CD=AD =800（3+1）≈2 186（m ）. 答：山高CD 为2 186 m.15.如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东.船行8 n mile 后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险.［解析］ 在△ABC 中，AC =8，∠ACB =90°+60°=150°,∠CAB =90°-75°=15°, ∴∠ABC =15°.∴△ABC 为等腰三角形，BC=AC =8，在△BCD 中，∠BCD =30°,BC =8, ∴BD =BC ·sin30°=4>3.8.故该船没有触礁危险.16.如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile,B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile/h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离.［解析］ 行驶t 小时后，甲船行驶了9tn mile 到达C 处，乙船行驶了6tn mile 到达D 处.当9t <21，即t <37时，C 在线段AB 上，此时BC =21-9t ，在△BCD 中，BC =21-9t ,BD =6t , ∠CBD =180°-60°＝120°，由余弦定理，得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos120° =（21-9t ）2+(6t ) 2-2×(21-9t )·6t ·（-21） ＝63t 2-252t +441=63(t -2) 2+189.∴当t =2时，CD 取得最小值189＝321. 当t =37时，C 与B 重合，此时CD =6×37＝14>321. 当t >37时，BC =9t-21,则CD 2=(9t -21) 2+(6t) 2-2×（9t-21）×6t ×cos60°＝63t 2-252t+441=63(t- 2) 2+189>189.综上可知，t =2时，CD 取最小值321，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.。
新教材北师大版数学必修五：《正弦定理》导学案(含答案)
（新教材）北师大版精品数学资料第1课时正弦定理1.掌握正弦定理及其证明过程.2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?问题1:在上面的问题中,△ABC的已知元素有和边.若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC=,CD=.解三角形:的过程.问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即. 问题3:正弦定理的拓展:①a∶b∶c=;②设R为△ABC外接圆的半径,则===.问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①②③解的个数一解两解一解一解1.在△ABC中,下列等式总能成立的是().A.a cos C=c cos AB.b sin C=c sin AC.ab sin C=bc sin BD.a sin C=c sin A2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是().A.一解B.两解C.无解D.一解或无解3.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于.4.在△ABC中,已知b=5,B=,tan A=2,求sin A和边a.利用正弦定理判断三角形的形状在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.已知两角及其中一角的对边,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.已知两边及其中一边的对角,解三角形在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.在△ABC中,若==,则△ABC是().A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A=,b=,c=.在△ABC中,已知a=,c=2,A=60°,求B、C及b的值.1.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,则().A.B=45°或135°B.B=135°C.B=45°D.以上答案都不对2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a等于().A.B.2C.D.3.在△ABC中,cos A=,cos B=,则△ABC中三边的比值a∶b∶c=.4.在△ABC中,若B=60°,AC=3,AB=,求A.(2013年·北京卷)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B等于().A. B. C. D.1考题变式(我来改编):第二章解三角形第1课时正弦定理知识体系梳理问题1:∠ABC、∠BAC AB2已知三角形的几个元素求其他元素问题2:==问题3:sin A∶sin B∶sin C2R问题4:a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b基础学习交流1.D根据正弦定理有:=,所以a sin C=c sin A,故选D.2.B因为a,b,A的关系满足b sin A<a<b,故有两解.3.105°或15°根据正弦定理得:sin C===,∴C=45°或135°,故B=105°或15°.4.解:因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,又=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.重点难点探究探究一:【解析】在△ABC中,根据正弦定理:===2R,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴()2=()2+()2,即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.由sin A=2sin B cos C,得sin90°=2sin B cos(90°-B),∴sin2B=.∵B是锐角,∴sin B=,∴B=45°,C=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.【小结】(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出准确判断.(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.探究二:【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由=得a===10.