高考数学第二轮专题限时复习题20-离散型随机变量及其分布列
2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。
离散型随机变量及其分布列(基础+复习+习题+练习).docx
`课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求：① 理解取有限个的离散型随机量及其分布列的概念，了解分布列于刻画随机象的重要性；②理解超几何分布及其推程，并能行的用.教材复习1.随机量：如果随机的果可以用一个量来表示，那么的量叫做随机量随机量常用希腊字母、等表示2.离散型随机量 : 于随机量可能取的，可以按一定次序一一列出，的随机量叫做离散型随机量若是随机量，a b ，其中 a 、b是常数，也是随机量3.型随机量:于随机量可能取的，可以取某一区的一切，的量就叫做型随机量4. 离散型随机量与型随机量的区与系: 离散型随机量与型随机量都是用量表示随机的果；但是离散型随机量的果可以按一定次序一一列出，而性随机量的果不可以一一列出5.离散型随机量的分布列:离散型随机量可能取的x1、 x2、⋯、 x i、⋯取每一个x i i 1,2,的概率P(x i ) p i，称表x1x2⋯x i⋯P p1p2⋯p i⋯随机量的概率分布，称的分布列6.离散型随机量分布列的两个性：任何随机事件生的概率都足: 0≤P( A)≤1，并且不可能事件的概率0 ，必然事件的概率 1．由此你可以得出离散型随机量的分布列都具有下面两个性：1p i≥0， i 1,2, ⋯；2 p1p2⋯1于离散型随机量在某一取的概率等于它取个各个的概率的和. 即P( ≥ x k ) P(x k ) P(x k 1 )7.两点分布：若随机量服从两点分布，即其分布列：X01其中 P P( X1) 称成功概率(表中 0 p 1 ).P 1 p p 8.几何分布：在独立重复中，某事件第一次生，所作的次数也是一个正整数的离散型随机量．“k”表示在第 k 次独立重复事件第一次生. 如果把k次事件 A 生A k、事件 A 不生A k，p( A k)p ，p( A k) q( q 1 p) ，那么P(k ) P( A1 A2 A3 L A k 1A k )P( A1 )P( A2 ) P( A3 ) L P( A k 1 )P(A k ) q k 1 p(k0,1,2, ⋯， q1p )于是得到随机量的概率分布如下：13k2⋯⋯`Ppqq 2 p q k 1 pp⋯⋯称 的随机 量服从几何分布，作 g( k, p)q k 1 p ，其中 k0,1,2, ⋯， q 1 p9.超几何分布： 一般地， 有 N 件 品， 其中有 M （ M ≤ N ）件次品， 从中任取 n （ n≤ N ）件 品，用 X 表示取出的 n 件 品中次品的件数，那么 P Xk（其中 k 非 整数）. 如果一个随机 量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数N , M , n 的超几何分布 .m12⋯C M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1MC M 2 C N n 2MC M m C N n m MC N n C N nC N n ⋯C N n10. 求离散型随机变量分布列的步骤： 1 要确定随机 量 的可能取 有哪些 . 明确取每个 所表示的意 ； 2 分清概率 型， 算 取得每一个 的概率（取球、抽取品等 要注意是放回抽 是不放回抽 ； 3 列表 ， 出分布列，并用分布列的性.11.几种常见的分布列的求法：1 取球、投骰子、抽取 品等 的概率分布，关是概率的 算 . 所用方法主要有化 法、数形 合法、 法等， 于取球、抽取 品等， 要注意是放回抽 是不放回抽.2 射 ：若是一人 射 ，且限制在n次射 中 生k 次， 往往与二 分布 系起来；若是首次命中所需射 的次数， 它服从几何分布，若是多人射 ，一般利用相互独立事件同 生的概率 行 算.3 于有些 ，它的随机 量的 取与所 的关系不是很清楚，此 要仔 ，明确 中的含 ，恰当地 取随机 量，构造模型， 行求解.典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题 1．（ 2013天津）一个盒子里装有 7 卡片 , 其中有 色卡片 4 , 号分1,2,3,4 ；白色卡片 3 ,号分 2,3, 4 . 从盒子中任取 4 卡片 ( 假 取到任何一卡片的可能性相同 ). (Ⅰ ) 求取出的 4 卡片中 ,含有 号3 的卡片的概率 . ( Ⅱ ) 在取出的 4 卡片中 , 色卡片 号的最大X , 求随机 量 X 的分布列和数学期望 .`考点二由统计数据求离散型随机变量的分布列问题 2．2010（）某食品厂了一条自包装流水的生情况，随机抽取流水上的40 件品作本称出它的重量（位：克），重量的分区490,495 ，495,500 ，⋯，510,515 ，由此得到本的率分布直方，如所示.1根据率分布直方，求重量超505 克的品数量.2 在上述抽取的40 件品中任取2 件， Y 重量超 505 克的品数量，求 Y 的分布列.3 从流水上任取 5 件品，求恰有 2 件品合格的重量超 505克的概率.考点二两点分布问题 3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球. 当两球全为红色玻璃球时，记X 0 ；当两球不全为红色玻璃球时，记为X 1 .试求 X 的分布列.考点三超几何分布452问题 4．2012（）已知箱中装有个白球和个黑球，且规定：取出一个白球的分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取( 无放回，且每球取到的机会均等) 3个球，记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和．1求 X 的分布列； 2 求 X 的数学期望 EX ．走向高考：1.（ 2012 ）设为随机变量，从棱长为 1的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，0 ；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1．1 求概率P(0) ；2 求的分布列，并求其数学期望E( ) ．2.（ 2013）设袋子中装有a个红球， b 个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得 1分，取出一个黄球 2 分，取出蓝球得 3 分.1 当a3, b 2, c 1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量为取出此 2 球所得分数之和，. 求分布列； 2 略3.（ 2011）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别. 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对，则月工资定为 3500元；若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元；否则月工资定为2100 元.令 X`1 求 B 的分布列；2 求此员工月工资的期望.4.（ 2011）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和 5 件，测量产品中微量元素x, y 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081`12已知甲厂生产的产品共 98 件，求乙厂生产的产品数量；当产品中的微量元素 x, y 满足 x ≥ 175 且 y ≥ 75时，该产品为优等品， 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；3 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随即抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.5.（ 2013）某商 场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1个球，根据摸出4 个球中红球与蓝球的个数，设一．二．三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖 3红1200元蓝二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖2 红 1蓝10 元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 .`1 求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；2 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望 E X.。
高考数学二轮复习专题20概率及随机变量及其分布列精品PPT课件
变式训练1 从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,
等可能地取出一个.
