实验十三 函数(4)
函数的应用实验报告
一、实验目的1. 理解函数的概念及其应用。
2. 掌握函数的基本性质和运算。
3. 应用函数解决实际问题。
4. 提高数学思维能力和解决问题的能力。
二、实验内容本次实验主要围绕以下内容展开：1. 函数的定义及性质2. 常见函数的图像和性质3. 函数的运算4. 函数在实际问题中的应用三、实验步骤1. 函数的定义及性质（1）首先，我们学习了函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，则称这种对应关系f为从集合A到集合B的一个函数，记作f：A→B。
（2）接着，我们探讨了函数的基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
（3）最后，我们分析了函数的图像，了解函数图像与函数性质之间的关系。
2. 常见函数的图像和性质（1）我们学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数的图像和性质。
（2）通过绘制函数图像，我们观察了函数的增减性、对称性、周期性等特征。
（3）我们掌握了如何根据函数图像分析函数性质的方法。
3. 函数的运算（1）我们学习了函数的加法、减法、乘法、除法、复合等基本运算。
（2）通过练习，我们熟练掌握了函数运算的技巧。
（3）我们了解了函数运算在实际问题中的应用。
4. 函数在实际问题中的应用（1）我们学习了如何利用函数解决实际问题，如优化问题、增长率问题等。
（2）通过实例分析，我们掌握了函数在实际问题中的应用方法。
（3）我们提高了运用数学知识解决实际问题的能力。
四、实验结果与分析1. 函数的定义及性质通过实验，我们掌握了函数的定义和基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
同时，我们了解了函数图像与函数性质之间的关系。
2. 常见函数的图像和性质通过绘制函数图像，我们直观地观察了函数的增减性、对称性、周期性等特征。
这有助于我们更好地理解函数的性质。
3. 函数的运算通过练习，我们熟练掌握了函数的加法、减法、乘法、除法、复合等基本运算。
实验3(函数)
实验三 函数 一、实验目的（1）、学习函数的声明与定义（2）、函数的调用（3）、了解函数的调用过程（4）、理解函数参数传递机制（5）、掌握函数重载、参数带有缺省值、内联函数定义、调用和工作机制（6）、体会函数重载、参数带有缺省值、内联函数作用 二、实验内容及步骤1、 区分函数定义与声明？2、 函数调用形式有哪些？3、 函数的调用过程是怎样的？4、 什么是内联函数？特点是什么？5、 重载函数通过什么来区分？作用是什么？6、 定义带有默认形参函数应注意什么？7、 制转换：利用函数编写一个输入一个8位二进制数，将其转换为十进制数输出的函数。
例如：11012 = 1(23) + 1(22) + 0(21) + 1(20) = 1310所以，如果输入1101，则应输出138、 编写程序求π的值其中arctan 用如下形式的级数计算：直到级数某项绝对值不大于10-15为止；π和x 均为double 型。
9、寻找并输出11~999之间的数m ，它满足m 、m 2和m 3均为回文数。
– 回文：各位数字左右对称的整数。
例如：11满足上述条件112=121，113=1331。
提示：用10取余的方法，从最低位开始，依次取出该数的各位数字。
按反序重新构成新的数，比较与原数是否相等，若相等，则原数为回文。
10、编写、输入、检查、调试和运行下列程序，掌握const 使用方法,并区分#define 。
①、编写程序，实现复制字符串的自定义版char *strcpy(char *dest,const char *source);//该函数返回dest 的值，即字符串首地址②、编写程序，实现比较字符串的自定义版int strcmp(const char *str1,const char *str2);//str1>str2 返回正数//str1=str2 返回0//str1<str2返回负数11、学习函数重载、参数带有缺省值、内联成员函数定义与调用(1)、编写一个程序，其中包含三个重载的display()函数，第一个函数输出一个double值；第二个函数输出一个int值；第三个函数输出一个char值。
高考物理第一轮总复习课件：实验十三
单摆的偏角θ应________, 从摆球经过
________开始计时, 测出n次全振动的
时间为t, 用毫米刻度尺量出摆线长为
L, 用游标卡尺测出摆球直径为D.