由=得b===20sin75°,∵sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,∴b=20×=5+5.【小结】解三角形时,如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.探究三:【解析】由正弦定理得=,=,∴sinA=,∴A=60°,C=180°-45°-60°=75°,由正弦定理得:c==.[问题]本题中根据sin A=得出的角A一定是60°吗?[结论]角A不一定是60°,∵a>b,∴角A还可能是120°.于是正确的解答如下:由正弦定理得=,=,∴sin A=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.【小结】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能判断.思维拓展应用应用一:B由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为△ABC外接圆的半径),∴==,即tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.应用二:45°44(+1)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理=,得b===4,由=,得c====4(+1).应用三:由正弦定理==,得sin C===.∵c<a,∴C<A=60°,∴C=45°,∴B=180°-A-C=180°-60°-45°=75°,b===2sin(30°+45°)=+1.基础智能检测1.C由正弦定理得:sin B=,∵a>b,∴B=45°.2.D由正弦定理=⇒sin C=,于是C=30°⇒A=30°⇒a=c=.3.∶1∶2根据cos A=,cos B=可得:A=60°,B=30°,所以C=90°,故a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=∶1∶2.4.解:由正弦定理==,∵AC=3,AB=,B=60°,∴=,解得sin C=.又AB<AC,∴C=45°,∴A=180°-45°-60°=75°.全新视角拓展B由=得=,从而得出sin B=.思维导图构建。
数学必修5导学案：2-3 第1课时 距离和高度问题
§3解三角形的实际应用举例第1课时距离和高度问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离.2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问题的能力.重点难点点拨重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法.难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题.学习方法指导1.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题要注意两点：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称.理清量与量之间的关系.(2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.2.常见应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.解三角形应用题常见的几种情况（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法.（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决.知能自主梳理实际问题中的名词、术语1.方位角：从指北方向时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示.2.方向角：相对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角.①北偏东α°，即由指北方向旋转α°到达目标方向，如图（2）.②北偏西α°，即是由指北方向旋转α°到达目标方向.3.基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越，测量的精确度越高.4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用和，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的 问题 .5.仰角与俯角：目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线时，称为仰角，在水平线时，称为俯角，如图.［答案］ 1.顺2.顺时针逆时针3.长4.正弦定理余弦定理5.上方下方思路方法技巧命题方向测量高度问题［例1］如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔AB的仰角分别是∠AMB=30°，∠ANB=45°∠APB=60°，且MN=PN=500m，求塔高.［分析］ 解题的关键是读懂立体图形.［解析］ 设AB 高为x .∵AB 垂直于地面，∴△ABM ,△ABN ,△ABP 均为直角三角形，∴BM =x ·cot30°＝3x ,BN =x ·cot45°＝x ,BP =x ·cot60°=33x . 在△MNB 中,由余弦定理，得BM 2=MN 2+BN 2-2MN ·BN ·cos ∠MNB,在△PNB 中，由余弦定理，得BP 2=NP 2+BN 2-2NP ·BN ·cos ∠PNB ,又∵∠BNM 与∠PNB 互补，MN=NP =500，∴3x 2=250000+x 2-2×500x ·cos ∠MNB ， ①31x 2=250000+x 2-2×500x ·cos ∠PNB ， ② ①+②，得310x 2=500000+2x 2, ∴x =2506.答：塔高2506m.［说明］ 在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：①根据已知条件画出示意图；②分析与问题有关的三角形；③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；④把解出答案还原到实际问题中.还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想.变式应用1如图，在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB =20m ，求山高DC （精确到0.1m ）.［分析］ 如图，DC 在Rt △BCD 中，∠DBC =60°，只需求出边BC 的长，即可求出DC ，而BC 又在斜三角形ABC 中，依据条件由正弦定理可求出BC .