(1)记性质r:集合中的所有元素之和为10,求所取出的 非空子集满足性质r的概率；
(2)记所取出的非空子集的元素个数为 ,求 的分
布列和数学期望 E .
解 (1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.
基本事件总数 nC 1 5 C 5 2 C 3 5 C 5 4 C 5 53.1
P (
1)
C
1 3
4 9
(5 )2 9
100 243
,
P (
2)
C
2 3
(
4 9
)
2
5 9
80 243
,
P ( 3 ) ( 4 ) 3 64 . 9 729
的分布列为
125
100
80
64
729
243
243
729
数E 学 0 1 期 2 1 1 5 望 0 2 8 0 0 3 6 4 4 . 722 942 347 32 39 【探究拓展】本题主要考查随机事件、互斥事件、相 互独立事件等概率知识,考查离散型随机变量的分布 列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决 实际问题的能力.
4.(2009·广东)已知离散型随机变量X的分布列如下
5
1
表,若EX=0,DX=1,则a=1_2 __,b=_4___.
1
12
由题意知
a
b
c
5, 12 1, 4 1. 4
a a
a
b c
c
c
1 3
1 6
11 12
1,
, 0,
离散型随机变量的分布列、期望及方差
离散型随机变量及其分布列(含解析)
离离离离离离离离离离离离一、单选题1. 随机变量X的分布列如下表所示：则P(X≤2)=( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.42. 已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3−4P(X=1)=a，则a=( )A. 23B. 12C. 13D. 14二、解答题3. 一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X表示样本中一等品的个数．(1)若有放回地抽取，求X的分布列；(2)若不放回地抽取，用样本中一等品的比例去估计总体中一等品的比例．①求误差不超过0.2的X的值；②求误差不超过0.2的概率(结果不用计算，用式子表示即可)．4. 第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有2的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前3三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为p n，易知p1=1，p2=0．}为等比数列；①试证明：{p n−13②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q n，比较p10与q10的大小．5. 五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率;(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金;若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金;若中三次奖，则共获得数额为6n元的奖金.假设顾客每次抽奖中奖，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利⋅的概率都是146. 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．答案和解析1.解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m=1，可得m=0.2，所以P(X ≤2)=P(X =1)+P(X =2)=0.1+0.2=0.3．故选：C ．2.解：因为X 的分布列服从两点分布，所以，因为所以，，故选C ．3.解：(1)依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为p =13×13=19，门将在前三次扑到点球的个数X 可能的取值为0，1，2，3，易知X∽B(3,19)，所以P(X =k)=C 3k×(19)k ×(89)3−k ，k =0，1，2，3，故X 的分布列为： X 0123P512729 6424382431729所以X 的期望E(X)=3×19=13．(2) ①第n 次传球之前球在甲脚下的概率为p n ，则当n ≥2时，第n −1次传球之前球在甲脚下的概率为p n−1， 第n −1次传球之前球不在甲脚下的概率为1−p n−1， 则p n =p n−1×0+(1−p n−1)×12=−12p n−1+12， 即p n −13=−12(p n−1−13)，又p 1−13=23， 所以{p n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列． ②由 ①可知p n =23(−12)n−1+13，所以p 10=23(−12)9+13<13， 所以q 10=12(1−p 10)=12[23−23(−12)9]>13，故p 10<q 10．4.解：(1)解：设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法，选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621;(2)解：设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，其所有可能取值为0，n ，3n ，6n;(单元：元)ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 30(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(141(1−14)2=2764,P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964,P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164;顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是E(ξ)=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n16， 由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场有利．5.解：(1)P =1−C 62C 102=1−1545=23，即该顾客中奖的概率为23．(2)X 的所有可能值为：0，10，20，50，60． 且P(X =0)=C 62C 102=13，P(X =10)=C 31C 61C 102=25， P(X =20)=C 32C 102=115，P(X =50)=C 11C 61C 102=215，P(X =60)=C 11C 31C 102=115． 故X 的概率分布列为：6.解：(1)一机床生产了100个汽车零件，其中有40个一等品、50个合格品、10个次品，从中随机地抽出4个零件作为样本．用X 表示样本中一等品的个数．若有放回地抽取，X ～B(4,25)，∴P(X =0)=C 40(35)4=81625， P(X =1)=C 41(25)(35)3=216625，P(X =2)=C 42(25)2(35)2=216625， P(X =3)=C 43(25)3(35)=96625，P(X =4)=C 44(25)4=16625，∴X 的分布列为：(2)对于不放回抽取，各次试验结果不独立，X 服从超几何分布，样本中一等品的比例为X4，而总体中一等品的比例为40100=0.4，①|X4−0.4|≤0.2，解得0.8≤X≤2.4，所以X=1或X=2，②P(|X4−0.4|≤0.2)=P(X=1)+P(X=2)=C401C603+C402C602C1004．。
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列
高考数学专题复习：离散型随机变量及其分布列一、单选题1．已知离散型随机变量X 的概率分布列如下：则实数a 等于（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.1D ．0.42．已知随机变量X 的分布列是则P(X>1)=（ ） A ．23B ．32C ．1D ．343．随机变量X 的分布列为()15kP X k ==，1k =，2，3，4，5，则(3)P X <=（ ） A ．15B ．13C ．12D ．234．随机变量X 的分布列如下表所示：则()2P X ≤=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45．若随机变量η的分布列如表：则()1P η≤=（ ） A ．0.5B ．0.2C ．0.4D ．0.36．从装有2个白球、3个黑球的袋中任取2个小球，下列可以作为随机变量的是（ ） A ．至多取到1个黑球 B ．至少取到1个白球 C ．取到白球的个数D ．取到的球的个数7．已知离散型随机变量X 的分布列如表：则实数c 等于（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.6D ．0.78．若随机变量X 的分布列如下表所示，则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.49．设随机变量x 的分布列为()(),2,3,4,51===-kP X m m m m ，其中k 为常数，则()2log 3log P X 3<<80的值为（ ）A ．23B ．