高三数学第一轮复习：函数的定义域值域.ppt
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高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 1 第2课时 函数的定义域与值域
第二章 §2.1 函数的概念及其表示
大一轮复习讲义
题型一 函数的定义域
1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋x－1 2 的定义域为
A.(0,4)
B.[0,2)∪(2,4]
√C.(0,2)∪(2,4)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 要使函数有意义， 4x－x2>0，
则x－2≠0， 解得0<x<4且x≠2.
师生共研
(2)y＝2xx－＋31；
解 (分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋x－7 3， 显然x－7 3≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)y＝2x－ x－1；
解 (换元法)设 t＝ x－1，则 x＝t2＋1，且 t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数 的值域为185，＋∞.
3.若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝ f2x 的定义域为_[_0_,_3_) _. 8－2x
解析 依题意有08≤－22xx>≤0，8， 解得0≤x<3， ∴g(x)的定义域为[0,3).
思维升华
(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合， 求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式 (组)的解集即可. (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等 式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b] 上的值域.
2
∴xx－ －11>≤02，， 解得1<x≤3.
大一轮复习讲义
题型一 函数的定义域
1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋x－1 2 的定义域为
A.(0,4)
B.[0,2)∪(2,4]
√C.(0,2)∪(2,4)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 要使函数有意义， 4x－x2>0，
则x－2≠0， 解得0<x<4且x≠2.
师生共研
(2)y＝2xx－＋31；
解 (分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋x－7 3， 显然x－7 3≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)y＝2x－ x－1；
解 (换元法)设 t＝ x－1，则 x＝t2＋1，且 t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数 的值域为185，＋∞.
3.若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝ f2x 的定义域为_[_0_,_3_) _. 8－2x
解析 依题意有08≤－22xx>≤0，8， 解得0≤x<3， ∴g(x)的定义域为[0,3).
思维升华
(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合， 求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式 (组)的解集即可. (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等 式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b] 上的值域.
2
∴xx－ －11>≤02，， 解得1<x≤3.
【优化方案】高考数学一轮复习 第2章第二节 函数的定义域、值域和最值课件 文 苏教
(5)令 x＝ 5sinθ(－π2≤θ≤π2)，
得 y＝ 5sinθ＋ 5－ 5sinθ2 ＝ 5sinθ＋ 5cosθ＝ 10sin(θ＋π4)． ∵－π2≤θ≤π2，∴－π4≤θ＋π4≤34π.
于是－ 22≤sin(θ＋π4)≤1， 则－ 5≤ 10sin(θ＋π4)≤ 10， 即－ 5≤y≤ 10. ∴所求值域为[－ 5， 10]．
解析：分别画出三个函数 y＝－x＋3，y＝32x＋12， y＝x2－4x＋3 的图象(如图)，得到三个交点 A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．
从图象观察可得函数 f(x)的表达式：
x2－4x＋3x≤0， －x＋30＜x≤1，
f(x)＝
32x＋211＜x≤5， x2－4x＋3x＞5.
f(x)的 图 象 是
∴f(x)的值域为[－52，－2]∪[－32，32]．
【名师点评】 求某个函数的最值或值域时，首 先要仔细、认真地观察其解析式的特征，然后再 选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数的 单调性法．
互动探究4 例4条件不变，设函数g(x)＝ax－2， x∈[－2，2]，若对于任意的x1∈[－2,2]，总存 在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求实数a 的取值范围．
3．函数值域的主要求法 (1)利用函数的单调性 若y＝f(x)是[a，b]上的单调增(减)函数，则f(a)、 f(b)分别是f(x)在区间[a，b]上的最_小__(_大__)值， 最_大__(_小__) 值． (2)利用配方法
将函数配成一个完全平方式与一个常量和形式， 用此种方法，特别要注意对于x在定义域内的 值是否能使完全平方式取得__零__．__
第二节 函数的定义域、值域和最值
第
二
节
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：2.2函数的定义域、值域
§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
2019/4/12
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
2019/4/12
考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
2019/4/12
⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
2019/4/12
②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
高考数学一轮复习函数性质的综合应用-教学课件
时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于( )
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 (2)设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值
为
.