栏目 导引
实验十三
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
(1)用上述数据的符号写出测量重力加 速度的一般表达式g＝________. (2)实验中某同学发现他测出的重力加 速度值总是偏大, 其原因可能是( A. 实验室地下可能有大型磁铁矿脉 B. 单摆所用的摆球太重 )
实验十三
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
实验十三
探究单摆的运动、
用单摆测定重力加速度
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实验十三
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
知识要点归纳
实验目的 1. 学会用单摆测定当地的重力加速度. 2. 能正确熟练地使用秒表和游标卡尺.
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实验十三
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
实验十三
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
(3)将T2＝0, L＝－30 cm代入上式可得:
h＝30 cm＝0.3 m; 将T2＝1.20, L＝0代入上式可求得:
g＝π2 m/s2＝9.86 m/s2.
【答案】 (1)BD (2)a (3)0.3 9.86
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实验十三
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
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实验十三
探究单摆的运动、用单摆测定重力加速度
(1)根据 T＝2π
2
l t d , 又 T＝ , l＝L＋ , g n 2 .
得 g＝
L＋d n2 4π 2
2
t (2)根据(1)可知 g 偏大的原因可能是: T 偏 小, l 偏大, 所以 C、D 选项正确; 磁铁矿 对钢球有向下的引力, g 值比正常值偏大, A 正确; 摆球的质量对 T 和 g 无影响, B 错.
通信原理实验13 模拟调制解调实验(FM)
实验十三模拟调制解调实验（FM）实验内容1.模拟调制(FM)实验2.模拟解调(FM)实验一、实验目的1.掌握变容二极管调频电路的工作原理及调频调制特性及其测量方法。
2.熟悉相位鉴频器的基本工作原理。
3.了解鉴频特性曲线（S曲线）的正确调整方法。
二、实验电路工作原理(一)模拟调制实验1.变容二极管工作原理调频即为载波的瞬时频率受调制信号的控制。
其频率的变化量与调制信号成线性关系。
常用变容二极管实现调频。
变容二极管调频电路如图8-1所示。
从J2处加入调制信号，使变容二极管的瞬时反向偏置电压在静态反向偏置电压的基础上按调制信号的规律变化，从而使振荡频率也随调制电压的规律变化，此时从J1处输出为调频波（FM）。
C15为变容二级管的高频通路，L1为音频信号提供低频通路，L1和C23又可阻止高频振荡进入调制信号源。
图8-1 变容二极管调频f因为LCf π21=，所以电容小时，振荡频率高，而电容大时，振荡频率低。
从图（a ）中可以看到，由于C-u 曲线的非线性，虽然调制电压是一个简谐波，但电容随时间的变化是非简谐波形，但是由于LCf π21=，f 和C 的关系也是非线性。
不难看出，C-u 和f-C的非线性关系起着抵消作用，即得到f-u 的关系趋于线性（见图（c ））。
2. 变容二极管调频器获得线性调制的条件设回路电感为L ，回路的电容是变容二极管的电容C （暂时不考虑杂散电容及其它与变容二极管相串联或并联电容的影响），则振荡频率为LCf π21=。
为了获得线性调制，频率振荡应该与调制电压成线性关系，用数学表示为Au f =，式中A 是一个常数。
由以上二式可得LCAu π21=，将上式两边平方并移项可得2222)2(1-==Bu u LA C π，这即是变容二极管调频器获得线性调制的条件。
这就是说，当电容C 与电压u 的平方成反比时，振荡频率就与调制电压成正比。
3. 调频灵敏度调频灵敏度f S 定义为每单位调制电压所产生的频偏。
c语言第二部分 实验内容
三、实验内容
1．阅读并输入如下程序，查看运行结果，并分析其功能。 # include "stdio.h" main ( ) { int a, b, c, s ; a = 5; b = 4; c = 6； s = (a+b+c)/ 3; printf (" a = %d, b = %d, c = %d \n, s = %d ", a, b, c, s) ; }
C语言程序设计实验·设计·习题
2．下面是一正方形面积的计算程序，通过输入不同的边长，求 出不同的面积。输入此程序并试运行。 注意：程序中含有输入语句，运行时将会停留在另一窗口中等待 输入数据。 # include"stdio.h" main ( ) { int r, s ; scanf (" %d "，&r) ; s= r*r; printf (" s = %d ", s) ; } 3．在Turbo C中调试并修改以下C程序中的错误。
C语言程序设计实验·设计·习题
三、实验内容
1．改正书中所给的相关程序的错误。 2．程序填空。 （1）按程序中注释的要求填输出语句。 （2）要求运行时必须按如下格式输入数据，请填空。 3．程序编译成功，只是说明没有语法错误，但并不一定能得出 正确结果，因为有可能存在编程逻辑错误。这时，我们需要跟踪变量、 调试程序，找出问题所在。调试的一般方法有： （1）单步跟踪：选择Run菜单下的Step命令，也可以直接按快捷键 F7（可跟踪进函数、过程）或快捷键F8，这样可以每条语句单独运行。 （2）运行至光标处：先将光标移至目标语句，然后选择Run菜单下 的Go to Cursor命令，或按快捷键F4，这样可以连续运行从开始到光 标处的一段程序。
高中数学实验与分析教案
高中数学实验与分析教案
主题：探讨函数导数的性质
实验目的：
1. 了解函数导数的定义和性质
2. 探究导数在函数图像中的应用
实验器材：
1. 笔记本电脑或平板电脑
2. 数学软件（如Geogebra）
3. 函数绘图仪器（如数学绘图仪）
4. 纸张和铅笔
实验步骤：
1. 熟悉函数导数的定义和性质
讲师简要介绍函数导数的定义和性质，包括导数的几何意义、概念、计算方法和应用领域等内容。
2. 使用数学软件绘制函数图像
利用数学软件，在电脑上绘制一个简单的函数图像，例如y=x^2。
3. 计算函数在某一点的导数
在绘制的函数图像上选择一个点（如x=2），利用数学软件计算该点的导数。
4. 分析导数的意义
让学生思考导数计算的意义和结果，导数代表了函数在该点的变化率。
5. 使用函数绘图仪器验证导数的性质
将函数图像导入到函数绘图仪器中，观察导数曲线的变化情况，验证导数的性质。
实验分析：
1. 通过实验，学生能够深入理解函数导数的定义和性质，并能够应用导数在函数图像中的实际意义。
2. 通过实验，学生能够掌握导数的计算方法，进一步提高数学分析能力。
3. 通过实验，学生能够使用数学软件和函数绘图仪器进行数学实验，提高数学实验能力和创新思维。
扩展实验：
学生可以自行选择其他函数进行实验，比如三角函数、指数函数等，进一步探讨函数导数的性质和应用。
同时，学生也可以尝试使用不同的数学软件和绘图工具进行实验，提升数学实验和分析能力。
C语言上机实验
实验一（第1章实验）实验目的：1.掌握运行C语言程序的全过程。
2.熟悉编译环境。
3.初步熟悉C语言程序的语法规定。
4.了解简单函数的使用方法。
实验内容：1.编程且上机运行：求3个整数的和。
2.编程且上机运行：求2个数的和、差、积和商。
3.编程且上机运行：输入3个数，求最大值。
4.编程且上机运行：输入圆的半径，求圆的面积和周长。
5.在屏幕上输出：“hello world!”实验结果：实验二（第3章实验）1.实验目的：理解C语言的类型系统。
实验内容：写程序测试数据－2在类型char，int，unsigned int，long int，unsigned long int 中存储情况。
实验过程：实验结果：参见各种类型的存储实现描述。
2.实验目的：了解混合类型计算中类型的转换规则。
实验内容：写程序测试多种类型数据一起运算时类型的转换及表达式结果的类型。
注意unsigned int和int数据运算时类型转换的方向。