34C ．45D ．5610．随机变量X 所有可能取值的集合是{}2,0,3,5-，且()()()1112,3,54212P X P X P X =-=====，则()14P X -<<的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．若随机变量X 的分布列如下表，则(3)P X ≥=（ ）A ．14B ．13C ．34D ．11212．口袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5，从中任意取出3个球，用X 表示取出球的最小号码，则X 的取值为（ ） A ．1B ．1，2C ．1，2，3D ．1，2，3，4二、填空题13．若随机变量ξ的分布列为则a =__________．14．设随机变量ξ的分布列为()(1)C P k k k ξ==+，1,2,3k =，其中C 为常数，则1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭__________．15．设随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，C 为常数，则()3P X <=____．16．一串5把外形相似的钥匙，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为__________. 三、解答题17．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率.18．某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏.初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为23，乙通过每关的概率依次为311,,.423初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为1,314.若初赛和复赛都通过，则闯关成功.甲、乙两人各关通过与否互不影响. （1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为X ，求X 的分布列； （3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功.19．在一个不透明的盒中，装有大小，质地相同的两个小球，其中一个是黑色，一个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多2分或取满6次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多2分时，得分高者才能获得游戏奖品．（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．20．某校高二年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成，比赛中每人投篮1次、每个人之间投篮都是相互独立的．已知女生投篮命中的概率均为13，男生投篮命中的概率均为23．（1）求小组共投中2次的概率；（2）若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X表示小组总分，求随机变量X的分布列及数学期望．21．一黑色袋里装有除颜色不同外其余均相同的8个小球，其中白球与黄球各3个，红球与绿球各1个．现甲、乙两人进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分、黄球每个记2分、红球每个记3分、绿球每个记4分，以得分高获胜．比赛规则如下：（1）只能一个人摸球；（2）摸出的球不放回；（3）摸球的人先从袋中摸出1球：①若摸出的是绿球，则再从袋子里摸出2个球；②若摸出的不是绿球，则再从袋子里摸出3个球．他的得分为两次摸出的球的记分之和；（4）剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（Ⅰ）若甲第一次摸出了绿球，求甲的得分不低于乙的得分的概率；（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，求乙得分X的分布列．22．袋中有4个红球，()14,n n n N ≤≤∈个黑球，若从袋中任取3个球，恰好取出3个红球的概率为435． （1）求n 的值．（2）若从袋中任取3个球，取出一个红球得1分，取出一个黑球得3分，记取出的3个球的总得分为随机变量X ，求随机变量X 的分布列．参考答案1．D 【分析】利用分布列的性质，求a 的值. 【详解】据题意得0.20.30.11a +++=，所以0.4a =． 故选：D 2．A 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案． 【详解】根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=，所以()()()21=233P X P X P X a b >=+==+=，故选：A. 3．A 【分析】根据互斥事件的概率公式计算． 【详解】()()1231(3)121515155P X P X P X <==+==+==， 故选：A ． 4．C 【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+=． 故选：C ． 5．C 【分析】利用分布列可求得()1P η≤的值. 【详解】由分布列可得()()()()11010.10.10.20.4P P P P ηηηη≤==-+=+==++=. 故选：C. 6．C 【分析】根据随机变量的定义，判断选项. 【详解】根据随机变量的定义可知，随机变量的结果都可以数量化，不确定的，由实验结果决定，满足条件的只有C ，取到白球的个数，可以是0，1，2. 故选：C 7．B 【分析】根据概率之和等于1，得0.10.240.361c +++=，解方程即可求出结果. 【详解】据题意，得0.10.240.361c +++=，解得0.3c =. 故选：B. 8．B 【分析】由概率和为1可得a 值． 【详解】由题意0.231a a ++=，解得0.2a =． 故选：B ． 9．D 【分析】首先利用分布列中概率之和等于1求得k 的值，再计算()()23P X P X =+=即可求解. 【详解】由分布列的性质可知：()()()()23451P X P X P X P X =+=+=+==， 即12324354k k k k+++=⨯⨯⨯，解得：54k =，所以()5228k P X ===，()53624k P X ===， ()541248k P X ===，()152016k P X ===， 所以()()()2555log 3log 238246P X P X P X 3<<80==+==+=， 故选：D. 10．C 【分析】 先求得1(0)6P X ==，再由(14)(0)(3)P X P X P X -<<==+=可得结果. 【详解】依题意可得1111(0)1(2)(3)(5)142126P X P X P X P X ==-=--=-==---=，所以112(14)(0)(3)623P X P X P X -<<==+==+=. 故选：C. 11．A 【分析】分布列中概率之和等于1可得x 的值，再计算(3)(3)(4)3P X P X P X x ≥==+==即可. 【详解】由分布列中概率的性质可知：3621x x x x +++=，可得：112x =， 所以1(3)(3)(4)34P X P X P X x ≥==+=== 故选：A. 12．C 【分析】根据题意写出随机变量的可能取值. 【详解】根据条件可知任意取出3个球，最小号码可能是1,2,3. 故选：C 13．0.25 【分析】根据概率之和等于1，即可求得答案. 【详解】解因为0.20.31,a a +++= 所以0.25a =． 故答案为：0.25. 14．89【分析】根据分布列的性质求出C ，即可解出． 【详解】因为111311223344C C ⎛⎫=⋅++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭．故43C =，所以15228(1)(2)22399P P P ξ⎛⎫<<=+=+= ⎪⎝⎭．故答案为：89．15．89【分析】首先根据概率和为1可得c 的值，再由()()()312P X P X P X <==+=即可得结果. 【详解】随机变量X 的分布列为()()1CP X k k k ==+，1k =，2，3，∴ 16122c c c ++=，即62 112c c c ++=，解得43c =， ∴()()()41183123269P X P X P X ⎛⎫<==+==+= ⎪⎝⎭，故答案为：89.16．4 【分析】结合题意找出试验次数X 最大的情况即可. 【详解】由题意可知，前4次都打不开锁，最后一把钥匙一定能打开锁， 故试验次数X 的最大可能取值为4. 故答案为：4.17．（1）分布列见解析；（2）1745【分析】（1）记取到的次品数为X ，则X 的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得X 的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得(1)(2)P P X P X ==+=； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共21045C =种情况；记取到的次品数为X ，取到的次品数X 值可能为0，1，2，其中282102(0845)C P X C ===；121821016(1)45C C P X C ===；222101)5(24C P X C ===；∴取到的次品数X 的分布列为：（2）由（1）得：至少取到1件次品的概率17(1)(2)45P P X P X ==+==． 