(3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减
函数,若 f(a)≥f(2),3;1=2-x 得 x= 1 . 2
由图象可以看出,
当 x= 1 时,f(x)取到最小值 3 .
2
2
答案:(1) 1 +2 1 + 1 (2)1 (3) 3
a a2
2
反思归纳 (1)求函数值域与最值的常用方法:
①先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.
②图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低 点,求出最值. ③配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方 法求解. ④换元法:对较复杂的函数可通过换元法转化为熟悉的函数,再用 相应的方法求值域或最值. ⑤基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等” 的条件后,再用基本不等式求出最值. ⑥导数法:先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,
2
4
4
(D) 1 2
(2)(2013 年高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若
实数 a 满足 f(log2a)+f( log 1 a)≤2f(1),则 a 的
2
取值范围是( )
(A)[1,2] (B)(0, 1 ](C)[ 1 ,2](D)(0,2]
3.函数 f(x)= 1 的最大值是( D )
1 x 1 x
(A) 4 5
高三数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值课件理
条件 (1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论 M为函数y=f(x)的⑦ 最大值
M为函数y=f(x)的⑧ 最小值
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y= 1x 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (×)
1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y= 1
x
D.y=-x2+4
答案 A y=3-x在R上递减,y= 1 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递
x
减,故选A.
2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则 ( )
A.m> 1
2
C.m>- 1
a
2即 0
,
a
2,
f ( 1 ) 0 , a 2 1 0 ,
解得2<a≤3,
即实数a的取值范围是(2,3].
方法技巧 函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等 式、求参数的范围等. (1)利用函数单调性比较两个函数值的大小 若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2);若f(x) 在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2).若给定 的两个自变量在同一单调区间上,可直接比较其函数值的大小,否则,要 先根据奇偶性或周期性把它们转化到同一单调区间上,再利用单调性比 较其函数值的大小. (2)利用函数单调性解函数不等式 解函数不等式的关键是利用函数的单调性脱去函数符号“f ”,变函数 不等式为一般不等式.去掉“f ”时,要注意f(x)的定义域的限制.
高考数学一轮复习第二章基本初等函数导数的应用第2讲函数的定义域与值域课件文
所以12≤x<1，故函数 g(x)的定义域为12，1.
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意 义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． (2)已知 f(x)的定义域是[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围，而已知 f[g(x)]的定义域是 [a，b]，指的是 x∈[a，b]．
2．已知函数 f(x)的定义域是[0，2]，则函数 g(x)＝fx＋12＋ fx－12的定义域是__12_，__32___．
[解析] 因为函数 f(x)的定义域是[0，2]，
所以函数 g(x)＝fx＋12＋fx－12中的自变量 x 需要满足
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
F(x)＝f(x)＋f（1x）的
[解析] 令 t＝f(x)，则12≤t≤3.
易知函数 g(t)＝t＋1t 在区间12，1上是减函数，在(1，3]上是
增函数．
又因为 g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝130.
可知函数 F(x)＝f(x)＋f（1x）的值域为2，130.
3．已知函数 f( x＋2)＝x＋ 2 x，则函数 f(x)的值域为 _[0_，__＋__∞__)__． [解析] 令 2＋ x＝t，则 x＝(t－2)2(t≥2)． 所以 f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)． 所以 f(x)＝x2－2x(x≥2)． 所以 f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即 f(x)的值域为[0，＋∞)．
2．已知等腰△ABC 的周长为 10，底边长 y 关于腰长 x 的函 数关系为 y＝10－2x，则函数的定义域为___x_|_52_<_x_<_5_______．
[解析] 由题意知x21>x0－ >0，120x－>20， x，即52<x<5.
