2018年高考数学总复习概率双基过关检测理

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2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“数列”含解析

“数列”双基过关检测一、选择题1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选B.2．(2017·江西六校联考)在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：选A 由a 3a 5a 7＝－33，得a 35＝－33，故a 2a 8＝a 25＝3.3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．2解析：选 D 由题意得a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8.所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 015＝a 335×6＋5＝a 5＝2.4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55D ．109解析：选C a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，……，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.故选C.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44B ．45C.13×(46－1) D.14×(45－1)解析：选B 由a n ＋1＝3S n 得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×453＝45，故选B.6．(2017·河南中原名校摸底)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝a 1＋a 112＝a 1＋10d2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.7．(2017·哈尔滨模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32B.23C ．－23D.23或－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.又a 1<0，因此q ＝－23.8．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．75B ．90C ．105D ．120解析：选C a 1＋a 2＋a 3＝15⇒3a 2＝15⇒a 2＝5，a 1a 2a 3＝80⇒(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(d ＝－3舍去)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1，n 为偶数，2n －5，n 为奇数，则a 3a 4＝________.解析：由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.答案：5410．(2016·宁夏吴忠联考)等比数列的首项是－1，前n 项和为S n ，如果S 10S 5＝3132，则S 4的值是________．解析：由已知得S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝3132，故q 5＝－132，解得q ＝－12，S 4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161＋12＝－58.答案：－5811．(2016·潍坊一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1三、解答题12．(2017·德州检测)已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k k －2·d ＝2k ＋k k －2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n＋2n 2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n＋n ＋2＝n n ＋2.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1，又a 1＝1≠0，∴{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)由(1)知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，∵b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1，当n ＝1时，上式也成立，∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1 ＝2a n －2n ＋1.因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －1－2.。

[推荐学习]2018年高考数学总复习不等式双基过关检测理

“不等式”双基过关检测一、选择题1．(2017·洛阳统考)已知a <0，－1ab >ab 2B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：选D ∵－1ab 2>a ，故选D. 2．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab ≥2 C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lga ＋b2≥2lg ab ＝lg(ab )＝lg a ＋lg b .3．(2016·武汉调研)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋ab≥2解析：选D ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. 4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72C.154D.152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1B.12C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.6．(2017·成都一诊)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则 1x ＋1y的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy＝2xy，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4. ∴1x ＋1y≥2xy＝1.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 法一：将z ＝y －2x 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向右下方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 减小，数形结合知当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5,3)时，z 取得最小值3－10＝－7.故选A.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3)，(2,0)，(5,3)，分别代入z ＝y －2x 得z 的值为1，－4，－7，故z 的最小值为－7.故选A.8．(2017·东北育才中学模拟)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 因为直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 二、填空题9．(2017·沈阳模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时等号成立，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：210．(2016·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：1311．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________ m ，宽为________ m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案：1515212．(2017·邯郸质检)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1) 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6 ＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．(2016·济南一模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“空间几何体”含解析

“空间几何体”双基过关检测一、选择题1．(2017·南昌调研)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱解析：选A 圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2，则原平面图形的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2 解析：选C 依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．(2017·大连双基测试)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163πB.323π C ．16π D ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则表面积是16π，即4πR 2＝16π，解得R ＝2.所以体积为43πR 3＝32π3. 4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为6时，其高的值为( )A ．3 3 B. 3 C ．2 6 D ．2 3解析：选D 设正六棱柱的高为h ，则可得(6)2＋h 24＝32，解得h ＝2 3. 5．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64C.3233D.643解析：选D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D. 6．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9πD.27π4 解析：选A 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝81π4. 7．(2017·南阳联考)已知一个三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )解析：选C 由已知条件得直观图如图所示，PC ⊥底面ABC ，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA 形成的投影，应为虚线，故选C.8．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3 解析：选 C 由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm 的正方体，体积V 1＝2×2×2＝8(cm 3)；上面是底面边长为2 cm ，高为2 cm 的正四棱锥，体积V 2＝13×2×2×2＝83(cm 3)，所以该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝323(cm 3)．二、填空题9.如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．解析：设三棱锥V ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33. 答案：3310.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高，故V ＝13×2×2×1＝43. 答案：4311．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，其底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝＋2×1＝32. 答案：32 12．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为________．解析：本题构造长方体，体对角线长为7，其在侧视图中为侧面对角线a ，在俯视图中为底面对角线b ，设长方体底面宽为1，则b 2－1＋a 2－1＝6，则a 2＋b 2＝8，利用不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤a 2＋b 22＝4，则a ＋b ≤4. 答案：4三、解答题13．已知正三棱锥V ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)直观图如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝ 42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23， ∴S △VBC ＝12×23×23＝6.14．(2017·大庆质检)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积．解：(1)由题意可知该几何体为正六棱锥．(2)其侧视图如图所示，其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BC ＝3a ，AD 的长是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，∴该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2. (3)V ＝13×6×34a 2×3a ＝32a 3.。