18．（1）1124；（2）答案见解析；（3）甲更有可能闯关成功. 【分析】(1)乙初赛被淘汰的事件是乙初赛三关都没过的事件与恰过一关的事件和，再利用概率加法公式计算而得；(2)写出X 的可能值，计算出对应的概率即可得解； (3)分别计算出甲、乙闯关成功的概率即可作答. 【详解】（1）若乙初赛三关一关都没有通过或只通过一个，则被淘汰，于是得乙在初赛阶段被淘汰的概率：1121113121121142342342342324P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； （2）X 的可能取值为0,1,2,3,4，()3110()327P X ===，()1232121()339P X C ==⋅⋅=，()22321282()33327P X C ==⋅⋅⋅=，()322322211283()()3333381P X C ==⋅+⋅⋅⋅=，()32184()3381P X ==⋅=则X 的分布列为：（3）甲闯关成功的概率32232121120()()33333811P C =⋅+⋅⋅⋅=， 乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率22411113(1)496P =-⋅=， 显然有12P P >，所以甲更有可能闯关成功. 19．（1）716；（2）分布列见解析；期望为72．【分析】（1）甲获得游戏奖品有3种情况：①共取球2次，即第1次和第2次甲都取到白球，从而甲获奖的概为1122⨯；②共取球4次，即第4次取到白球，第3次取到白球，第1次和第2次有一次取到白球，从而甲获奖的概为4122⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；③共取球6次，即第6次为白球，第5次取白球，若第4次取白球，则第3次取黑球，第1，2次中有1次取白球；若第4次取黑球，则第3次白球，第1，2次有一次取白球，从而甲获奖的概为6142⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，再由互斥事件的概率公式可得答案；（2）由（1）的求解中可知，X 可能取2，4，6，用（1）的方法先分别求出X 等于2，4的概率，从而可得X 为6的概率，然后列出分布列即可，然后根据期望的概念求出结果即可.【详解】解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A ，()641111724212226P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭．所以甲获得游戏奖品的概率为716（2）X 的可能取值为2,4,6， ()11122222P X ==⨯⨯=()41142224P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()()()161244P X P X P X ==-=-==． X 的分布列为11172462442EX =⨯+⨯+⨯=20．（1）13；（2）分布列见解析；期望为409．【分析】（1）小组投中两次分为两种情况，两次都是女生投中，和一次男生一次女生投中，从而求得概率；（2）根据题意，X 的可能取值为－60，10，20，30，分别求得各取值对应的概率，列出分布列，求得期望. 【详解】解：（1）一个小组共投中2次的概率 2122211212911133333273P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）X 的可能取值为－60，10，20，30， 2214(60)113327P X ⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212212111241011133333279P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2122112191(20)1133333273P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2212(30)3327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， X 的分布列为所以441212040()(60)102030279327279E X =-⨯+⨯+⨯+⨯==． 21．（Ⅰ）37，（Ⅱ）分布列见解析．【分析】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，由此可求得概率．（Ⅱ）如果乙先摸出了红球，得3分，则还可以从袋子中摸3个球，那么得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．分别计算概率后可得分布列． 【详解】（Ⅰ）记甲的得分不低于乙的得分为事件A ，则事件A 发生就是甲再摸出的两个球全是黄球或一红一个其他球，所以112163273()7C C C P A C +==； （Ⅱ）如果乙先摸出了红球，则还可以从袋子中摸3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分．33371(6)35C P C ξ===，2133379(7)35C C P C ξ===；1233379(8)35C C P C ξ===；213313374(9)35C C C P C ξ+===；111331379(10)35C C C P C ξ===； 2131373(11)35C C P C ξ===．ξ的分布列如下：22．（1）3；（2）详见解析. 【分析】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，解方程可得结果；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，求出相应的概率可得结果. 【详解】（1）依题意得3434C 4C 35n +=，又14n ≤≤，所以3n =；（2）X 的可能取值为3,5,7,9，3X =即取出的3个球都是红球，则()3437C 43C 35P X ===； 5X =即取出的3个球中2个红球1个黑球，则()214337C C 185C 35P X ===； 7X =即取出的3个球中1个红球2个黑球，则()124337C C 127C 35P X ===；9X =即取出的3个球都是黑球，则()3337C 19C 35P X ===. 所以，随机变量X 的分布列为。
高考数学专题《离散型随机变量的分布列》习题含答案解析
专题11.5 离散型随机变量的分布列1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．【答案】答案见解析．【分析】根据已知数据列表格．【详解】用X 表示获利，则X 的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：X1000500－500P0.40.20.42．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，求a 的值．X 123P0.3a0.5【答案】0.2【分析】由分布列中所有概率和为1计算．【详解】由题意0.30.51a ++=，解得0.2a =3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设1,,0,,X ⎧=⎨⎩出现正面出现反面写出X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】X 的值分别为0，1，求出概率后得分布列．【详解】抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，X 0=或1，1(0)(1)2P X P X ====，分布列如下：练基础X1P12124．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.【答案】答案见解析【分析】根据概率之和为1可求出.【详解】由题意及分布列满足的条件知P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝3P (ξ＝1)＋P (ξ＝1)＝1，所以()114P ξ==，故()314P ξ==.所以ξ的分布列为ξ01P34145．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k 的值．ξ12…n Pk2k…2n －1·k【答案】121nk =-【分析】根据离散型随机变量ξ的概率性质即可求解参数．【详解】因为1＝k ＋2k ＋…＋2n －1k ＝k (1＋2＋…＋2n －1)＝k ·1212n--＝(2n －1)k ，所以121nk =-．6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．ξ45678910P0.030.050.070.080.26a0.23（1）求常数a 的值；（2）求(6)P ξ>．【答案】（1）0.28（2）0.85【分析】（1）由分布列中所有概率和为1计算；（2）计算(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=即可 ．（1）由题意0.030.050.070.080.260.231a ++++++=，解得0.28a =；（2）(6)P ξ>=(7)(8)(9)(10)P P P P ξξξξ=+=+=+=＝0.080.260.280.230.85+++=．7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X 表示取得的白球数，求X 的分布列．