实验过程：/** 类型转换问题* 试问下面两个表达式等价吗？*/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int main() {unsigned int ui,uj;ui = 1;uj = 2;if (ui < uj)printf("\n%u < %u is true !\n", ui, uj);elseprintf("\n%u < %u is false !\n", ui, uj);if (ui - uj < 0)printf("\n%u - %u <0 is true !\n", ui, uj);elseprintf("\n%u - %u <0 is false !\n", ui, uj);system("pause");return 0;}实验结果：参见类型转换规则。
专题十三 对数函数(解析版)
专题十三 对数函数考点一 对数函数图象辨析 【基本知识】 1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象在y 轴右侧，过定点(1，0)3．指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【常用结论】(1)对数函数图象的画法画对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，0)，(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1和一条渐近线x ＝0．(2)底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．(3)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(4)对数函数的图象与底数大小的比较如图是对数函数(1)y ＝log a x ，(2)y ＝log b x ，(3)y ＝log c x ，(4)y ＝log d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象越右，底数越大．简称“底大图右”．【方法总结】有关对数函数图象辨析的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)根据对数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图右进行判断． 【例题选讲】[例1] (1) 函数y ＝lg|x －1|的图象是( )答案 A 解析 因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg(x －1)，x >1，lg(1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D ．又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2) 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )答案 C 解析 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C ．(3) 函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )答案 A 解析 当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图象为选项B 、D 中过点(1，0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B 、D 中的图象都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图象为选项A 、C 中过点(1，0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图象符合要求，选项C 中的图象不符合要求．(4) 在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)的图象可能是( )答案 D 解析 当a >1时，函数f (x )＝x a (x ≥0)单调递增，函数g (x )＝log a x 单调递增，且过点(1，0)，由幂函数的图象性质可知C 错；当0<a <1时，函数f (x )＝x a (x ≥0)单调递增，且过点(1，1)，函数g (x )＝log a x单调递减，且过点(1，0)，排除A ，又由幂函数的图象性质可知B 错．故选D ．(5) (2019·浙江)在同一直角坐标系中，函数 y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D 解析 对于函数y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12，当y ＝0时，有x ＋12＝1，得x ＝12，即y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12的图象恒过定点⎝⎛⎭⎫12，0，排除选项A 、C ；函数y ＝1a x 与y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12在各自定义域上单调性相反，排除选项B ，故选D ．【对点训练】1．函数f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )1．答案 C 解析 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定 义域上单调递减，排除D ．故选C ． 2．函数y ＝ln(2－|x |)的大致图象为( )2．答案 A 解析 令f (x )＝ln(2－|x |)，易知函数f (x )的定义域为{x |－2＜x ＜2}，且f (－x )＝ln(2－|－x |)＝ ln(2－|x |)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除选项C 、D ．由对数函数的单调性及函数y ＝2－|x |的单调性知A 正确．3．函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象是( )3．答案 D 解析 f (x )＝lg1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知D 项正确．4．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，且a ≠1，b ＞0，且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )4．答案 B 解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－logb x ＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 项正确．故选B ． 5．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )5．答案 B 解析 若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a >1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如 选项B 中图所示．考点二 对数函数图象的应用 【方法总结】一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【例题选讲】[例2] (1) 已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫116，1 解析 若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知 14<log a 14，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1．即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1．(2) 当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B 解析 易知0＜a ＜1，函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象如图，则由题意可知只需满足log a12＞412，解得a ＞22，∴22＜a ＜1，故选B ．