2018年高考数学总复习导数及其应用双基过关检测理

“导数及其应用”双基过关检测一、选择题1．已知函数f (x )＝sin x －12x ，则f ′(x )＝( )A ．sin x －12B ．cos x －12C ．－cos x －12D ．－sin x ＋12解析：选B f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12x ′＝(sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝cos x 2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝A ．e B.1eC.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ln a ＝－1，所以a ＝1e. 3．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) B ．y ＝－3x －1 D ．y ＝－2x －1，所以曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的＝3x －1.的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )B ．2 D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选 B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0<x ≤2，则 f(x)d x 的值为( )A. 43 B ．4 C ．6D.2038．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,3] B ．(2,3] C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x≤0时，1>f (x )＝1－2x≥0；当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得1≥a －2≥0，解得2≤a ≤3，选A .二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a x，要使函数f (x )＝x ＋aln x 不是单调函数，则需方程1＋a x＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f(x)＝ln x －f′(－1)x 2＋3x －4，则f′(1)＝________. 解析：∵f′(x)＝1x －2f′(－1)x ＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)ex －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x－1＋x ，当x<0时，g′(x)<0，当x>0时，g′(x)>0， ∴当x ＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m －1≥g(x)min ＝1，∴m≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f(x)＝x ＋ax＋b(x≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8. 由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以满足条件的⎦⎥⎤－∞，74.－32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值．。

2018年高考数学(理)总复习双基过关检测：“平面向量”含解析

“平面向量”双基过关检测一、选择题1．(2017·常州调研)已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( )A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0， ∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13·(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－13(2AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→.2．(2017·合肥质检)已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ―→＋CB ―→＝0，则向量OC ―→等于( )A.23OA ―→－13OB ―→ B ．－13OA ―→＋23OB ―→C ．2OA ―→－OB ―→D ．－OA ―→＋2OB ―→解析：选C 因为AC ―→＝OC ―→OC ―→－OA ―→，CB ―→＝OB ―→－OC ―→，所以2AC ―→＋CB ―→＝2(OC ―→－OA ―→)＋(OB ―→－OC ―→)＝OC ―→－2OA ―→＋OB ―→＝0，所以OC ―→＝2OA ―→－OB ―→.3．已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a －b )·b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B (2a －b )·b ＝2a·b －b 2＝2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉－|b |2＝2×1×1×cos 60°－1＝0.4．(2016·成都一诊)在边长为1的等边△ABC 中，设BC ―→＝a ，CA ―→＝b ，AB ―→＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.5．若向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|a ＋2b |＝23，则|b |＝( ) A. 3 B ．1 C ．4D ．3解析：选B 因为|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝22＋8·|b |·cos 60°＋4|b |2＝(23)2，所以|b |2＋|b |－2＝0，解得|b |＝1.故选B.6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：选C 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a|·|b|＝12，∴θ＝π3.7．(2017·青岛二模)在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1,2)，a －12b ＝(3,1)，c＝(x,3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D 依题意得b ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝(－4,2)，2a ＋b ＝(－2,6)，6x ＝－2×3＝－6，x ＝－1，故选D.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2 解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2. 二、填空题9．(2016·洛阳一模)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：∵AB ―→＝(a －1,3)，AC ―→＝(－3,4)，据题意知AB ―→∥AC ―→， ∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.答案：－5410．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b .答案：b －a －a －b11．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m －n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－312．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．解析：由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案：－2 三、解答题13．已知a ，b 不共线，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， OD ―→＝d ， OE ―→＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ―→＝d －c ＝2b －3a ，CE ―→＝e －c ＝(t －3)a ＋tb ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ―→＝k CD ―→，即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．14．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0. 由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0， ∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12.又∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， ∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。

