2016年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期末数学试卷与解析答案
湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学(理)(解析版)
湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合,, ,则A. B. C.或 D.或6【答案】B【解析】本题主要考查集合的基本运算.依题意,,则集合A、B表示的直线平行且不重合，即求得，代入两直线不重合，复合题意，故选B.2．已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【答案】D【解析】由题意得a+2=,解得a=-2或a=1.3．如果实数满足:,则下列不等式中不成立的是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查不等式的性质.由，利用绝对值不等式的性质，得A.正确；对于B.得即与矛盾，故B错误；对于C.等价于即，由，故C正确；由，平方得，故D正确，综上，不等式中不成立的是B.故选B.4．在等比数列中,则等于A.或B.或C.D.【答案】A【解析】本题主要考查等比数列的性质.依题意，根据等比数列的性质得,则，是方程的两根，解得或得或.故选A.5．在三角形ABC中,,,,则满足条件的三角形有()个A.1B.2C.0D.与有关【答案】B【解析】本题主要考查正弦定理的应用.根据正弦定理，，由，则满足条件的三角形有2个，故选B.6．是不同的直线,是不同的平面,以下结论成立的个数是①②③④A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】本题主要考查空间点线面的位置关系.根据公理4可得①正确；对于②,，则与平行或异面或相交，故②错误；对于③,得与平行或相交，故③错误；对于④,,则与相交或平行，故④错误；综上，正确的只有①，故选A.7．过圆内一点的最长弦与最短弦分别为、,则直线与的斜率之和为A. B. C. D.或【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系及直线的斜率.把圆的方程化为标准方程得：(x−3)2+(y−4)2=25，得圆心坐标为(3,4)，则过(2,5)的最长弦AB所在直线的斜率为，又最长弦所在的直线与最短弦所在的直线垂直，故过(2,5)最短弦CD所在的直线斜率为1，则直线AB与CD的斜率之和为−1+1=0.故选B.8．已知等差数列的前项和为,公差,当取最小值时,的最大值为10,则数列的首项的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查等差数列的性质.依题意，当取最小值时,的最大值为10,则，即，求得，故选B.9．已知某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是A. B. C. D.【答案】C【解析】根据几何体的三视图，该几何体是如图所示的四棱锥，且该四棱锥的底面是边长为2cm的正方形ABCD，高为cm.则该四棱锥的体积为.故选C.10．设实数满足,如图所示,则的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】由图象知y⩽10−2x，则xy⩽x(10−2x)=2x(5−x))，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验(,5)在可行域内，故xy的最大值为，故选A.11．三棱锥的顶点在平面ABC内的射影为P,给出下列条件,一定可以判断P为三角形ABC的垂心的有()个①；②两两垂直；③；④A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查线面垂直.由①可得≌≌，得，得P为三角形ABC的外心；对于②，若两两垂直，则⊥平面，则⊥，由⊥平面，可得⊥，即可证得⊥平面，可得⊥，同理可证⊥，则P为三角形ABC的垂心；对于③，由；可得⊥平面，只有当点与点重合时，点P为三角形ABC的垂心；对于④，利用②可得P为三角形ABC的垂心；综上，一定可以判断P为三角形ABC的垂心的有②④，共2个，故选B.12．在中,角所对的边分别为.若,且,则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查正弦定理.根据正弦定理，得,即，得，又则即，则=====，故最大值是.二、填空题：共4题13．数列前10项的和为 .【答案】【解析】本题主要考查数列的前n项和.，则数列前10项的和为.故填.14．三棱锥中,正三角形ABC的边长为,,二面角的平面角的大小为,则 .【答案】【解析】本题主要考查二面角及余弦定理.取AB的中点，在等腰中，求得，在正三角形中，求得，且二面角的平面角的平面角,利用余弦定理可得=，，故填.15．若数列的前项之积等于,,则数列的通项公式为______. 【答案】【解析】本题主要考查数列求通项.依题意，==,当时，，当时，==，故.16．动直线与圆及直线分别交于P、Q两点,则的最小值为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数和与差的三角公式.设点，依题意，则，点，则===，当时，有最小值.三、解答题：共6题17．三角形ABC三边长分别为,最大角C是最小角A的两倍.(1)求(用表示);(2)求正整数的值.【答案】(1)根据大角对大边及大边对大角可知，所对角为，所对角为，由余弦定理得：.(2)由正弦定理得：及得.由得：.【解析】本题主要考查正弦定理及余弦定理.(1)根据大角对大边及大边对大角可知，所对角为，所对角为，由余弦定理得：.(2)由正弦定理得：及得.由得：.18．求证:两条平行线与同一个平面所成角相等.已知:,平面.求证:与平面所成角相等.【答案】已知：，平面.求证：与平面所成角相等.证明：如果都在平面内，由线面角的定义可知，它们与平面所成角都是；如果，由线面角的定义可知，它们与平面所成角都是；如果都与平面平行，它们与平面所成角都是；如果都与平面垂直，由线面角的定义可知，它们与平面所成角都是.如果与平面斜交，设其交点分别为、，分别过上的点作的垂线，，. 如图所示，连接、，由线面角的定义可知与平面所成角分别为，因为，又所以，所以.综上，两条平行线与同一个平面所成角相等.【解析】本题主要考查直线与平面所成的角.分情况讨论：①直线都在平面内，它们与平面所成角都是；②都与平面平行，它们与平面所成角都是；③直线与平面斜交，分别过上的点作的垂线，.如图所示，连接、，利用三角形相似证得，从而证得结论.19．已知数列的首项,且.()求证:数列是等比数列；()求数列的前项和.【答案】()证明：，因此数列是等比数列，且公比为2.()由()及题设可知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，因此，于是；∴.则,①∴,②②-①得.【解析】本题主要考查等比数列的判定、错位相减法求和.(1)，从而证得数列是等比数列；()由(1)得数列是等比数列，且公比为2的等比数列，求得，故，然后利用错位相减法求得数列的前项和.20．在长方体中,与平面交于H点,E是的中点,.(1)求证:平面;(2)证明:H为三角形的重心.【答案】证明：(1)连接交于，为的中点，连接交于，是的中点，连接，在长方体中，且，所以为平行四边形，所以，又，所以为的中点，为的中点，所以.，平面，平面，所以平面.(2)在矩形中，，且平面，所以为直线与平面的公共点，所以点就是点。
2016年湖北省部分高中联考协作体高一下学期期末数学试卷与解析答案(文科)