(3) 设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2＜0B ．x 1x 2＝0C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1答案 D 解析 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图．显然x 1＜0，x 2＜0．不妨令x 1＜x 2，则x 1＜－1＜x 2＜0，所以10x 1＝lg(－x 1)，10x 2＝－lg(－x 2)，此时10x 1＜10x 2，即lg(－x 1)＜－lg(－x 2)，由此得lg(x 1x 2)＜0，所以0＜x 1x 2＜1，故选D ．(4) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是__________．答案 a >1 解析 问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1．(5) (2018·全国Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x ) D ．y ＝ln(2＋x )答案 B 解析 易知y ＝ln x 与y ＝ln(－x )的图象关于y 轴对称．而y ＝ln(2－x )＝ln[－(x －2)]，由此可知y ＝ln(2－x )的图象只需将y ＝ln(－x )的图象向右平移2个单位即可得到．因此y ＝ln x 与y ＝ln(2－x )的图象关于直线x ＝1对称．【对点训练】6．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2<x 3<x 1B ．x 1<x 3<x 2C ．x 1<x 2<x 3D ．x 3<x 2<x 1 6．答案 A 解析 分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x 2<x 3<x 1．7．已知函数f (x )＝log a 2x ＋b －1(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<17．答案 A 解析 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a >1．函数图象与y 轴的交点坐标为(0，loga b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1．综上有0<1a<b <1． 8．不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围． 8．答案 ⎣⎡⎭⎫116，1 解析 设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12，所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1．即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1． 9．设f (x )＝|ln(x ＋1)|，已知f (a )＝f (b )(a <b )，则( )A ．a ＋b >0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1 9．答案 A 解析 作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0．所以0＝ab ＋a ＋b <(a ＋b )24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a＋b ＋4)>0，显然－1<a <0，b >0，∴a ＋b ＋4>0．∴a ＋b >0．故选A ． 10．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞)B ．[1，2)C ．⎝⎛⎦⎤0，110∪[10，＋∞) D ．(10，＋∞) 10．答案 A 解析 作出g (x )的图象如图所示，若使g (lg x )>g (1)，则lg x >1或lg x <－1，解得x >10或0<x <110．11．已知函数f (x )＝|lg x |．若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[3，＋∞)11．答案 C 解析 f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由题知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a |＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，则a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b ．令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2，显然当b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (b )＝2b ＋1b>3，故选C ．12．设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n ＝________．12．答案 12 解析 由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2．又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝43，所以m ＝3，所以m ·2n ＝3×43＝12． 考点三 对数函数的性质及应用 【基本知识】 对数函数的性质考向1 比较对数式的大小 【方法总结】对数函数值大小比较的方法单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法：根据图象观察得出大小关系 【例题选讲】[例3] (1) 设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D 解析 ∵log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22，∴12<a <1，0<b <12，c >1，∴c >a >b ．(2) (2013·全国Ⅲ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c答案 D 解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D ．(3) (2018·天津)已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413 ，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b答案 D 解析 因为c ＝log 1315＝log 35>log 372>log 33＝1，所以c >a ，又b ＝⎝⎛⎭⎫1413 <1，所以b <a <c ．故选D(4) 设a ＝0.36，b ＝log 36，c ＝log 510，则( )A ．c >b >aB ．a >c >bC ．b >c >aD ．a >b >c答案 C 解析 由a ＝0.36<1，b ＝lg 6lg 3＝1＋lg 2lg 3，c ＝1＋lg 2lg 5，又lg 5>lg 3>lg 2，则0<lg 2lg 5<lg 2lg 3，则b >c >1．故b >c >a ．故选C ．(5) (2016·全国Ⅲ)若a >b >1，0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c答案 C 解析 ∵y ＝x α，α∈(0，1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a >b >1，0<c <1时，a c >b c ，选项A 不正确．∵y ＝x α，α∈(－1，0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a >b >1，0<c <1，即－1<c －1<0时，a c －1<b c －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0，∴a lg b >blg a ．