2018年高考(理)总复习《不等式》双基过关检测试卷含解析

“不等式”双基过关检测一、选择题1．(2017·洛阳统考)已知a <0，－1ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2 D ．ab >ab 2>a解析：选D ∵－1ab 2>a ，故选D. 2．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋b ab≥2C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1解析：选C ∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg(ab )＝lg a ＋lg b .3．(2016·武汉调研)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋ab≥2解析：选D ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72C.154D.152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.6．(2017·成都一诊)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则 1x ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4. ∴1x ＋1y ≥2xy＝1. 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 法一：将z ＝y －2x 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向右下方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 减小，数形结合知当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5,3)时，z 取得最小值3－10＝－7.故选A.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为(1,3)，(2,0)，(5,3)，分别代入z ＝y －2x 得z的值为1，－4，－7，故z 的最小值为－7.故选A.8．(2017·东北育才中学模拟)若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2 a b ·ba＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取“＝”，故选C. 二、填空题9．(2017·沈阳模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时等号成立，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：210．(2016·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出线性目标函数所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：1311．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________ m ，宽为________ m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案：1515212．(2017·邯郸质检)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1) 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6 ＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．(2016·济南一模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020.。

【配套K12】2018年高考数学总复习基本初等函数及应用双基过关检测理

“基本初等函数及应用”双基过关检测一、选择题1．化简[(－2)6] 12－(－1)0的结果是( ) A ．－9 B ．7 C ．－10D ．9解析：选B [(－2)6] 12－(－1)0＝(26) 12－1＝23－1＝7.2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点( ) A ．(1,0) B ．(1，－2) C ．(－1，－2)D ．(－1，－1)解析：选C 令x ＝－1，得log a 1＝0，此时f (－1)＝－2，故选C.3．(2017·济宁诊断)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选C 由幂函数的定义知k ＝1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.4．(2017·郑州模拟)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象知：当a <0，且abc >0时，若－b2a <0，则b <0，c >0，故排除A ，若－b2a>0，则b >0，c <0，故排除B.当a >0，且abc >0时，若－b2a <0，则b >0，c >0，故排除C ，若－b2a>0，则b <0，c <0，故选项D 符合．5．(2017·成都模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 2 79，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．c ⎝ ⎛⎭⎪⎫9715>1，c ＝log 2 79<0，所以a >b >c .故选B.6．(2017·长春模拟)函数y ＝4x＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B 令2x＝t ，则函数y ＝4x＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t >0)．∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增， ∴y >1.∴所求值域为(1，＋∞)．故选B. 7．(2016·大连二模)定义运算：x y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：＝3，(－＝4，则函数f (x )＝x2x －x 2)的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意可得f (x )＝x2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x >2或x <0，当0≤x ≤2时，f (x )∈[0,4]；当x >2或x <0时，f (x )∈(－∞，0)．综上可得函数f (x )的最大值为4，故选D. 8．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1,1)上的减函数D ．(－1,1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1， ∴f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x －1＝－1＋－2x －1在(－1,1)上是增函数， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数．选D. 二、填空题9．(2017·连云港调研)当x >0时，函数y ＝(a －8)x的值恒大于1，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，a －8>1，解得a >9. 答案：(9，＋∞)10．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．解析：设f (x )＝x a，又 f (4)＝3 f (2)， ∴4a ＝3×2a，解得a ＝log 23， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13. 答案：1311．若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，解得a >1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 12．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤2，a 2≤0，即－4≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0] 三、解答题13．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x(a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.14．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )＝log a x ＋11－x 在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．。