【答案】答案见解析．【分析】确定X 的可能值，计算出概率后得分布列．【详解】X 的所有可能值是0，1．42(0)105P X ===，63(1)105P X ===，所以X 的分布列如下：X01P25358．（2021·全国·高二课时练习）已知X 服从参数为0.3的两点分布．（1）求()0P X =；（2）若21Y X =+，写出Y 的分布列．【答案】（1）0.7（2）答案见解析．【分析】（1）根据二项分布的概念求解；（2）求出Y 的可能值，写出分布列即可．（1）(0)10.30.7P X ==-=．（2）X 0=时，1Y =，1X =时，3Y =，所以Y 的分布列为：Y13P0.70.39．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X 的分布列，并说明理由：（1）X 1-0123P0.20.20.20.20.3（2）X 012345P0.10.2-0.30.40.20.2【答案】（1）不是，理由见解析．（2）不是，理由见解析．【分析】（1）根据分布列中所有概率和为1说明；（2）由概率的范围说明．（1）由于0.20.20.20.20.3 1.11++++=>，因此此表格不是随机变量X 的分布列（2）表格中事件1X =的概率是0.2-，这是不可能的，概率在[0,1]范围内．因此此表格不是随机变量的分布列．10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X 的分布列为X 01234P0.20.10.10.3m求：（1）21Y X =+的分布列；（2）()39P Y <≤的值．【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.【分析】(1)先由分布列的性质解出m ，然后按步骤写出分布列即可；（2）根据（1）中的分布列可计算出答案.【详解】由分布列的性质知，0.20.10.10.31m ++++=，解得0.3m =．（1）由题意可知，()()21100.2P X P X +====，()()21310.1P X P X +====，()()21520.1P X P X +====，()()21730.3P X P X +====，()()21940.3P X P X +====，所以21Y X =+的分布列为：21Y X =+13579P0.20.10.10.30.3（2）()()()()395790.10.30.30.7P Y P Y P Y P Y <≤==+=+==++=.1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）．A ．P (ξ＝0)＝411B ．P (ξ＝111C ．P (ξ＝1)＝611D ．P (ξ＝122【答案】ABC【分析】根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ.【详解】由题设，ξ的可能取值为0，1．若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P (ξ＝0)＝232128C C ＝411，若两条棱平行，它们的距离为16对，∴P (ξ＝2126C ＝111，故P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ)＝1－411－111＝611，练提升ξ分布列如下：故选：ABC2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：X0123P 14a14b则a2＋b2的最小值为________．【答案】1 8【分析】首先根据分布列的性质得到12a b+=，再利用基本不等式的性质求解即可.【详解】由分布列的性质，知11144a b+++=，即12a b+=.因为()222128a ba b++≥=，当且仅当14a b==时取等号.所以22a b+的最小值为1 8 .故答案为：1 83．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.【答案】X123P38916116【分析】将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．由题意知X 的可能取值为1，2，3()3433=148A P X ==； ()223439=2416C A P X ==；()1431=3416A P X ==故答案为：X 123P389161164.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；【答案】(1)见解析.【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.20.40.45.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X ．（1）说明1X =表示的是什么事件，并求出(1)P X =；（2）求X 的分布列．【答案】（1）事件见解析，1(1)2P X ==；（2）分布列见解析．X ()2162000.290P X +===()363000.490P X ===()25745000.490P X ++===X X200300500P（1）根据X表示的意义确定事件，并计算概率．（2）X的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．（1）1X=表示正面向上的次数为1的事件，1221 (1)22CP X===．（2）X的可能值为0，1，2，则221(0)24CP X===，2221(2)24CP X===，X的分布列如下：X012P 1412146．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．【答案】答案见详解.【分析】X的可能取值为1,2,3,4,5，分别求出相应的概率，由此能求出耗用的子弹数X的分布列.【详解】根据题意1,2,3,4,5X=，()10.9P X==，()20.10.90.09P X==⨯=，()30.10.10.90.009P X==⨯⨯=，()40.10.10.10.90.0009P X==⨯⨯⨯=，()50.10.10.10.10.10.10.10.10.10.90.0001P X==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.∴X的分布列为：X12345P0.90.090.0090.00090.0001 7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.【答案】（1）310；（2）答案见解析.【分析】（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解【详解】（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则()()()153 202010P C P A P B=+=+=；（2）由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝51 204=；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝1953 2020204++=，故X的分布列为：X23P 14348．（2021·全国·高二课时练习）从集合{}1,2,3,4,5的所有非空子集中，随机地取出一个.（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；（2）记所取出的非空子集中的元素个数为X，求X的分布列.【答案】（1）331；（2）答案见解析.【分析】（1）计算基本事件总数和满足条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式即得解；（2）X 的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率，列出分布列即可.【详解】（1）记“所取出的非空子集中所有元素之和为10”为事件A .基本事件总数1234555555C C C C C 31n =++++=，事件A 包含的基本事件有{}1,4,5，{}2,3,5，{}1,2,3,4，共3个，故()331P A =.（2）依题意，X 的所有可能取值为1，2，3，4，5.()151131C 53P X ===，()2510231C 13P X ===，()3510331C 13P X ===，()454131C 53P X ===，()555131C 13P X ===.故X 的分布列为X12345P531103110315311319．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X ．（1）写出X 的分布列；（2）求(5)P X <；（3）求“点数和大于9”的概率．【答案】（1）答案见解析（2）16（3）16．【分析】（1）X 的可能值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，分别计算出概率后可得分布列；（2）由(2)(3)(4)P X P X P X =+=+=可得；（3）由(10)(11)(12)P X P X P X =+=+=可得．（1）由题意X 的可能值依次为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表可得1(2)(12)36P X P X ====，21(3)(11)3618P X P X =====，31(4)(10)3612P X P X =====，41(5)(9)369P X P X =====，5(6)(8)36P X P X ====，61(7)366P X ===，X 的分布列如下：X23456789101112P136118112195361653619112118136（2）1111231(5)(2)(3)(4)361812366P X P X P X P X ++<==+=+==++==；（3）1111(9)(10)(11)(12)1218366P X P X P X P X >==+=+==++=．