2015-2016学年湖北省部分高中联考协作体高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣5≤x＜5}，N={x|2x＜16}，则M∩N=（）A．[﹣5，3）B．[﹣5，﹣4）C．[﹣5，4）D．（﹣4，﹣3）2．（5分）在平面直角坐标系中，已知=（﹣2，p），=（3，3），若∠AOB=90°，则实数p的值为（）A．7 B．8 C．2 D．53．（5分）已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b24．（5分）如果sin（π+α）=﹣，那么cos（+α）=（）A．B．﹣ C．D．﹣5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．26．（5分）函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且f（4）＜f（2），则下列各式中一定成立的是（）A．f（0）＜f（5）B．f（4）＜f（1）C．f（﹣4）＞f（﹣2） D．f（﹣4）＜f（﹣2）7．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项和S9等于（）A．45 B．54 C．36 D．638．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=2ccos2，则A=（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[1，3]D．[﹣3，1]10．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，H、G、I、J分别为AD、AF、BE、DE的中点，则将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，则异面直线GH与IJ所成的角的大小为（）A．B．C．D．11．（5分）已知实数x，y满足，且z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣10 C．3 D．512．（5分）如果lg3，lg（sinx﹣），lg（1+y）依次构成等差数列，那么（）A．y有最小值为﹣1，最大值为﹣B．y有最大值为1，无最小值C．y无最小值，有最大值为﹣D．y有最小值为﹣1，最大值为1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数a满足＞0，则a的取值范围为．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），在一个周期内，当x=时，函数f（x）取得最大值，当x=时，函数f（x）取得最小值﹣，则函数的解析式为．15．（5分）已知x＞0，y＞0且满足+≥a2+a恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列四个判断①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒则m∥n；②α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n；③正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为定值；④空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E分别是AB、BC的中点，则平面PDE⊥平面ABC．其中正确的是．三、解答题（共6小题，70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=，△ABC的面积为，求三角形△ABC的周长．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+（b+6）x﹣a+ab，且不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，3）．（1）求a，b的值；（2）试问：c为何值时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．19．（12分）某农户种植甲、乙两种有机蔬菜，已知种植每吨甲种有机蔬菜需要用A原料3吨，B原料2吨；种植每吨乙种有机蔬菜需要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲种有机蔬菜可获得利润为5万元，销售每吨乙种有机蔬菜可获得利润为3万元元，该农户在一个种植周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该农户可获得最大利润是多少？20．（12分）（1）已知x＞，求y=+2x﹣1的最小值；（2）已知m，n＞0，且+=1，求t=m+n的最小值．21．（12分）如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=1，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥C﹣EFG的体积．22．（12分）在等比数列{a n}中，已知a1=4且公比q≠1，等差数列{b n}中，b2=a1，b4=a2，b8=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=log+log+…+log﹣n，设数列{}的前n项和为T n，证明1≤T n＜2．2015-2016学年湖北省部分高中联考协作体高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣5≤x＜5}，N={x|2x＜16}，则M∩N=（）A．[﹣5，3）B．[﹣5，﹣4）C．[﹣5，4）D．（﹣4，﹣3）【解答】解：由N中不等式变形得：2x＜16=24，解得：x＜4，即N=（﹣∞，4），∵M=[﹣5，5），∴M∩N=[﹣5，4），故选：C．2．（5分）在平面直角坐标系中，已知=（﹣2，p），=（3，3），若∠AOB=90°，则实数p的值为（）A．7 B．8 C．2 D．5【解答】解：∵=（﹣2，p），=（3，3），若∠AOB=90°，∴•=﹣2×3+3p=0，解得p=2，故选：C．3．（5分）已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b2【解答】解：选项A，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足a＞b，但不满足a2＞b2，故错误；选项B，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足|a|＞b，但不满足a2＞b2，故错误；选项D，取a=﹣1，b=1，显然满足a≠|b|，但a2=b2，故错误；选项C，由a＞|b|和不等式的性质，平方可得a2＞b2，故正确．故选：C．4．（5分）如果sin（π+α）=﹣，那么cos（+α）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故选：D．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图得，底面是等腰三角形，底和底边上的高分别是4、2，∵侧视图是等腰直角三角形，∴三棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：A．6．（5分）函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且f（4）＜f（2），则下列各式中一定成立的是（）A．f（0）＜f（5）B．f（4）＜f（1）C．f（﹣4）＞f（﹣2） D．f（﹣4）＜f （﹣2）【解答】解：函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且f（4）＜f（2），可得函数在[0，5]上单调递减，在[﹣5，0]上单调递增，故有f（﹣4）＜f（﹣2），故选：D．7．