高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
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中职双曲线的定义及标准方程PPT课件
(二次项系数为正,焦整点理版课在件 相应的轴上)
11
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义
方程
焦点
a.b.c 的关 系
椭圆
双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
by22
1(ab0)
x2 a2
by22
1(a0,b0)
y2 a2
x2 b2
1(ab0)
y2 a2
bx22
1(a0,b0)
F（±c，0） F（±c，0） F（0，±c） F（0，±c）
a>b>0，
a>0，b>0，但a不 一定大于b，
a2=b2+c整2理版课件
c2=a2+b2
12
1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双 曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等 于6，则 x2 y2 1 (1)双曲线的标准方程为__9____1_6_______
5.化简
整理版课件
9
y
M 代数式化简得：
F1 O F2
x (c2 a 2 )x2 a 2y2 a 2(c2 a 2 )
可令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
即:a x2 2b y22 （ 1a0,b0)
其中c2=整a理2版+课b件 2
此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程
(2)双曲线上一点Ｐ， |ＰF1|=10,则|Ｐ
F2|=__4_或__1_6___
整理版课件
13
2.如果方程x2 y2 1表示双曲线, 2m m1
求m的取值范围.
变式一: 方程 x2 y2 1 表示双曲线时，则
双曲线-完整版PPT课件可编辑全文
∴x－32a2＋y2＝a22.
①
又 P 点在双曲线上，得ax22－by22＝1.
②
由①，②消去 y，得
(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0.
当 x＝a 时，P 与 A 重合，不符合题意，舍去．
当 x＝2aa32－＋abb2 2时，满足题意的 P 点存在， 需 x＝2aa32－＋abb2 2＞a， 化简得 a2＞2b2， 即 3a2＞2c2，ac＜ 26. 又 e＞1，∴离心率 e＝ac∈1， 26.
考向三 [149] 双曲线的几何性质
(1)(2014·天津高考)已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个
焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
A.x52－2y02 ＝1
B.2x02 －y52＝1
C.32x52－130y02 ＝1
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0， b>0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
对称轴： 坐标轴
对称性
对称中心： 原点
y≤－a或y≥a 对称轴： 坐标轴 对称中心： 原点
性 顶点 顶点坐标：
顶点坐标：
质
A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1 (0，－a，) A2 (0，a)
————————— [1 个对点练] ——————— 过点2，12能作几条与双曲线x42－y2＝1 有一个公共点的 直线．
【解】 (1)当斜率不存在时，直线方程为 x＝2，显然符 合题意．
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
中职数学 拓展模块 第2章 椭圆、双曲线和抛物线
(1)6x2 10 y2 60; (2) x2 y2 1; 16 9
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
(3) x2 y2 1. 95
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）长轴长为20，离心率为 3/5 ； （2）a=4，b=1，焦点在y轴上. 3.方程x2+2y2－2x+12y+15=0表示的图形是不是椭圆？如果 是，求出它的对称中心坐标、对称轴方程以及离心率.
9 16 y2 x2 (4) 1; 93 (5) y2 x2 1. 9 16
2.2 双曲线
练一练
2.求下列双曲线的标准方程：
（1）以椭圆 x2 y2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点；
8
（2）过点(3,9
5
2)且
c
10 ;
a3
（3）经过点(3,2 7) 和(6 2,7).
2.2 双曲线
2.2.2 双曲线的性质
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第2章 椭圆、双曲线和抛物线
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线的定义与标准方程
在画板上选取两定点F1，F2，将拉 链（拉链的两边等长）拉开一段，其中 一边固定在F1处，在另一边上截取一段A F2（并使A F2小于F1，F2之间的距离）， 而后固定在F2处，把笔尖放在拉链口处 （即点M处），于是随着拉链的逐渐打 开或闭拢，笔尖就徐徐画出一条曲线； 同理，将拉链的两边交换位置，可画出 另外一支曲线，如图2-6所示.
