“空间位置关系”双基过关检测
2019年高考数学理科总复习 双基过关检测 “空间向量” 含解析
“空间向量”双基过关检测一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P (m,0,0)到点P 1(4,1,2)的距离为30，则m 的值为( ) A ．－9或1 B ．9或－1 C ．5或－5D ．2或3解析：选B 由题意|PP 1|＝30， 即(m －4)2＋(－1)2＋(－2)2＝30，∴(m －4)2＝25，解得m ＝9或m ＝－1.故选B.2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：选A ∵a ∥b ，∴b ＝ka ， 即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.3．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,2,3)，c ＝(7,6，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析：选B 由题意知c ＝xa ＋yb ，即(7,6，λ)＝x (2,1，－3)＋y (－1,2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，x ＋2y ＝6，－3x ＋3y ＝λ，解得λ＝－9.4．(2017·揭阳期末)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)解析：选B 由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．5．在空间四边形ABCD 中，AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析：选B 如图，令AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，AD ―→＝c ， 则AB ―→·CD ―→＋AC ―→·DB ―→＋AD ―→·BC ―→ ＝a ·(c －b )＋b ·(a －c )＋c ·(b －a ) ＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.6.如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .7.如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1D.3－ 2解析：选D ∵BD ―→＝BF ―→＋FE ―→＋ED ―→，∴|BD ―→|2＝|BF ―→|2＋|FE ―→|2＋|ED ―→|2＋2BF ―→·FE ―→＋2FE ―→·ED ―→＋2BF ―→·ED ―→＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD ―→|＝3－ 2.8．(2017·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA ―→＋λOB ―→与OB ―→的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：选C 因为OA ―→＋λOB ―→＝(1，－λ，λ)，所以cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.二、填空题9．已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________． 解析：设P (x ，y ，z )，∴AP ―→＝(x －1，y －2，z －1)．PB ―→＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP ―→＝2PB ―→得点P 坐标为⎝⎛⎭⎫－13，83，3， 又D (1,1,1)，∴|PD ―→|＝773.答案：77310.如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB ―→，AD ―→，AA 1―→表示OC 1―→，则OC 1―→＝________.解析：OC ―→＝12AC ―→＝12(AB ―→＋AD ―→)，∴OC 1―→＝OC ―→＋OC 1―→＝12(AB ―→＋AD ―→)＋AA 1―→＝12AB ―→＋12AD ―→＋AA 1―→.答案：12AB ―→＋12AD ―→＋AA 1―→11.如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA ―→，BC ―→〉的值为________． 解析：设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，由已知条件，得〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA ―→·BC ―→＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ―→，BC ―→〉＝0. 答案：012．(2017·北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC ―→·AP ―→的取值范围是________．解析：由题意，设BP ―→＝λBD 1―→，其中λ∈[0,1]，DC ―→·AP ―→＝AB ―→·()AB ―→＋BP ―→＝AB ―→·(AB ―→＋λBD 1―→)＝AB ―→2＋λAB ―→·BD 1―→＝AB ―→2＋λAB ―→·(AD 1―→－AB ―→)＝ (1－λ)AB ―→2＝1－λ∈[0,1]．因此DC ―→·AP ―→的取值范围是[0,1]．答案：[0,1] 三、解答题13．已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.(1)求线段AC 1的长；(2)求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA 1⊥BD .解：(1)如图，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ， AA 1―→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0， c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos 120°＝－1. ∵AC 1―→＝AC ―→＋CC 1―→ ＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→ ＝a ＋b ＋c ， ∴|AC 1―→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝12＋12＋22＋2(0－1－1)＝ 2.∴线段AC 1的长为 2.(2)设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ. 则cos θ＝|cos 〈AC 1―→， A 1D ―→〉|＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|.∵AC 1―→＝a ＋b ＋c ，A 1D ―→＝b －c ，∴AC 1―→·A 1D ―→＝(a ＋b ＋c )·(b －c )＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2＝0＋1＋12－22＝－2， |A 1D ―→|＝(b －c )2＝b 2－2b ·c ＋c 2＝12－2×(－1)＋22＝7.∴cos θ＝|AC 1―→·A 1D ―→||AC 1―→||A 1D ―→|＝|－2|2×7＝147. 故异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147. (3)证明：∵AA 1―→＝c ，BD ―→＝b －a ，∴AA 1―→·BD ―→＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝(－1)－(－1)＝0. ∴AA 1―→⊥BD ―→， ∴AA 1⊥BD .14.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值． 解：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ， 则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC .以C 为坐标原点， CA ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ―→＝(1,1,0)， CE ―→＝(0,2,1)， CA 1―→＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ―→＝0，n ·CA 1―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面A 1CE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ―→＝0，m ·CA 1―→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＋z 2＝0，2x 2＋2z 2＝0，可取m ＝(2,1，－2)． 从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝2－1＋23×3＝33， 故sin 〈n ，m 〉＝63. ∴二面角D -A 1C -E 的正弦值为63.。
高中数学新人教版必修2第2章《点线面之间的位置关系》精品讲义+基础过关测试(含答案)
高中数学新人教版必修2精品讲义+基础过关测试2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1平面阅读教材P40～P41“思考”以上的内容，完成下列问题．1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图211①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图211②.图①图②图2113．平面的表示法图211①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.下列说法：①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误，因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念．【答案】 B教材整理2平面的基本性质阅读教材P41“思考”以下至P43“例1”以上的内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面．()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．()(3)四边形是平面图形．()(4)两条相交直线可以确定一个平面．()【解析】(1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．(3)错误．四边形不一定是平面图形．(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[小组合作型]出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形．【自主解答】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示．图(1)图(2)图(3)1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[再练一题]1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．