(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意 义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集． (2)已知 f(x)的定义域是[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，是指满足 a≤g(x)≤b 的 x 的取值范围，而已知 f[g(x)]的定义域是 [a，b]，指的是 x∈[a，b]．
2．已知函数 f(x)的定义域是[0，2]，则函数 g(x)＝fx＋12＋ fx－12的定义域是__12_，__32___．
[解析] 因为函数 f(x)的定义域是[0，2]，
所以函数 g(x)＝fx＋12＋fx－12中的自变量 x 需要满足
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
F(x)＝f(x)＋f（1x）的
[解析] 令 t＝f(x)，则12≤t≤3.
易知函数 g(t)＝t＋1t 在区间12，1上是减函数，在(1，3]上是
增函数．
又因为 g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝130.
可知函数 F(x)＝f(x)＋f（1x）的值域为2，130.
3．已知函数 f( x＋2)＝x＋ 2 x，则函数 f(x)的值域为 _[0_，__＋__∞__)__． [解析] 令 2＋ x＝t，则 x＝(t－2)2(t≥2)． 所以 f(t)＝(t－2)2＋2(t－2)＝t2－2t(t≥2)． 所以 f(x)＝x2－2x(x≥2)． 所以 f(x)＝(x－1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即 f(x)的值域为[0，＋∞)．
2．已知等腰△ABC 的周长为 10，底边长 y 关于腰长 x 的函 数关系为 y＝10－2x，则函数的定义域为___x_|_52_<_x_<_5_______．
[解析] 由题意知x21>x0－ >0，120x－>20， x，即52<x<5.
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
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1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
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函数的定义域、值域（最大、最小值）
例 1 已知函数 f ?x?定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) f (x2 ) ? 23 ;
(2) y ?
f (x2 ) ? 1
log 1 (2 ? x)
2
分析：x 的函数 f(x 2 )是由 u=x 2 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函 数，其中 x 是自变量，u 是中间变量 由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1) 为已知 0＜u＜2，即 0＜x 2 ＜2 求 x 的取值范围
又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ? ( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ，
∴ 0 ? ? ? 4 ，故 ? ? [0,2] ，
∴ y ? ? x2 ? 6x ? 5 的值域为 [0,2]
（3）（法一）反函数法：
y ? 3x ? 1 的反函数为 y ? 2x ? 1 ，其定义域为{x ? R | x ? 3}，
x? 2
x? 3
∴原函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
（法二）分离变量法： y ? 3x ? 1 ? 3(x ? 2) ? 7 ? 3 ? 7 ，
x? 2
x? 2
x? 2
∵ 7 ? 0 ，∴ 3 ? 7 ? 3 ，
x? 2
x? 2
∴函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
1? sin x 2 ? cos x
解：（1）（配方法）Q y ? 3x2 ? x ? 2 ? 3(x ? 1 )2 ? 23 ? 23 ， 6 12 12
∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ 23 , ?? ) 12
改题： 求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 ， x? [1,3]的值域
新疆 源头学子小屋 特级教师
王新敞 新疆 源头学子小屋
特级教师
特级教师
王新敞
王新敞
例 2 已知函数
f (x) ? 1? x 的定义域为 A，函数 y ? 1? x
f ?? f ?x??? 的定义
域为 B ，则
( A) AU B ? B (B) A? B (C ) A? B (D) AI B ? B
解： A ? ?x | x ? 1?， y ? f [ f (x)] ? f (1? x) ? f (?1? 2 ) ? ? 1 ，
1? x
1? x x
令 ?1?
2
? 1且 x ? 1，故 B ? ?x | x ? 1?I ?x | x ? 0?新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 新疆 源头学子小屋 特级教师
（5）三角换元法：
∵1 ? x2 ? 0 ? ? 1 ? x ? 1 ，∴设 x ? cos? ,? ? [0,? ] ，
则 y ? cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ? )
4
∵?
?
[0,? ] ，∴?
?
?
?
?
[
, 5?
] ，∴ sin(?