可得椭圆的标准方程为 （2-1）
2.1 椭圆
我们把方程（2-1）叫作椭圆的标准方程 .它 表示椭圆的焦点在x轴上，且焦点为F1（-c，0）， F2（c，0），其中c>0，
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解：把方程化为标准方程 y2 x2 1 16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线 x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
例2
已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5 4
，
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
高教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件1
y
因为|MF1|=
， |MF2|=
所以
(x c)2 y2
类比建立椭圆标准方程的化简过程，
化简①，得(c2(-xa2)x22-)a22y2=ya22(c2-a2),
，
F1(-c,0) O
M
x F2 (c,0)
两边同除以(c2-a2），得
(x 2)2 y2 (x 2)2 y2 2a ①
x2
y2
a2 + b2 = 1
（a>b>0）
y2 a2
+
x2 b2
=1
y M
F1 O
(-c,0)
F2 (c,0) x
双曲线 |MF1|-|MF2|=±2a
c>a>0 c2 - a2=b2(b>0)
x2 a2
y2 b2
1
(-c,0)
（a>0, b>0）
y2 a2
x2 b2
1
y
F1 (-c,0)O
M F2 (c,0x)
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
| |MF1|-|MF2| | =2a
或|MF1|-|MF2|=±2a
1. 双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的
差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的
轨迹叫做
双曲线
这两个定点叫做 双曲线的焦点 两个焦点间距离叫做 双曲线的焦距
人教版中职数学(拓展模块)2.2《双曲线》ppt课件2
靠近点F2的一支单曲线.
M
F1
F2
思考2:若a＝0，即|MF1|－|MF2|＝0，则点M的轨迹是什么？
线段F1F2的垂直平分线
M
F1
F2
思考3:若2a＝|F1F2|，即||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
F1
F2
以F1，F2为端点的两条射线
思考4:若||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ 不存在
思考1：双曲线的离心率与其渐近线
的斜率有什么关系？
e
1 (b)2
a
思考2：当离心率e在(1，＋∞)内变化时，它对双曲线的形状产生什么影响？如何用三角 函数知识解释上述现象？
y
思考：双曲线的离心率刻画双曲
线的什么几何特征？
B2
A1 o A2 B1
x
abe 2
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a(２a> |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O F1
双曲线
||M F1|－|M F2||=2a (2a< |F1F2|)
y
F1 O
x
F2
y
F2 x
O
F1
方程
x2 y2 1 a2 b2 (a b 0)
y2 x2
a2 b2
1
x2 y2
a2 b2
练习
2
2
x y 1 所表示的曲线是什么？
9k k 3
理论迁移
例1 已知A、B两地相距800m，在A
地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且
声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹
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解：
x2 y2 1
64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
思考:一个双曲线的渐近线的方程为:y 3 x ,它的
离心率为 5 或 5 .
4
43
练习
(1) ：x2 8 y2 32 的实轴长8 2虚轴长为___4__ 顶点坐标为 4 2,0 ,焦点坐标为_____6_,_0__
a2
(-x,y)
(x,y)
x≥a, x ≤ a
-a o a
x
另外,
x2 a2
y2 b2
0 可知并夹在两
(-x,-y)
(x,-y)
相交直线之间.(如图)
2、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心.
(下一页)顶点
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
，
1
3
3 2 81
设所求双曲线方程为 x2 9
故所求双曲线方程为 x2
y2 0 则 4
4
y2
2即 x2
y92
1 4
1
，解得
2
94
18 8
例3：求下列双曲线的标准方程：
（3）与双曲线 x2 y2 1有相同焦点，且过点 3 2，2 ； 16 4
(下一页)渐近线
4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况
⑴双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 的渐近线为 y
y
b a
x
如何记忆双曲线的渐近线方程？
注:等轴双曲线 x2 y2 m(m 0)
b B2
的渐近线为 y x
A1
o
(2)利用渐近线可以较准确的画出
双曲线的草图
能够生在同一个平面。然而我
们又无缘,漫漫长路无交点.为何
看不见,等式成立要条件。难到
正如书上说的,无限接近不能达
到。为何看不见,明月也有阴晴
圆缺,此事古难全,但愿千里共婵
娟。”
4
一、研究双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
的简单几何性质
1、范围
y
x2 a2
≥
1, 即x 2
≥
B1
(3)渐近线对双曲线的开口的影响 y b x a
A2
ax
y b x a
双曲线上的点与这两
直线有什么位置关系呢?