［解析］ 由已知条件，得∠DBC =60°,∠ECA =45°,则在△ABC 中，∠ABC =90°-60°=30°,∠ACB =60°-45°=15°,∠CAB =180°-（∠ABC +∠ACB ）=135°.在△ABC 中，︒=︒15sin 135sin AB BC . ∴BC =()()13202641222015sin 135sin +=-⨯=︒︒⋅AB . 在Rt △CDB 中，CD =BC ·sin ∠CBD =20(3+1)×23≈47.3. 答：山高约为47.3m.命题方向 测量距离问题 ［例2］ 要测量河对岸两地A 、B 之间的距离，在岸边选取相距1003米的C 、D 两点，并测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°（A 、B 、C 、D 在同一平面内），求A 、B 两地的距离.［分析］ 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.［解析］ 如图所示，在△ACD 中，∠CAD=180°-（120°+30°）=30°,∴AC=CD =1003.在△BCD 中，∠CBD =180°-（45°+75°）=60°.由正弦定理,得BC =︒=︒75sin 20075sin 3100.在△ABC 中，由余弦定理,得AB 2=（1003）2+（200sin75°) 2-2×1003×200sin75°·cos75°=1002(3+4×︒⨯⨯-︒-150sin 322150cos 1)=1002×5, ∴AB =1005.答：A 、B 两地间的距离为1005米.［说明］ （1）求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是△BCD 和△ABC .（2）本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB 可视为基线.（3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD .在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高. 变式应用2如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°.问货轮到达C 点时与灯塔A 的距离是多少？［分析］ 根据所给图形可以看出，在△ABC 中，已知BC 是半小时路程，只要根据所给的方位角数据，求出∠ABC 及A 的大小，由正弦定理可得出AC 的长.［解析］ 在△ABC 中，BC =40×21=20, ∠ABC =140°-110°=30°,∠ACB =(180°-140°)+65°=105°,∴A =180°-(30°+105°)=45°,由正弦定理，得AC =A ABC BC sin sin ∠⋅=21045sin 30sin 20=︒︒⨯ (km). 答：货轮到达C 点时与灯塔A 的距离是102 km.探索延拓创新命题方向 综合应用问题航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B 1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？［分析］ 甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B 1B 2即可.连结A 1B 2，转化为在△A 1B 1B 2中已知两边及夹角求对边的问题.［解析］ 如上图，连结A 1B 2，∵A 2B 2=102，∴A 1A 2=6020×302=102. ∵△A 1A 2B 2是等边三角形，∴∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°.在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22=A 1B 12+A 1B 22-2A 1B 1·A 1B 2cos45°=202+(102)2-2×20×102×22=200, 则B 1B 2=102. 因此乙船的速度的大小为20210×60=302. 即乙船每小时航行302海里.［说明］ 仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键.变式应用3海中有小岛A ，已知A 岛四周8海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行，望见A 岛在北偏东75°，航行202海里后见此岛在北偏东30°.如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？［分析］ 如图所示，要判断有无触焦危险，只要看AD 的长与8的大小，若AD ＞8，则无触礁危险，否则有触礁危险.［解析］ 如图所示，作AD ⊥BC 的延长线于D ，由已知∠NBA =75°,∠ACD =60°,BC =202. 由正弦定理，得()︒-︒-︒=︒12015180sin 22015sin AC ， ∴AC =10(6-2), ∴AD =AC ·sin60°=152-56＞8.∴无触礁危险.［说明］ 本题中理解方位角是解题的关键.北偏东75°是指以正北方向为始边，顺时针方向转75°. 名师辨误做答［例4］ 某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31千米，正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A 城？［误解］本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD 的长，在△ACD 中，已知CD =21千米，∠CAD =60°，只需再求出一个量即可.如图，设∠ACD =α,∠CDB =β,在△CBD 中，由余弦定理，得 cos β=7121202312120·2222222-=⨯⨯-+=-+CD BD CB CD BD ， ∴sin β=734. ∴在△ACD 中，()，AC 232160sin 21180sin =︒=-︒β ∴AC =.247343221=⨯⨯ ∴CD 2=AC 2+AD 2-2AC ·AD ·cos60°， 即212＝242+AD 2-2×24×21·AD ， 整理，得AD 2-24AD +135=0,解得AD =15或AD =9，［辨析］ 本题在解△ACD 时，利用余弦定理求AD ，产生了增解，应用正弦定理来求解.［正解］ 如图，令∠ACD =α,∠CDB =β,在△CBD 中，由余弦定理得cos β=CDBD CB CD BD ·2222--＝7121202312120222-=⨯⨯-+， ∴sin β=734. 又sin α=sin(β-60°)＝sin βcos60°-sin60°cos β =734×21+23×71＝1435， 在△ACD 中，αsin 60sin 21AD =︒, ∴AD =︒⨯60sin sin 21α=15(千米). 答：这个人再走15千米就可以到达A 城.课堂巩固训练一、选择题1.如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A.a 和cB.c 和bC.c 和βD.b 和α［答案］ D［解析］ 在△ABC 中，能够测量到的边和角分别为b 和α.