2018年高考数学(理)总复习_双基过关检测：“随机变量及其分布”_有解析

“随机变量及其分布”双基过关检测一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2解析：选C 由P (ξ＜4)＝0.8，得P (ξ≥4)＝0.2，由题意知正态曲线的对称轴直线 x ＝2，P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，∴P (0＜ξ＜4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6， ∴P (0＜ξ＜2)＝12P (0＜ξ＜4)＝0.3.2．已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3 P35310110则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52D ．3解析：选A E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32，选A.3．(2017·厦门质检)设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝m ⎝⎛⎭⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为( ) A.1738 B.2738 C.1719D.2719解析：选B 由分布列的性质得P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋ P (X ＝3)＝m ×23＋m ×⎝⎛⎭⎫232＋m ×⎝⎛⎭⎫233＝38m 27＝1. ∴m ＝2738.4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则目标是被甲击中的概率为( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75解析：选D 设目标被击中为事件B ，目标被甲击中为事件A ，则由P (B )＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )P (B )＝0.60.8＝0.75.5．(2016·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：选C 由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：选B 设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512. 二、填空题7．(2017·安康质检)设随机变量X 的概率分布列为X 1 2 3 4 P13m1416则P (|X －3|＝1)＝________.解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案：5128．设随机变量X ～N (3，σ2)，若P (X >m )＝0.3，则P (X >6－m )＝________. 解析：因为P (X >m )＝0.3，所以P (X <6－m )＝0.3，所以P (X >6－m )＝1－P (X <6－m )＝0.7. 答案：0.79．(2017·福州质检)一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为________．解析：记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，23，Y ＝10X ， ∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.答案：20，2003三、解答题10．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．解：记A i 表示事件“电流能通过T i ”，i ＝1,2,3,4， A 表示事件“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”， B 表示事件“电流能在M 与N 之间通过”． (1)A ＝A 1—A 2—A 3—，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1—A 2—A 3—)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3，又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001，故(1－p )3＝0.001，解得p ＝0.9. (2)B ＝A 4∪(A 4A 1A 3)∪(A 4—A 1—A 2A 3)，P (B )＝P (A 4)＋P (A 4A 1A 3)＋P (A 4—A 1—A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.11．(2017·苏州调研)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数，求X 的概率分布．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518.(2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363；于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114.所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P11141363112612．(2016·日照模拟)某娱乐节目将4名队员平均分成甲、乙两个组，进行一对一的独立闯关比赛，已知甲组中2名队员A ，B 过关的概率分别为13，23，乙组中2名队员C ，D 过关的概率都为12，最后根据两组过关人数的多少来决定胜负，若过关人数相同，则认为两组平局．(1)求A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关的概率；(2)将甲组过关的人数记作x ，乙组过关的人数记作y ，设X ＝|x －y |，求X 的分布列和数学期望．解：(1)设“A ，B ，C ，D 4名队员至多1人过关”为事件A ，“4名队员都不过关”为事件A 0，“4名队员恰有1人过关”为事件A 1，则A ＝A 0∪A 1.又P (A 0)＝23×13×12×12＝118，P (A 1)＝13×13×12×12＋23×23×12×12＋23×13×12×12×2＝14，故P (A )＝118＋14＝1136.(2)X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝23×13×12×12＋⎝⎛⎭⎫13×13＋23×23×12×12×2＋13×23×12×12＝718，P (X ＝2)＝13×23×12×12＋23×13×12×12＝19，P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝2)＝1－718－19＝12.故X 的分布列为X 0 1 2 P7181219E (X )＝0×718＋1×12＋2×19＝1318.。

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“概率”双基过关检测
一、选择题
1．(2017·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是红球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析：选D A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．
2．(2016·安阳二模)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )
A．0.7 B．0.65
C．0.35 D．0.3
解析：选C 事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
3．已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为( )
A.3
5
B.
9
25
C.16
25 D.
2
5
解析：选B PQ中点组成的区域M如图阴影部分所示，那么在C内部
任取一点落在M内的概率为25π－16π
25π
＝
9
25
，故选B.
4．(2017·铜川一模)做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，
其中x表示第一颗骰子正面朝上的点数，y表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x＋y＞10的概率是( )
A.2
5
B.
5
12
C.1
6
D.
1
12
解析：选D (x ，y )的所有基本事件共有6×6＝36个，事件“x ＋y ＞10”包含(5,6)，
(6,5)，(6,6)，共3个基本事件．根据古典概型的概率计算公式可知，x ＋y ＞10的概率是112
，故选D.
5．在正三棱锥S ABC 内任取一点P ，使得V P ABC ＜12
V S ABC 的概率是( ) A.78B.34
C.12
D.14
解析：选A 如图，分别取D ，E ，F 为SA ，SB ，SC 的中点，则满足
条件的点P 应在棱台DEF ABC 内，
而S △DEF ＝14
S △ABC ， ∴V S DEF ＝18
V S ABC . ∴P ＝VDEF －ABC VSABC ＝78
.故选A. 6．(2017·河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( )
A.34
B.710
C.45
D.35
解析：选D 设2个红球分别为a ，b,3个白球分别为A ，B ，C ，从中随机抽取2个，则有(a ，b )，(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(b ，A )，(b ，B )，(b ，C )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，
共10个基本事件，其中既有红球也有白球的基本事件有6个，则所求概率为P ＝610＝35
. 7．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b ，c ，则方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率为( )
A.13
B.12
C.1936
D.25
解析：选C 将一枚骰子抛掷两次共有6×6＝36种结果．方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根，
则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ≥2c ，其包含的结果有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，。