又∵0<c <1，∴lg c <0．∴a lg c lgb <b lg clg a，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确．同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确． 考向2 与对数有关的不等式问题 【方法总结】简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【例题选讲】[例4] (1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C 解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，log 2a >log 12a ⇒a >1或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )⇒－1<a <0．故选C ．(2) 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，12 解析 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解得13<x <12，所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12．(3) 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg 2·lg 50＋(lg 5)2)＋f (lg x －2)<0，则x 的取值范围为________．答案 (0，10) 解析 ∵lg 2·lg 50＋(lg 5)2＝(1－lg 5)(1＋lg 5)＋(lg 5)2＝1，∴f (lg 2·lg 50＋(lg 5)2)＋f (lg x －2)<0可化为f (1)＋f (lg x －2)<0，即f (lg x －2)<－f (1)．∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (lg x －2)<f (－1)．又函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )在R 上也单调递增，∴lg x －2<－1，∴lg x <1，∴0<x <10．(4) 已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，因为f (x )>1在[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83；当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，因为f (x )>1在[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，即a ＞4，故不存在实数a 满足题意．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83． (5) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是__________．答案 [－2，0] 解析 因为|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln x ＋1，x >0，所以由|f (x )|≥ax ，分两种情况：①由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax 恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ，即a ≥－2；②由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x ＋1≥ax恒成立，并根据函数图象可知a ≤0．综上，得－2≤a ≤0．考向3 与对数有关的复合函数性质应用问题 【方法总结】与对数有关的单调性问题的解题策略(1)求出函数的定义域．(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． 【例题选讲】[例5] (1) 函数y ＝log 4(7＋6x －x 2)的单调递增区间是__________．答案 (－1，3] 解析 设y ＝log 4u ，u ＝g (x )＝7＋6x －x 2＝－(x －3)2＋16，则对于二次函数u ＝g (x )，当x ≤3时为增函数，当x ≥3时为减函数．又y ＝log 4u 是增函数，且由7＋6x －x 2＞0得函数的定义域为(－1，7)，于是函数f (x )的单调递增区间为(－1，3]．(2) 函数f (x )＝log a (ax －3)(a >0，且a ≠1)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，1) C ．⎝⎛⎭⎫0，13 D ．(3，＋∞) 答案 D 解析 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1．又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正，∴a －3>0，即a >3．(3) 若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．答案 (1，25) 解析 当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即函数f (x )在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上为减函数，设g (x )＝x 2－ax ＋5，则⎩⎪⎨⎪⎧a >1，g ⎝⎛⎭⎫a 2>0，解得1<a <25．(4) 设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为( )A ．14B ．14或23C ．23D ．23或34答案 C 解析 作出y ＝|log a x |(0<a <1)的大致图象如图，令|log a x |＝1，得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝(1－a )(a －1)a <0，故1－a <1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，即a ＝23．(5) 已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，g (x )＝f (x )＋2 017，下列命题： ①f (x )的定义域为(－∞，＋∞)； ②f (x )是奇函数；③f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b ＝1；⑤设函数g (x )在[－2 017，2 017]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝2 017． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①②③④ 解析 对于①，∵x 2＋1>x 2＝|x |≥－x ，∴x 2＋1＋x >0， ∴f (x )的定义域为R ，∴①正确．对于②，f (x )＋f (－x )＝ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋(－x )2＋1)＝ln[(x 2＋1)－x 2]＝ln 1＝0．∴f (x )是奇函数，∴②正确．对于③，令u (x )＝x ＋x 2＋1，则u (x )在[0，＋∞)上单调递增．当x ∈(－∞，0]时，u (x )＝x ＋x 2＋1＝1x 2＋1－x ，而y ＝x 2＋1－x 在(－∞，0]上单调递减，且x 2＋1－x >0．∴u (x )＝1x 2＋1－x在(－∞，0]上单调递增，又u (0)＝1，∴u (x )在R 上单调递增，∴f (x )＝ln (x ＋x 2＋1)在R 上单调递增，∴③正确．对于④，∵f (x )是奇函数，而f (a )＋f (b －1)＝0，∴a ＋(b －1)＝0，∴a ＋b ＝1，∴④正确．