10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：老师评分11109分数所占比例141214将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）求该同学这个题目得分X 的分布列．【答案】（1）18；（2）分布列见解析.【分析】（1）记A 表示事件：" 该同学这个解答题需要仲裁 " ，设—评、二评所打分数分别为 , ,x y 由题设知事件A 的所有可能情况有：119x y =⎧⎨=⎩ 或 911x y =⎧⎨=⎩由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率；（2）随机事件X 的可能取值为9 , 9 . 5 , 10 , 10 . 5 , 11 , 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列.【详解】（1）设事件A 表示“该同学这个题目需要仲裁”，一评、二评所打分数分别为x ，y ，由题意知事件A 的所有可能情况有119x y =⎧⎨=⎩或911x y =⎧⎨=⎩，∴()1191111191144448x x P A P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧=+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭．（2）随机事件X 的取值范围为{}9,9.5,10,10.5,11，设仲裁所打分数为z ，则()911911111111391199444444443299x x x P X P P y P y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==+=+==⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()910111119.510942244x x P X P P y y ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧==+=⨯+⨯= ⎨⎪ ⎨⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，()101111010224x P X P y ⎛⎫=⎧===⨯= ⎨⎪=⎩⎝⎭，()911101110.511911101010x x x x P X P P P y P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫⎛⎫==⎧⎧ ⎪ ⎪⎪⎪==++=+= ⎨⎪ ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭11111111115244244244216=⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()11911111111113119111144444444321111x x x P X P P P y y y z z ⎛⎫⎛⎫==⎧⎧⎛⎫=⎧ ⎪⎪ ⎪⎪==++=⨯+⨯⨯+⨯⨯=== ⎨⎪⎨⎨ ⎪ ⎪=⎩⎝⎭⎪⎪ ⎪ ⎪==⎩⎩⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）45.【分析】（1）首先求随机变量0,1,2ξ=，再利用古典概型求概率；（2）根据（1）的结果求概率.【详解】（1）由条件可知0,1,2ξ=，()2326105C P C ξ===，()113326315C C P C ξ===，()2326125C P C ξ===，所以ξ的分布列，如下表，ξ12P153515（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率14155P =-=.2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B 10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为．（2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且．所以，，．所以X 的分布列为X 012P0.240.520.24（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得．400.4100=93141()0.4,()0.63025P C P D ++====(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====(1)()P X P CD CD == ()()(()P C P D P C P D =+0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=(0)((()0.24P X P CD P C P D ====33011()C 4060P E ==答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列；（ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）答案见解析；（ii ）67．【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=C k4⋅C 3−k3C 37（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X 0123P13512351835435（ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67．所以，事件A 发生的概率为67．4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含的频率.（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.【答案】（I ）(II)X 的分布列为X 01234P 【解析】因此X 的分布列为X 01234P5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.1B 5.1814252110215211421425211021521142（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（Ⅱ）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求的分布列.【答案】（Ⅰ）0.3. （Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y 的值小于60的有15人，所以从概率为.（Ⅱ）由图知，A,B,C,D 四人中，指标的值大于1.7的有2人：A 和C.所以的所有可能取值为0,1,2..所以的分布列为0126．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．【答案】(1)见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.ξξ150.350=x ξ21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========ξξP 16231631213141X X 222111()()48P A P B +=X，，，.所以，随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111323424P X ==⨯⨯=X XP14112414124X ()1111113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=Y Z ()()()()()()()10,11,00110P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=1148。
高考数学(理)二轮复习专题第2讲-离散型随机变量的分布列数学(理)期望方差(全国通用)公开
第2讲 离散型随机变量旳分布列、数学 期望、方差
专题十一 概率、统计
2023考向导航
历届高考考什么？ • 2023 • 1.离散型随机变
量旳期望与方差
三年真题统计
• 2023 • 2023
卷Ⅱ，T19
2.二项分布及应用 3.超几何分布及应用
卷Ⅰ，T4 卷Ⅰ，T18
4.正态分布及应用
[名师点评] (1)互斥事件与相互独立事件的特点 ①互斥事件⇔A∩B 为不可能事件，即在任何一次试验中事件 A 与事件 B 不会同时发生，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②相互独立事件，事件 A 与事件 B 的发生性互不影响，A、B 同时发生记为事件 AB，P(AB)＝P(A)P(B)． (2)注意一个试验中，分清事件的多种关系，才能正确列出概 率运算式子．
X
0
1
2
ξ2 41.2 117.6 204.0
(1)求 m，n 的值；
(2)求 ξ2 的分布列；
(3)若 E(ξ1)＜E(ξ2)，则选择投资乙项目，求此时 p 的取值范围．
解：(1)由题意得m11＋0m0＋.4＋12n0＝×10.4＋170n＝120，
解得 m＝0.5，n＝0.1.