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项和S9等于（）A．45 B．54 C．36 D．63【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=27，∴，解得a1=﹣6，d=3，∴数列{a n}的前9项和S9=9×=54．故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=2ccos2，则A=（）A．B．C．D．【解答】解：∵acosB+bcosA=2ccos2=c（1+cosA），∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sinC（1+cosA），∴sin（A+B）=sinC（1+cosA），∴sinC=sinC（1+cosA），由于sinC≠0，约掉sinC可得：cosA=0，由三角形内角的范围可得角A=．故选：C．9．（5分）若函数f（x）=定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[1，3]D．[﹣3，1]【解答】解：若函数f（x）=定义域为R，则x2﹣（a+1）x+1≥0在R恒成立，∴△=[﹣（a+1）]2﹣4≤0，解得：﹣3≤a≤1，故选：D．10．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，H、G、I、J分别为AD、AF、BE、DE的中点，则将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，则异面直线GH与IJ所成的角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，根据题意知，折后的三棱锥为棱长和底面边长都相等的正三棱锥，设棱长为1，且：=；；且，=；∴；∴直线GH与IJ所成的角的大小为．故选：C．11．（5分）已知实数x，y满足，且z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣10 C．3 D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由得，即A（﹣4，﹣3），此时z的最小值为z=﹣4﹣3×2=﹣10，故选：B．12．（5分）如果lg3，lg（sinx﹣），lg（1+y）依次构成等差数列，那么（）A．y有最小值为﹣1，最大值为﹣B．y有最大值为1，无最小值C．y无最小值，有最大值为﹣D．y有最小值为﹣1，最大值为1【解答】解：∵lg3，lg（sinx﹣），lg（1+y）依次构成等差数列，∴2lg（sinx﹣）=lg3+lg（1+y），，y＞﹣1．∴=3（1+y），化为y=﹣1，当sinx=1时，y有最大值，无最小值．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数a满足＞0，则a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．【解答】解：＞0，即为a（a+3）＞0，解得a＜﹣3或a＞0，故a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），在一个周期内，当x=时，函数f（x）取得最大值，当x=时，函数f（x）取得最小值﹣，则函数的解析式为f（x）=．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），在一个周期内，当x=时，函数f（x）取得最大值，当x=时，函数f（x）取得最小值﹣，故有A=，•=﹣，∴ω=4，故有f（x）=，故答案为：f（x）=．15．（5分）已知x＞0，y＞0且满足+≥a2+a恒成立，则实数a的取值范围是[﹣4，3] ．【解答】解：x＞0，y＞0，可得+≥2=12，当且仅当3x=2y，取得最小值12，由+≥a2+a恒成立，可得a2+a≤12，解得﹣4≤a≤3．故答案为：[﹣4，3]．16．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列四个判断①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒则m∥n；②α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n；③正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为定值；④空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E分别是AB、BC的中点，则平面PDE⊥平面ABC．其中正确的是②③．【解答】解：①α∥β，m⊂α，n⊂β，m，n共面，则m∥n，故不正确；②α⊥β，在α内作交线的垂线a，则a⊥β，∵n⊥β，∴a∥n，m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故正确；③取BC中点N，则ON⊥平面BCC1D1，B1N为OP在平面BCC1D1上的射影，在正方形BCC1D1中，CM=BN，BC=BB1，∴Rt△B1BN≌Rt△BCM，∴BM⊥B1N由三垂线定理可知BM⊥OP，则直线BM与OP所成的角为定值，故正确；④空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E分别是AB、BC的中点，P在平面ABC中的射影是底面的中心，则平面PDE⊥平面ABC，不正确．所以正确的是②③．故答案为：②③．三、解答题（共6小题，70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=，△ABC的面积为，求三角形△ABC的周长．【解答】解：（1）∵bcosA=asinB，由正弦定理可得：sinBcosA﹣sinAsinB=0，∵sinB＞0，∴cosA﹣sinA=0，∴tanA=，又A∈（0，π），∴A=．=sinA=bc=，∴bc=4．（2）∵S△ABC又a2=b2+c2﹣2bccosA，即13=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，把bc=4代入可得：b+c=5，又，则△ABC的周长为5+．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+（b+6）x﹣a+ab，且不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，3）．（1）求a，b的值；（2）试问：c为何值时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，3），∴﹣2，3是方程ax2+（b+6）x﹣a+ab=0的两根，即，…3分且a＜0；解得a=﹣1，b=﹣5；…6分（2）由题意可得，要使﹣x2﹣5x+c≤0的解集为R，即x2+5x﹣c≥0对x∈R恒成立，则只需△≤0，…9分即25+4c≤0，解得c≤﹣；∴当c≤﹣时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．…12分．19．（12分）某农户种植甲、乙两种有机蔬菜，已知种植每吨甲种有机蔬菜需要用A原料3吨，B原料2吨；种植每吨乙种有机蔬菜需要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲种有机蔬菜可获得利润为5万元，销售每吨乙种有机蔬菜可获得利润为3万元元，该农户在一个种植周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该农户可获得最大利润是多少？【解答】解：设种植甲种有机蔬菜x吨，乙种有机蔬菜y吨，利润为z，则有z=5x+3y，且x，y满足，如图所示作出可行域后，求出可行域边界上各端点的坐标．