图212(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【解】(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.内．【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内．由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面．(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．证明点线共面常用的方法1．纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．2．重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．[再练一题]2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．【证明】如图所示，由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a ∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．[探究共研型]探究111111ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图213【提示】如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.探究2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【提示】由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱如图214，在正方体ABCDACD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线. 【导学号：97602006】图214【精彩点拨】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可．【自主解答】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．点共线与线共点的证明思路1．点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上．2．线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．[再练一题]3．如图215，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.图215【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α【解析】点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”表示．【答案】 B2．下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．A．1 B．2C．3 D．4【解析】③中若圆心和圆上两点共线时，可以作出无数个平面，故①②④正确，故选C.【答案】 C3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.【答案】C4．有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．其中正确的序号是________．【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．【答案】①③5．如图216，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．图216【证明】∵梯形ABCD，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β，∴M∈α∩β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．2．理解平行公理(公理4)和等角定理．(重点)3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1 空间直线的位置关系阅读教材P 44～P 45“探究”以上的内容，完成下列问题． 1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)画法：(通常用平面衬托)图21102．空间两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．( ) (2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )【解析】 (1)错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面． (2)正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．(3)错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．(4)错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线． 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×教材整理2 公理4及等角定理阅读教材P 45“探究”以下至P 46倒数第7行的内容，完成下列问题．1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，若∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．150°D ．以上结论都不对 【解析】 因为AB ∥PQ ，BC ∥QR ，所以∠PQR 与∠ABC 相等或互补．因为∠ABC ＝30°，所以∠PQR ＝30°或150°.【答案】 B教材整理3 异面直线所成的角阅读教材P 46下面的两个自然段至P 47“探究”以上的内容，完成下列问题．1．定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ_≤90°.3．当θ＝90°时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .如图2111，正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中异面直线A ′B ′与BC 所成的角为________．异面直线AD ′与BC 所成的角为________．图2111【解析】∵A′B′∥AB，∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°，∴A′B′与BC所成的角为90°.∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因为∠D′AD＝45°，故AD′与BC所成的角为45°.【答案】90°45°[小组合作型]1111图2112①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________．【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．【自主解答】根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C 相交于D1点，所以③应该填“相交”．【答案】①平行②异面③相交④异面1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．[再练一题]1．(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A．a∥c B．a、c是异面直线C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线【解析】(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.【答案】(1)D(2)CAD和A1D1的中点．图2113(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.【精彩点拨】(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．【自主解答】(1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．[再练一题]2．如图2114，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．图2114求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形；(2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.【证明】 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点，∴MN 是△ACD 的中位线，∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角，∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.[探究共研型]探究1 直线所成的角？图2115【提示】 如图，在空间中任取一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则两条相交直线a ′，b ′所成的锐角(或直角)角θ即两条异面直线a ，b 所成的角．探究2 异面直线a 与b 所成角的大小与什么有关，与点O 的位置有关吗？通常点O 取在什么位置？【提示】 异面直线a 与b 所成角的大小只由a ，b 的相互位置有关，与点O 的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O 常选取在两条异面直线中的一条上．如图2116，在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝3，求异面直线AD 、BC 所成角的大小．图2116【精彩点拨】 根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD 、BC 平移到同一平面上解决．【自主解答】 如图，取BD 的中点M ，连接EM 、FM .因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，所以EM 綊12AD ，FM 綊12BC ，则∠EMF 或其补角就是异面直线AD 、BC 所成的角．因为AD ＝BC ＝2，所以EM ＝MF ＝1，在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝12EF＝32，则sin∠EMH＝32，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.求两异面直线所成的角的三个步骤1．作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．2．证：证明作出的角就是要求的角．3．计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°< θ≤90°.[再练一题]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．