广东省东莞市2020届高三4月模拟自测数学(文)试题 含答案
广东省东莞市城区业余中学2020年高三数学文模拟试题含解析
广东省东莞市城区业余中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B略2. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．参考答案：D考点：由图象确定函数解析式.3. 执行程序框图，若输出的结果是，则输入的a为（）A．3 B．6 C．5 D．4参考答案：D【考点】循环结构．【分析】由题意按照循环计算前几次结果，判断最后循环时的n值，求出判断框的条件，即可得到输入的数值．【解答】解：第1次循环，n=1，S=，第2次循环，n=2，S=，第3次循环，n=3，S=，第4次循环，n=4，S=，因为输出的结果为，所以判断框的条件为n＜4，所以输入的a为：4．故选D．4. 已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（）A．1 B． C．2 D．0参考答案：B5. 命题P:若，则与的夹角为锐角；命题q若函数在及上都是减函数，则在上是减函数，下列说法中正确的是（）A. “p或q ”是真命题B. “ p或q ”是假命题C.为假命题D.为假命题参考答案：B略6. 设曲线y=sinx（a∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性．【分析】求导y′=cosx，从而可得y=x2g（x）=x2cosx，从而判断．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，由导数的几何意义知，g（x）=cosx，故y=x2g（x）=x2cosx，故函数y=x2g（x）是偶函数，故排除A，D；又∵当x=0时，y=0，故排除C，7. 设集合，集合，则( )A.(－1,0)B.(－∞,2)C. (－1,2)D.(－∞,0)参考答案：B8. 是虚数单位，则（）A．B．C．D．参考答案：A试题分析：．故选A．考点：复数的运算．9. 函数则的值为 ( )A． B．C．D．18参考答案：C略10. “斗拱”是中国古代建筑中特有的构件，从最初的承重作用，到明清时期集承重与装饰作用于一体。
2020年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年广东省东莞市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知实数集为R，集合M={x|x<3}，N={x|x<1}，则M∩C R N=()A. ϕB. {x|1<x<3}C. {x|1≤x<3}D. {x|1≤x≤3}2.复数z=3+i1+i的虚部是()A. 1B. iC. −1D. −i3.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(1,3)，则|2a⃗−b⃗ |=()A. √2B. 2C. √10D. 104.谢尔宾斯基三角形(Sierpinski triangle)是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一个自相似的例子，其构造方法是：(1)取一个实心的等边三角形(图1)；(2)沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形；(3)挖去中间的那一个小三角形(图2)；(4)对其余三个小三角形重复(1)(2)(3)(4)(图3)．制作出来的图形如图4，…．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为()A. 916B. 419C. 2764D. 8275.设变量x，y满足约束条件{x−y+2≥02x−y−2≤0x+y−2≥0，则z=3x−y的最大值为()A. −2B. 103C. 6D. 146.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a11=a9+7，则S25=()A. 1452B. 175 C. 1752D. 2007.已知角α满足tanα=2，则cos2α+sin2α等于()A. √5−1B. 1C. √5+1D. 28.函数f(x)=(1−2018x1+2018x)cos2x的图象大致为()A. B.C. D.9.已知抛物线x2=4√3y的准线过双曲线x2m2−y2=−1的焦点，则双曲线的离心率为()A. 3√24B. 3√104C. √3D. √3310.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b−c=14a，2sinB=3sinC，则cosA=()A. 1116B. 78C. 14D. −1411.在直三棱柱A1B1C1−ABC中，∠BCA=90°，点E、F分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BE与AF所成的角的余弦值是()A. √3010B. 12C. √3015D. √151012.已知关于x的方程e x−2x−k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是()．A. (−∞,2−2ln2]B. (−∞,2−2ln2)C. [2−2ln2,+∞)D. (2−2ln2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线kx−y−k=0与曲线y=e x(e是自然对数的底数)相切，则实数k=________．14.设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3=8，S6=7，则a2=______．15.若函数f(x)=√x，g(x)=x−√x，则f(x)+g(x)=______ ．16.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，CD=√3，若平面ABD⊥平面BCD，则该几何体的外接球表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如下表：(1)补全2×2列联表中的数据；(2)判断是否有99.9%的把握认为学生的成绩与自律性有关．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．18.已知数列{a n}的前n项和S n=32n2+32n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记T n=a n⋅a n+12，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，求实数m的取值范围．19. 已知四棱锥S −ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠ABC =π3，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的任意一点． (1)求证：平面EBD ⊥平面SAC ；(2)设SA =AB =2，求点A 到平面SBD 的距离．20. 已知点M(−2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2.记动点P 的轨迹为W ．(1)求W 的方程；(2)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．21.设函数f(x)=ae x−xln x，其中a∈R，e是自然对数的底数．(Ⅰ)若f(x)是(0,+∞)上的增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)若a≥2e2，证明：f(x)>0．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=−2，曲线C2的参数方程为{x=t2y=2√2t(t为参数)，求C1与C2交点的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x+1|．(1)解不等式f(x)≤2；(2)若∃b∈R，不等式|a+b|−|a−b|≥f(x)对∀x∈R恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查集合的jiaoji交集和补集及其运算.属基础题．解：实数集为R，集合M={x|x<3}，N={x|x<1}，则C R N={x|x≥1}，所以M∩C R N={x|1≤x<3}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查了复数的运算以及复数的概念，属于基础题．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解：z=3+i1+i =(3+i)(1−i) (1+i)(1−i)=4−2i2=2−i，∴复数z=3+i1+i的虚部是−1，故选C．3.答案：C解析：解：∵向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(1,3)，∴2a⃗−b⃗ =(−3,1)，∴|2a⃗−b⃗ |=√9+1=√10．故选：C．利用平面向量坐标运算法则求出2a⃗−b⃗ =(−3,1)，由此能求出|2a⃗−b⃗ |．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.答案：C解析：本题考查了归纳推理的应用，属于基础题．根据每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后，剩余部分的面积是原图形面积的34倍．求出图4的阴影面积即可．解：由题知，每一个三角形按题中方法去掉中间一个三角形后，剩余部分的面积是原图形面积的34倍． ∵若图1(阴影部分)的面积为1，则图4阴影部分的面积为1×34×34×34=2764． 故选C ．5.答案：C解析：解：由约束条件{x −y +2≥02x −y −2≤0x +y −2≥0作出可行域如图，联立{x −y +2=02x −y −2=0，解得A(4,6)，化目标函数z =3x −y 为y =3x −z ，由图可知，当直线y =3x −z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为6． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：B解析：本题考查了等差数列{a n }的前n 项和公式及其性质，属于基础题． 解：由题意得，∴2a 11−a 9=a 1+12d =a 13=7， S 25=(a 1+a 25)×252=25a 13=175，故选B ．7.答案：B解析：解：∵tanα=2， 则cos 2α+sin2α=cos 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α =1+2tanαtan 2α+1=1， 故选：B ．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．8.答案：A解析：解：函数m(x)=1−2018x 1+2018x为奇函数，函数n(x)=cos2x 为偶函数，故函数f(x)=(1−2018x 1+2018x)cos2x为奇函数，故f(x)的图象关于原点对称，故排除B 、D ． m′(x)=−2018x+1⋅ln2018(1+2018x )2<0，n′(x)=−2sin2x ，f′(0)=m′(0)n(0)+m(0)n′(0)=m′(0)<0，故f(x)在0处的导数为负值，即函数f(x)在0处的切线斜率是负的，故排除C ， 故选：A ．