由，解得，分析可知当直线y=经过点（3，4），即种植甲种有机蔬菜3吨，乙种有机蔬菜4吨时，可获得最大利润为27万元．20．（12分）（1）已知x＞，求y=+2x﹣1的最小值；（2）已知m，n＞0，且+=1，求t=m+n的最小值．【解答】解：（1）y=+2x﹣1=+（2x﹣3）+2，又x＞，可得2x﹣3＞0，由基本不等式可得y=+（2x﹣3）+2≥2+2=2+2=4，当且仅当=2x﹣3时等号成立，即当x=2时y有最小值4；（2）由+=1，可得t=m+n=+5，又m，n＞0，由基本不等式可得t=+5=9，当且仅当时等号成立，又+=1，当m=3，n=6时t有最小值9．21．（12分）如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=1，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥C﹣EFG的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵E、F分别是PC、PD的中点，∴EF∥CD∥AB，又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．同理，EG∥平面PAB，∵EF∩EG=E，∴∴平面EFG∥平面PAB，又AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG…4分（Ⅱ）证明：∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，又E、F分别是PC、PD的中点的中点∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，又EF⊂平面EFG，则平面PAD⊥平面EFG…8分（3）解：=…12分．22．（12分）在等比数列{a n}中，已知a1=4且公比q≠1，等差数列{b n}中，b2=a1，b4=a2，b8=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=log+log+…+log﹣n，设数列{}的前n项和为T n，证明1≤T n＜2．【解答】解：（1）设等差数列{b n}的公差为d，由题意可得，解得b1=d=q=2，…2分所以，b n=2+（n﹣1）•2=2n；…4分（2）证明：由（1）得，，则，…7分∴，…10分所以T n是关于n的单调递增函数，则当n取得最小值1时，T n有最小值1，无最大值．又T n＜2，所以1≤T n＜2 …12分．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2016-2017学年湖北省部分重点中学高一数学下期末考试(文)试题(解析版)
湖北省部分重点中学2016-2017学年度下学期高一期末考
试数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意。
1. 已知ITl，li表示两条不同直线，7表示平面，下列说法中正确的是（）
A. 若门】 U ,门d ,则庁门
B.若111 // □ , li //工，则111 // li
C.若111 I〕' 「I,则I〕/M
D.若111 // 3, I〕' fl，则li Q
【答案】A
【解析】逐一考查所给的线面关系：
A. 若「门 d ,门卫，由线面垂直的定义，则门- 门
B. 若ITI//□, li // 2［，不一定有ITI //「I ,如图所示的正方体中，若取为AE.AC，平面d
为上底面2 .E；：匚C 即为反例；
C. 若门】门，不一定有ii/心，如图所示的正方体中，若取I'i为空严乂匚；| ,
平面江为上底面鱼岸即为反例；
D. 若111//口，门-门，不一定有门口如图所示的正方体中，若取为匚，平面
社为上底面入I E .匸：口即为反例；
2. 直线-ine ■ x v ■ 1 = C的倾斜角的取值范围是（）
A.⑴口
B. ［O.j i. ［；.口
C. ［C.T J D•［口二。
湖北省部分高中协作体高一数学下学期期末考试试题理(扫描版)
湖北省部分高中协作体2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题理（扫描版）2016年春季湖北省重点高中联考协作体期末考试高一数学（理科）答案二.填空题 13.2π ； 14. 21 ； 15. 8 ； 16. r 3423三.解答题17. 解：（1）易得:1sin cos sin sin sin()sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+ 1sin cos sin 2C A C ∴=1sin 0cos 2C A ≠∴= 03A A ππ<<∴=……4分 7分 10分 18.（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f 0)(<x f 的解集为()4,0∴的两根为一元二次方程04,02=++c bx ax ∴0,04=>-=c a a b 且 ……3分 ∴ax ax x f 4)(2-= 又当[]4,1-∈x 时105)1()(max ==-=a f x f∴x x x f a 82)(,22-=∴= …………………………………………6分（2）即182)8(2222>---+xx m x m x 即0)4(2)(>--x x m x m 等价于0)4((2>--x m x mx ）)0(>m ……………………………………9分 当40<<m 时，不等式的解集为{}4,0|><<x m x x 或； ……………10分 当4=m 时，不等式的解集为{}4,40|><<x x x 或； …………………11分 当4>m 时，不等式的解集为{}m x x x ><<或,40|； …………………12分19. 设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱y x --120台，产值为z .则目标函数为()3602120345++=--++=y x y x y x z …………………2分题目中包含的限制条件为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥--≤--++.,30120,50120314121N y N x y x y x y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈≤+≤-.,,90,1202N y N x y x y x …………5分+3分（图）=8分可行域如图. 又因为目标函数可转化为3602-+-=z x y ，且12-<-解方程组⎩⎨⎧=+=-,90,1202y x y x 得点M 的坐标为()20,70，所以5203602max =++=y x z （千元）. ……………………………………10分∴每周应生产空调器70台，彩电20台，冰箱30台，产值最高，最高产值为520千元。
湖北省2016-2017学年高一数学下学期期末联考试卷
∵底面ABCD是矩形， ∴DC⊥BC， ∴BC⊥平面PDC，而DE⊂平面PDC， ∴BC⊥DE．①（9分） ∵PD=DC，E是PC的中点， ∴△PDC是等腰三角形，DE⊥PC．② 由①和②得DE⊥平面PBC． 而PB⊂平面PBC， ∴DE⊥PB． 又EF⊥PB且DE∩EF=E， ∴PB⊥平面EFD．（12分） 20解：（1）P=2x×450+2y×200+xy×200=900x+400y+200xy 即P=900x+400y+200xy.............4分 （2）S=xy，且P≤32000； 由题意可得：P=200S+900x+400y≥200S+2 ∴200S+1200 ∴（ ∴0＜ ）2+6 ≤10 ，即x= 取最大值； ≤P≤32000 ﹣160≤0 ............6分
3 2
14. 4
15. ①②③⑤
16.