【解】如图，连接BD、A1D，∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴DD1綊BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°.1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l() A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线【解析】不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.【答案】 C2．下列命题中，正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由公理4及等角定理知，只有②④正确．【答案】 B3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.【解析】由等角定理可知β＝135°.【答案】135°4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.【解析】如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.【答案】DC，BC，D1C1，B1C15．如图2117所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．图2117 【解】取AC的中点G，连接EG，FG，则FG∥CD，EG∥AB，所以∠FEG即为EF与AB所成的角，且FG＝12CD，EG＝12AB，所以FG＝EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.故EF和AB所成的角为45°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系1．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面的位置关系阅读教材P 48～P 49的内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．( )(2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．( )(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．( )(4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．( )【解析】 (1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，故(1)错．(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．(3)错误．由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故(3)错．(4)错误．过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×教材整理2 平面与平面的位置关系阅读教材P 50“探究”以上的内容，完成下列问题．三棱锥的四个面中，任两个面的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定【解析】三棱锥的任两个面都相交，选A.【答案】 A[小组合作型]A．如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线C．如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥bD．如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α【精彩点拨】解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断．【自主解答】如图，在长方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故选项A不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故选项B不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确．故选D.【答案】 D空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.[再练一题]1．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.A．0B．1C．2 D．3【解析】易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.【答案】 C[探究共研型]探究1【提示】如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．探究2若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？【提示】因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．探究3平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？【提示】不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.已知下列说法：①两平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．【精彩点拨】由平面间的位置关系逐一判断．【自主解答】①错．a与b也可能异面．②错．a与b也可能平行．③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点．④对．由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面．⑤错．a与β也可能平行．【答案】③④1．仔细分析题目条件，将符号语言或自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．2．线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．[再练一题]2．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．既不平行也不相交【解析】如果两平面的直线互相平行，可以有以下两种情况：【答案】 C1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交【解析】直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．【答案】 D2．如图2123所示，用符号语言可表示为()图2123A．α∩β＝lB．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂αD[显然题干图中α∥β，且l⊂α.]3．如图2124，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：图2124(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．【解析】(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．【答案】(1)平行(2)相交4．a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β那么平面α与平面β的位置关系是__________．平行或相交[由正方体模型易知α∥β或α与β相交．]5．作出下列各题的图形．(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α.(2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n.【解】如图所示：2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定1．理解直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理．(重点)2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理，并知道其地位和作用．(易混点)3．能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的判定定理阅读教材P54～P55“例1”以上的内容，完成下列问题．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b【解析】A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c ∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确．【答案】 D教材整理2平面与平面平行的判定定理阅读教材P56～P57“例2”以上的内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()(3)平行于同一平面的两条直线平行．()(4)若α∥β，且直线a∥α，则直线a∥β.()【解析】(1)错误．当这两条直线为相交直线时，才能保证这两个平面平行．(2)正确．如果两个平面平行，则在这两个平面内的直线没有公共点，则它们平行或异面．(3)错误．两条直线平行或相交或异面．(4)错误．直线a∥β或直线a⊂β.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小组合作型]已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ(如图221)．求证：PQ∥平面CBE.图221【精彩点拨】在平面CBE中找一条直线与PQ平行，从而证明PQ∥平面CBE.【自主解答】作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，如图，则PM∥QN，PMAB＝EPEA，QNCD＝BQBD.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．图222[再练一题]1．如图222，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.【证明】连接AC交BD于点O，连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA，∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，∴SA∥平面MDB.分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．图223求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【精彩点拨】(1)欲证E、F、B、D四点共面，需证BD∥EF即可．(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AN∥平面BDFE即可．【自主解答】(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.1．要证明面面平行，关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行，而要证明线面平行，还要通过证明线线平行，注意这三种平行之间的转化．2．解决此类问题有时还需添加适当的辅助线(或辅助面)使问题能够顺利转化．[再练一题]2．如图224所示，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．图224求证：平面AFH∥平面PCE.【证明】因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC，因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE，而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.[探究共研型]E，F，111111。