解：(1)由 0＜x 2 ＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出 f(x)的解析式，
由 f(x)的定义域求函数 f[g(x)]的定义域 关键在于理解复合函数的意义， 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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用好换元法 (2)是二种类型的综合 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 新疆 源头学子小屋
∴y?1
即函数的值域是 { y| y? R 且 y? 1}（此法亦称 分离常数法 ）王新敞
④当 x>0，∴ y ? x ? 1 = ( x ? 1 )2 ? 2 ? 2 ，
x
x
当 x<0 时， y ? ? (? x ? 1 ) =－ ( ? x ?
1
) ? 2 ? ?2 2 新疆 王新敞 奎屯
?x
王新敞
1? x
∴ B? A?
AI
B?
B ,故选取
D
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特级教师 王新敞 新疆 源头学子小屋 特级教师
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例 3 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 ? x ? 1)
② f (x) ? 2 ? 4 ? x
③y? x x?1
1 新疆
王新敞
④ y ? x ? 奎屯 x
解：①∵ -1 ? x ? 1，∴-3 ? 3x ? 3，
∴-1 ? 3x+2 ? 5，即-1 ? y ? 5，∴值域是 [-1，5]
②∵ 4 ? x ? [0,?? )
∴ f (x) ? [2,?? ) 王新敞
即函数 f (x) ? 2 ?
4 ? x 的值域是
{ y| y ? 2} 王新敞
③ y ? x ? x?1?1 ? 1? 1
x?1 x?1
x?1
∵ 1 ?0 x?1
（4）换元法（代数换元法）：设 t ? 1 ? x ? 0 ，则 x ? 1 ? t 2 ，
∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ? (t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ，∴ y ? 5 ，
∴原函数值域为 (?? ,5]
说明：总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域，变形：y ? ax2 ? b ? cx2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d
解：（利用函数的单调性 ）函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3]上单调增，
∴当 x ? 1 时，原函数有最小值为 4 ；当 x ? 3 时，原函数有最大值为 26
∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 ， x ? [1,3]的值域为 [4,26]
（2）求复合函数 的值域：
设 ? ? ? x2 ? 6x ? 5 （ ? ? 0 ），则原函数可化为 y ? ?
?x
∴值域是 (?? ,?2] ? [2，+ ? ) （此法也称为 配方法）
函数 y ? x ? 1 的图像为： x
∴值域是 (?? ,?2] ? [2，+ ? )
y
2 -1 o
1 f?x? = x+ x
1
x
-2
例 4 求下列函数的值域：
（1） y ? 3x2 ? x ? 2 ； （2）y ?
? x2 ? 6x ? 5 ；
（3Hale Waihona Puke y ? 3x ? 1 ； x? 2
（4）y ? x ? 4 1 ? x ； （5）y ? x ? 1? x2 ； （6）y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |；
（7）y ?
2x2 ? x ? 2 ； x2 ? x ? 1
（8）y ?
2x2 ? x ? 1 (x ? 2x ? 1
1 ) ；（9）y ? 2
例 1 已知函数 f ?x?定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) f (x2 ) ? 23 ;
(2) y ?
f (x2 ) ? 1
log 1 (2 ? x)
2
分析：x 的函数 f(x 2 )是由 u=x 2 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函 数，其中 x 是自变量，u 是中间变量 由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1) 为已知 0＜u＜2，即 0＜x 2 ＜2 求 x 的取值范围
又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ? ( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ，
∴ 0 ? ? ? 4 ，故 ? ? [0,2] ，
∴ y ? ? x2 ? 6x ? 5 的值域为 [0,2]
（3）（法一）反函数法：
y ? 3x ? 1 的反函数为 y ? 2x ? 1 ，其定义域为{x ? R | x ? 3}，
x? 2
x? 3
∴原函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
（法二）分离变量法： y ? 3x ? 1 ? 3(x ? 2) ? 7 ? 3 ? 7 ，
x? 2
x? 2
x? 2
∵ 7 ? 0 ，∴ 3 ? 7 ? 3 ，
x? 2
x? 2
∴函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
1? sin x 2 ? cos x
解：（1）（配方法）Q y ? 3x2 ? x ? 2 ? 3(x ? 1 )2 ? 23 ? 23 ， 6 12 12
∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ 23 , ?? ) 12
改题： 求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 ， x? [1,3]的值域
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王新敞
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例 2 已知函数
f (x) ? 1? x 的定义域为 A，函数 y ? 1? x
f ?? f ?x??? 的定义
域为 B ，则
( A) AU B ? B (B) A? B (C ) A? B (D) AI B ? B
解： A ? ?x | x ? 1?， y ? f [ f (x)] ? f (1? x) ? f (?1? 2 ) ? ? 1 ，
1? x
1? x x
令 ?1?
