7.1 定积分的微元法
第一节_定积分的微元法(大专)
第一节_定积分的微元法(大专)定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础。
定积分的微元法是定积分的一种重要解法方法。
定积分的定义是：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有定义，并且在该区间内是有界的，那么将该区间分成许多小区间，每个小区间长度为 $ \triangle x $，并在每个小区间内任取一点 $x_i$，则当小区间宽度趋近于 0 时，Riemann和 $\sum f(x_i)\triangle x$ 的极限称为函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $\int_a^b f(x) dx$。
定积分的微元法可以简化定积分的求解过程，实现求解和计算的快速精确。
定积分的微元法公式是：$$\int_a^b f(x) dx = \lim_{\max\limits_{i=1}^{n} \triangle x_i \to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i) \triangle x_i \approx \sum\limits_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x$$其中，$n$ 为区间 $[a,b]$ 被分成的小区间的数量，$\triangle x_i$ 为每个小区间的宽度，$\xi_i$ 为每个小区间中任意一个点的值，$x_i$ 是每个小区间的左端点。
根据定积分的微元法公式，我们可以将要求解的区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，记作$[x_0,x_1], [x_1,x_2], …, [x_{n-1},x_n]$。
在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中取一点 $x_i$，则定积分的值可以近似表示为：$$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \triangle x_i$$其中，$\triangle x_i = x_i - x_{i-1}$，即小区间的宽度。
定积分的应用之微元法
定积分应用的微元法： 定积分应用的微元法
) (一 在 区间 [a,b] 上任取一 个微小 区间 [x, x + dx] ，然后写 出 值， 为 在 个 这 小区 上的 分 ∆F 的 似 ，记 dF = f (x)dx (称 F 间 部 量 近 值 为 的微元) 的微元);
[ 上积分（无限累加） d ，即得 （二） 将微元 F 在a,b] 上积分（无限累加） 即得 ，
各部分量之和， 各部分量之和，即F = ∑F . i
上的分布是不均匀的， (2) 所求量 F 在区间 [a,b] 上的分布是不均匀的， 比. 也 是说 F 的 与 就 ， 值 区间 [a,b] 的 不 正 .（ 则 长 成 比 否 的 得， 了） 话 F使 初 方 ， 用 等 法即 求 ， 勿 可 得 而 需用 分 法 ） 积 方 了 .
y = x2 , 得交点（ 解方程组 2 得交点（0，0）及（1，1）. y = x,
选择积分变量，写出面积微元， (2) 选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作 dA均可 习惯上 x 均可， 取竖条， 取 为积分变量， 围为[0 [0， ， 取竖条 即 x 为积分变量， 变化范 ， 围为 ， [0 1]， 1]，于是 2
n i=1
第三步：写出整体量 F 的近似值，F = ∑∆F ≈∑ f (ξi )∆xi ； 的近似值， 第三步： i
i=1
n
第四步： 极限， 第四步：取λ = max{∆xi } →0时的∑ f (ξi )∆xi 极限，则得
i=1
n
F = lim∑ f (ξi )∆xi = ∫ f (x)dx .