【名师一号】(新课标版)高二数学必修2双基限时练 第二章 第一节 空间点、直线、平面之间的位置关系8 Word
双基限时练(八)1．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1， OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析可借见长方体找出反例．答案 D2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BD异面且成60°角的面对角线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析画图易知它们是AD1，AB1，CB1，CD1共四条．答案 D3．“a，b是异面直线”是指：①a∩b＝∅，且aD b；②a⊂平面α，b⊂平面β，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④a⊂平面α，b⊄平面α；⑤不存在平面α，使a⊂α，且b⊂α成立．上述说法中( )A．①④⑤正确B．①③④正确C．②④正确D．①⑤正确解析说法①等价于a与b既不相交，又不平行，所以a与b为异面直线．①正确；说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内，即a，b异面，⑤正确．答案 D4．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交答案 B5．在空间，下列命题中正确的个数为( )①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等．A．1 B．2C．3 D．4解析①、②不正确，③、④正确．因此选B.答案 B6．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是( )A．①②③B．②④C．③④D．②③④解析把展开图还原为正方体，便知③、④正确．答案 C7．设a，b，c表示直线，给出以下四个论断：①a⊥b；②b⊥c；③a⊥c；④a∥c.以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题______________．答案④①⇒②8．如图所示，M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中BB1，B1C1的中点．(1)则MN与CD1所成角为________．(2)则MN与AD所成的角为________．解析(1)由图易知MN∥AD1，∵△ACD1构成正三角形．∴AD1与CD1成60°角，∴MN与CD1成60°角．(2)AD1与AD成45°角，而MN∥AD1，∴MN与AD成45°角．答案(1)60°(2)45°9．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．解析由正投影的定义可知，正确的结论是①④.答案①④10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF ＝2，求AD，BC所成的角．解取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD＝2，∴EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，∴∠EHF是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF＝2，∴△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，∴∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.11．如图，直线a，b是异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F是直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：(1)∠A ′B ′C ′＝∠C ′D ′E ′； (2)点A ′，B ′，C ′，D ′，E ′共面． 证明 (1)A ′，B ′是AD ，DB 的中点⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ′B ′∥a 同理C ′D ′∥a⎭⎪⎬⎪⎫⇒A ′B ′∥C ′D ′同理B ′C ′∥D ′E ′⇒ ∠A ′B ′C ′的两边和∠C ′D ′E ′的两边平行且方向相同⇒∠A ′B ′C ′＝∠C ′D ′E ′.⎭⎪⎬⎪⎫A ′B ′∥C ′D ′⇒A ′，B ′，C ′，D ′共面α 同理B ′，C ′，D ′，E ′共面β⇒α，β都经过点B ′，C ′，D ′a ，b 异面⇒B ′，C ′，D ′三点不共线⇒过B ′，C ′，D ′有且只有一个平面⇒平面α，β重合⇒A ′、B ′，C ′，D ′，E ′共面． 12．已知异面直线a 与b 所成的角θ＝60°，P 为空间一点，则 (1)过P 点与a 和b 所成角为45°的直线有几条？ (2)过P 点与a 和b 所成角为60°的直线有几条？ (3)过P 点与a 和b 所成角为70°的直线有几条？解 (1)过P 点在平面α外的左、右两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为45°，则与a ，b 所成的角为45°的直线有2条．(2)过P 点在平面α内120°的角平分线存在一条直线与a 1，b 1所成的角为60°；过P 点在平面α外的左右两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为60°，则与a ，b 所成的角为60°的直线有3条．(3)过P 点在平面α外左右两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为70°，过P 点在平面α外前、后两侧存在两条直线与a 1，b 1所成的角为70°，则与a，b所成的角为70°的直线有4条．。
2019版一轮复习理数通用版：“空间位置关系”双基过关检测.doc
“空间位置关系”双基过关检测一、选择题1・设三条不同的直线齐，【2, Z 3,满足齐丄人，b 丄b 则人与＜2（） A. 是异面直线 B. 是相交直线 C.是平行直线D.可能相交、平行或异面解析：选D 如图所示，在正方体ABCD-EFGH 中，丄AD,AE 丄AD f 则 ABC\AE=A; AB 丄AE 9 4E 丄DC,则 AB//DC; 4B 丄AE, 丄AE,则4〃与FH 是异面直线，故选D ・2.在正方体ABCD-AiBrCtDi 中，下列几种说法正确的是（）B. AC 】丄BiCC. A 』与平面DD^B 成45。
角D. AiB 与 BiC 成 30。
角解析：选B 易知四边形是平行四边形，所以DB 〃D\B\, 又因为AiB 与D 〃相交，所以Ai 〃与DiBi 是异面直线，故A 错误；连 接A1G 交于点O,连接BO,易知AiG 垂直平面DD X B X B 9所以 A/与平面DD 、B\B 成30。
角，故C 错误；连接AQ,则三角形A|BD 是等边三角形，且AiD 〃BiC,则AiB 与EC 成60。
角，故D 错误，选B.若m//a 9 fi 丄卩,a 丄〃，则加与比相交或平行或异面，即B 错误；3・已知空间两条不同的直线m, n 和两个不同的平面么，“，则下列命题中正确的是（n//0, a//0,则 m//n〃丄0, a 丄0,则 m // nn//p, a 丄“，则加丄兀n 丄卩,o 丄卩,贝I ） m ± nA. C. 若 m//a,若 m//a,若加丄a,若“2丄a,解析：选D若加丄tz, n// p, a丄“，则加与w相交、平行或异面，即C错误，故选D.4.（2018•广东棋拟）如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，E, F 分别为円，PD 的中点，在此几何体中，给 出下面四个结论：① BE 与CF 异面； ② BE 与AF 异面； ③EF 〃平面PBC ； ④平面〃CE 丄平面PAD. 其中正确结论的个数是（）A. 1 C ・3D ・4解析：选B 画出该几何体，如图，因为E, F 分别是£4, PD 的中点、,所以EF//AD, 所以EF//BC fBE 与CF 是共面直线，故①不正确;② 〃E 与AF 满足异面直线的定义，故②正确；③ 由E, F 分别是P4, PD 的中点，可知所以EF//BC,因为平面PBC,BCU 平面PBC,所以EF 〃平面PBC,故③正确；④ 因为BE 与P4的关系不能确定，所以不能判定平面BCE 丄平面P4D,故④不正确•故 选B.5•如图所示,P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O, M 为PB的中点，给出下列五个结论：①PD 〃平面AMC ；②OM 〃平面 PCD ；③OM 〃平面PD4；④OM 〃平面⑤OM 〃平面PBC.其中正 确的个数有（） B. 2 D ・4解析：选C 因为矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O, 所以O 为BD 的中点. 在中，M 是PB 的中点，所以OM 是△PBD 的中位线，OM 〃加，则PD 〃平面AMC 9 OM 〃平面PCD,且OM 〃平面PDA. 因为MGPB,所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交.6・（2018・余姚棋拟）如图，在正方体ABCD^AxB x C x D x 中，M, N 分 别是BC\, CDi的中点，则下列说法错误的是（）A ・MN 与CCi 垂直B ・ 2C ・3B. MN与AC垂直PC. MN与〃D平行D. MN与A/i平行解析：选D 如图，连接CiD,在厶C\DB中，MN//BD,故C 正确；V CCx丄平面ABCD,〃£>U平面ABCD,:・CC\ 丄BD, Z.MN 与CCi垂直，故A正确；VAC丄BD, MN//BD, :.MN与AC垂直，故B正确，故选D・7•如图，正方体ABCD-AJhCtDr的棱长为1,线段B4i上有两个动点E, F,且EF=l则下列结论中错误的是（）A・ACLBEB. EF〃平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与的面积相等解析：选D 因为AC丄平面BEU平面BDD x B if所以AC丄BE, A项正确；根据线面平行的判定定理，知B项正确；因为三棱锥的底面的面积是定值，且点A 到平面BDDg的距离是定值半，所以其体积为定值，C项正确；很显然，点A和点〃到EF的距离不相等，故D项错误.8. （2018•福州质检）在三棱柱ABC・A]B]Ci中，E, F分别为棱AA” CCi的中点，则在空间中与直线A/i，EF, BC都相交的直线（）A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条解析：选D 在EF上任意取一点直线A/i与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N,而直线MN与AiB lf EF, BC分别有交点P, M,N,如图，故有无数条直线与直线A/],EF, BC都相交.二、填空题9・如图所示，平面<z,卩,y两两相交，a, b, c为三条交线，且a〃儿则a,庆c的位置关系是_______ ・解析：°：a"b, aUa, Ma, *.b//a. 又•:bU卩,aC“=c, :.b//c.：.a//b//c.答案：a//b//c10. （2018•天漳六校联考）设a,方为不重合的两条直线，a, “为不重合的两个平面，给 出下列命题：① 若a//a 且〃〃么，贝0 a//b\ ② 若a 丄a 且a 丄“，贝0 a//P\③ 若么丄0,则一定存在平面y,使得y 丄a, y 丄0； ④ 若么丄0,则一定存在直线/,使得/丄a, l//p. 其中真命题的序号是 ________ ・解析：①中a 与方也可能相交或异面，故不正确.② 垂直于同一直线的两平面平行，正确. ③ 中存在卩，使得？与a, “都垂直，正确. ④ 中只需直线Z 丄么且也"就可以，正确.答案：②③④11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E, F 分别是CCi ，4D 的中点，那么异面直线和旳F 所成角的余弦值等于 _____________ ・答案：i12. （2017•全国卷HIM ，方为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角 边AC 所在直线与a,方都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：① 当直线AB 与a 成60。