5、离心率
⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e c ,叫做双曲线的离心率.
⑵ e 的范围: c>a>0 e >1 a
⑶ e 的含义:
b
c2 a2
( c )2 1
离心率为__3___2__
x2 (2) :
4
y2 1
的渐近线方程为：
4
x2 y 2 4的渐近线方程为：
x42 y 2 1的渐近线方程为：
x42 y2 4 的渐近线方程为：
4
y x 2
y x 2
yx 2
y x 2
例3：求下列双曲线的标准方程：
（1）与双曲线 x2 y2 1有相同渐近线，且过点 3，2 3 ；
e2 1
a
a
a
∴当 e (1, ) 时, b (0, ) ,且e 增大, b 也增大.
a
a
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ?2 , 反过来也成立.
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
对称轴：x轴，y轴 对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点 对称中心：原点
（-a,0) (a,0)
(-a,0) (a,0)
(0,b) (0,-b)
实轴：2a
长轴：2a 短轴：2b 虚轴：2b
e = ac ( 0＜e ＜1 )
e=
c a
(e1)
无
y =±
b a
x
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.
9 16
解：1设所求双曲线方程为 x2 y2 0
则
9
12
9
，解得
116
9 16
故所求双曲线方程为
x2
y2
4
1
即 x2
y2
1
9 16 4 9 16
44
22渐渐近近线线方方程程y 为：2 xy可化 为23 xx且 过y 点0
9 2
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1 O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 a2 b2 1 (a 0,b 0 )
y≥a 或 y ≤a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
B. x2 y2 1 12 4
C. x2 y2 1 10 6
D. x2 y2 1 6 10
（4）双曲线与椭圆 x2 y2 1有相同的焦点，它的 16 64
一条渐近线为 y x ，则双曲线的方程为（ ）
A. x2 y2 96
B. y2 x2 160
C. x2 y2 80
解：3焦点为 2 5，0 ，
设所求双曲线方程为 x2 y2 10 m 20
20 m m
则 18 4 1 20 m m
解得m 8或 1（0 舍）
故所求双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
练习:求出下列双曲线的标准方程
（1）顶点间距离为 6，渐近线方程为 y 3 x 2
y2 x2 1
94
x2 4y2 1
9 81
（2）求与双曲线 x2 2 y2 2 有公共渐近线， 且过点 M (2, 2) 的双曲线方程。
y2 x2 1
24
（3）已知双曲线的离心率为 2，焦点是 (4, 0), (4, 0) ，
则双曲线方程为（ ）
A. x2 2(a, 0)
y
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线
b B2
的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
A1 -a o a A2
x
曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.
-b B1
(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
x2 y2 m(m 0)
解：把方程化为标准方程 y2 x2 1 16 9
可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3
焦点坐标为（0，-5）、（0，5）
离心率 e c 5 a4
渐进线方程为 y 4 x 3
例2 已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e
5， 4
焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
4
的双曲线方程是__1_6__y_2__. 9 x2 55
2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点
P( 1,－3 ) 且离心率为 2的双曲线标准方程.
y2 x2 1
88
顶点 离心率 渐进线
A1（- a，0），A2（a，0）
e c (e 1) a
ybx a
A1（0，-a），A2（0，a）
e c (e 1) a
ya x b
9
图象
y
M
F1 0 F2 X
Y F1 0
p F2 X
范围 对称性
顶点
离心率 渐近线
|x|a,|y|≤b
|x| ≥ a，yR
1
复习回顾： 1.定义： 2.双曲线的标准方程:
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
其中 c2 a2 b2
类似于椭圆几何性质的研究. 现在就用方 程来探究一下!
3
• “如果我是双曲线，你就是那渐
近线。如果我是反比例函数,你
就是那坐标轴。虽然我们有缘,
D. y2 x2 24
例 3：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上,
离心率为 2 ,且过点 (4, 10) .
⑴求此双曲线的方程; x2 y2 6
⑵若点 M (3, m) 在此双曲线上, F1 , F2 是双曲线的 焦点,求证: F1M F2M .
课堂练习:
3 1. 过点（1，2），且渐近线为 y x