(2)ξ2 的可能取值为 41.2，117.6，204，
(2)X 的取值为 0，1，2，3，
X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
2 15
19 45
16 45
4 45
数学期望 E(X)＝75.
2．某公司准备将 1 000 万元资金投入到市环保工程建设中， 现有甲、乙两个建设项目选择．若投资甲项目一年后可获得 的利润 ξ1(万元)的概率分布列如下表所示：
【高考数学】离散型随机变量及其分布列二项分布正态分布离散型随机变量均值与方差方法总结及常考题(原卷)
【思维方法】1.分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．2.求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．3.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．4.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．5.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.6.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.7.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.8.利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).9.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．10.注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．11.二项分布的均值与方差．(1)如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aX＋b)＝aE(X)＋b以及E(X)＝np求出E(aX ＋b)，同样还可求出D(aX＋b)．12.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【查缺补漏】【考点一】离散型随机变量分布列的性质【典例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于()A．1 B.32±336C.32－336 D.32＋336【典例2】设随机变量X的分布列为P(X＝k5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求a；(2)求P(X≥3 5)；(3)求P(110<X≤710)．【典例3】设离散型随机变量X的分布列为求2X＋1的分布列．【考点二】离散型随机变量的分布列【典例1】端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列．【典例2】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．【典例3】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率； (2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列．【考点三】超几何分布【典例1】PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．【典例2】某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．【典例3】若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列．【考点四】相互独立事件同时发生的概率【典例1】设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．【典例2】为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．【考点五】n 重伯努利试验与二项分布【典例1】甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列．【典例2】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【典例3】某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列．【考点六】正态分布【典例1】甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ21)，N(μ2，σ22)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是()A.甲类水果的平均质量为0.4 kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99【典例2】(多选题)近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布N(μ，302)和N(280，402)，则下列选项正确的是()附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. A.若红玫瑰日销售量范围在(μ－30，280)的概率是0.682 7，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280，320)的概率约为0.341 35【典例3】某生物研究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两种，且这两种的个体数量大致相等.记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长(单位：mm)分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布N(45，25)，Y服从正态分布N(55，25).(1)从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[45，55]的概率；(2)记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z，若用正态分布N(μ0，σ20)来近似描述Z的分布，请你根据(1)中的结果，求参数μ0和σ0的值(精确到0.1).注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－0.64σ≤X≤μ＋0.64σ)≈0.477 3，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.【考点七】离散型随机变量的均值与方差【典例1】某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X (单位：元)，求X 的分布列与数学期望E (X )，方差D (X ).【典例2】在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示：(1)ξ～N (μ，196)，μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值；②若P (ξ>2a －5)＝P (ξ<a ＋3)，求a 的值；(2)在(1)的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：概率3414现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望.【考点八】二项分布的均值与方差【典例1】随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.(1)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5，7.5)(时)内的频率；(2)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中间值作代表)；(3)以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[4.5，6.5)(时)内的周数为X，求X的分布列以及数学期望.【典例2】已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B (12，p )，且E (2ξ－3)＝5，则D (3ξ)＝( ) A.83B.8C.12D.24【典例3】某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16.” ①求抽奖者获奖的概率；②为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和均值.【考点九】均值与方差在决策问题中的应用【典例1】某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【典例2】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？【典例3】某投资公司在2016年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．【真题训练】1.（2021•新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（）A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等2.（2021•北京）在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：．设X是检测的总次数，（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为111求X的分布列与数学期望EX．（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设Y是检测的总次数，试判断数学期望EY与（Ⅰ）中EX的大小．（结论不要求证明）3. （2022•浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P （ξ＝2）＝ ，E （ξ）＝ ．4. （2022•新高考Ⅱ）已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），且P （2＜X ≤2.5）＝0.36，则P （X ＞2.5）＝ ． 【热点预测】1. 某射手射击所得环数X 的分布列为则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( ) A ．0.28 B ．0.88 C ．0.79 D ．0.512. 打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是( ) A.1425B.1225C.34D.353. 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E (X )＝A.32 B ．2 C.52 D ．34. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋225. 10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲、乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为( ) A.35B.23C.34D.4156. 随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A.2 B ．3 C ．4 7. 从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是( ) A.435B.635C.1235D.363438. 山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N (80，52)，则直径在(75，90]内的概率为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.A.0.682 6B.0.841 3C.0.818 5D.0.954 4 9. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一次，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X 表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D (X )＝( ) A ．2 B ．1 C.23 D.3410. 一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( )A ．P (X ＝3)B ．P (X ≥2)C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)11. 某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图)，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物.2021年春节前，兴趣小组的2个成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为( )A.112B.143144C.1172D.2314412. (多选题)设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝ak ＋1(k ＝1，2，5)，E (ξ)，D (ξ)分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是( ) A ．P (0＜ξ＜3.5)＝56 B ．E (3ξ＋1)＝7 C ．D (ξ)＝2D ．D (3ξ＋1)＝613. 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．14. 甲、乙两人参加“请党放心，强国有我”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为________.15. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：16.设离散型随机变量X的分布列为若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.17.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(X＝4)＝________.18.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝__________，E(ξ)＝__________．19.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)20.为全面贯彻党的教育方针，坚持立德树人，适应经济社会发展对多样化高素质人才的需要，按照国家统一部署，湖南省高考改革方案从2018年秋季进入高一年级的学生开始正式实施.新高考改革中，明确高考考试科目由语文、数学、英语3科，及考生在政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择的3科组成，不分文理科.假设6个自主选择的科目中每科被选择的可能性相等，每位学生选择每个科目互不影响，甲、乙、丙为某中学高一年级的3名学生. (1)求这3名学生都选择物理的概率；(2)设X为这3名学生中选择物理的人数，求X的分布列.21.高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，其中a，b，c成等差数列且c＝2a.物理成绩统计如表．(说明：数学满分150分，物理满分100分)(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X 为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．22.某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学第二轮专题限时复习题20
专题限时集训(二十)
[第20讲 ]
1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，
则P (B |A )＝( )
A.18
B.14
C.25
D.12
2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A.12
B.35
C.23
D.34
3
请小牛同学计算ξ处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.
