材料力学弯曲强度
材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
弯曲强度与弯曲模量的关系
弯曲强度与弯曲模量的关系1.引言1.1 概述概述弯曲强度和弯曲模量都是材料力学性能的重要指标，它们描述了材料在受到外部力作用时的抵抗变形和破坏能力。
弯曲强度是指材料在弯曲加载下抵抗破坏的能力，通常用抗弯强度来表示；而弯曲模量则描述了材料在受到外力作用时的抵抗变形能力，它代表了材料的刚性程度。
在工程实践中，了解材料的弯曲强度和弯曲模量对于正确选择材料并进行结构设计具有重要意义。
通过研究材料的弯曲强度和弯曲模量之间的关系，可以了解材料的力学性能和耐久性，并为工程实践中的材料选择、力学设计以及预测材料的破坏行为提供参考依据。
本文将首先对弯曲强度和弯曲模量进行定义和测量方法的介绍，包括常见的试验方法和计算公式。
接着，将分析弯曲强度和弯曲模量之间的关系，探讨两者之间的影响因素和相互作用机制。
最后，将讨论弯曲强度和弯曲模量在实际应用中的意义，并讨论影响其数值的因素，以及如何通过工程手段来调控和优化这些性能。
通过深入研究弯曲强度和弯曲模量之间的关系，有助于我们更好地理解材料的力学性能和行为，为工程实践提供科学依据，并推动材料科学和工程领域的发展和进步。
最后，本文将总结研究结果，提出一些对未来研究的展望。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的结构和各个章节内容的简要描述。
下面是对文章结构部分的一种可能描述：1.2 文章结构本文主要探讨弯曲强度与弯曲模量之间的关系，并分析在实际应用中的意义和影响因素。
文章按照以下章节组织：2.1 弯曲强度的定义和测量方法这一章节首先介绍了弯曲强度的定义，即在外力作用下材料能够承受的最大弯曲应力。
接着详细探讨了测量弯曲强度的方法，包括三点弯曲试验和四点弯曲试验等。
2.2 弯曲模量的定义和测量方法在本章节中，我们首先给出了弯曲模量的定义，即在弯曲过程中材料对应力的抵抗能力。
然后，我们将深入讨论测量弯曲模量的方法，如静态三点弯曲试验和动态振动试验等。
3. 结论在本章节中，我们将对弯曲强度与弯曲模量的关系进行分析和总结。
材料力学 弯曲应力与强度条件
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A
0:
y
A
N dA E
A
dA
E
A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E
y 2 dA 令： y 2 dA I Z A
C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4
等效弯曲强度
等效弯曲强度
等效弯曲强度是材料力学中一个重要的概念，它指的是在材料受到等效弯曲载荷时，单位面积内产生的弯曲应力。
这里所说的等效弯曲载荷是指材料在等效应力状态下所承受的弯曲载荷，等效应力状态下是指材料在拉伸或压缩状态下，应力状态下的应力值。
等效弯曲强度与材料的性质有关，包括材料的力学性能、材料的结构特征以及材料在应力状态下的稳定性等。
通常来说，等效弯曲强度越高，说明材料在应力状态下越稳定，这也意味着材料在实际应用中具有更高的可靠性。
等效弯曲强度测试是一种常见的测试方法，通过测试材料在等效应力状态下的弯曲应力，可以评估材料在应力状态下的性能。
这种测试方法可以用于评估材料的机械性能、材料的疲劳寿命以及材料在恶劣环境下的可靠性等。
此外，等效弯曲强度还可以用于设计材料。
在材料的设计过程中，等效弯曲强度是一个重要的参数，它可以帮助工程师预测材料在应力状态下的性能，从而为材料的设计提供重要的理论指导。
总之，等效弯曲强度是材料力学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解材料在应力状态下的性能。
同时，等效弯曲强度测试和材料设计也是材料研究中的重要课题，它们为材料科学的发展做出了重要贡献。
拉伸强度、拉伸模量、弯曲强度的单位
拉伸强度、拉伸模量、弯曲强度是材料力学性能的重要指标，它们可以评价材料的抗拉和抗弯能力。
在工程实践中，正确理解并使用这些指标对于材料选择和设计具有重要意义。
本文将分别介绍拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度的单位以及其在工程中的应用。
1. 拉伸强度的单位拉伸强度是材料在拉伸过程中抵抗断裂的能力，它是材料的重要力学性能指标之一。
拉伸强度的单位通常使用帕斯卡（Pa）来表示，1Pa 等于1牛顿/平方米。
在工程中，常使用兆帕（MPa）作为拉伸强度的单位，1MPa等于10^6Pa。
2. 拉伸模量的单位拉伸模量是材料受拉力时的应变和应力之间的比值，它可以衡量材料的刚性和变形能力。
拉伸模量的单位通常也是帕斯卡（Pa），在工程中常使用兆帕（MPa）或千兆帕（GPa）作为拉伸模量的单位。
3. 弯曲强度的单位弯曲强度是材料在受弯曲作用时抵抗断裂的能力，它可以评价材料在弯曲应力下的表现。