先根据函数的奇偶性排除部分选项，求处函数在0处的导数，可得函数f(x)在0处的切线斜率，在排除部分选项，得到正确的结论．本题主要考查函数的奇偶性，函数的图象特征，求函数的导数，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，属于基础题．算出准线方程得到双曲线的焦距，再带入离心率公式中得到．解：由抛物线x2=4√3y得准线方程为y=−√3，因此双曲线的一个焦点为(0,−√3)，∴c=√3．双曲线x2m2−y2=−1化为y2−x2m2=1，∴a=1，∴双曲线的离心率e=ca=√3．故选：C．10.答案：D解析：本题主要考查正余弦定理的应用，属于基础题．根据正弦定理求得b=32c，则a=2c，根据余弦定理即可求解．解：，∴2b=3c，即b=32c，∵b−c=14a，∴a=2c，．故选D．11.答案：A解析：本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、余弦定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于基础题建立空间坐标系得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,a 2,a)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a 2,a)，运用向量的数量积cosθ=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3010，求解夹角即可．解：建立空间坐标系得出如图：∵BC =CA =CC 1=a ，∴根据题目条件得出：B(a,0，0)，A(0,a ，0)，B 1(a,0，a)，A 1(0,a ，a)，C 1(0,0，a) ∵点E 、F 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，∴E(a 2,a 2,a)，F(0,a2,a)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a 2,a 2,a)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−a 2,a) ∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a 24，|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62a ，|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52a ， ∴cosθ=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√3010， 故选：A 12.答案：D解析：本题考查了函数与方程思想，属于中档题．令f(x)=e x −2x ，求得f(x)的值域，即可得k 的取值范围．解：令f(x)=e x −2x ，则f′(x)=e x −2，可得f(x)在(−∞,ln2)递减，在(ln2,+∞)递增，当x →−∞时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→+∞，∴关于x 的方程e x −2x −k =0有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是(2−2ln2,+∞)． 故选：D ．13.答案：e2解析：本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究曲线的切线，属中档题.利用导数研究曲线的切线时，一定要设出切点的坐标．解：直线kx−y−k=0与曲线y=e x(e是自然对数的底数)相切的切点为(m,n)，又y′=e x，所以e m=k,n=e m=k，所以m=lnk，n=k，从而切点为(lnk,k)，在直线kx−y−k= 0上，所以klnk−k−k=0，所以k=e2．故答案为e2．14.答案：−163解析：根据等比数列的求和公式即可求出答案．本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式，求得q值，是解题的关键．解：由题意可得，公比q≠1，∴a1(1−q 3)1−q =8，a1(1−q6)1−q=7相除可得1+q3=78，∴q=−12，∴a1=323．故a2=a1q=323×(−12)=−163．故答案为−16315.答案：x，x≥0解析：解：函数f(x)=√x，g(x)=x−√x，则f(x)+g(x)=√x+x−√x=x，x≥0，故答案为：x，x≥0．根据f(x)，g(x)的解析式求出f(x)+g(x)的解析式即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查x 的范围，是一道基础题．16.答案：16π3 解析： 本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题． △ABD 和△BCD 的形状寻找截面圆心位置，从而得出球心位置，计算外接球的半径即可得出面积．解：∵空间四边形ABCD 中，AB =BD =AD =2，∴△ABD 是正三角形；又BC =1，CD =√3，∴△BCD 是直角三角形；取BD 的中点M ，连接CM ，则AM ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AM ⊂平面ABD ，∴AM ⊥平面BCD ，∴棱锥外接球的球心为△ABD 的中心，∵AM =√AB 2−BM 2=√3，∴该四棱锥A −BCD 的外接球的半径为23AM =2√33， ∴几何体外接球的表面积S =4π(2√33)2=16π3． 故答案为：16π3．17.答案：解：(1)因为总人数为100，可填写列联表如下：自律性一般 自律性强 合计成绩优秀 10 3040 成绩一般 40 2060 合计 5050 100 (2)根据表中数据，得K 2=100×(40×30−20×10)240×60×50×50=503≈16.667>10.828，所以有99.9%的把握认为学生的成绩与自律性有关．解析：本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题目．(1)根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；(2)计算K2，对照题目中的表格，得出结论．18.答案：解：(1)由S n=32n2+32n.n≥2时，a n=S n−S n−1=32n2+32n−[32(n−1)2+32(n−1)]=3n．n=1时，a1=S1=3，对于上式也成立．∴a n=3n．(2)T n=a n⋅a n+12n =9n2+12n，T n+1−T n=9(n+1)2+12n+1−9n2+12n=−9n2+82n+1<0，即T n+1<T n，∴数列{T n}单调递减，若对于一切的正整数n，总有T n≤m成立，∴m≥T1=5．∴实数m的取值范围是[5,+∞)．解析：(1)由S n=32n2+32n.n≥2时，a n=S n−S n−1.n=1时，a1=S1．(2)T n=a n⋅a n+12n =9n2+12n，作差T n+1−T n<0，可得数列{T n}单调递减，即可得出．本题考查了数列的提高关系、作差法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD；∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；∵AC∩AS=A，∴BD⊥平面SAC；∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC；(2)设AC∩BD=F，连结SF，则SF⊥BD，∵AB =2，四边形ABCD 是菱形，∠ABC =π3，∴AC =2，BD =2√3； ∴AF =1，∵SA =2，∴SF =√AF 2+AS 2=√5；∴S △BDS =12×BD ×SF =12×2√3×√5=√15；设点A 到平面SBD 的距离为h ，∵SA ⊥平面ABCD ，∴V A−BDS =V S−ABD ，∴13×√15×ℎ=13×2×12×2×2×sin120°，解得ℎ=2√55； 即点A 到平面SBD 的距离为2√55．解析：(1)根据线面垂直的判定定理先证明BD ⊥平面SAC ，即可得出平面EBD ⊥平面SAC ；(2)用等体积法求解，根据V A−BDS =V S−ABD ，结合题中数据即可求出结果．本题主要考查了面面垂直的证明以及点到平面的距离，熟记面面垂直的判定定理以及等体积法求点到面的距离，是常考题型．20.答案：解：(1)据题意M(−2,0)，N(2,0)，动点P 满足条件|PM|−|PN|=2√2，∴|PM|−|PN|=2√2<4∴动点P 的轨迹为双曲线的右支，且c =2，a =√2，∴曲线方程为x 2−y 2=2(x ≥√2)；(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，x 1≥√2，x 2≥√2，则x 1x 2≥2∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2−√x 12−2×√x 22−2≥x 1x 2−√(x 1x 2−2)2=x 1x 2−|x 1x 2−2|=x 1x 2−(x 1x 2−2)=2∴OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是2．解析：(1)利用双曲线的定义，可求W 的方程；(2)设点的坐标，利用向量的数量积公式，结合基本不等式，可求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值． 本题考查轨迹方程，考查双曲线的定义，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 21.答案：(Ⅰ)解：由题意，函数，所以f′(x)=ae x −(1+lnx)， f(x)是(0,+∞)上的增函数等价于f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，令f′(x)≥0，得a≥1+lnxe x，令g(x)=1+lnxe x(x>0)，求导得g′(x)=e−x(1x−1−lnx)，令ℎ(x)=1x −1−lnx，ℎ′(x)=−1x2−1x<0，所以ℎ(x)是(0,+∞)上的减函数，又ℎ(1)=0，故1是ℎ(x)的唯一零点，当x∈(0,1)，ℎ(x)>0，g′(x)>0，g(x)递增；当x∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，g′(x)<0，g(x)递减；故当x=1时，g(x)取得极大值且为最大值g(1)=1e，所以a≥1e，所以a的取值范围是[1e,+∞)；(Ⅱ)证明：f(x)>0⇔ae xx−lnx>0．令F(x)=ae xx−lnx(x>0)，以下证明当a≥2e时，F(x)的最小值大于0．