则A 点离地面的高AB 等于 ( )A.10mB.53mC.5(3-1)mD.5（3+1）m［答案］ D［解析］ 在△ABC 中，由正弦定理得AD =()131015sin 135sin 10+=︒︒ 在Rt △ABC 中，AB=AD sin30°=5(3+1)(m).3.(2012·福州高二质检)如图所示，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据 ( )A.α,a,bB.α,β,aC.a,b,γD.α,β,b［答案］ C［解析］ 根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而a,b 可以测得，角γ也可以测得，根据余弦定理AB 2=a 2+b 2-2ab cos γ能直接求出AB 的长，故选C.4.(2011·上海理，6)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB =75°,∠CBA =60°，则A 、C 两点之间的距离为 千米.［答案］ 6［解析］ 本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边.∵∠CAB =75°,∠CBA =60°,∴∠C =180°-75°-60°=45°, 由正弦定理：CAB CBA AC ∠=∠sin sin , ∴︒=︒45sin 260sin AC , ∴AC =6.二、填空题5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A 、B 两点处测量与地面垂直的塔CD 的高，由A 、B 两地测得塔顶C 的仰角分别为60°和45°，又知AB 的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是 米.［答案］ 3340 ［解析］ 如图所示，由题意，得∠ABC =45°-30°＝15°,∠DAC =60°-30°=30°.∴∠BAC =150°,∠ACB =15°,∴AC=AB =40米，∠ADC =120°,∠ACD =30°,在△ACD 中，由正弦定理，得CD =ADC ACD ∠∠sin sin ·AC ＝︒︒120sin 30sin ·40＝3340. 三、解答题6.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB = 45°,∠CBA =75°,AB =120米，求河的宽度.［解析］ 如图，在△ABC 中，∵∠CAB =45°，∠CBA =75°，∴∠ACB =60°.由正弦定理，得AC =︒=∠⋅75sin 120sin CBA AB＝20（362+）. 设C 到AB 的距离为CD ， 则CD =AC sin ∠CAB =22AC =20（3+3）. 答：河的宽度为20（3+3）米.课后强化作业一、选择题1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为4m,∠A =30°,则其跨度AB 的长为（ ）A.12mB.8mC.33mD.43m ［答案］ D［解析］ 在△ABC 中，已知可得 BC=AC =4,∠C =180°-30°×2＝120° 所以由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC cos120° =42+42-2×4×4×（-21)=48 ∴AB =43 (m).2.从塔顶处望地面A 处的俯角为30°,则从A 处望塔顶的仰角是 ( ) A.-60° B.30° C.60° D.150° ［答案］ B3.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( )A.103海里B.106海里C.52海里D.56海里 ［答案］ D［解析］ 如图，由正弦定理得︒=︒45sin 1060sin BC ，∴BC =56.4.某人向正东方向走x km 后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ） A.3 B.23C.23或3D.3 ［答案］ C［解析］ 由题意画出三角形如下图.则∠ABC =30°,由余弦定理得，cos30°=xx 6392-+,∴x=23或3.5.甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB =3km ，甲船以8km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是 （ ）A.7 kmB. 13kmC.19km D.3310- km［答案］ B［解析］ 由题意知AM =8×360151226015=⨯==，BN ，MB=AB-AM =3-2=1，所以由余弦定理得MN 2=MB 2+BN 2-2MB ·BN cos120°=1+9-2×1×3×(-21)=13，所以MN =13km. 6.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ） A.3400米 B.33400米 C.2003米 D.200米 ［答案］ A［解析］ 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB =200，∠ADM =30°,∠ACB =60°,∴BC =200cot60°=33200,AM =DM tan30°=BC tan30°=3200.∴CD=AB-AM =3400.7.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A.20（2+6）海里/时 B.20（6-2）海里/时C.20（6+3）海里/时D.20（6-3）海里/时 ［答案］［解析］ 题意可知∠NMS =45°，∠MNS =105°， 则∠MSN =180°-105°-45°＝30°. 而MS =20,在△MNS 中，由正弦定理得︒=︒105sin 30sin MSMN ，∴MN =()︒+︒=︒︒4560sin 10105sin 30sin 20＝︒︒+︒︒30sin 60cos 30cos 60sin 10=()261042610-=+=10(6-2).∴货轮的速度为10(6-2)÷21=20(6-2)(海里/时). 8.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB =45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB =75°，则山高BC 为（ ）A.5002mB.200mC.10002mD.1000m ［答案］ D［解析］ ∵∠SAB =45°-30°=15°,∠SBA =∠ABC -∠SBC =45°-（90°-75°)=30°,在△ABS 中，AB =︒︒⋅30sin 135sin AB =2221000⨯ =1 0002,∴BC =AB ·sin45°=1 0002×22=1 000（m ）. 二、填空题9.