b
a b
y
y = f ( x)
y y = f ( x)
定积分中微元法及其应用研究
定积分中微元法及其应用研究
定积分是微积分中的一种重要概念，微元法是求解定积分的一种方法。
微元法的核心思想是将被积函数表示为微元的积分形式，并对微元进行求和，从而得到积分的结果。
微元法的应用广泛，涉及到面积、体积、质量、重心、平均数等多个问题。
本文将对微元法及其应用进行研究。
微元法的基本思想是将被积函数表示为微元的积分形式。
具体而言，对于一元函数
f(x)，可以将其表示为f(x)dx，其中dx表示微元。
以f(x)dx为被积函数，进行定积分，可以得到积分结果。
微元法的实质是将区间[a, b]分割成无穷多个小区间，然后对每个小区间内的微元进行求和。
具体而言，对于[a, b]区间的一个小区间[x, x+dx]，可以得到该小区间内的微元积分结果为f(x)dx。
然后对所有小区间的微元积分进行求和，即可得到整个区间[a, b]的定积分结果。
微元法广泛应用于求解面积、体积、质量、重心、平均数等问题。
以求解面积为例，考虑平面上的曲线y=f(x)与x轴之间的面积。
可以将该面积表示为∫f(x)dx的形式。
将区间[a, b]分割成无穷多个小区间，对每个小区间内的微元面积进行求和，即可得到整个曲线所围成的面积。
求定积分的方法总结
求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。
本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。
2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。
通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。
例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。
常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。
根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。
3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。
它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。
微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。
常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。
一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。
在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。
例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。
通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。
它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。
但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。
定积分求旋转体的体积
7.1.3 定积分求旋转体的体积
第七章 定积分的应用
第一节 定积分在几何上的应用
第三讲 定积分求旋转体的体积
主要内容： 一、旋转体的概念
二、平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
三、平面图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积
四、小结
引入：
一、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而
2
1
1 e4 e2 2
V b[ f (x)]2 dx a
y
y ex
1
o x=1 x=2 x
练习 求由抛物线 y x2、直线 x 2 及 x 轴所围成平面图形绕 x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A: 32
5
B: 16
5
C: 8
5
解 选A
D: 64
（3）V
Байду номын сангаас
b
[
f
(x)]2 dx
b y2dx
a
a
xx x dx
例1 求由曲线 y ex，直线 x 1, x 2以及 x 轴所围成的平面图
形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
解
V
2
1
f
x2dx
2
ex
2
dx
1
1 e2x 2
D: 1 e2 1 2
解 选C
四、小结
1. 平面图形绕 x轴旋转所得旋转体的体积
V b [ f (x)]2 dx b y2dx
a
a
2. 平面图形绕 y轴旋转所得旋转体的体积
微元法与定积分的应用
如果 f (x) 在 [a, b] 上有正有负，那么它的面积 A 的微元应是以 | f (x) | 为高，dx 为底的矩形面积，
即 dA= | f (x) |dx .
于是，总有
b
A a | f ( x) | dx.
y
f (x)
Oa
x x+dx
bx
dA
例 1 求由曲线 y = x3 与直线 x = - 1，x = 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积．
dA
( x2
-
x1 )dy
( y
4) -
y2 2
dy,
y
4
于是
A
4 -2
(
y
4)
-
y2 2
dy
y + dy y
18.
如果选择 x 为积分变量， -2
那么它的表达式就比上式复杂.
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
例 4 求椭圆 x = a cos t，y = b sin t 的面积，其
n i 1
f ( xi )x
1
b
f (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx)dx,
b-a a
即
y 1
b
f ( x)dx.
b-a a
例 5 求从 0 至 t 秒到这段时间内自由落体的 平均速度．
解 因为自由落体的速度为 v = gt， 所以，
v 1 t gudu 1 gt.
t-0 0
2
例 6 求 y = lnx 在 [1, 2] 上的平均值.
中 a > 0，b > 0. 解 因为图形关于 x 轴、y
7.1-7.2.1定积分的微元法与平面图形的面积
面积元素为： [f 上(x)-f 下(x)]dx．
所求图形的面积为：
A=
b a
[f
上(x)-f
下(x)]dx．
y=f 上(x) y
O
a
y=f 下(x) x x+dx
bx
求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积：
所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差
y = f(x) bx
•在 [a, b]中任意插
入 n -1个分点．
y
y = f(x) f(i)
得n个小区间： [xi-1 , xi ]
f(2) f(1)
区间[xi-1 , xi ]的长
度Dxi xi -xi-1 ．
f(i)Dxi
(i=1, 2 , ···, n)． n
A DAi i 1
O
a 1 x1 2 x2
被积函数=大函数-小函数
例2 计算抛物线y22x 与直线yx-4所围成的图形的面积．
解 画图．求两曲线的交点得：(2，-2)，(8，4)．
将图形向 y 轴投影得区间[-2，4]．
y 2=2x
选 y 为积分变量 y [-2, 4] 4
(8, 4)
[ y, y dy] [-2, 4],
2
y=x-4
lim
0
i1
f (i )Dxi
．记
b
f ( x) dx
a
y
简化步骤：
任取 x, x dx a,b
DA f x dx dA
面积元素 O a
A
b
a
f
x dx
y = f(x)
7.1 微元法的基本思想
7.1 微元法的基本思想
按定义建立积分式有四步曲:
“分割、 取近似、 求和、 取极限 ”, 得到
I f ( x )dx lim f ( i )xi 0
a
i 1
b
n
(1)
有了牛顿-莱布尼茨公式后, 这个复杂的极限运算 问题得到了解决. 对应用问题来说关键就在于如何 写出 被积表达式.