2019-2020年高考数学总复习空间向量双基过关检测理
A. — 1 B . 0、选择题1.在空间直角坐标系中， 点F (m,0,0)到点P 1(4,1,2)的距离为.30，则m 的值为()A.— 9 或 1B . 9 或—1 C. 5 或一5 D . 2 或 3解析：选B 由题意| PR | = 30,即，mH] 2+ — 1 2+-2 2= .30,2(m- 4) = 25,解得 m= 9 或 m=— 1.故选 B.2x - y =7, ••• x + 2y = 6,解得入=—9..—3x + 3y =入,14. (xx •揭阳期末)已知 a = (2,3 , — 4) , b = ( — 4, — 3, — 2) , b = ?x — 2a ,则 x =( )A. (0,3 , — 6) B . (0,6 , — 20) C. (0,6 , — 6)D . (6,6 , — 6)1解析：选 B 由 b =只—2a ,得 x = 4a + 2b = (8,12 , — 16) + ( — 8, — 6, — 4)= (0,6 , — 20).5.在空间四边形 ABC [中 , AB • CD + AC • DB + AD • BC =()2.已知 a =(入 + 1,0,2) ,b = (6,2 1 —1,2 入)，若 a / b ,贝U 入 与 1 的值可以是(A. 12, 2 B 1.—3 , 12C .—3,2 D.2,2解析：选 A •/a // b , • ■- b = ka ,即(6,2 卩―1,2 入)=k (入+ 1,0,2),6 = k 入 + ], *= 2 ,X =— 3 ,• 2(1 — 1 = 0 ,解得 1或12 入=2k ,1= 2k 卩=2.3.已知 a = (2,1 , — 3) ,b = ( — 1,2,3), c =(7,6,入),若 a , b ,c 三向量共面,()A. 9B .—9C .—3 D.3解析：选B 由题意知 c = xa + yb ,即(7,6 ,入)= = x(2,1 , — 3) + y ( —1,2,3),)则入=1 得 入=±严.经检验 入=严不合题意，舍去，二入=—二6.解析：选B 如图，令—AB = a ,"A C = b, "AD = c ,- > > > > > >则 AB • CD + AC • DB + AD • BC =a •( c — b ) + b ・(a — c ) + c •( b - a ) =a -c — a °b + b -a — b ・c + c -b — c -a =0.6.如图所示，在平行六面体 ABCD -A i BCD 中，M 为AC 与BD 的交点.若 AB = a , AD = b , AA = c ,则下列向量中与"BM 相等的 向量是（ ）1 1A.— §a +q b + c1 1B. q a + 労+ cC.— 2a — ?b + cD. ?a — gb + c 解析：选ABM = BB + BM = AA + 2( AD —A B ) = c + 2(b — a ) = — 2a +gb+ c .CDEF 都是边长为1的正方形，则 B, D 两点间的距离是( )A. 3B. 2C. 1D. . 3—、2解析：选D-- A --- A --- A --- A ••• BD = BF + FE + ED ,B 2•-1 BD |2= |——A 2 A 2 > 2 > A A A A ABF |2+ | FE | 2+ | ED | 2+ 2 BF • FE + 2 FE • ED + 2 BF • ED=1 +1+1-迈=3-灵，故 | 苗={3—72.---A--- A ---- A&(XX •东营质检)已知A (1,0,0),耳0,— 1,1) , OA +入0B 与0B 的夹角为120°,则入的值为（B.—%/6—6D .土 6解析：选C -- A --- A因为OA +入0B = (1 ,—入，入），所以cos 120°2 6 6 6、填空题9.已知点 A (1,2,1) , B ( — 1,3,4) , Q1,1,1)，若-P = 2"P B ，则 | "P D | 的值是-- >解析：设 P (x , y , z ) , . Ap = (x — 1, y — 2, z — 1). "B = ( — 1 — x, 3— y,4 — z )，由-P = 2"P B 得点 P 坐标为又 D (1,1,1) ,. | "D | =# 答案：¥-- > -- >10.如图所示，在长方体 ABCDABCD 中，O 为AC 的中点.用AB , AD ,- > 1 ----- > 1 ------ > --- >解析：OC = 2 AC = 2( AB + AD ),--- > > > 1 > > > 1 > 1 > >--OC = OC + OC = 2( AB + AD ) + AA = 2 AB + ㊁ AD + AA .答案：1"B +2"D +"Xn11.如图所示，已知空间四边形 OABCOB= OC 且/ AOB=Z AOC=§, 则cos < "A , "BC >的值为解析：设"OA = a , "O B = b , "5c= c ,c — a- b =弓 a || c | — a || b | = 0,-- > ---- >cos < OA , BC > = 0.答案：012. （xx •北京西城模拟）如图所示，正方体ABCDABCD 的棱长为1, -- > --- >若动点P 在线段BD 上运动，则DC - AP 的取值范围是解析：由题意，设"B P 二入-，其中 入€ [0,1] , "De • "P =-- X---- X X ---X X 2--- X X X 2--- X--- XAB -( "AB +"Bp ) = AB •( AB + 入 BD ) = AB 2+ 入 AB - BD = AB 2+ 入 AB •( AD-- X ---- X 2--- X ---- X—AB ) = (1 —入)AB 2= 1—入 € [0,1].因此 DC - AP 的取值范围是[0,1].3 8,3,由已知条件，得〈a , b > = < a ,nc>=亍，且 I b | = | c | ,"OA • —C = a •( c — b ) = a •□答案：[0,1]三、解答题13. 已知平行六面体ABCDABGD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA= 2,/ AAB =Z AAD= 120°.⑴求线段AC的长；(2) 求异面直线AC与A i D所成角的余弦值；解: (1)如图，设"AB = a, ~A D = b, ~AA = c,(3) 求证：AA丄BD则| a| = | b| = 1, | c| = 2, a • b= 0, c • a= c • b= 2x 1 x cos 120 °=—1.--- A ---- A ----- AAC = AC + CC--- A ---- A ----- A=AB + AD + AA=a+ b+ c,「•I ~A G | = | a+ b+ c| = a+ b+ c 2=■ | a|2+ | b|2+ | c|2+ a • b+ b • c + c • a=12+ 12+ 22+? 0—1 —1 = 2.•••线段AC的长为 2.⑵设异面直线AC与AD所成的角为0 .------- A-------------- A小—A—A| AC • AD|贝U cos 0 = |cos 〈AC , AD> | = 一〉.I 崗| XD|AC = a+ b+ c, A1D = b —c,A A 2 2 2 2• AC • A D= (a+ b + c) •( b —c) = a • b—a • c + b —c = 0+ 1 + 1 — 2 = —2,I AD| = ~b—c~2b2—2b • c+ c2I 朋• AD I I -2| V T4二cos 0 ==■. 1—— 1 + 2 = . 7.故异面直线AC与AD所成角的余弦值为呼.⑶证明: A A = c, B D = b —a,A A •B D = c ・(b —a) = c • b—c • a= ( —1) —( —1) = 0.------- A-------------A• AA 丄BD, • AA丄BDE,6 33解：⑴证明：连接AG 交AC 于点F , 则F 为AC 的中点.又D 是AB 的中点，连接DF,贝U BC // DF 因为DF ?平面ACD BC ?平面ACD 所以BC //平面AQD 设n = (x , y ,•••二面角 DAGE 的正弦值为"C E = (0,2,1) , ^CA = (2,0,2)n • CD =0,则丫--- Aj • CA = 0,X i + y i = 0, 即｛2x i + 2z i = 0. 可取 n = (i , - i , -i) •同理，设m = (X 2,y 2, Z 2)是平面A i CE 的法向量,m- "C E = 0, 则 一m- "CA = 0.】2y 2+ Z 2= 0, 即仁 + 2Z 2=0, 可取 m=n • m 2 — i + 23.3X3 = 3 ，从而cos 〈n ，m = mrm故 sin 〈 n , m 〉得 ACLBC(2)由 AC = CB=亠14.如图，直三棱柱 ABCABC 中，D E 分别是AB BB 的中点，AA =AC= CB=#AB(1 )证明：BC //平面A i CD (2)求二面角D-A i C -E 的正弦值.间直角坐标系C-xyz .以C 为坐标原点， CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空 设 CA= 2，则 D i , i ,0) , E (0,2, i ) , A (2,0,2) , "C D = ( i , i ,0)2019-2020年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语1集合课时作业、选择题1. 已知集合A =「X x €乙且 ，则集合A 中的元素个数为( A. C. 2 B . 4 D . 解析：• 3 53€ Z,2— x 的取值有—3, 2 x —1,1,3 , 又••• x € Z ,「. x 值分别为 5,3,1 , -1,故集合A 中的元素个数为4，故选C. 答案：C(xx •长沙模拟)若集合M = {1,3}, 2. ( ) A.C .N= {1,3,5}，则满足MJ X = N 的集合X 的个数为B . 2 D . 4本题考查集合的运算. 由 M U X = N 得集合 D.解析： {3,5}或{1,3,5}，共4个，故选 答案：D3. 集合 A = {x |x — 2x <0}, A. A T B = ? B . A T B = A C. A U B = A D . A U B = R解析：本题考查不等式的求解、集合的运算.由于 结合选项可知 A T B= A 成立，A U B = B,故选B.答案：B4. 则集合 A. C. X 中必有元素5,则X ={5}或{1,5}或 B ={x || x |<2}，则（ A = {x |0< x <2| , B= {x | — 2<x <2}, （xx •陕西西安一模，2）已知集合M = { — 1,0,1} M 与集合N 的关系是（） M = N B . M T N= N MU N = N D . M T N = ? ,N= {x | x = ab, a , b € M 且 a * b },b€ M 且a* b},所以N= { —1,0}, 解析：因为集合M= {—1,0,1} , N= {x| x = ab, a, 则集合MA N= N.