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圆的知识点总结及典型例题

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理图1图3rR dA图2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

圆知识点总结及典型例题.docx圆知识点总结及典型例题

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒d r <⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒d r =⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒d r >⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒d r >⇒无交点；2、直线与圆相切 ⇒d r =⇒有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒d r <⇒有两个交点；A四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点 ⇒d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

圆的知识点总结及典型例题.docx圆的知识点总结及典型例题精编版

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+；外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒d R r =+；相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒d R r =-；A内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

初三数学圆知识点总结与典型习题精练

圆一）【圆的定义及与圆相关的定义】在一个平面内，一条线段OA 绕着它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心这个线段O A 叫做半径，以点O 为圆心的作，读作“圆O ”。

圆是轴对称图形，任何一条过圆心的是它的对称轴。

例1.如图，将半径为1的圆的边上的A 点与数轴的原点重合，然后沿着数滚动，滚动一点A ′，则点A ′表示的数为_____．弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示。

二）【圆的确定】三）【垂径定理及其应用】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等2.对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（直径）；（4）平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧，简记为“知二推三”。

3.在垂径定理的运用中，常涉及弦长a 、弦心距d （圆心到弦的距离）、半径r 及弓形高h （弦 2=d 2+(a/2)2，r=d+h 。

所对的弧的中点到弦中点的距离）这四者的关系，它们的关系为r例2：如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=_____: 例3：如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为()A.6.5米B.9米C.13米D.15米例4：等腰△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，底边BC=8cm ，⊙O 半径为5cm ，求S△ABC ．分为两种情况：如图1，当O 在△ABC 外部时，连接AO ，交BC 于D ，连接OB ，∵⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，1 2∴AO ⊥BC ，BD=CD=×8cm=4cm ， 22 在Rt △OBD 中，由勾股定理得：OD=543（cm ），∴AD=AO-OD=5cm-3cm=2cm ，1 2 ∴S △ABC=×BC ×AD= 1 2 ×8cm ×2cm=8cm 2；如图2，当O 在△ABC 内部时，连接AO ，交BC 于D ，连接OB ，∵AD=AO+OD=5cm+3cm=8cm ，1 2 ∴S △ABC=×BC ×AD= 1 2×8cm ×8cm=32cm 2四）【弧、弦、圆心角之间的关系】1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

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二、点与圆的位置关系1、点在圆内点在圆内；⇒d r <⇒C2、点在圆上点在圆上；⇒d r =⇒B3、点在圆外点在圆外；⇒d r >⇒A 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；⇒d r >⇒⇒d r =⇒3、直线与圆相交有两个交点；⇒d r <⇒四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点；外切（图2）有一个交点⇒⇒d R r >+⇒⇒；d R r =+相交（图3）有两个交点；内切（图4）有一个交点⇒⇒R r d R r -<<+⇒⇒；d R r =-A内含（图5）无交点；⇒⇒d R r <-五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧AB AB CD ⊥CE DE =BC =BD AC =AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

圆的知识点总结和典型例题

圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。

2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。

3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。

4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

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3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。

垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。

5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆的知识点总结及典型例题

圆的知识点总结及典型例题《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：至0角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系厂、1、点在圆内 d rA「点C在圆内;2、点在圆上 d r B : ' 点B在圆上;3、点在圆外 d r T TV点A在圆外;五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr 有一个交点；3、直线与圆相交无交点；2、直线与圆相切外切（图相交（图3）有一个交点d R r ；内切（图4）有两个交点;d r有两个交点R r d R r ；(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径弧AC 弧AD②AB CD ③CE DE ④弧BC 弧BD ⑤ 中任意2个条件推出其他3个结论推论2：圆的两条平行弦相等。

即: 在O O 中，・••弧AC 弧BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

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- 1 - 《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内  dr  点C在圆内； 2、点在圆上  dr  点B在圆上； 3、点在圆外  dr  点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离  dr  无交点；2、直线与圆相切  dr  有一个交点； 3、直线与圆相交  dr  有两个交点；

四、圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点  dRr；外切（图2） 有一个交点  dRr；相交（图3） 有两个交点  RrdRr；内切（图4） 有一个交点  dRr；内含（图5） 无交点  dRr；

drd=r

图1rR

图3rR

rddC

图2rR

d - 2 -

五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD 六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOBDOE；②ABDE； ③OCOF；④ 弧BA弧BD

七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴2AOBACB 2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角 ∴CD 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵90C ∴90C ∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB

OEDC

AOCDAB

FEDCB

CBAO

BAO

CBAO

CBAO - 3 -

∴△ABC是直角三角形或90C 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在⊙O中， ∵四边形ABCD是内接四边形 ∴180CBAD 180BD DAEC 九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB PO平分BPA

十一、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PAPBPCPD （2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

即：在⊙O中，∵直径ABCD，∴2CEAEBE

EDC

NMA

PBAOPO

CBA

DECB

AO - 4 -

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ 2PAPCPB （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE 十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12OO垂直平分AB。

即：∵⊙1O、⊙2O相交于A、B两点 ∴12OO垂直平分AB 十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12RtOOC中，22221122ABCOOOCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：::1:3:2ODBDOB；

（2）正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，::1:1:2OEAEOA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，::1:3:2ABOBOA. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：180nRl；（2）扇形面积公式： 213602nRSlR n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积

BAO1O2

CO2O1

DCBAO

ECB

ADO

SlB

AO - 5 -

2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图 2SSS侧表底=222rhr （2）圆柱的体积：2Vrh （2）圆锥侧面展开图（1）SSS侧表底=2Rrr

（2）圆锥的体积：213Vrh 典型例题例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

例2．如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．例3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）例4．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？•为什么？∠AOB与∠COD呢？

OBACEDF

母线长底面圆周长C1D1DCB

B1RrCBA