2
? 1且 x ? 1，故 B ? ?x | x ? 1?I ?x | x ? 0?新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 新疆 源头学子小屋 特级教师
（5）三角换元法：
∵1 ? x2 ? 0 ? ? 1 ? x ? 1 ，∴设 x ? cos? ,? ? [0,? ] ，
则 y ? cos? ? sin ? ? 2 sin(? ? ? )
4
∵?
?
[0,? ] ，∴?
?
?
?
?
[
, 5?
] ，∴ sin(?
解：(1)由 0＜x 2 ＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出 f(x)的解析式，
由 f(x)的定义域求函数 f[g(x)]的定义域 关键在于理解复合函数的意义， 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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用好换元法 (2)是二种类型的综合 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 新疆 源头学子小屋
∴y?1
即函数的值域是 { y| y? R 且 y? 1}（此法亦称 分离常数法 ）王新敞
④当 x>0，∴ y ? x ? 1 = ( x ? 1 )2 ? 2 ? 2 ，
x
x
当 x<0 时， y ? ? (? x ? 1 ) =－ ( ? x ?
1
) ? 2 ? ?2 2 新疆 王新敞 奎屯
?x
王新敞
1? x
∴ B? A?
AI
B?
B ,故选取
D
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例 3 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 ? x ? 1)
② f (x) ? 2 ? 4 ? x
③y? x x?1
1 新疆
王新敞
④ y ? x ? 奎屯 x
解：①∵ -1 ? x ? 1，∴-3 ? 3x ? 3，
∴-1 ? 3x+2 ? 5，即-1 ? y ? 5，∴值域是 [-1，5]
②∵ 4 ? x ? [0,?? )
∴ f (x) ? [2,?? ) 王新敞
即函数 f (x) ? 2 ?
4 ? x 的值域是
{ y| y ? 2} 王新敞
③ y ? x ? x?1?1 ? 1? 1
x?1 x?1
x?1
∵ 1 ?0 x?1
（4）换元法（代数换元法）：设 t ? 1 ? x ? 0 ，则 x ? 1 ? t 2 ，
∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ? (t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ，∴ y ? 5 ，
∴原函数值域为 (?? ,5]
说明：总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域，变形：y ? ax2 ? b ? cx2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d
解：（利用函数的单调性 ）函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3]上单调增，
∴当 x ? 1 时，原函数有最小值为 4 ；当 x ? 3 时，原函数有最大值为 26
∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 ， x ? [1,3]的值域为 [4,26]
（2）求复合函数 的值域：
设 ? ? ? x2 ? 6x ? 5 （ ? ? 0 ），则原函数可化为 y ? ?
?x
∴值域是 (?? ,?2] ? [2，+ ? ) （此法也称为 配方法）
函数 y ? x ? 1 的图像为： x
∴值域是 (?? ,?2] ? [2，+ ? )
y
2 -1 o
1 f?x? = x+ x
1
x
-2
例 4 求下列函数的值域：
（1） y ? 3x2 ? x ? 2 ； （2）y ?
? x2 ? 6x ? 5 ；
（3Hale Waihona Puke y ? 3x ? 1 ； x? 2
（4）y ? x ? 4 1 ? x ； （5）y ? x ? 1? x2 ； （6）y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |；
（7）y ?
2x2 ? x ? 2 ； x2 ? x ? 1
（8）y ?
2x2 ? x ? 1 (x ? 2x ? 1
1 ) ；（9）y ? 2