4．某中学2000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N (120,100)，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为________．(注：正态总体N (μ，σ2)在区间(μ－2σ，0.954)
1．若事件A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝0.25，)＝0.40，则P (A ＋B ＋C )＝( )
A ．0.80
B ．0.15
C ．0.55
D ．0.775
2．两台相互独立工作的电脑产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．1－ab
D ．1－a －b
3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( )
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2
4．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是830，刮东风又下雨的概率是730
，则该地四月份在刮东风条件下下雨的概率是( )
A.830
B.730
C.78
D.87
5．甲、乙两人玩套圈游戏，套中的概率分别为0.7和0.8，如果每人都扔两个圈，甲套中两次而乙套中一次的概率是________．
6．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112
，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 7.某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图20－1.
(1)求获得参赛资格的人数；
(2)根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题
或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，
并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为19
，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．
8．某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图20－2所示，成绩不小于90分为及格.
图20－2
(1)甲班10名同学成绩的标准差________乙班10名同学成绩的标准差(填“>”“<”)；
(2)从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格，求乙班同学不及格的概率；
(3)从甲班10人中取一人，乙班10人中取两人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和期望．
专题限时集训(二十)
【基础演练】
1．B 【解析】 由于n (A )＝1＋C 23＝4，n (AB )＝1，所以P (B |A )＝
P (AB )P (A )＝14
，故选B. 2．D 【解析】 根据互斥事件概率与独立事件概率得：第一局甲就胜了，概率为12
；另一种情况为第一局甲输了，第二局甲胜了，概率为12×12＝14，所以甲胜的概率为12＋14＝34
. 3．2 【解析】 设“？”处数值为t ，则“！”处的数值为1－2t ，所以Eξ＝t ＋2()1－2t ＋3t ＝2.
4．46 【解析】 标准差是10，故在两个标准差之外的概率是1－0.9542
＝0.023，故人数为2000×0.023＝46. 【提升训练】
1．D 【解析】 A ，B ，C 相互独立，则有P (A ＋B ＋C )＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－[(1－0.25)(1－0.50)(1－0.40)]
＝1－0.225＝0.775.
2．B 【解析】 分布列为
故其均值为(1－a )b ＋a 3．C 【解析】 因为P (ξ<4)＝0.8，所以P (ξ>4)＝0.2.由图象的对称性知，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，所以P (0<ξ<4)＝
1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6.所以P (0<ξ<2)＝12
P (0<ξ<4)＝0.3. 4．C 【解析】 记“某地四月份刮东风”为事件A ，“某地四月份下雨”为事件B ，则P (A )＝830，P (AB )＝730
，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝78
. 5．0.1568 【解析】 设事件A ＝{甲扔一次且套中}，B ＝{乙扔一次且套中}，则P (A )＝0.7，P (B )＝0.8，每人都扔
两个圈，甲套中两次而乙套中一次为事件C ，则C ＝(AA )(B B －＋B －B )，
故P (C )＝P (AA )[P (B B －)＋P (B －B )]＝0.7×0.7·[0.8×0.2＋0.2×0.8]＝0.1568.
6.53 【解析】 ∵P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23p 2＝112，∴p ＝12
. ∴P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎫122＋13×⎝⎛⎭⎫122×2＝13
， P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫122×2＋13×⎝⎛⎭⎫122＝512
， P (X ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫122＝16， ∴E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53
. 7．【解答】 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人．
(2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝30＋502×0.0065＋50＋702×0.0140＋70＋902×0.0170＋90＋1102
×0.0050＋110＋1302×0.0043＋130＋1502
×0.0032×20＝78.48分． (3)设学生甲每道题答对的概率为P (A )，则(1－P (A ))2＝19，∴P (A )＝23.
学生甲答题个数X 的可能值为3,4,5，
则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝13，
P (X ＝4)＝C 13⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫233＋C 13⎝⎛⎭⎫23⎝⎛⎭⎫133＝1027，
P (X ＝5)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827
. 所以X 服从分布列
E (X )＝13×3＋1027×4＋827×5＝10727
. 8．【解答】 (1)>.(直观判断即可)
(2)甲班有4人及格，乙班有5人及格．
事件“从两班10名同学中各抽取一人，已知有人及格”记作A ，
事件“从两班10名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”记作B ，
则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝20
1001－30100
＝27. (3)X 取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 16C 110·C 25C 210＝215； P (X ＝1)＝C 16C 110·C 15C 15C 210＋C 14C 110·C 25C 210＝1945； P (X ＝2)＝C 16C 110·C 25C 210＋C 14C 110·C 15C 15C 210＝1645； P (X ＝3)＝C 14C 110·C 25C 210＝445
. 所以X 的分布列为
所以E (X )＝19＋32＋1245＝75
. 【注意】 本题第(2)问的条件概率也可如下考虑：以有人及格为基本事件的总体，这时基本事件的总数是100－30＝70，在此情况下，乙班不及格的情况是甲班及格乙班不及格，基本事件的总数是4×5＝20，根据古典概型的公式进行计算．。