f ( x )dx , 即
I f ( x )dx .
( 2) I a f ( x ) dx
这种简化了的建立积分式的方法称为 微元法
b
或 元素法.
6
7.1 微元法的基本思想
曲边梯形面积的积分式也可以用微元法 建立如下.
设曲边梯形是由y = f (x), 直线x = a, x = b与x
轴围成. 在[a, b]上任取一小区间
8
7.1 微元法的基本思想
思考题
何为定积分的微元法？微元法使用的条件 和程序是怎样的?
9
xxfd?ba简化步骤求出或1即dxxfdxxfi??在ab上任取一小区间xxdxxxdx上所求量i的近似值也是它的微分微元法71微元法的基本思想7oxyabxfy??xxxd??这个小区间上所对应的小曲边梯形面积得曲边梯形面积的积分式也可以用微元法建立如下
第7章
y
定积分的应用
y f ( x)
O a
y
y f ( x)
[ x, x dx], 这个小区间上所
对应的小曲边梯形面积 近似 地等于长为f (x)、宽为dx 的 小矩形面积, 故有
O
a
x x dx b
b
x
面积微元 dA f ( x )dx 得
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的和,即
A A i
i 1
(2) 利用积分中值定理,有
Ai f ( t )dt f ( i )( xi xi 1 ) f ( i )xi
xi
Ai f ( xi 1 )xi ( f ( i ) f ( xi ))xi
f ( xi 1 )xi (xi )
o a
b x
x a 、 x b 所围成，则 A b f ( x )dx a
（1）把区间 [a , b]分成 n 个长度为 x i 的小区间，相应的
曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，记第 i 个小窄曲边梯 形的面积为 Ai ，则 A A i
i 1 n
（2）计算Ai 的近似值
从而可知
xi 1
dA( xi 1 ) f ( xi 1 )xi
即在定义中是用微分近似部分量 dA( xi 1 ) Ai (3) 第3、第4步说明
A lim f ( xi 1 )xi lim dA( xi 1 )
0 i 1 0 i 1
n
n
dA( x ) f ( x )dx
Ai f ( xi 1 )xi
A f ( xi 1 )xi
i 1 n
（3） 求和，得 A 的近似值 （4） 求极限，得 A 的精确值
A lim f( xi 1 xi f ( x )dx ) a
b
n
0 i 1
分析以上步骤可知: (1) 第一步说明: 所求量对于区间 [a , b]具有可加性, 所求量 A 等于分割以后各部分区间上的对应量 A i
第七 章 定积分的应用与广义积分
§7.1 定积分的微元法
§7.2
§7.3
几何应用
物理应用
第七 章 定积分的应用与广义积分
§7.1 定积分的微元法 回顾曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y f ( x )
y
y f ( x)
( f ( x ) 0) 、 x 轴 与 两 条 直 线
面积表示为定积分的步骤如下Fra biblioteka ab
b
即 A dA( x )
a
b
f ( x )dx
a
b
——微元法描述
这就是说，在求得了 dA f ( x )dx 后，对此微分式 从a到b积分就得所求量. 定积分的微元法: (1)适当选取一个自变量 x及区间a,b,使得所求量A 关 于x 在区间a,b上具有可加性 (2)在a,b中任意一个子区间 x, x+dx上,求出所求量 对应于部分区间 x, x+dx 的部分量的线性主部,即A 关于自变量 x 的微分 dA f ( x )dx ——A的微元 (3)对微分式两边从 a 到 b 进行定积分就得所求量 处理问题的方法——定积分的微元法