一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是 km.（精确到0.1 km ） ［答案］ 4.2［解析］ 作出示意图如图.由题意知，AB =24×6015=6， ∠ASB =45°,由正弦定理得，︒45sin 6=︒30sin BS，可得BS ＝22216⨯=32≈4.2（km ）. 10.从观测点A 看湖泊两岸的建筑物B 、C 的视角为60°,AB =100m,AC =200m,则B 、C 相距 .［答案］ 1003m［解析］ 在△ABC 中，由余弦定理得 BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =1002+2002-2×100×200×21=30000 所以BC ＝1003m.11.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 . ［答案］ 203米，3340米 ［解析］ 如图，依题意有甲楼的高度AB =20·tan60°=203 (米)，又CM=DB =20米，∠CAM =60°，所以AM=CM ·cot60°=3320米， 故乙楼的高度为CD =203-3320=3340（米）. 12.如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C 处向正东行驶，到A 处时，测量公路南侧远处一山顶D 在东南15°的方向上，行驶15km 后到达B 处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD 等于 km.［答案］ 5（2-3）［解析］ 在△ABC 中，∠A =15°,∠C =30°-15°=15°, 由正弦定理，得BC =515sin 15sin 5sin sin =︒︒⨯=C A AB .又CD=BC ·tan ∠DBC =5×tan15°=5×tan(45°-30°)= 5(2-3). 三、解答题13.（2012·厦门高二检测）海面上相距10海里的A 、B 两船，B 船在A 船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C 岛，C 岛在B 船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C 岛，经测算，A 船行驶了107海里，求B 船的速度.［解析］ 如图所示，在△ABC 中，AB ＝10，AC =107,∠ABC =120°由余弦定理，得AC 2=BA 2+BC 2-2BA ·BC ·cos120° 即700＝100＋BC 2+10BC ,∴BC =20, 设B 船速度为v ,则有v =3420=15(海里/小时). 即B 船的速度为15海里/小时.14.在上海世博会期间，小明在中国馆门口A 处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B 处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度（精确到1m ）. ［解析］ 由题意画出示意图（AA ′表示小明的身高）.∵AB =200,∠CA ′B ′=45°,∠CB ′D ′=60°, ∴在△A ′B ′C 中，︒'=''∠''45sin sin CB BC A B A∴B ′C =︒''15sin 45sin B A =()1320042622200+=-⨯. 在Rt △CD ′B ′中， CD ′=B ′C ·sin60°=100(3+3), ∴CD =1.8+100(3+3)≈475(米). 答：红灯笼高约475米.15.山上有一纪念塔，不能到达底部，你有哪些方法测量塔的高度PO ?［解析］ 如图(1)，在地面上引一条基线AB ，使其延长线通过塔底点O ，测出A 、B 分别对塔顶P 的仰角α、β及AB 的长度就可以求出塔高PO .计算方法：在△P AB 中，由正弦定理得 P A ＝()βα-sin AB·sin β,在Rt △P AO 中，PO =P A sin α ∴PO =()βαβα-sin sin sin AB .16.在大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处.现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近. ［解析］ 如右图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .则根据题意，知在△ABC 中，AC =8t ，AD =20-10t,∠CAD =60°.由余弦定理，知CD 2=AC 2+AD 2-2×AC ×AD cos60°＝（8t ）2+(20-10t) 2-2×8t ×（20-10t ）×cos60° ＝244t 2-560t+400=244(t-6170)2+400-244×（6170）2， ∴当t =6170时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.。
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》教学设计
如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的
a Bb A 定义，有 CD=
s i ns i n,则
a sinA
b sinB
，
同理可得
c sinC
b sinB
，
从而
a sinA
b sinB
c sinC
C
b
a
A
c
B
当 ABC 是钝角三角形时 ，类似可以证明请同学们补充。
八、课后反思：
北师大版高中数学必修 5 第二章《解三角形》第一课时 §2.1.1 正弦定理
教学反思
周至县第三中学 马周科
2011 年 9 月，陕西教育学院、陕西教育科学研究研究所的教学专家来我校进行新课程 及高校课堂视导，我作为我校数学教师代表上了一节课。这节课我选择了高中数学北师大版 必修 5 第二章《解三角形》第一棵时“正弦定理”，基于我校“联勤互助-高效课堂”的教学 模式设计了导学案和教学设计。导学案提前下发，让学生先进行预习；上课时，先进行教学 目标展示，指出本节课的学习目标；然后引导学生进行预习成果展示，通过提问方式检查学 生预习情况；再通过教师根据学生情况进行适当引导和讲解，进行分组探析新课；分组探析 例题；分组进行课堂练习；最后引导学生小结本节内容；安排课后训练等环节，组织学生学 习活动。课后，省教科所专家马亚军老师高屋建瓴，给予了非常详尽评价和指导，本组同志 也提出了宝贵的意见。使我很受启发，为此对这节课进行反思。
高中数学北师大版必修 5 第二章 解三角形 （ 教学设计） 周至县第三中学数学组 马周科
北师大版高中数学必修 5 第二章《解三角形》教学设计 第一课时 §2.1.1 正弦定理 周至县第三中学 马周科
【创新设计】2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.2 三角形中的几何计算