故选B.答案：B5.(xx •天津十二县区联考)已知集合M= {x| x >4} ,N= {x|1<x<3}，则NQ( ?R M =( )A. {x| —2< x<1} B . {x| —2< x< 2}C. {x|1<x w2} D . {x| x<2}解析：本题考查集合的运算.由题意得集合M= {x|x<—2或x>2}，所以?R M= {x| —2w x w 2}，所以NQ(?R M = {x|1<x w 2}，故选C.熟记集合的补集和并集运算法则是解题的关键.答案：C6. 已知集合A= {x| x2—3x<0}, B= {1 , a}，且A T B有4个子集，则实数a的取值范围是()A. (0,3)B. (0,1) U (1,3)C. (0,1)D. ( —s, 1) U (3 ,+^)解析：•/ A T B有4个子集，••• A T B中有2个不同的元素，•••a€ A, • a2—3a<0,解得0<a<3且a* 1,即实数a的取值范围是(0,1) U (1,3),故选B. 答案：B 7. (xx •湖北武昌一模)设A, B 是两个非空集合，定义集合A — B = {x |x € A 且x ?B } •若 A = {x € N|0 w x w 5}, B = {x | x — 7x + 10<0}，贝U A — B =( ) A. {0,1} B . {1,2} B. {0,1,2} D . {0,125} 解析：•/ A = {x € N|0 w x w 5} = {0,1,2,3,4,5} , B = {x |x 2— 7x + 10<0} = {x |2< x <5} , A —B = {x | x € A 且 x ?B , ••• A - B= {0,1,2,5}.故选 D. 答案：D 8. (xx •河北衡水中学七调 )已知集合 A = {x |log 2x <1} , B= {x |0<x <c }，若 A U B = B , 则c 的取值范围是( ) A. (0,1] B . [1 ,+s)C. (0,2] D . [2 ,+s) 解析：A ={x |log 2x <1} = {x |0< x <2},因为 A U B = B,所以 A ? B,所以 c >2,所以 c € [2 , + s )，故选D. 答案：D 9. (xx •湖北省七市(州)协作体联考)已知集合P = { n | n = 2k — 1, k € N*, k w 50}, Q= {2,3,5},则集合T = {xy |x € P, y € Q 中元素的个数为( ) A. 147 B . 140 C. 130 D . 117 解析：由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y = 2时，xy 是偶数，不与y = 3, y = 5 有相同的元素，当 y = 3, x = 5,15,25，…，95时，与y = 5, x = 3,9,15，…，57时有相同 的元素，共10个，故所求元素个数为 3X 50— 10= 140,故选B. 答案：B 10. （xx •豫北名校联考）设集合 A = {x | x 2+ 2x — 3>0}，集合 B= {x | x 2— 2ax — 1w 0, a >0}, 若A n B 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） 73 4> B. 忖 4） 3 C. 4,+^ D . (1 ,+◎ 2 解析：A = {x | x + 2x — 3>0} = {x | x >1 或 x <— 3}, 设函数f (x ) = x 2— 2ax — 1,因为函数f (x ) = x 2— 2ax — 1图象的对称轴为 A n B 中恰有一个整数，则这个整数为 2, 4 — 4a — 1w 0, 即什 9 — 6a —1>0,答案：B二、填空题11. 设集合 A = {3 , nm , B= {3 m,3}，且A = B ,则实数 m 的值是 __________ .解析：由集合 A= {3 , m = B = {3 m,3}，得 3m= m 贝U m = 0.答案：0x = a ( a >0) ,f (0) • a <3 即A a<；,故选 B. =—1<0,根据对称性可知若 所以12. 已知A= {x|x2—3x+ 2<0} ,B= {x|1<x<a}，若A? B,则实数a 的取值范围是_________解析：因为A= {x| x2—3x+ 2<0} = {x|1<x<2}? B,所以a>2.答案：[2 ,+R)213. (xx •江苏卷)已知集合A= {1,2} , B={a, a + 3}.若A n B={1}，则实数a的值为________ .解析：•/ A n B= {1} , A= {1,2},••• 1 € B且2?B若a= 1,则a2+ 3 = 4,符合题意.又a2+ 3>3工1,故a= 1.答案：114.设函数f(x) = lg(1 - x2)，集合A={x|y= f (x)} , B={y|y= f (x)}，则图中阴影部分表示的集合为___________________ .2 2解析：因为A= {x| y = f (x)} = {x|1 -x >0} = {x| - 1<x<1}，贝U u= 1-x € (0,1］，所以B= {y| y= f(x)} = {y|y< 0}, A U B= (-^, 1) , A n B= ( - 1,0］，故图中阴影部分表示的集合为(—3—1］U (0,1).答案：(-3,- 1］U (0,1)［能力挑战］14. (xx •豫北名校联考)设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P?Q= {z|z = a+ b,a€ P, b€ Q，若P= { - 1,0,1} , Q= { - 2,2},则集合P?Q中元素的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 5解析：当a= 0时，无论b取何值，z = a-b= 0；1当a=- 1, b=- 2 时，z= ;1t丄当a=- 1, b= 2 时，z=- ;1t丄当a= 1, b=- 2 时，z=- ;1t丄当a= 1, b= 2 时，z =' 1 r 一故P?Q= ,0, - 2, 2，该集合中共有3个兀素，所以选 B.答案：B15. 已知数集A= {a1, a2,…，a n}(1 < a1<a2<・・van, n》2)具有性质P：对任意的i , j(1 w i w j w n) , aia与色两数中至少有一个属于A,则称集合A为“权集”，则()a iA. {1,3,4}为“权集”B. {1,2,3,6}为“权集”C. “权集”中元素可以有0D. “权集”中一定有元素14解析：由于3X4与3均不属于数集{1,3,4}，故A 不正确，由于1X 2,1 X 3,1 X 6,2 X 3,AO Q C c6 6, 1 2, 3 6都属于数集{1,2,3,6}，故B 正确，由“权集”的定义可知 」需有意义， 2 3 1 2 3 6 a i故不能为0,同时不一定有1,故C , D 错误，选B.答案：B16. 设常数 a € R,集合 A= {x |( x -1) •( x - a ) > 0}, B = {x |x > a - 1}，若 A U B = R , 则a 的取值范围为 __________ .解析：若a >1，则集合A = {x |x > a 或x w 1}，利用数轴可知，要使A U B= R,需要a - 1w 1, 则1<a w 2；若a = 1,则集合 A = R,满足 A U B= R ,故a = 1符合题意；若 a <1，则集合 A = {x | x w a 或x > 1},显然满足A U B = R ,故a <1符合题意.综上所述，a 的取值范围为(―汽 2] •答案：（―乂, 2]。
2019高考复习理数通用版：“空间几何体”双基过关检测
“空间几何体”双基过关检测一、选择题1．如图所示，若P为正方体ABCD-A1B1C1D1中AC1与BD1的交点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是()A．①②③④B．①③C．①④D．②④解析：选C由题意，得△PAC在底面ABCD，A1B1C1D1上的射影如图①所示，△PAC 在其余四个侧面上的射影如图④所示，故选C.2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm2解析：选C依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.3．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为() A．8π B．12πC．20π D．24π解析：选C如图，由题意得PC为球O的直径，而PC＝22＋42＝25，即球O的半径R＝5，所以球O的表面积S＝4πR2＝20π.选C.4．(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2解析：选B 在正方体中还原该四棱锥如图所示， 从图中易得最长的棱为AC 1＝AC 2＋CC 21＝(22＋22)＋22＝2 3.5．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．60B ．30C ．20D ．10解析：选D 如图，把三棱锥A -BCD 放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD 为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥A -BCD 的高为4，故该三棱锥的体积V ＝13×12×5×3×4＝10.6．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4.7．(2018·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )解析：选C 由已知条件得直观图如图所示，PC ⊥底面ABC ，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA 形成的投影，应为虚线，故选C.8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：选A 由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥， 因此V 1＝8π－8π3＝16π3，V 2＝4π3×23＝32π3，V 1∶V 2＝1∶2. 二、填空题9．(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π210.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)， 又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高， 故V ＝13×2×2×1＝43.答案：4311．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x 的值为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，左侧是一个底面直径为2r ＝1、高为x 的圆柱，右侧是一个长、宽、高分别为5.4－x,3,1的长方体，则该几何体的体积V ＝(5.4－x )×3×1＋π×14×x ＝12.6，解得x ＝1.6.答案：1.612．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为________．解析：构造长方体，则其体对角线长为7，其在侧视图中为侧面对角线a ，在俯视图中为底面对角线b ，设长方体底面宽为1，则b 2－1＋a 2－1＝6，则a 2＋b 2＝8，利用不等式⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤a 2＋b 22＝4，则a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，即a ＋b 的最大值为4.答案：4三、解答题13．已知正三棱锥V -ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝12×23×23＝6.14．(2018·大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．(2)其侧视图如图所示，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高， 即AD ＝3a ，故该平面图形的面积S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.(3)该几何体的体积V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.。