求导得F′(x)=a(x−1)e xx2−1x=1x2[a(x−1)e x−x]，①当0<x≤1时，F′(x)<0，F(x)≥F(1)=ae>0；②当x>1时，F′(x)=a(x−1)x [e x−xa(x−1)]，令G(x)=e x−xa(x−1)，则G′(x)=e x+1a(x−1)2>0，又G(2)=e2−2a=ae2−2a≥0，取m∈(1,2)且使ma(m−1)>e2，即1<m<ae2ae2−1，则G(m)=e m−ma(m−1)<e2−e2=0，因为G(m)G(2)<0，故G(x)存在唯一零点x0∈(1,2)，即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2)，又F(x0)=ae x0x0−lnx0，且G(x 0)=ex 0−x 0a(x 0−1)=0，即e x 0=x 0a(x 0−1)， 故F(x 0)=1x 0−1−lnx 0，设Q(x 0)=1x 0−1−lnx 0，因为Q′(x 0)=−1(x 0−1)2−1x 0<0，故Q(x 0)是(1,2)上的减函数．所以F(x 0)=Q(x 0)>Q(2)=1−ln2>0，所以F(x)>0．综上，当a ≥2e 2时，总有f(x)>0．解析：本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想，是较难题．(Ⅰ)f′(x)=ae x −(1+lnx)，f(x)是(0,+∞)上的增函数等价于f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立．令f′(x)≥0，得a ≥1+lnxe x，令g(x)=1+lnx e x (x >0)，求导得g′(x)=e −x (1x −1−lnx)，令ℎ(x)=1x −1−lnx ，ℎ′(x)=−1x 2−1x <0，由此能求出a 的取值范围．(Ⅱ)f(x)>0⇔ae x x −lnx >0.令F(x)=ae x x −lnx(x >0)，当a ≥2e 2时，F(x)的最小值大于0.由此利用导数性质能证明当a ≥2e 2时，总有f(x)>0．22.答案：解：C 1的直角坐标方程为x +y +2=0，C 2的普通方程为y 2=8x ，解方程组{x +y +2=0y 2=8x得{x =2y =−4， 所以C 1与C 2交点的直角坐标为(2,−4)．解析：本题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程之间的互化，根据题意，C 1的直角坐标方程为x +y +2=0，C 2的普通方程为y 2=8x ，解方程组{x +y +2=0y 2=8x，即可求得交点坐标．23.答案：解：(1)f(x)={x +3,x ≤−121−3x,−12<x <2−x −3,x ≥2，原不等式等价于：{x ≤−12x +3≤2或{−12<x <21−3x ≤2或{x ≥2−x −3≤2, 解得：x ≤−1，或−13≤x <2，或x ≥2，综上所述，不等式解集是：{x|x ≤−1或x ≥−13}；(2)∃b ∈R ，|a +b|−|a −b|≥f(x)恒成立等价于(|a +b|−|a −b|)max ≥f(x)max ． 因为|a +b|−|a −b|≤|(a +b)+(a −b)|=2|a|，所以|a +b|−|a −b|的最大值为2|a|；x ≤−12时，f(x)≤52；−12<x <2时，−5<f(x)<52；x ≥2时，f(x)≤−5， 所以f(x)max =52，所以由原不等式恒成立，得：2|a|≥52，解得：a ≥54或a ≤−54．解析：本题考查绝对值不等式的应用，函数恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力．(1)化简函数为分段函数，然后转化不等式求解即可．(2))∃b ∈R ，|a +b|−|a −b|≥f(x)恒成立等价于(|a +b|−|a −b|)max ≥f(x)max .利用函数的最值转化求解即可．。
2020年广东省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (2)(含答案解析)
2020年广东省高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (2)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N+|x2−3x−4<0}，则集合A的真子集有()A. 7个B. 8个C. 15个D. 16个2.若复数z1,z2在复平面内对应点的坐标分别为(2,1)，(0,−1)，则z1⋅z2=()A. 2+iB. 1−2iC. −1−2iD. −i3.已知a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,2)，且a⃗||b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 4B. 3C. √5D. √104.f(x)=a+12x+1是奇函数，则a=()A. −12B. 12C. −1D. 15.如图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论错误的是()A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快6.若抛物线C：y2=2px的准线经过双曲线x212−y24=1的左焦点，则抛物线C的焦点坐标为()A. (4,0)B. (−4,0)C. (0,−4)D. (0,4)7.已知函数f(x)=|x|−1x，则函数y=f(x)的大致图象为()A. B. C. D.8.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为()A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√339.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a10.在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=√2,c=√3,C=π3，则角A=()．A. π6B. π4C. π4或3π4D. π6或5π611.有一长方体木块，其顶点为ABCD−A1B1C1D1，AB=3，BC=2，AA1=1，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点C1，则小虫爬行的最短距离为()A. √14B. 3√2C. 2√5D. √2612.双曲线x2−y2=1的焦距为()A. √2B. 2√2C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足对任意的n∈N∗，都有a n+12=a n⋅a n+2，a1=1，a4=8，则a3=________．14.曲线y=f(x)=(x+1)e x在点(0,1)处的切线方程为________．15.函数f(x)=√3sinx+cosx在x=π3处有极______ 值．16.设函数f(x)=|2x−3|，则不等式f(x)<5的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或骑单车方式通勤．分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)={30,0<x⩽302x+1800x−90,30<x<100(单位：分钟)，而骑单车群体的人均通勤时间为g(x)={310x+31,0<x⩽7052,70<x<100(单位：分钟).试根据上述分析结果回答下列问题：(1)试确定x的取值范围，使得自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；(2)求该地上班族S的人均通勤时间p(x)的表达式，讨论p(x)的单调性，并说明其实际意义．18.已知数列{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=13，a n b n+1+b n+1=nb n，(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求{a n b n}的前n项和．19.已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆一点．若F1，F2，P为直角三角形的三个顶点，求点P到x轴的距离．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，△ABD 是边长为2√3的正三角形，∠CBD =∠CDB =30°，E 为棱PA 的中点．(Ⅰ)求证：DE//平面PBC ；(Ⅱ)若平面PAB ⊥平面ABCD ，PA =PB =2，求点E 到平面PBC 的距离．21. 已知函数f(x)=ax −ln(−x)，x ∈[−e,0)，其中e 为自然对数的底数．(1)当a =−1时，证明：f(x)+ln(−x)x >12． (2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =t y =t +1(t 为参数)，曲线C 的参数方程是为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)已知射线OP：θ1=α(其中0<α<π2)与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2=α+π2与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知函数f(x)=|x|+|x−6|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤10的解集；(Ⅱ)记f(x)的最小值为m，若正实数a，b，c满足a+b+c=m，求证：√a+√2b+√3c≤m．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合的真子集的个数的求法，考查真子集定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A={1,2，3}，由此求出集合A的真子集个数即可．解：∵集合A={x|x2−3x−4<0,x∈N+}={x|−1<x<4,x∈N+}={1,2，3}，∴集合A的真子集有：23−1=7．故选：A．2.答案：B解析：解：由已知：复数z1=2+i，z2=−i，所以z1⋅z2=(2+i)(−i)=1−2i．故选：B．由已知求出复数z1=2+i，z2=−i，相乘即可．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：本题考查向量共线的坐标运算，以及求向量的模，难度一般．由共线求出x，再求出a⃗+b⃗ =(−2,1)，计算出模即可．解：a⃗=(2,−1)，b⃗ =(x,2)，且a⃗||b⃗ ，所以4+x=0，则x=−4，则a⃗+b⃗ =(2+x,1)=(−2,1)，则|a⃗+b⃗ |=√4+1=√5．故选C．4.答案：A解析：解：∵f(x)=a+12x+1是奇函数，∴f(0)=a+12=0，解得a=−12．经过验证a=−12满足条件．故选：A．利用奇函数的性质f(0)=0即可得出．本题考查了奇函数的性质，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查频率分布折线图，根据图中的数据逐一判断可得结果．解：由图中的数据可知：A，B，D三项判断都正确；对C.2019年全国居民消费价格同比涨幅最大是9月和10月，错误．故选C．6.答案：A解析：解：抛物线C：y2=2px的准线x=−p2经过双曲线x212−y24=1的左焦点(−4,0)，可得−p2=−4，即p=8，可得抛物线的焦点坐标为(4,0)，故选：A．求得抛物线的准线方程和双曲线的左焦点坐标，可得p，进而得到所求抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，属于较易题．