3 2
三、解答题
17解：（1）由题意，得 解得﹣3＜x＜0，或2＜x＜3， ∴函数的定义域为
；
A=（﹣3，0）∪（2，3）；.............4分 （2）∵x2﹣2x+1﹣k2≥0， ∴当k≥0时，x≤1﹣k或x≥1+k， 当k＜0时，x≤1+k或x≥1﹣k； 又∵A∩B≠∅， .............6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC
AC CP, AC CE ,PCE 即为二面角P—AC—E的平面角.
∴在 RT PCB中, PC 2, BC 2 , ∴E为中点,可得 PE CE
6 2
cos PCE
CP CE PE 2CP CE
2 2 2
(完整word版)2016高一数学期末考试试题及答案解析
高一期末考试试题1.已知集合{}/8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（ ） A.7 B.8 C.9 D.102.已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =，则实数x 的值是（ ） A.3-或4 B.6或2 C.3或4- D.6或2-3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（ ） A.1:3 B. C.1:9 D.1:814.圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.45.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（ ） A. B. C. D.6.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或1- 7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A.()y x x R =-∈B.3()y x x x R =--∈C.1()()2xy x R =∈ D.1(,0)y x R x x=-∈≠且 8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A.4πB.54πC.πD.32π9.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭ 其中，真命题是（ ）A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 10.函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A.()1,2 B.()2,3 C.11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(),e +∞一、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）11.设映射3:1f x x x →-+，则在f 下，象1的原象所成的集合为12.已知2()41f x x mx =-+在(],2-∞-上递减，在[)2,-+∞上递增，则(1)f =13.过点(3,2)A 且垂直于直线4580x y +-=的直线方程为14.已知12,9x y xy +==，且x y <，则12112212x y x y-=+15（12分）已知二次函数2()43f x x x =-++（1） 指出其图像对称轴，顶点坐标；（2） 说明其图像由2y x =-的图像经过怎样的平移得来； （3） 若[]1,4x ∈，求函数()f x 的最大值和最小值。
2016-2017学年湖北省部分重点中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年湖北省部分重点中学高一下学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．已知m ， n 表示两条不同直线， α表示平面，下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊥， n α⊂，则m n ⊥ B. 若m ∥α， n ∥α，则m ∥n C. 若m α⊥， m n ⊥，则n ∥α D. 若m ∥α， m n ⊥，则n α⊥ 【答案】A【解析】逐一考查所给的线面关系：A. 若m α⊥， n α⊂，由线面垂直的定义，则m n ⊥B. 若m ∥α， n ∥α，不一定有m ∥n ，如图所示的正方体中，若取,m n 为,AB AD ，平面α 为上底面1111A B C D 即为反例；C. 若m α⊥， m n ⊥，不一定有n ∥α ，如图所示的正方体中，若取,m n 为111,A A A D ，平面α 为上底面1111A B C D 即为反例；D. 若m ∥α， m n ⊥，不一定有n α⊥，如图所示的正方体中，若取,m n 为,AD BC ，平面α 为上底面1111A B C D 即为反例；2．直线sin 10x y θ-+=的倾斜角的取值范围是（ ）A. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. ][30,,44πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭ C. 0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】A【解析】当sin 0θ=时，直线的倾斜角为2π，否则直线倾斜角的斜率为： 1sin k θ=，此时直线的倾斜角的范围是： 3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦,综上可得：直线倾斜角的取值范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 本题选择A 选项.3．若110a b<<，则下列结论不正确的是（ ） A. 22a b < B. 2ab b < C. 2211ab a b< D. 0a b +< 【答案】C【解析】取1,2a b =-=- ，则2211ab a b> ，据此可得选项C 错误. 本题选择C 选项.4．若()12:160,:280l x m y l mx y +++=++=的图像是两条平行直线，则m 的值是（ ）A. 1m =或2m =-B. 1m =C. 2m =-D. m 的值不存在【答案】A【解析】结合两直线平行的充要条件可得关于实数m 的方程： ()1120m m +-⨯= , 即： 220m m +-= ，解方程可得： 1m =或2m =- . 本题选择A 选项.5．在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在线段1AD 上运动，则异面直线CP 与1BA 所成角θ的取值范围是（ ） A. 03πθ<<B. 03πθ<≤C. 02πθ<<D. 02πθ<≤【答案】B【解析】∵A 1B ∥D 1C ，∴CP 与A 1B 成角可化为CP 与D 1C 成角。
2015-2016学年湖北省部分高中联考协作体高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年湖北省部分高中联考协作体高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣5≤x＜5}，N={x|2x＜16}，则M∩N=（）A．[﹣5，3）B．[﹣5，﹣4）C．[﹣5，4）D．（﹣4，﹣3）2．（5分）在平面直角坐标系中，已知=（﹣2，p），=（3，3），若∠AOB=90°，则实数p的值为（）A．7 B．8 C．2 D．53．（5分）已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b24．（5分）如果sin（π+α）=﹣，那么cos（+α）=（）A．B．﹣ C．D．﹣5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．26．（5分）函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且f（4）＜f（2），则下列各式中一定成立的是（）A．f（0）＜f（5）B．f（4）＜f（1）C．f（﹣4）＞f（﹣2） D．f（﹣4）＜f（﹣2）7．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项和S9等于（）A．45 B．