高二数学同步单元双基双测“AB”卷(2)专题04空间点线面之间的关系(B卷)Word版含解析
(测试时间：120分钟总分值：150分)第|一卷 (共60分 )一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.(2021安徽蚌埠高二期中)以下表达中错误的选项是()A.假设P∈α∩β,且α∩β=l,那么P∈lB.三点A,B,C确定一个平面C.假设直线a∩b =A,那么直线a与b能够确定一个平面D.假设A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,那么l⊂α答案:B2.在三棱锥A -BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,假设EF∩HG =P,那么点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上解析:如图,∵EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG =P,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD =AC,∴P∈AC,应选B.答案:B3.α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,假设a∩b =P,那么()A.P∈cB.P∉cC.c∩a =⌀D.c∩β=⌀解析:答案:A4.(2021四川德阳高二期中)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,那么直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析:易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案:C5.异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至||少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行解析:如图,a'与b异面,但a'∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;假设a∥c,b∥c,那么a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.答案:C6.在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,那么以下判断正确的选项是()A.MN≥(AC +BD)B.MN≤(AC +BD)C.MN =(AC +BD)D.MN<(AC +BD)解析:取BC的中点Q,那么MN<MQ +NQ =.答案:D7.α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,以下推理错误的选项是()A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂βB.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MNC.A∈α,A∈β⇒α∩β=AD.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合解析:两平面有公共点,那么两平面有一条交线,故C错.答案:C8.(2021山西太原高二月考)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,那么以下命题正确的选项是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面答案:B9. (2021安徽安庆高二期中)以下说法正确的选项是()A.假设直线a不平行于平面α,那么直线a与平面α相交B.直线a和b是异面直线,假设直线c∥a,那么c与b一定相交C.假设直线a和b都和平面α平行,那么a和b也平行D.假设直线c平行直线a,直线b⊥a,那么b⊥c解析:假设直线a不平行于平面α,那么直线a与平面α相交,或a⊂α,故A错误;假设直线a和b 是异面直线,假设直线c∥a,那么c与b相交或异面,故B错误;假设直线a和b都和平面α平行,那么a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;假设直线c平行直线a,直线b⊥a,那么b ⊥c,故D正确.应选D.答案:D10.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.A.5B.6C.7D.8解析:由异面直线的定义,正方体ABCD -A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.答案:B11.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,A1A =AB,E,F分别是BD1和AD中点,那么异面直线CD1,EF所成的角的大小为.A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°∴EF∥DG,答案:C12.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.A.①③B.①②③C.①②D.①②③④解析:把正方体平面展开图复原到原来的正方体,如下列图,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案:A第二卷(共90分)二、填空题 (本大题共4小题 ,每题5分 ,总分值20分 ,将答案填在答题纸上 )13.平面α,β相交,在α,β内各取两点,这四点都不在交线上,那么这四点最||多能确定个平面.解析:当四点共面时能确定1个平面,假设这四点不共面,那么任意三点可确定1个平面,故可确定4个平面.答案:414.如图,ABCD -A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,那么以下结论错误的选项是.(填序号)①A,M,O三点共线;②A,M,O,A1四点共面;③A,O,C,M四点共面;④B,B1,O,M四点共面.解析:因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知①②③均正确.答案:④15.平面α∩平面β=l,点M∈α,N∈α,点P∈β,且P∉l,又MN∩l =R,过M,N,P三点所确定的平面记为γ,那么β∩γ=.解析:如图,MN⊂γ,R∈MN,∴R∈γ.又R∈l,∴R∈β.又P∈γ,P∈β,∴β∩γ=PR.答案:直线PR16.(2021四川德阳高二期中)如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,假设E,F,G分别为棱BC,C1C,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中|心,那么以下各组中的四个点在同一个平面上的是.①A,C,O1,D1;②D,E,G,F;③A,E,F,D1;④G,E,O1,O2.答案:①③④三、解答题 (本大题共6小题 ,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17.直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,那么平面α与β的位置关系可能是哪些情况 ?解析:因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).所以可能是相交或平行18.过三棱柱ABC -A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有多少条 ?解析:如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.所以共有6条19.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,假设MN 与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.20.如图,在四面体A -BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.证明:设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD =AC,∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.21.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且.(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;(2)求的值.(1)证明:∵AA'∩BB' =O,且,∴AB∥A'B'.同理AC∥A'C',BC∥B'C'.(2)解:∵A'B'∥AB,A'C'∥AC,且AB和A'B',AC和A'C'方向相反,∴∠BAC =∠B'A'C'.同理∠ABC =∠A'B'C',∠ACB =∠A'C'B',∴△ABC∽△A'B'C',且,∴.22.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD =BC =a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最||大?最||大面积是多少?公众号：惟微小筑。
高考数学总复习 空间几何体双基过关检测 理