根据函数值的符号以及函数零点个数进行排除即可．解析：解：当x <0时，f(x)>0，排除A ，C ，由f(x)=0，得|x|−1x =0，得|x|=1x ，当x >0时，x =1x ，得x =1，即函数f(x)存在一个零点x =1，排除B ， 故选：D ． 8.答案：B解析：由三视图可知该几何体是一个三棱锥，结合三棱锥的体积公式即可求解．【详解】解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥，所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ．本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积，需要先判断几何体的形状，再由体积公式即可求解，属于基础题型．9.答案：B解析：解：，b =315>30=1，0<c =(15)0.4<(15)0=1，∴a <c <b ．故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．10.答案：B解析：本题考查用正弦定理解三角形，是基础题.根据条件利用正弦定理可求sin A，再根据a与c的大小关系，确定A的范围，可求角A．解：由正弦定理可得：，所以sinA=√2，2又因为a<c，所以A<C，，所以A=π4故选B．11.答案：B解析：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离，考查空间想象能力，运算求解能力，属于中档题．分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．解：两点之间直线最短，可分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为√25+1=√26；②当小虫沿着表面经过棱A1B1时，将平面A1ABB1和平面A1B1C1D1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为3√2；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为2√5；比较√26，3√2，2√5的大小可知，3√2最小．故选：B．12.答案：B解析：解：双曲线x2−y2=1的a=b=1，c=√1+1=√2，可得双曲线的焦距为2√2．故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦距2c．本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．13.答案：4解析：本题考查了等比数列的通项公式，由题意得，数列{a n}为等比数列，设公比为q，由a4=a1q3=q3=8，得q的值，从而得出结果．2=a n⋅a n+2，解：∵数列{a n}满足对任意的n∈N∗，都有a n+1∴数列{a n}为等比数列，设公比为q，∴a4=a1q3=q3=8，得q=2，∴a3=a1q2=1×22=4，故答案为为4．14.答案：y=2x+1解析：本题考查利用导数求曲线的切线问题，属基础题．求出f(0)，f′，0)，利用点斜式可得切线方程．解：因为f(x)=(x+1)e x,得f′′(x)=(x+2)e x，f(0)=1，所以f′′(0)=2，所以切线方程为y−1=2x，即y=2x+1．15.答案：大解析：解：∵函数f(x)=√3sinx+cosx=2(√32sinx+12cosx)=2sin(x+π6)，∴f(π3)=2sin(π3+π6)=2，取得极大值．∴函数f(x)在x=π3处有极大值．故答案为：大．利用两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性即可得出．本题考查了两角和差的正弦公式和正弦函数的单调性，属于基础题．16.答案：(−1,4)解析：解：∵f(x)=|2x−3|，∴f(x)<5，即|2x−3|<5，∴−5<2x−3<5，解得：−1<x<4，故答案为：(−1,4)．问题转化为|2x−3|<5，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，是一道基础题．17.答案：解：(1)当0<x≤30时，30<310x+31恒成立，所以0<x≤30，当30<x≤70时，由2x+1800x −90<310x+31，得17x 2−1210x+18000<0，解得36017<x<50，所以30<x<50，当70<x<100时，2x+1800x−90<52，即x 2−71x+900<0，又不等式在70<x<100无解，所以不存在这样的x，综上所述，0<x <50，故当x ∈(0,50)时，自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间；(2)依题意可得p(x)=f(x)·x%+g(x)·(1−x%)，= { −31000x 2+29100x +31,0<x ≤30171000x 2−91100x +49,30<x ≤70150x 2−7150x +70,70<x ≤100， 所以p(x)在区间(0,30)上单调递增，在[30,70]上单调递增，在[70,100)上单调递增，即函数p(x)在(0,100)上为增函数，实际意义：该地上班族S 人均通勤时间随自驾成员占比的增加而增加．解析：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．(1)分段求出x 的范围，即可求出自驾群体的人均通勤时间少于骑单车群体的人均通勤时间．(2)分段求出p(x)的解析式，判断p(x)的单调性，再说明其实际意义．18.答案：解：(I)b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ，可得a 1b 2+b 2=b 1，即a 1=2， 所以数列数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =2+3(n −1)=3n −1；(II)由(I)和a n b n+1+b n+1=nb n ，可得b n+1=13b n ，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列，所以b n =(13)n−1，所以a n b n =(3n −1)⋅(13)n−1，前n 项和S n =2⋅(13)0+5⋅(13)1+⋯+(3n −1)⋅(13)n−1，13S n=2⋅(13)1+5⋅(13)2+⋯+(3n −1)⋅(13)n ， 相减可得23S n =2+3[(13)+(13)2+⋯+(13)n−1]−(3n −1)⋅(13)n=2+3⋅13(1−13n−1)1−13−(3n −1)⋅(13)n ， 化简可得前n 项和S n =214−6n+74⋅(13)n−1．解析：(I)由等差数列的通项公式可得所求；(II)由等比数列的通项公式可得b n =(13)n−1，即有a n b n =(3n −1)⋅(13)n−1，由数列的错位相减法求和可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简整理的运算能力，属于中档题．19.答案：解：由题意，得a=4，b=3，则c=√a2−b2=√7．)，又由题意，可知当以F1或F2为三角形的直角顶点时，点P的坐标为(±√7,±94；则点P到x轴的距离为94>3，舍去．当以点P为三角形的直角顶点时，点P的纵坐标为9√77解析：本题主要考查了椭圆的性质，由椭圆的标准方程求出c，分别以F1，F2，P为直角顶点进行求．20.答案：(Ⅰ)证明：取AB中点F，连接EF、DF，∴EF//PB，DF⊥AB．∵∠CBD=∠FDB=30°，∴∠ABC=90°，即CB⊥AB，∴DF//BC，∵EF、DF⊂平面DEF，PB、BC⊂平面PBC，∴平面DEF//平面PBC，∵DE⊂平面DEF，∴DE//平面PBC．(Ⅱ)解：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC．∴在△PAB中，过E作EG⊥PB交BP的延长线于G点，则EG的长为点E到平面PBC的距离，设点A到PB的距离为h，则12×PB ×ℎ=12×AB ×PF ⇒12×2×ℎ=12×2√3×1，即ℎ=√3，∴EG =12ℎ=√32，即点E 到平面PBC 的距离为√32．解析：(Ⅰ)取AB 中点F ，连接EF 、DF ，利用三角形中位线定理、等边三角形的性质可得：EF//PB ，DF ⊥AB.进而得到DF//BC.于是平面DEF//平面PBC ，即可证明DE//平面PBC ．(Ⅱ)由平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊥AB ，可得BC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PBC.在△PAB 中，过E 作EG ⊥PB 交BP 延长线于G 点，则EG 的长为点E 到平面PBC 的距离，设点A 到PB 的距离为h ，利用S △PAB =12PF ⋅AB =12ℎ⋅PB ，即可得出．本题考查了空间位置关系、线面面面判平行与垂直的判定与性质定理、三角形中位线定理、平行线的判定方法、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21.答案：(1)证明：由题意可知：所证不等式为f(x)>12−ln(−x)x ，(x ∈[−e,0))， ∵f′(x)=−1−1x −x+1x ，故−e ≤x <−1时，f′(x)<0，此时f(x)递减，当−1<x <0时，f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在[−e,0)上有唯一极小值f(−1)=1，即f(x)在[−e,0)上的最小值是1，令ℎ(x)=12−ln(−x)x ，x ∈[−e,0)， 则ℎ′(x)=ln(−x)−1x 2，当−e ≤x <0时，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[−e,0)递减，故ℎ(x)max =ℎ(−e)=1e +12<12+12=1=f(x)min ，故a =−1时，f(x)+ln(−x)x >12； (2)解：假设存在实数a ，使得f(x)=ax −ln(−x)的最小值是3，f′(x)=a −1x ，x ∈[−e,0)，①若a ≥−1e ，由于x ∈[−e,0)，则f′(x)=a −1x ≥0，故函数f(x)=ax −ln(−x)在[−e,0)上递增，故f(x)min =f(−e)=−ae −1=3，解得：a =−4e <−1e 与a ≥−1e 矛盾，舍，②若a <−1e ，则当−e ≤x <1a 时，f′(x)=a −1x <0，此时f(x)=ax −ln(−x)递减，当1a <x <0时，f′(x)=a −1x >0，此时f(x)递增，故f(x)min =f(1a )=1−ln(−1a )=3，解得：a =−e 2，综上，由①②知：存在实数a =−e 2，使得f(x)的最小值是3．解析：(1)求出f(x)的最小值，令ℎ(x)=12−ln(−x)x ，x ∈[−e,0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，从而证明结论；(2)通过讨论a 的范围，求出f(x)的最小值，求出a 的值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 22.