弯曲强度的单位同样是帕斯卡（Pa），在工程中常使用兆帕（MPa）来表示。
以上是拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度的单位，它们是描述材料力学性能的基本指标。
在工程设计和材料选择时，我们需要根据实际应用需求合理选择材料，并且理解和运用这些指标对于提高工程质量和安全性具有重要意义。
希望本文对于读者们加深对以上指标的理解有所帮助。
拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度作为材料力学性能的重要指标，在工程实践中扮演着至关重要的角色。
它们不仅在材料选择和设计中起着决定性作用，还对产品的质量和可靠性产生深远影响。
本文将继续深入探讨拉伸强度、拉伸模量和弯曲强度的相关知识，以便读者更全面地了解和运用这些指标。
4. 拉伸强度的应用拉伸强度是材料在拉伸过程中所能承受的最大应力，它直接影响材料的拉伸性能和断裂特性。
高拉伸强度的材料意味着在受拉力作用下具有更好的抗拉性能，能够更好地承受外部拉伸力的作用。
拉伸强度是评价材料抗拉性能的重要参数，广泛应用于航空航天、汽车制造、建筑结构等领域。
弯曲强度测试标准-概述说明以及解释
弯曲强度测试标准-概述说明以及解释1.引言概述部分是引言的一部分，用于介绍文章的主题和背景。
在这里，我们可以提供与弯曲强度测试标准相关的一般信息和背景，同时表明本文的重要性和目的。
以下是概述部分的内容示例：1.1 概述弯曲强度是评估材料的力学性能之一，它描述了材料在受到弯曲力作用时的抗弯能力。
弯曲强度测试是确定材料在弯曲载荷下的破坏点的一种常见方法，广泛应用于工程领域。
随着工程应用的不断发展和材料科学的进步，对弯曲强度测试的要求也越来越高。
在工程设计中，弯曲强度的准确评估对于确保结构的安全性和可靠性至关重要。
因此，制定一套规范的弯曲强度测试标准对于确保材料评估的一致性和可比性具有重要意义。
本文将重点讨论弯曲强度测试标准的相关内容。
我们将概述弯曲强度测试的基本原理，并介绍一些常见的测试方法。
此外，我们还将总结弯曲强度测试的关键点，并提出对弯曲强度测试标准的一些建议。
最后，我们将展望未来弯曲强度测试研究的方向，以期为相关领域的进一步发展提供参考。
通过详细介绍弯曲强度测试标准的重要性和目的，本文旨在促进弯曲强度测试领域的进步和规范化。
通过建立统一的测试标准，我们能够在材料评估和工程设计中提供准确可靠的弯曲强度数据，从而提高工程结构的性能和可持续性。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述:第一部分为引言部分，概述了弯曲强度测试标准的背景和重要性，以及本文的目的。
第二部分为正文部分，主要包括弯曲强度测试的重要性、基本原理和常见方法的介绍。
2.1小节将详细解释弯曲强度测试的重要性，包括对于材料的性能评估、产品设计和工程应用的必要性。
2.2小节将阐述弯曲强度测试的基本原理，包括力学原理和测试方法。
2.3小节将介绍弯曲强度测试中常用的方法，例如三点弯曲测试和四点弯曲测试等，包括测试步骤、注意事项和数据分析方法。
第三部分为结论部分，总结了弯曲强度测试的关键点，提出了对弯曲强度测试标准的建议，并展望了未来弯曲强度测试研究的发展方向。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
弯曲强度与屈服强度的关系
弯曲强度与屈服强度的关系1. 引言1.1 弯曲强度与屈服强度的定义弯曲强度与屈服强度是材料力学中非常重要的两个指标，它们分别代表了材料在承受力的过程中的抗弯能力和抗拉/压能力。
弯曲强度通常指材料在抗弯试验中产生破坏的最大承载能力，即材料抵抗弯曲应力造成的破坏的能力。
而屈服强度则是材料在受拉或受压时发生塑性变形的临界点，即在这个点之后材料会开始产生塑性变形而不再具有弹性回复的能力。
弯曲强度与屈服强度的定义对于材料的性能评估和设计具有重要意义，能够帮助工程师更好地选择材料和设计结构。
在材料科学和工程中，研究弯曲强度与屈服强度的关系是一个重要课题，对于提升材料的性能和推动材料的创新具有重要意义。
通过深入研究弯曲强度与屈服强度的关系，可以更好地理解材料的力学性能，并为材料的设计与应用提供理论依据。
1.2 研究背景在材料力学领域，弯曲强度与屈服强度一直是研究的焦点之一。
弯曲强度是指材料在弯曲加载下的抗破坏能力，而屈服强度则是材料在受力到一定程度时开始出现塑性变形的能力。
这两者的关系对于材料的设计、选材以及工程应用具有重要意义。
随着科学技术的不断发展，对材料力学性能的要求也越来越高。
如何提高材料的弯曲强度和屈服强度，成为了材料科学研究的重要课题。
通过深入了解弯曲强度与屈服强度之间的关系，可以为工程实践提供理论指导和技术支持。
深入研究弯曲强度与屈服强度的关系，探讨其中的影响因素和测试方法，可以帮助我们更好地认识材料的力学性能，并为材料设计和工程应用提供更科学的依据。