54 C．36 D．638．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=2ccos2，则A=（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[1，3]D．[﹣3，1]10．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，H、G、I、J分别为AD、AF、BE、DE的中点，则将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，则异面直线GH与IJ所成的角的大小为（）A．B．C．D．11．（5分）已知实数x，y满足，且z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣10 C．3 D．512．（5分）如果lg3，lg（sinx﹣），lg（1+y）依次构成等差数列，那么（）A．y有最小值为﹣1，最大值为﹣B．y有最大值为1，无最小值C．y无最小值，有最大值为﹣D．y有最小值为﹣1，最大值为1二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数a满足＞0，则a的取值范围为．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），在一个周期内，当x=时，函数f（x）取得最大值，当x=时，函数f（x）取得最小值﹣，则函数的解析式为．15．（5分）已知x＞0，y＞0且满足+≥a2+a恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列四个判断①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒则m∥n；②α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n；③正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为定值；④空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E分别是AB、BC的中点，则平面PDE⊥平面ABC．其中正确的是．三、解答题（共6小题，70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=，△ABC的面积为，求三角形△ABC的周长．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+（b+6）x﹣a+ab，且不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，3）．（1）求a，b的值；（2）试问：c为何值时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．19．（12分）某农户种植甲、乙两种有机蔬菜，已知种植每吨甲种有机蔬菜需要用A原料3吨，B原料2吨；种植每吨乙种有机蔬菜需要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲种有机蔬菜可获得利润为5万元，销售每吨乙种有机蔬菜可获得利润为3万元元，该农户在一个种植周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该农户可获得最大利润是多少？20．（12分）（1）已知x＞，求y=+2x﹣1的最小值；（2）已知m，n＞0，且+=1，求t=m+n的最小值．21．（12分）如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=1，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥C﹣EFG的体积．22．（12分）在等比数列{a n}中，已知a1=4且公比q≠1，等差数列{b n}中，b2=a1，b4=a2，b8=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=log+log+…+log﹣n，设数列{}的前n项和为T n，证明1≤T n＜2．2015-2016学年湖北省部分高中联考协作体高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={x|﹣5≤x＜5}，N={x|2x＜16}，则M∩N=（）A．[﹣5，3）B．[﹣5，﹣4）C．[﹣5，4）D．（﹣4，﹣3）【解答】解：由N中不等式变形得：2x＜16=24，解得：x＜4，即N=（﹣∞，4），∵M=[﹣5，5），∴M∩N=[﹣5，4），故选：C．2．（5分）在平面直角坐标系中，已知=（﹣2，p），=（3，3），若∠AOB=90°，则实数p的值为（）A．7 B．8 C．2 D．5【解答】解：∵=（﹣2，p），=（3，3），若∠AOB=90°，∴•=﹣2×3+3p=0，解得p=2，故选：C．3．（5分）已知a，b∈R，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b2【解答】解：选项A，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足a＞b，但不满足a2＞b2，故错误；选项B，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足|a|＞b，但不满足a2＞b2，故错误；选项D，取a=﹣1，b=1，显然满足a≠|b|，但a2=b2，故错误；选项C，由a＞|b|和不等式的性质，平方可得a2＞b2，故正确．故选：C．4．（5分）如果sin（π+α）=﹣，那么cos（+α）=（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵sin（π+α）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故选：D．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图得，底面是等腰三角形，底和底边上的高分别是4、2，∵侧视图是等腰直角三角形，∴三棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：A．6．（5分）函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且f（4）＜f（2），则下列各式中一定成立的是（）A．f（0）＜f（5）B．f（4）＜f（1）C．f（﹣4）＞f（﹣2） D．f（﹣4）＜f （﹣2）【解答】解：函数f（x）是定义在[﹣5，5]上的偶函数，且f（4）＜f（2），可得函数在[0，5]上单调递减，在[﹣5，0]上单调递增，故有f（﹣4）＜f（﹣2），故选：D．7．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项和S9等于（）A．45 B．54 C．36 D．63【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=27，∴，解得a1=﹣6，d=3，∴数列{a n}的前9项和S9=9×=54．故选：B．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acosB+bcosA=2ccos2，则A=（）A．B．C．D．【解答】解：∵acosB+bcosA=2ccos2=c（1+cosA），∴由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sinC（1+cosA），∴sin（A+B）=sinC（1+cosA），∴sinC=sinC（1+cosA），由于sinC≠0，约掉sinC可得：cosA=0，由三角形内角的范围可得角A=．9．（5分）若函数f（x）=定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[1，3]D．[﹣3，1]【解答】解：若函数f（x）=定义域为R，则x2﹣（a+1）x+1≥0在R恒成立，∴△=[﹣（a+1）]2﹣4≤0，解得：﹣3≤a≤1，故选：D．10．