答案：解：(Ⅰ)直线l 的参数方程是{x =ty =t +1(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x −y +1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ−ρsinθ+1=0．曲线C 的参数方程是为参数)， 转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于0<α<π2，所以|OP|=4cosα，，|OQ|=1sinα+cosα，所以S △OPQ =12|OP||OQ|=2cosαcosα+sinα=1，所以tanα=1，由于0<α<π2，故α=π4，=2√2．所以|OP|=4cosπ4解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)当x⩽0时，由−2x+6⩽10，解得−2⩽x⩽0；当0<x⩽6时，因为6<10，所以0<x⩽6；当x>6时，由2x−6⩽10，解得6<x⩽8，综上可知，不等式f(x)⩽10的解集为[−2,8]．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)的最小值为6，即m=6，所以a+b+c=6，由柯西不等式可得(a+b+c)(1+2+3)=((√a)2+(√b)2+(√c)2)((√1)2+(√2)2+(√3)2)⩾(√a+√2b+√3c)2，因此√a+√2b+√3c⩽6=m．解析：本题考查了绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用，属于中档题．(Ⅰ)利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f(x)⩽10的解集；(Ⅱ)利用绝对值不等式，求出m，再利用柯西不等式进行证明．。
广东省东莞市2020届普通高中毕业班4月模拟自测数学(文)试题(解析版)
2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．B．（﹣3，1）C．D．2．设复数z满足iz＝1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．玫瑰花窗（如图）是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感．构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等．右图是四个半圆构成的四叶形，半圆的连接点构成正方形ABCD，在整个图形中随机取一点，此点取自正方形区域的概率为（）A．B．C．D．4．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝log2x，且f（m）＝2，则m＝（）A．B．4C．4或D．4或5．已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则＝（）A．B．C．1D．6．已知F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则（cos）*（sin）＝（）A．B．C．1D．﹣18．约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度．如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米；然后，他站立在沙地上，请人不断测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时，影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（）A．115米B．137.2米C．230米D．252.2米9．为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为，网络评分的平均分为，所有评委与场内学生评分的平均数为，那么下列选项正确的是（）A．B．C．D．与关系不确定10．已知函数的最小正周期为π，将f（x）的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称11．已知双曲线C：的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2＝2a2截得的弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．212．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB和DD1的中点，经过点B1，E，F的平面α交AD于G，则AG＝（）A．B．C．D．二、填空题13．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a cos B＝b sin A，则B＝．14．已知在x＝0的切线方程为y＝x+1，则k＝．15．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．16．已知在x∈（0，1）上恰有一个零点，则正实数a的取值范围为．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝16，a3＝3a2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前2n项的和T2n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC，AD∥BC，AD ＝4，AP＝AB＝BC＝2，E是AD的中点，AC和BE交于点O，且PO⊥平面ABCD．（1）证明：平面PAC⊥平面PCD；（2）求点D到平面PCE的距离．19．已知函数f（x）＝e x+3ax．（1）讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆N：（x﹣1）2+y2＝1，圆心N（1，0），点E在直线x＝﹣1上，点P满足∥，•，点P的轨迹为曲线M．（1）求曲线M的方程．（2）过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D（自上而下），若|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，求直线l的方程．21．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常．（i）在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为p（0＜p＜1）．第一天，若某位感染者产生a（a∈N）名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap；第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为ap（1+ap）；以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为En（2≤n≤10）．写出E4，E n；（ii）在（i）的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为p'，且满足关系p'＝ln（1+p），此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为（2≤n≤10）．当p'最大，且a＝10时，、根据E6和的值说明戴口罩的必要性．（p′精确到0.1）参考公式：函数y＝ln（1+x）的导函数，；参考数据：ln3≈1.1，ln2≈0.7，64＝1296．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a sinθ（a＞0），已知直线l与曲线C有且仅有一个公共点．（l）求a；（2）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|+|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x+1|+|3x﹣a|，x∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）＞2a﹣1，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.1．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．B．（﹣3，1）C．D．【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：，∴．故选：C．2．设复数z满足iz＝1+i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．解：由iz＝1+i，得z＝，∴，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．3．玫瑰花窗（如图）是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之感．构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等．右图是四个半圆构成的四叶形，半圆的连接点构成正方形ABCD，在整个图形中随机取一点，此点取自正方形区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先这是一个几何概型，整个图形内部的每个点对应一个基本事件．只需要算出整个图形面积即两个圆与正方形的面积和．用正方形面积除以总面积即可．解：由题意可知，整个图形内部的每个点对应一个基本事件，所以这是一个几何概型．设此点取自正方形区域为事件A设正方形的边长为2r，则圆的半径为r．∴S（Ω）＝2πr2+（2r）2＝2πr2+4r2．正方形面积为S（A）＝4r2．故．故选：A．4．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝log2x，且f（m）＝2，则m＝（）A．B．4C．4或D．4或【分析】根据题意，分m＞0与m＜0两种情况讨论，结合函数的奇偶性与解析式分析，求出m的值，综合即可得答案．解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝log2x，此时若f（m）＝2，必有log2m＝2，解可得m＝4；当x＜0，则﹣x＞0，此时若f（m）＝2，则有f（﹣m）＝﹣2，即log2（﹣m）＝﹣2，解可得m＝﹣；综合可得：m＝4或﹣；故选：D．5．已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则＝（）A．B．C．1D．【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可．解：由题意知，平面向量、的夹角为135°，且||＝1，，所以||＝＝，•＝1××cos135°＝﹣1，＝+2+＝1+2×（﹣1）+2＝1，所以＝1．故选：C．6．已知F1、F2分别为椭圆C：的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，若△AF2B是边长为4的等边三角形，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．