§2 三角形中的几何计算[学习目标] 1.会用正弦、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.培育同学分析问题、独立解决问题的力量，并激发同学的探究精神．[学问链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)设等边三角形的边长为a ，则这个三角形的面积为 ． (2)梯形的四个内角中，两角和为180°的内角有 对． (3)圆内接四边形的一组对角的和为 ．(4)设△ABC 三边的长分别为a ，b ，c ，△ABC 内切圆的半径为r ，则S △ABC ＝ . 答案 (1)34a 2 (2)2 (3)180° (4)12(a ＋b ＋c )r [预习导引]1．三角形的面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边 (1)若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2；(2)若cos A ＝cos B ，则A ＝B ； (3)若a 2>b 2＋c 2，则△ABC为钝角三角形；(4)若a 2＝b 2＋c 2，则△ABC 为直角三角形；(5)若a 2<b 2＋c 2且b 2<a 2＋c 2且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为锐角三角形．要点一 求平面几何图形中线段的长度例1 如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2.(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE .解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°，∴cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24.(2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，得AE ＝2sin 30°cos 15°＝2×126＋24＝6－ 2.规律方法 在平面几何中，求线段的长度往往归结为求三角形的边长，求三角形边长一般会涉及正弦、余弦定理及勾股定理，恰当地选择或构造三角形是解这类问题的关键．跟踪演练1 如图，在△ABC 中，已知角B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解 在△ACD 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∵C 为三角形的内角， ∴C ∈(0，π)， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－(1114)2＝5314.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝7×5314sin 45°＝562.要点二 实际问题向几何问题的转化例2 要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距 3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A 、B 之间的距离． 解 如图所示，在△ACD 中， ∠ACD ＝120°， ∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22 (km)．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．答 故A 、B 之间的距离为 5 km.规律方法 解决实际生活问题就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把一个抽象、概括的问题建立数学模型．即把实际中的距离和角的大小问题转化为三角形中的几何元素，然后运用正弦、余弦定理加以解决． 跟踪演练2 如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某轮船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观看点C 、D ，在某天10∶00观看到该轮船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该轮船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则该轮船的速度为多少千米/分钟？解 在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝60°，∴∠BDC ＝90°. ∴△CDB 为等腰直角三角形， ∴BD ＝CD ＝1，在△ACD 中，由正弦定理得：AD sin (60°＋45°)＝1sin 45°.∴AD ＝3＋12，在△ABD 中，由余弦定理得，AB 2＝12＋(3＋12)2－2×3＋12×cos 60°＝32， ∴AB ＝62，则船速为64千米/分钟．要点三 计算平面图形的面积例3 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝θ，△BCD 是正三角形．(1)将四边形ABCD 的面积S 表示为θ的函数； (2)求S 的最大值及此时θ角的值．解 (1)△ABD 的面积S 1＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，由于△BCD 是正三角形，则△BCD 的面积S 2＝34BD 2. 在△ABD 中，由余弦定理可知：BD 2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ， 于是四边形ABCD 的面积S ＝12sin θ＋34(2－2cos θ)，∴S ＝32＋sin(θ－π3)，0＜θ＜π. (2)由S ＝32＋sin (θ－π3)及0＜θ＜π， 得－π3＜θ－π3＜2π3.当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.规律方法 最值问题是高考的重点之一，我们要能娴熟运用三角形基础学问，正弦、余弦定理，面积公式及三角函数公式协作，通过等价转化解答这类综合问题，并留意隐含条件的挖掘．跟踪演练3 已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求圆内接四边形ABCD 的面积． 解 连接BD ，则四边形的面积S ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12AB ·AD sin A ＋12BC ·CD sin C .∵A ＋C ＝180°， ∴sin A ＝sin C .∴S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A ＝16sin A .在△ABD 中，BD 2＝22＋42－2·2·4cos A ＝20－16cos A ， 在△CDB 中，BD 2＝52－48cos C ， ∴20－16cos A ＝52－48cos C .