“空间几何体”双基过关检测一、选择题1．(2017·南昌调研)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体D ．三棱柱解析：选A 圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．(2017·大连双基测试)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A.163π B.323πC ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则表面积是16π，即4πR 2＝16π，解得R ＝2. 所以体积为43πR 3＝32π3.4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( )A ．3 3 B. 3 C ．2 6D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3.5．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64 C.3233D.643解析：选D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D.6．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝81π4.7．(2017·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )解析：选C 由已知条件得直观图如图所示，PC ⊥底面ABC ，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA 形成的投影，应为虚线，故选C.8．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323cm 3D.403cm 3解析：选C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．二、填空题9.如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．解析：设三棱锥V ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33.答案：3310.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)， 又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高， 故V ＝13×2×2×1＝43.答案：4311．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝＋2×1＝32.答案：3212．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为________．解析：本题构造长方体，体对角线长为7，其在侧视图中为侧面对角线a ，在俯视图中为底面对角线b ，设长方体底面宽为1，则b 2－1＋a 2－1＝6，则a 2＋b 2＝8，利用不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤a 2＋b 22＝4，则a ＋b ≤4.答案：4 三、解答题13．已知正三棱锥V ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.14．(2017·大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图． (1)试判断该几何体是什么几何体； (2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积； (3)求出该几何体的体积．解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．(2)其侧视图如图所示，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.(3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.。
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“空间位置关系”双基过关检测一、选择题1．设三条不同的直线l1，l2，l3，满足l1⊥l3，l2⊥l3，则l1与l2()A．是异面直线B．是相交直线C．是平行直线D．可能相交、平行或异面解析：选D如图所示，在正方体ABCD-EFGH中，AB⊥AD，AE⊥AD，则AB∩AE＝A；AB⊥AE，AE⊥DC，则AB∥DC；AB⊥AE，FH⊥AE，则AB与FH是异面直线，故选D.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是()A．A1B∥D1B1B．AC1⊥B1CC．A1B与平面DD1B1B成45°角D．A1B与B1C成30°角解析：选B易知四边形BDD1B1是平行四边形，所以DB∥D1B1，又因为A1B与DB相交，所以A1B与D1B1是异面直线，故A错误；连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，易知A1C1垂直平面DD1B1B，所以A1B与平面DD1B1B成30°角，故C错误；连接A1D，则三角形A1BD是等边三角形，且A1D ∥B1C，则A1B与B1C成60°角，故D错误，选B.3．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n解析：选D若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n平行或异面，即A错误；若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m与n相交或平行或异面，即B错误；若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，即C错误，故选D.4.(2018·广东模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①BE与CF异面；②BE与AF异面；③EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选B画出该几何体，如图，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，所以EF∥BC，BE与CF是共面直线，故①不正确；②BE与AF满足异面直线的定义，故②正确；③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，故③正确；④因为BE与PA的关系不能确定，所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．故选B.5.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD 中，M 是PB 的中点，所以OM 是△PBD 的中位线，OM ∥PD ，则PD ∥平面AMC ，OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA .因为M ∈PB ，所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交．6．(2018·余姚模拟)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；∵CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥BD ，∴MN 与CC 1垂直，故A 正确；∵AC ⊥BD ，MN ∥BD ，∴MN 与AC 垂直，故B 正确，故选D.7.如图，正方体ABCD -A1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析：选D 因为AC ⊥平面BDD 1B 1，BE ⊂平面BDD 1B 1，所以AC ⊥BE ，A 项正确；根据线面平行的判定定理，知B 项正确；因为三棱锥的底面△BEF 的面积是定值，且点A 到平面BDD 1B 1的距离是定值22，所以其体积为定值，C 项正确；很显然，点A 和点B 到EF 的距离不相等，故D 项错误．8．(2018·福州质检)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与直线A 1B 1，EF ，BC 都相交的直线( )A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条B1与M确定一个解析：选D在EF上任意取一点M，直线A平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．二、填空题9．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a，b，c的位置关系是________．解析：∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.答案：a∥b∥c10．(2018·天津六校联考)设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.其中真命题的序号是________．解析：①中a与b也可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直，正确．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以，正确．答案：②③④11．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线D1E和A1F所成角的余弦值等于________．解析：取BB 1的中点G ，连接FG ，A 1G ，易得A 1G ∥D 1E ，则∠FA 1G 是异面直线D 1E 和A 1F 所成角或补角，易得A 1F ＝A 1G ＝5，FG ＝6，在三角形FA 1G 中，利用余弦定理可得cos ∠FA 1G ＝5＋5－62×5×5＝25. 答案：2512．(2017·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，又AC ⊥a ，AC ⊥b ，AC ⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B ，作BD ∥a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，∴DE ∥b ，连接AD ，设BC ＝1，在等腰△ABD 中，AB ＝AD ＝2，当直线AB 与a 成60°角时，∠ABD ＝60°，故BD ＝2，又在Rt △BDE 中，BE ＝2，∴DE ＝2，过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，EF ，∴BF ＝DE ＝2，∴△ABF 为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．∴正确的说法为②③.答案：②③三、解答题13.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.(1)求a的值；(2)求三棱锥B1-A1BC的体积．解：(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC＝60°.又AA1⊥平面ABC，AB＝AC，则A1B＝A1C，∴△A1BC为等边三角形，由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°⇒BC＝2，∴A1B＝2⇒1＋a2＝2⇒a＝1.(2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB＝A，∴CA⊥平面A1B1B，∴VB1-A1BC＝VC-A1B1B＝13×12×1＝16.14．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB ＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明：(1)∵F是AB的中点，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，∴AF綊CD，∴四边形AFCD为平行四边形，∴CF∥AD.又ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，∴C1C∥D1D.而FC∩C1C＝C，D1D∩DA＝D，∴平面ADD1A1∥平面FCC1.∵EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1.(2)在直四棱柱中，CC1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∵底面ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝2，F是棱AB的中点，∴CF＝AD＝BF＝2，∴△BCF为正三角形，∠BCF＝∠CFB＝60°，∠FCA＝∠FAC＝30°，∴AC⊥BC.又BC与CC1都在平面BB1C1C内且交于点C，∴AC⊥平面BB1C1C，而AC⊂平面D1AC，∴平面D1AC⊥平面BB1C1C.。