【分析】由△AF2B是边长为4的等边三角形，及椭圆的定义可得2a，及2c与2a的关系求出c，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程．解：因为△AF2B是边长为4的等边三角形，所以∠AF2F1＝30°，2a＝|AF1|+|AF2|＝2+4＝6，2c＝|F1F2|＝|AF1|2，所以b2＝a2﹣c2＝9﹣3＝6，所以椭圆的方程为：+＝1，故选：B．7．定义运算a*b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则（cos）*（sin）＝（）A．B．C．1D．﹣1【分析】先判断a＝cos和b＝sin的大小，然后代入框图的左边执行框计算即可．解：∵，∴，∴＝1＝1．故选：C．8．约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金字塔的高度．如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测量出某个金字塔的底棱长约为230米；然后，他站立在沙地上，请人不断测量他的影子，当他的影子和身高相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A与相应底棱中点B的距离约为22.2米．此时，影子的顶点A和底面中心O的连线恰好与相应的底棱垂直，则该金字塔的高度约为（）A．115米B．137.2米C．230米D．252.2米【分析】易知，当泰勒斯的身高与影子相等时，身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边，再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到A的距离即为塔高．解：当泰勒斯的身高与影子相等时，身高与影子构成等腰直角三角形的两直角边，再根据金字塔高与影子所在的直角三角形与刚才的三角形相似，可知塔底到A的距离即为塔高．所以由题意得金字塔塔高为OA＝OB+BA＝115+22.2＝137.2米．故选：B．9．为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分．某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如图所示：评委序号①②③④⑤⑥⑦评分108989109记现场评委评分的平均分为，网络评分的平均分为，所有评委与场内学生评分的平均数为，那么下列选项正确的是（）A．B．C．D．与关系不确定【分析】根据题意求出平均数，然后估算求出总平均数．解：＝＝9，＝0.1×7+0.1×8+0.2×9+0.6×10＝9.3，则＝9.15，设场内人数为a（a＞100），则．因为a＞100，所以＞，故选：C．10．已知函数的最小正周期为π，将f（x）的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的对称性进行求解即可．解：f（x）的最小正周期为π，则＝π，得ω＝2，则f（x）＝cos（2x+φ），将f（x）的图象向左平移个单位后，得到y＝cos[2（x+）+φ]＝cos（2x++φ），所得图象关于原点对称，则+φ＝kπ+，k∈Z，得φ＝kπ﹣，k∈Z，∵﹣＜φ＜，∴当k＝0时，φ＝﹣，即f（x）＝cos（2x﹣），f（）＝cos（2×﹣）＝cos＝0，则f（x）关于点（，0）对称，故选：D．11．已知双曲线C：的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2＝2a2截得的弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】由题意画出图形，利用垂径定理可得a与b的关系，得到双曲线为等轴双曲线，则离心率可求．解：如图所示，双曲线的两条渐近线关于x轴对称，取y＝与圆相交于点A，B，|AB|＝2b，圆心（c，0）到直线bx﹣ay＝0的距离d＝．结合垂径定理可得2a2＝b2+b2，即a＝b．∴双曲线为等轴双曲线，其离心率e＝．故选：B．12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB和DD1的中点，经过点B1，E，F的平面α交AD于G，则AG＝（）A．B．C．D．【分析】由面面平行的性质定理可得平面B1EF与平面D1DCC1的交线与B1E平行，过F作B1E的平行线交C1D1于H，连接B1H，过E作EG∥B1H，交AD于G，由比例关系可得所求值．解：由平面A1ABB1∥平面D1DCC1，可得平面B1EF与平面D1DCC1的交线与B1E平行，过F作B1E的平行线交C1D1于H，由F为DD1的中点，可得H为C1D1的四等分点，连接B1H，过E作EG∥B1H，交AD于G，从而G为AD的三等分点，则AG＝．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.13．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a cos B＝b sin A，则B＝．【分析】由已知结合正弦定理及同角基本关系进行化简即可求解．解：∵a cos B＝b sin A，由正弦定理可得，sin A cos B＝sin B sin A，由sin A＞0，化简可得tan B＝，∵0＜B＜π，故B＝．故答案为：14．已知在x＝0的切线方程为y＝x+1，则k＝2．【分析】先对函数求导数，再将x＝0代入，并令f′（0）＝1，即可求出k的值．解：由题意得＝，∴f′（0）＝k﹣1＝1．∴k＝2．故答案为：2．15．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝2，∠BAC＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为8π．【分析】根据三棱锥的结构特征确定球心位置，从而得出球的半径和表面积．解：将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为求O，D，D′，为上下底面的外心，O为DD′的中点，AD为底面外接圆的半径，由正弦定理可得：2AD＝＝2；由OD＝1，AD＝1；得R＝AO＝，所以球O的表面积为：4πR2＝8π．故答案为：8π．16．已知在x∈（0，1）上恰有一个零点，则正实数a的取值范围为（0，1）．【分析】原题等价于函数和h（x）＝2x2﹣ax的图象在（0，1）上只有一个公共点，作出函数图象，由图象观察可知，只需h（1）＞g（1）即符合题意，由此得解．解：依题意，方程在（0，1）上仅有一个解，即在（0，1）上仅有一个实数根，亦即函数和h（x）＝2x2﹣ax的图象在（0，1）上只有一个公共点，而h（x）＝2x2﹣ax必经过原点，且其对称轴为，由图可得当h（1）＞g（1）时符合题意，即2﹣a＞1，解得a＜1，又∵a＞0，∴0＜a＜1．故答案为：（0，1）．三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝16，a3＝3a2．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前2n项的和T2n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式求解；（2）通过裂项相消法求解数列{b n}的前2n项的和T2n求解．解：（1）因为等差数列{a n}中，设首项为a1公差为d．由题意得，解得，所以a n＝﹣2+4（n﹣1）＝4n﹣6．（2）＝＝＝．T2n＝b1+b2+b3+…+b2n﹣1+b2n＝＝＝．所以b n}的前2n项的和T2n为．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AB⊥BC，AD∥BC，AD ＝4，AP＝AB＝BC＝2，E是AD的中点，AC和BE交于点O，且PO⊥平面ABCD．（1）证明：平面PAC⊥平面PCD；（2）求点D到平面PCE的距离．【分析】（1）由已知证明四边形ABCE为平行四边形，进一步证得四边形ABCE是正方形，得CE⊥AD．求解三角形证明CD⊥AC．由线面垂直的判定可得PO⊥平面ABCD，得到CD⊥PO．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，从而得到平面PAC⊥平面PCD；（2）由（1）知，四棱锥P﹣ABCE为正四棱锥，故PC＝PE＝PA＝2，设点D到平面PCE的距离为h，再由等体积法求点D到平面PCE的距离．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝4，BC＝2，E是AD的中点，∴四边形ABCE为平行四边形，又∵AB⊥BC，AB＝BC，∴四边形ABCE是正方形，得CE⊥AD．又∵CE＝AE＝ED＝2，∴AC＝CD＝．又∵AD＝4，∴AC2+CD2＝AD2，故CD⊥AC．∵PO⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PO．又∵AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD；（2）解：由（1）知，四棱锥P﹣ABCE为正四棱锥，故PC＝PE＝PA＝2．又CE＝2，∴△PCE是等边三角形，即．设点D到平面PCE的距离为h，得．由PC＝PA＝2，AC＝，得△PAC为等腰直角三角形，故PO＝．∵△ECD是直角三角形，且CE＝ED＝2，∴，得．由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，得，即h＝．∴点D到平面PCE的距离为．19．已知函数f（x）＝e x+3ax．（1）讨论函数f（x）的单调性：（2）若函数f（x）≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求导，根据导数讨论参数a，根据参数讨论单调性，（2）分离参数，求最值，求出a．解：（1）因为f'（x）＝e x+3ax，x∈R，所以f'（x）＝e x+3a，①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，f'（x）＝e x+3a，令f'（x）＝0，解之得x＝ln（﹣3a）．所以x∈（﹣∞，ln（﹣3a））时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；x∈（ln（﹣3a），+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当a≥0时，f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣3a））上单调递减，f（x）在（ln（﹣3a），+∞）上单调递增；（2）由题意知，e x+3ax≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立，所以，（x＞0），设，则，当0＜x＜1，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当1＜x，g'（x）＜0，g（x）单调递减；故，所以a≥．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆N：（x﹣1）2+y2＝1，圆心N（1，0），点E在直线x＝﹣1上，点P满足∥，•，点P的轨迹为曲线M．（1）求曲线M的方程．（2）过点N的直线l分别交M和圆N于点A、B、C、D（自上而下），若|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，求直线l的方程．