（5分）如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，H、G、I、J分别为AD、AF、BE、DE的中点，则将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，则异面直线GH与IJ所成的角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，根据题意知，折后的三棱锥为棱长和底面边长都相等的正三棱锥，设棱长为1，且：=；；且，=；∴；∴直线GH与IJ所成的角的大小为．11．（5分）已知实数x，y满足，且z=x+2y的最小值为（）A．﹣4 B．﹣10 C．3 D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由得，即A（﹣4，﹣3），此时z的最小值为z=﹣4﹣3×2=﹣10，故选：B．12．（5分）如果lg3，lg（sinx﹣），lg（1+y）依次构成等差数列，那么（）A．y有最小值为﹣1，最大值为﹣B．y有最大值为1，无最小值C．y无最小值，有最大值为﹣D．y有最小值为﹣1，最大值为1【解答】解：∵lg3，lg（sinx﹣），lg（1+y）依次构成等差数列，∴2lg（sinx﹣）=lg3+lg（1+y），，y＞﹣1．∴=3（1+y），化为y=﹣1，当sinx=1时，y有最大值，无最小值．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数a满足＞0，则a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．【解答】解：＞0，即为a（a+3）＞0，解得a＜﹣3或a＞0，故a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），在一个周期内，当x=时，函数f（x）取得最大值，当x=时，函数f（x）取得最小值﹣，则函数的解析式为f（x）=．【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），在一个周期内，当x=时，函数f（x）取得最大值，当x=时，函数f（x）取得最小值﹣，故有A=，•=﹣，∴ω=4，故有f（x）=，故答案为：f（x）=．15．（5分）已知x＞0，y＞0且满足+≥a2+a恒成立，则实数a的取值范围是[﹣4，3] ．【解答】解：x＞0，y＞0，可得+≥2=12，当且仅当3x=2y，取得最小值12，由+≥a2+a恒成立，可得a2+a≤12，解得﹣4≤a≤3．故答案为：[﹣4，3]．16．（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列四个判断①α∥β，m⊂α，n⊂β⇒则m∥n；②α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n；③正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为定值；④空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E分别是AB、BC的中点，则平面PDE⊥平面ABC．其中正确的是②③．【解答】解：①α∥β，m⊂α，n⊂β，m，n共面，则m∥n，故不正确；②α⊥β，在α内作交线的垂线a，则a⊥β，∵n⊥β，∴a∥n，m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故正确；③取BC中点N，则ON⊥平面BCC1D1，B1N为OP在平面BCC1D1上的射影，在正方形BCC1D1中，CM=BN，BC=BB1，∴Rt△B1BN≌Rt△BCM，∴BM⊥B1N由三垂线定理可知BM⊥OP，则直线BM与OP所成的角为定值，故正确；④空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等，D、E分别是AB、BC的中点，P在平面ABC中的射影是底面的中心，则平面PDE⊥平面ABC，不正确．所以正确的是②③．故答案为：②③．三、解答题（共6小题，70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=，△ABC的面积为，求三角形△ABC的周长．【解答】解：（1）∵bcosA=asinB，由正弦定理可得：sinBcosA﹣sinAsinB=0，∵sinB＞0，∴cosA﹣sinA=0，∴tanA=，又A∈（0，π），∴A=．（2）∵S=sinA=bc=，∴bc=4．△ABC又a2=b2+c2﹣2bccosA，即13=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，把bc=4代入可得：b+c=5，又，则△ABC的周长为5+．18．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+（b+6）x﹣a+ab，且不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，3）．（1）求a，b的值；（2）试问：c为何值时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集为（﹣2，3），∴﹣2，3是方程ax2+（b+6）x﹣a+ab=0的两根，即，…3分且a＜0；解得a=﹣1，b=﹣5；…6分（2）由题意可得，要使﹣x2﹣5x+c≤0的解集为R，即x2+5x﹣c≥0对x∈R恒成立，则只需△≤0，…9分即25+4c≤0，解得c≤﹣；∴当c≤﹣时，不等式ax2+bx+c≤0的解集为R．…12分．19．（12分）某农户种植甲、乙两种有机蔬菜，已知种植每吨甲种有机蔬菜需要用A原料3吨，B原料2吨；种植每吨乙种有机蔬菜需要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲种有机蔬菜可获得利润为5万元，销售每吨乙种有机蔬菜可获得利润为3万元元，该农户在一个种植周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该农户可获得最大利润是多少？【解答】解：设种植甲种有机蔬菜x吨，乙种有机蔬菜y吨，利润为z，则有z=5x+3y，且x，y满足，如图所示作出可行域后，求出可行域边界上各端点的坐标．由，解得，分析可知当直线y=经过点（3，4），即种植甲种有机蔬菜3吨，乙种有机蔬菜4吨时，可获得最大利润为27万元．20．（12分）（1）已知x＞，求y=+2x﹣1的最小值；（2）已知m，n＞0，且+=1，求t=m+n的最小值．【解答】解：（1）y=+2x﹣1=+（2x﹣3）+2，又x＞，可得2x﹣3＞0，由基本不等式可得y=+（2x﹣3）+2≥2+2=2+2=4，当且仅当=2x﹣3时等号成立，即当x=2时y有最小值4；（2）由+=1，可得t=m+n=+5，又m，n＞0，由基本不等式可得t=+5=9，当且仅当时等号成立，又+=1，当m=3，n=6时t有最小值9．21．（12分）如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=1，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD，如图（2）．（Ⅰ）求证：AP∥平面EFG；（Ⅱ）求证：平面PAD⊥平面EFG；（Ⅲ）求三棱锥C﹣EFG的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵E、F分别是PC、PD的中点，∴EF∥CD∥AB，又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．同理，EG∥平面PAB，∵EF∩EG=E，∴∴平面EFG∥平面PAB，又AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG…4分（Ⅱ）证明：∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D，∴CD⊥平面PAD，又E、F分别是PC、PD的中点的中点∴EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，又EF⊂平面EFG，则平面PAD⊥平面EFG…8分（3）解：=…12分．22．（12分）在等比数列{a n}中，已知a1=4且公比q≠1，等差数列{b n}中，b2=a1，b4=a2，b8=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=log+log+…+log﹣n，设数列{}的前n项和为T n，证明1≤T n＜2．【解答】解：（1）设等差数列{b n}的公差为d，由题意可得，解得b1=d=q=2，…2分所以，b n=2+（n﹣1）•2=2n；…4分（2）证明：由（1）得，，则，…7分∴，…10分所以T n是关于n的单调递增函数，则当n取得最小值1时，T n有最小值1，无最大值．又T n＜2，所以1≤T n＜2 …12分．。