又cos C ＝－cos A ，∴cos A ＝－12.∴A ＝120°.∴S ＝16sin A ＝8 3.1．若平行四边形两邻边的长分别是3和6，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是( ) A.3和 5 B ．23和2 5 C.3和15 D.5和15答案 C解析 两条对角线的长分别为(3)2＋(6)2－2×3×6×cos 45°＝3和 (3)2＋(6)2－2×3×6×cos 135°＝15.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b等于( ) A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3答案 B解析 ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3.3．已知AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝120°，求BD 的长． 解 如图，连接BC ，BC ＝22＋12－2×2×1×cos 120°＝7，在△ABC ，由正弦定理知：2sin ∠ACB ＝7sin 120°，∴sin ∠ACB ＝217.又∵∠ACD ＝90°， ∴cos ∠BCD ＝217，sin ∠BCD ＝277， 由AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，∠BAC ＝120°得∠BDC ＝60°. 由正弦定理得，BD ＝BC ·sin ∠BCDsin 60°＝7×27732＝433.1.正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将全部的条件集中到某个三角形之中，会使问题更简洁解决．2．我们常用正弦定理、余弦定理来解决三角形问题，但在实际解决问题过程中经常遇到四边形或多边形，这时需要通过适当的帮助线将多边形分割为多个三角形，从而将问题转化为三角形的问题来解决．一、基础达标1．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 答案 B解析 设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．2．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928D ．9 2答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154 答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.4．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则这个圆的直径长度为 ．答案 65解析 由余弦定理得BD 2＝392＋522－2×39×52cos C ， BD 2＝252＋602－2×25×60cos A ∵A ＋C ＝180°，∴cos C ＝－cos A ，∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A ＋2×25×60cos A ＝0，∴cos A ＝0.∵0°<A <180°，∴A ＝90°， ∵BD 2＝392＋522＝652，∴BD ＝65.5．平行四边形ABCD 中，AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°，则AD ＝ . 答案 4 3解析 BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos 45° ＝(43)2＋(46)2－2×43×46·cos 45°＝48. 从而AD ＝BC ＝4 3.6．在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BD 交AC 边于点D .求证：BA BC ＝AD DC .证明 如图所示，在△ABD 中，利用正弦定理，得AB AD ＝sin ∠ADBsin ∠ABD .①在△CBD 中，利用正弦定理，得BC CD ＝sin ∠BDCsin ∠DBC.②∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ， 又∵∠ADB ＋∠CDB ＝180°， ∴sin ∠ADB ＝sin ∠CDB ， 由①②，得AB AD ＝BC CD ，即BA BC ＝ADDC成立. 7．已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求证：BC 边上的中线MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.证明 如图所示，BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，由余弦定理得 c 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a 2·cos ∠AMB .在△ACM 中，由余弦定理得 b 2＝MA 2＋⎝⎛⎭⎫a 22－2MA ·a2·cos ∠AMC ， ∵cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0，以上两式相加，得b 2＋c 2＝2MA 2＋a 22.即MA 2＝12b 2＋12c 2－14a 2，∴MA ＝122b 2＋2c 2－a 2.二、力量提升8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A ．50 m B ．45 m C. 507 m D ．47 m答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ，CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理有：OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m)．9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 是BC 上的一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3) 答案 C解析 ∵BD →＝3－12BC →，BC ＝8，∴BD ＝4(3－1)．又∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB sin 45°＝BC sin 75°，∴AB ＝sin 45°sin 75°×BC ＝226＋24×8＝8(3－1)．在△ABD 中，由余弦定理得 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B＝[8(3－1)]2＋[4(3－1)]2－2×8(3－1)×4(3－1)×cos 60°＝48(3－1)2， ∴AD ＝4(3－3)．