【分析】（1）设p（x，y），由∥，得E（﹣1，y），求出向量的坐标代入•，化简得：y2＝4x，所以点P的轨迹曲线M的方程为：y2＝4x；（2）由|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，得弦长|AB|＝|AC|+|CD|+|DB|＝6，对直线l的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，|AB|＝4≠6，不符合题意，当斜率存在时，A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k的值，从而得到直线l的方程．解：（1）设p（x，y），由∥，得E（﹣1，y），则，，，，由•，得（x﹣1，y）•（﹣2，y）＝（x+1，0）•（2，﹣y），即﹣2x+2+y2＝2x+2，化简得：y2＝4x，所以点P的轨迹曲线M的方程为：y2＝4x；（2）由|AC|、|CD|、|DB|成等差数列，得|AC|+|DB|＝2|CD|＝4，所以弦长|AB|＝|AC|+|CD|+|DB|＝6，①当斜率不存在时，直线l的方程为：x＝1，交点A（1，2），B（1，﹣2），此时|AB|＝4≠6，不符合题意，②当斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，∴，x1x2＝1，显然△＝16（k2+1）＞0恒成立，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1+x2+2＝6，∴，解得：k＝，∴直线l的方程为y＝．21．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常．（i）在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为p（0＜p＜1）．第一天，若某位感染者产生a（a∈N）名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为ap；第二天，若每位感染者都产生a名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为ap（1+ap）；以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n天新增感染者平均人数为En（2≤n≤10）．写出E4，E n；（ii）在（i）的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为p'，且满足关系p'＝ln（1+p），此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为（2≤n≤10）．当p'最大，且a＝10时，、根据E6和的值说明戴口罩的必要性．（p′精确到0.1）参考公式：函数y＝ln（1+x）的导函数，；参考数据：ln3≈1.1，ln2≈0.7，64＝1296．【分析】（1）根据图表得到结论，正确即可，（2）根据题意求E4，E n（3）先求f（p），求导求最值，求出p，然后求出E6，．解：（1）甲地区比乙地区新增人数的平均数低，甲地区比乙地区的方差大，（2）（i），，2≤n≤10，n∈N+，（ii）令，则f'（p）＝，当f'（p）＞0时，0＜p＜，f（p）单调递增；当f'（p）＜0时，＜p＜1，f（p）单调递减；故＝ln3﹣ln2﹣≈1.1﹣0.7﹣0.3＝0.1，所以当p＝0.5时，p'取得最大值0.1，此时，E′＝10×0.1（1+10×0.1）4＝16，∵E6＞，∴戴口罩很有必要．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2a sinθ（a＞0），已知直线l与曲线C有且仅有一个公共点．（l）求a；（2）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|+|OB|的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离和极径的应用及三角函数关系式的变换的应用及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）直线l的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为．曲线C的极坐标方程为ρ＝2a sinθ（a＞0），转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2ay＝0，整理得x2+（y﹣a）2＝a2，由于直线l与曲线C有且仅有一个公共点，所以圆心（0，a）到直线的距离d＝，解得a＝1或﹣3（负值舍去）．（2）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，设点A为曲线上靠右的点，所以A（ρ1，α），B（），（），所以|OA|+|OB|＝ρ1+ρ2＝＝，当时，|OA|+|OB|的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|3x+1|+|3x﹣a|，x∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜9的解集；（2）对任意x∈R，恒有f（x）＞2a﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入，并化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式，最后取各解集的并集即可；（2）先利用绝对值不等式的性质可得f（x）≥|a+1|，问题转化为|a+1|≥2a+1恒成立，再分类讨论即可得解．解：（1）当a＝1时，，当时，﹣6x＜9，解得，所以；当时，2＜9恒成立，所以；当时，6x＜9，解得，所以；∴所求不等式的解集为；（2）由绝对值不等式性质得f（x）＝|3x+1|+|3x﹣a|≥|3x+1﹣（3x﹣a）|＝|a+1|，由f（x）≥2a+1恒成立，可知|a+1|≥2a+1恒成立，当a≥﹣1时，a+1≥2a+1，解得a≤0，所以﹣1≤a≤0；当a＜﹣1时，﹣1﹣a≥2a+1，解得，所以a＜﹣1；综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0]．。
2020年广东省东莞市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年广东省东莞市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−x2+7x−12<0}，B={x∈N|x(x−6)≤0}，则A∩B=()A. [0,3)∪(4,6]B. (0,3)∪(4,6)C. {1,2，5，6}D. {0,1，2，5，6}2.已知i是虚数单位，若2+i=z(1−i)，则z的共轭复数z对应的点在复平面的()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.图是由三个半圆构成的图形，其中阴影部分的周长为6π，面积为2π，若在最大的半圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为()A. 29B. 49C. 12D. 234.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(14)=1，当x<0时，f(x)=log2(−x)+m，则实数m=()A. −1B. 0C. 1D. 25.已知单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为2π3,则|e⃗−2e2⃗⃗⃗ |=()A. 3B. 7C. √3D. √76.已知椭圆x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l交椭圆与A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值为()A. 1B. √2C. √32D. √37.执行如图所示的程序框图，若输入a=ln10，b=lg e，则输出的值为()A. 0B. 1C. 2lg eD. 2ln108.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，测量者小张在岸边点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小张沿河岸向前走了200米到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为()A. 100√2米B. 100√6米C. 50√2米D. 50√6米9.某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均数作为该班节目的实际得分.对于某班的演出，7位评委的评分分别为：9.65，9.70，9.68，9.75，9.72，9.65，9.78，则这个班节目的实际得分是()A. 9.66B. 9.70C. 9.65D. 9.6710.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，若将f(x)的图象向右平移π6个单位后关于原点中心对称，则()A. ω=2,φ=π3B. ω=2,φ=−2π3C. ω=2,φ=π6D. ω=2,φ=2π311.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与圆M：(x−2)2+y2=5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2√2，则双曲线的离心率为()A. 2B. √2C. √3D. 312.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列三个结论：①当0<CQ<12时，S为四边形；②当CQ=12时，S为等腰梯形；③当CQ=1时，S的面积为√62；以上结论正确的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=2√3，cosA=√32，且b<c，则b=_____．14.函数f(x)=xe x在点(1,e)的切线方程为_______。
2020年广东高三一模数学试卷(文科)
，
，
设 关于 的线性回归方程为
，则
，
且
，
得
，
代人
，
，
有
，
则所求 关于 的线性回归方程为：
，
即
，
14
可预测该市
年居民月均用电量的中位数为： （千瓦时）．
19.（ 1 ）证明见解析．
（2）
．
解析:
（ 1 ）取 的中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴
，
∵
， 是 的中点，
∴
．
∴四边形
是平行四边形．
．
故选 ．
9. B 解析: 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 要使输出 故选 ．
，
；
，
；
，
；
，
；
，
，
，则 ．
10. A 解析:
9
过双曲线
的右焦点 作垂直于 轴的直线，
交双曲线于 ， 两点， 为坐标原点，
若
为等腰直角三角形，
可得
，即
，
可得：
，
，
解得：
，
故选 ．
11. B 解析:
在
中，由
，
则
，
∴
11. 在
中，已知
值为（ ）．
A.
， 是边 上一点，且
，
，则
面积的最大
3
B. C. D.
12. 已知 是定义在
上的奇函数，
，则不等式
的解集为（ ）．
A.
B.
C.
D.