本文将从这一角度出发，对弯曲强度与屈服强度的关系进行系统探讨，希望能给相关领域的研究者和工程师提供一定的参考和帮助。
2. 正文2.1 弯曲强度与屈服强度的关系弯曲强度与屈服强度的关系是材料力学中一个重要的研究课题。
弯曲强度是材料在受力作用下发生弯曲破坏的能力，通常用弯曲应力来描述；而屈服强度则是材料在受力作用下发生塑性变形的能力，通常用屈服应力来描述。
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北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
h C b z
a
C a
z
C d
z
Wz矩 Wz方 Wz方 Wz圆
bh 2 h bh h 6 3 1 矩形截面比方形截面好 2 a aa a 6 a 2 a3 a 4 d 2 4a 2 6 6 1.18 2 3 3d 3 d d d 3d 8 4 32 方形截面比圆形截面好 北京建筑大学力学系
根据强度条件可进行下述工程计算：
⑴强度校核；
max [ ]
M max [ ]
⑵设计截面尺寸； Wz
⑶确定容许荷载。 M max Wz [ ] 北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
【例】一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布载荷，已知： l=4m，b=140mm， h=210mm，q=3kN/m，弯曲时木材的许用 正应力[σ]=10MPa。试校核该梁的强度。
b)、合理改变支座位置
q
A B
q
A B
l
M图 ⊕
ql2/8
l/6 ql2/72
2l/3
l/6
ql2/72 M图
⊕ ql2/24
通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁 的正应力强度。 北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
二、梁合理的截面形状
Iz Wz ymax
梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积 相同的情况下， Wz越大截面形状越合理。 下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。
A
M y z dA 0
A
y
M z (F ) M M z A y dA M
E
y
Ey
A
dA
E
A
ydA
E
Sz 0
S z ydA 0
A
0
横截面对中性轴的静矩
中性轴z必通过横截面形心 北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
y2
FB 24kN
1.8kN m
FA 9kN
M图
y A y A (b c 2 )bc b 2 (2a b)b yC A A bc (2a b)b
y1 72mm y2 38mm
38mm
2.7kN m
北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
M y Iz
由该式可知横截面上各点正应 力大小与各点到中性轴的距离成正 比，中性轴上各点正应力为零，离 中性轴最远点正应力最大。
y z y
z x dA
上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于 横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再 z 成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可 C z C 按平面假设分析，上面公式仍可使用。
q
A
l
B
h b
解：画出梁的弯矩图
M max ql 2 1 2 103 N/m 42 m 2 8 8 =4 103 N m
M图
＋
1 2 ql 8
bh 2 1 0.14m 0.212 m 2 =0.103 10-2 m3 Wz 6 6
M max 4 103 N m max = -3 3 =3.88MPa < Wz 0.103 10 m 北京建筑大学力学系 满足强度条件
C
z
C
z
C
z
b
d
d D
bh3 Iz 12 bh 2 Wz 6
64 3 d Wz 32
Iz
d4
d4 Wz (1 4 ) 32 D
北京建筑大学力学系
D3
§5-3 弯曲正应力强度条件
梁要安全工作，必须满足正应力强度条件 对于等截面梁 正应力强度条件：
max
M max Wz
北京建筑大学力学系
§5-1 纯弯曲及其变形
a a
纯弯曲(Pure Bending):
某段梁的内力只有弯矩没有剪
力时，该段梁的变形称为纯弯曲。
A
B
FS x
x M
北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系
物理关系 静力学关系
北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