10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为 ． 答案27π5解析 不妨设三角形三边为a ，b ，c 且a ＝6，b ＝c ＝12， 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158. 由12(a ＋b ＋c )·r ＝12bc sin A 得r ＝3155. ∴S 内切圆＝πr 2＝27π5. 11．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝7，AD ＝6，S △ACD ＝1532，求AB 的长．解 在△ACD 中，S △ACD ＝12AC ·AD sin ∠CAD ，∴sin ∠CAD ＝2S △ACD AC ·AD ＝2×15327×6＝5314，∴sin ∠CAB ＝5314.在△ABC 中，BC ＝AC sin ∠BACsin 60°＝5.且cos ∠BAC ＝1－sin 2∠BAC ＝1114， ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝25， 即25＝AB 2＋49－11AB ，(AB －8)(AB －3)＝0， ∴AB ＝8或AB ＝3. 在△ABC 中，∵sin ∠BAC ＝5314<32＝sin 60°， ∴∠BAC <60°，∴∠ACB 最大，即AB 为最大边，故AB ＝3应舍去，∴AB ＝8.12．一条直线上有三点A ，B ，C ，点C 在点A 与点B 之间，P 是此直线外一点，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β.求证：sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .证明 ∵S △ABP ＝S △APC ＋S △BPC ， ∴12P A ·PB sin(α＋β) ＝12P A ·PC sin α＋12PB ·PC sin β. 两边同除以12P A ·PB ·PC ，得sin (α＋β)PC ＝sin αPB ＋sin βP A .三、探究与创新13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b ＝27，B ＝60°，a ＋c ＝10.(1)求sin(A ＋π6)；(2)若D 为△ABC 外接圆中弦AC 所对劣弧上的一点且2AD ＝DC ，求四边形ABCD 的面积．解 (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝b sin B ＝473，∵a ＋c ＝10，∴sin A ＋sin C ＝5327.∵B ＝60°，∴C ＝120°－A ，∴sin A ＋sin(120°－A )＝sin A ＋sin 120°cos A －cos 120°sin A ＝5327，于是得sin(A ＋π6)＝5714.(2)∵A ，B ，C ，D 共圆，B ＝60°，∴D ＝120°. 在△ADC 中，由余弦定理可得 cos D ＝AD 2＋DC 2－b 22AD ·DC ＝－12，解之得AD ＝2，∴S △ACD ＝12AD ·CD ·sin 120°＝23，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12.解之得：ac ＝24.∴S △ABC ＝12ac sin 60°＝63，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝8 3.。
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高中数学 第2章 解三角形导学案
北师大版必修5
二、 复习题 题型1：正、余弦定理
例1、（1）在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，求最短边的边长 。
（2）求边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和。
变式、（1）在ABC ∆中，已知2=b ，︒=30B ，︒=135C ，求a 的长
（2008湖南文7）（2）在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( )
A ．23-
B ．3
2- C ．32 D ．23
题型2：三角形面积
例2、在∆A B C 中，s i n c o s A A +=2
2
，A C =2，A B =3，求A tan 的值和∆A B C 的面积。
变式、（1）在ABC ∆中，8b =，83c =，
163ABC
S =，求A ∠。
（2）在四边形ABCD 中，120A ∠=，90B D ∠=∠=，5,8BC CD ==，求四边形ABCD 的面积S 。
题型4：正、余弦定理实际应用
例4、如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长7米，由C 点看AB 的张角为45，在AC 边上一点D 处看
AB 得张角为60，且2AD DC =，试求这块绿地得面积。
变式、货轮在海上A 点处以30 n mile/h 的速度沿方向角（指北方向顺时针转到方向线的水平角）为150
的方向航行，半小时后到达B 点，在B 点处观察灯塔C 的方向角是900
， 且灯塔C 到货轮航行方向主最短距离为310 n mile ，求点A 与灯塔C 的距离。
题型5：正、余弦定理综合应用
D
C
B
A
例5、（2008辽宁文，17）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3
C π=． （Ⅰ）若ABC △的面积等于3，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．
变式、（1）
在ABC 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+， （1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。
变式、（2）（平行班不做）在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边c=7
2 ，且tanA+tanB= 3
tanA ·tanB － 3 ，又△ABC 的面积为S △ABC =33
2 ，求a+b 的值。
三、 练习题
1、在△ABC 中，若60A =，3a =，则求sin sin sin a b c
A B C +-+-的值 。
2、在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC 有多少个。
3、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，求cos C 的值。
4、在△ABC 中，已知503b =，150c =，30B =，则求边长a 。
5、在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则求最大边c 的取值范围。