对于⑤，f (x )＝g (x )－2 017是奇函数，当x ∈[－2 017，2 017]时，f (x )max ＝M －2 017，f (x )min ＝m －2 017，∴(M －2 017)＋(m －2 017)＝0，∴M ＋m ＝4 034，∴⑤不正确．【对点题组】13．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a13．答案 B 解析 ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0，1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c ．故选B ．14．已知a ＝121log 3，b ＝131log 2，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c 14．答案 A 解析 ∵a ＝121log 3>1，0<b ＝131log 2＝log 32<1，c ＝log 2 13＝－log 23<0，∴a >b >c ．15．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c15．答案 B 解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c ．16．(2019·天津)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b16．答案 A 解析 因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5．因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1．因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1．所以a <c <b ．故选A ．17．函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6] 17．答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，故函数定义域为(2，3)∪(3，4]，故选C ．18．若log a 23<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，23B ．(1，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫23，1 18．答案 C 解析 当0<a <1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a <23；当a >1时，log a 23<log a a ＝1，∴a >1．∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x ＞1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为__________．19．答案 {x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤4 解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，41－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，1－log 14x ≤2，解得12≤x ≤1或1<x ≤4，即实数x 的取值集合为{x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤4． 20．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)20．答案 A 解析 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，其图象的对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)，故选A ． 21．若函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上总有|y |＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(1，2)B ．⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，2)C ．(1，2)D ．⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) 21．答案 B 解析 因为函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上总有|y |＞1，当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在[2，＋∞)上总有y ＜－1，则a ＞12，即12＜a ＜1；当a ＞1时，y ＝log a x 在[2，＋∞)上总有y ＞1，则a ＜2，即1＜a＜2，综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，2)．故选B ．22．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________．22．答案 9 解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1．∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2．若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9．同理，若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm＝9．23．设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求实数a 的值．23．解 f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12[(log a x )2＋3log a x ＋2]＝12⎝⎛⎭⎫log a x ＋322－18． 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32．∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1)．∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8处取得．若12⎝⎛⎭⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2-13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2-13)-23＝2∉[2，8]，舍去；若12⎝⎛⎭⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝⎛⎭⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意．∴a ＝12．24．已知函数f (x )＝log a x ＋m (a >0且a ≠1)的图象过点(8，2)，点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 在f (x )的图象上．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 24．解 (1)点P (3，－1)关于直线x ＝2的对称点Q 的坐标为(1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝－1＋log 2x ．(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x >1)，∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2 (x －1)·1x －1＋2＝4，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，“＝”成立，而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1．。