①梁的横截面在梁弯曲变形后仍保持为
平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。 ②梁的纵向纤维为单向应力状态，互无
—横截面上只有正应力 挤压。
北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
纵向对称面 中性层 中性轴
中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受 拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 北京建筑大学力学系
C
F
z
K
y
h 2 h 2
A
l
a
B
b
截面对中性轴的惯性矩
bh3 0.583 10-4 m4 Iz 12
代入应力公式
M C y 3 103 （-0.06) K 3.09MPa（拉应力） 4 Iz 0.583 10 北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件 梁某截面上的最大正应力 M max ymax Iz
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
2.变形几何关系
取一微段dx
O1O2 dx d
b ' b ' ( y)d l b ' b ' dx
( y)d d yd
y m n
o
d m'
O1
n'
O2
o1
b m
o2
dx b n
b' m'
变形后
b' n'
§5-3 弯曲正应力强度条件
【例】针对上题，试求梁能承受的最大载荷qmax。
q
A
l
B
h b
解：由强度条件
M max Wz
M max ql 2 Wz 8
M图
＋
1 2 ql 8
q
8 Wz l2
8 10 106 Pa 0.103 10-2 m3 = 42 m 2
【例】一T形截面的外伸梁如图所示，已知：l=0.6m，a=40mm ， b=30mm，c=80mm，F1=24kN， F2=9kN，材料的许用拉应力 [σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。试校核梁的强度。
F1
A
F2
B
l 2
b
C
l 2
D
l 3
c
z
b
y1
解：画出梁的弯矩图
FA
FB
C
a a
材料力学
第五章 弯曲强度
北京建筑大学力学系
§5-1 纯弯曲及其变形
§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
§5-3 横力弯曲时梁横截面上的正应力
弯曲正应力强度条件
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
北京建筑大学力学系
§5-1 纯弯曲及其变形
弯曲构件横截面上的（内力）应力
剪力FS
剪应力 正应力
内力
弯矩M
横截面对y轴和z轴的惯性积
M y z dA
A
E
A
yzdA
E
E
I yz 0
y轴和z轴是横截面的主形心轴
M z y dA
A
E
A
y dA
2
Iz M
M EI z
1
横截面对中性轴的惯性矩
其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力， 北京建筑大学力学系 称为抗弯刚度。
max
max
北京建筑大学力学系
§5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力
【例】 长为的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知
h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。试求C截面
上K点的正应力。 解：C截面的弯矩
M C Fa 3 10 N m
3
北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
综上
t ,max
t ,max =22.6MPa t
B
c ,max
cC,max =33.9MPa c
满足强度要求
北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
梁的设计主要依据正应力强度条件，即
M max max Wz
FB
FA
Wz
M max
FA 17kN FB 19kN
M图
34kN m
3.8 103 N m = 170 106 Pa
=0.223 10-3 m3 =223cm3
、
38kN m
Wz
3 237cm 20 a钢
选择20a工字钢 北京建筑大学力学系
§5-3 弯曲正应力强度条件
M ( x)
北京建筑大学力学系
§5-7 提高梁弯曲强度的主要措施
变截面梁
F
A
q
B
悬臂凉台
吊车梁
北京建筑大学力学系
§5-4 矩形截面梁的切应力
x
dx
切应力分布和方向假设： ①切应力与剪力方向平行；
y M ( x)