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2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置1．（5分）不等式x（1﹣2x）＞0的解集（）A．{x|0}B．{x|x}C．{x|x或x＜0}D．{x|x＜0或0＜x}2．（5分）已知x＞3，则的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．73．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB等于（）A．B．C．D．6．（5分）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2 D．47．（5分）数列{a n}满足a n=，若a1=，则a2016=（）A．B．C．D．8．（5分）△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．9．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点A在平面α内，点E 是底面ABCD的中心．若C1E⊥平面α，则△C1AB在平面α内的射影的面积为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）在等差数列{a n}中，a4=﹣2，且a l+a2+…+a10=65，则公差d的值是．14．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．15．（5分）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）三、解答题本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f（x）=x2+ax+6．（1）当a=5时，解不等式f（x）＜0；（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．18．（12分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足•tanB﹣tanA﹣tanB=．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若c=2，求a2+b2的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}为等差数列，数列{b n}满足b n=a n+n，若b2，b5，b11成等比数列，且b3=a6．（1）求a n，b n；（2）求数列{}的前n项和S n．20．（12分）如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．（1）求证：PC⊥AE；（2）求证：CE∥平面PAB；（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．22．（12分）如图，多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，四边形BDEF是正方形．（1）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值；（2）求直线AF与平面ECF所成角的正弦值；（3）在线段EC上是否存在点P，使得AP⊥平面CEF，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年湖北省武汉市部分重点中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上相应位置1．（5分）不等式x（1﹣2x）＞0的解集（）A．{x|0}B．{x|x}C．{x|x或x＜0}D．{x|x＜0或0＜x}【解答】解：不等式x（1﹣2x）＞0变为：x（2x﹣1）＜0，解得，，则不等式的解集为{x|}故选：A．2．（5分）已知x＞3，则的最小值为（）A．2 B．4 C．5 D．7【解答】解：x＞3，则=≥=7．当且仅当x=5时等号成立．故选：D．3．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C．4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．20πB．25πC．50πD．200π【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S=4π×R2=50π．球故选：C．5．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB等于（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选：B．6．（5分）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°﹣A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．7．（5分）数列{a n}满足a n=，若a1=，则a2016=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，a n=，且a1=，则a2=2×=，依次求得a3=，a4=，a5=，…，所以数列{a n}的周期是4，则a 2016=a4×504=，故选：D．8．（5分）△ABC是边长为1的正三角形，那么△ABC的斜二测平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：正三角形ABC的边长为1，故面积为，而原图和直观图面积之间的关系=，故直观图△A′B′C′的面积为×=故选：D．9．（5分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选：A．10．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．11．（5分）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选：B．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点A在平面α内，点E 是底面ABCD的中心．若C1E⊥平面α，则△C1AB在平面α内的射影的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵若C1E⊥平面α，∴△C1AB在平面α内的射影与△EAB在平面α内的射影相同，∴平面ABCD与平面α相交所成的二面角的余弦值为==，△EAB的面积S=××=，设△C1AB在平面α内的射影的面积为S′，又=，∴S′=．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）在等差数列{a n}中，a4=﹣2，且a l+a2+…+a10=65，则公差d的值是．【解答】解：在等差数列{a n}中，a4=﹣2，且a l+a2+…+a10=65，∴a1+3d=﹣2，10a1+d=65，解得d=．故答案为：．14．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：15．（5分）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．故答案为：．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是①③④．（写出所有真命题的编号）【解答】解：①∵BC1∥平面ACD1，∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确．③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以正确．④∵空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以正确．故答案为：①③④三、解答题本大题共6小题，共70分。