，且当
时，
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
2019-2020年高三4月模拟考试数学文试题 含答案
2019-2020年高三4月模拟考试数学文试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集}3,2,0,2{}3,1,0,1{}3,2,1,0,1,2{-=-=--=N M U ，，，则为 A. {-1,1} B. {-2}C. {-2,2}D. {-2,0,2}3. 下列说法正确的是A. 命题“存在x ∈R ，x 2+x+xx>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2+x+xx<0”B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C. 函数在其定义域上是减函数D. 给定命题p 、q ，若“p 且q ”是真命题，则是假命题4. 已知函数的最小正周期为π，为了得到函数的图象，只要将的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度5. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积是A. 2π B . 4π C . 8π D . 16π 6. 方程表示的曲线是A. 一个圆和一条直线B. 一个圆和一条射线C. 一个圆D. 一条直线 7. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是 A. 9 B. 10 C. 11 D. 128. 已知函数对任意的满足（其中f '（x ）是函数f （x ）的导函数），则下列不等式成立的是 A. 2f （-2）<f （-1） B. 2f （1）>f （2） C. 4f （-2）>f （0） D. 2f （0）>f （1）9. 如图：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF 上的动点，FM=x，过直线AB和点M的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V（x），则函数V（x）的大致图象是10. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若则双曲线的离心率为A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
广东省东莞市2020届高三下学期第二次模拟考试数学(文)答案 (PDF版)
数学答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号123456789101112答案D B C C D A B B A D C A二．填空题13．314．221或（答对一个2分）15．3π16．π338三、解答题17.（本小题满分12分）（1）由1211+=++n n n n b b a ，取1=n ，得121122+=b b a ，解得42=a （1分）取2=n ，得122233+=b b a ，解得83=a （2分）∵数列}{n a 是等比数列∴2,22123====qa a a a q （4分）（算对一个1分）∴求数列{}n a 的通项公式为n n n qa a 211==-（5分）（2）由（1）得n n n qa a 211==-，则12211+=++n n n nb b ，即12211=-++n n n n b b （6分）∴数列}2{n n b 是首项为21，公差为1的等差数列（7分）（评分细则：一定要详细写是怎样的数列，若只下“数列为等差数列”的结论该步不得分）∴数列n n b b n n=⨯-+=1)1(221，n n n b 2=（8分）设}{n b 的前n 项和为n S 则n n n S 2...23222132++++=，14322...2322212++++=n n n S （9分）则111322212211)21(121221...2121212++++-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+++=n n n n n n n n n S （11分）（评分细则：写对两式相减之后的结果或相减之后的求和公式即给1分，不重复给分）∴nn n S 222+-=（12分）18.（本小题满分12分）（1）证明：由已知可得BD BC ==BC BD CD BC BD ⊥∴=+∴,222（1分）//FC EA ，且AE ⊥面ABCD ，ABCD ⊥面（2分）BC ABCD ⊂面，BD FC ∴⊥（3分）FC BC C = ，BC BCF ⊂面，FC BCF ⊂面（4分）（步骤不全，本得分点不给分）∴BD BCF ⊥面（5分）BD BDF ⊂且面，所以BDF BCF ⊥面面（6分）（2）解法一：EA AD EA CD⊥⊥，AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，EA AD A = EAD CD 平面⊥∴（7分）（步骤不全，本得分点不给分）又ED ⊂平面EAD ，CD DE∴⊥即三角形ECD 为直角三角形（8分）设点B 到平面ECD 的距离为h ,BCD E CDE B V V --=∴，即BCD CDE S AE S h ∆∆⋅⋅=⋅3131（9分）1212BCD CDE AE CD AD AE S h S CD DE ∆∆⋅⋅⋅⋅∴===⋅⋅分）（算式对结果错得1分）∴点B 到平面ECD 的距离为 2.（12分）解法二：//AB CD ，AB ⊄面ECD ，CD ⊂面ECD ，所以//AB 面ECD则点B 到平面ECD 的距离等于点A 到平面ECD 的距离，（7分）过A 作DE AM ⊥，垂足为M ，EA ⊥ 面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，CD ⊂面ABCDCDEA AD EA ⊥⊥∴，AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂面EAD ，AD ⊂面EAD ，EA AD A = CD ∴⊥面EAD （8分）又AM ⊂面EAD ，CD AM ∴⊥又DE AM ⊥，ED ⊂平面ECD ，CD ⊂平面ECD ，ED CD D = ECD AM 平面⊥∴，则AM 为点A 到平面ECD 的距离（9分）（上述证明过程可适当简化）2AD AE == ，EA AD ⊥2=∴AM ，即A 到平面ECD 的距离为2，（11分）∴点B 到平面ECD 的距离为 2.（12分）（解法二的给分要点为：写出距离的平行转移得1分，作出并证明AM 为点面距离得2分，计算出AM 得2分，回答所求结果1分）19.（本小题满分12分）（1）估计新设备所生产的产品优质率为%70%100100152530=⨯++（1分）估计旧设备所生产的产品优质率为%55%100)02.003.006.0(5=⨯++⨯（2分）（评分细则：上面两步如果都没有换成百分比数过程对扣1分）（2）（评分细则：只要发现1个错误扣1分，扣完即止）（4分）由列联表可得，841.38.410010012575)70455530(20022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k （6分）非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200（评分细则：每一部分各1分，若没有具体代入数据计算过程答案算对给1分，观测值比较错误且前面过程无错误给1分；观测值算错过程对也给1分）∴有95%的把握认为产品质量高低与新设备有关。
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2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测
文科数学
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 已知集合{}{
}2230,210A x x x B x x =+-<=->，则A
B=
A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)2
2. 设复数z 满足1iz i =+， 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、 五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半 圆的连接点构成正方形ABCD ，在整个图形中随机取一点，此 点取自正方形区域的概率为 A.
22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 21
π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x )， 当x >0时，2()log x
f x =;且
f (m )=2，则m = A.
14 B.4 C.4或14 D.4或14
- 5. 已知平面向量a 、b 的夹角为135°， 且a 为单位向量，(1,1)b =，则a b += A.
5 B. 32. C.1 D. 32
6. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 22
22+1(0)x y a b a b
=>>的左、右焦
点，过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为
A. 22143x y +=
B. 22
196x y += C.
221164x y += D. 22
1169
x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则
(cos
)(sin
)12
12
π
π
*=
A. 32-
B. 32
C.1
D.-1 8.约公元前600年，几何学家泰勒斯第一个测出了金 字塔的高度.如图，金字塔是正四棱锥，泰勒斯先测 量出某个金字塔的底棱长约为230米;然后，他站立 在沙地上,请人不断测量他的影子,当他的影子和身高 相等时，他立刻测量出该金字塔影子的顶点A 与相 应底棱中点B 的距离约为22.2米.此时，影子的顶点 A 和底面中心O 的连线恰好与相应的底棱垂直，则 该金字塔的高度约为
A. 115米
B.137.2米
C.230米.
D.252.2米
9. 为加强学生音乐素养的培育，东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛，比赛现场有7名评委给选手评分，另外，学校也提前发起了网络评分，学生们可以在网络上给选手评分，场内数百名学生均参与网络评分.某选手参加比赛后，现场评委的评分表和该选手网络得分的条形图如下图所示:
记现场评委评分的平均分为1x ,网络评分的平均分为2x ,所有评委与场内学生评分的平均数为
x ，那么下列选项正确的是
A. 122x x x +<
B. 122x x x +=
C. 122x x x +>
D. x 与12
2
x x +关系不确定 10.已知函数()cos()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的最小正周期为π,将f (x )的图象向左平
移
3
π
个单位后，所得图象关于原点对称，则函数f (x )的图象 A.关于直线2x π=-对称 B.关于直线3x π
=-对称
C.关于点(2π,0)对称
D. 关于点(3
π
,0)对称
11. 已知双曲线C : 22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线被圆222
()2x c y a -+=截得的弦
长为2b (其中c 为双曲线的半焦距)，则双曲线C 的离心率为 A.
2
2
B. 2
C. 3
D. 2
12.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 和DD 1的中点，经过点B 1，E ，F 的平面α交AD 于G ，则AG= A.
13 B. 14 C. 34 D. 23
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13.∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若3
cos sin 3
a B A =
，则 _____B =
14. 已知21
()x
x kx f x e ++=在0x =的切线方程为1y x =+, 则k =___________.
15. 已知三棱锥P- ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=BC=2，∠BAC=2
π
,则三棱锥P- ABC 的外 接球的表面积为_______。
16.已知sin()
2()2ax x f x x x
π
+=
-在(0,1)x ∈上恰有一个零点，则正实数a 的取值范围为_______________。
三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题:本大题共5小题，每小题12分，共60分. 17. (本小题满分12分)
已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ，43216,3S a a == (1)求{}n a 的通项公式; (2)设1
1
n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前2n 项的和2n T .
如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，其中AB ⊥BC,AD // BC, AD=4, AP= AB=BC=2, E 是AD 的中点，AC 和BE 交于点O,且PO ⊥平面ABCD. (1)证明:平面PAC ⊥平面PCD; (2)求点D 到平面PCE 的距离.
19. . (本小题满分 12分) 已知函数()3x
f x e ax =+. (1)讨论函数f (x )的单调性:
(2)若函数()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N ：2
2
(1)1x y -+=，圆心N(1,0)，点E 在直线1x =-上，点P 满足,PE ON NP NE EP EN ⋅=⋅,点P 的轨迹为曲线M 。
(1)求曲线M 的方程.
(2)过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若AC 、CD 、DB 成等差数列，求直线l 的方程。
在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图:
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论;
(2)新冠病毒在进入人体后有一段时间的潜伏期，此期间为病毒传播的最佳时期，我们把与病毒感染者有过密切接触的人群称为密切接触者，假设每位密切接触者不再接触其他病毒感染者，10天内所有人不知情且生活照常.
( i )在不加任何防护措施的前提下，假设每位密切接触者被感染的概率均为p(0<p<1).第一天，若某位感染者产生()a a N ∈名密切接触者则第二天新增感染者平均人数为a p;第二天，若每位感染者都产生a 名密切接触者，则第三天新增感染者平均人数为ap (1+ap );以此类推，记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为E n (2≤n ≤10).写出E 4，E n ;
(ii)在(i )的条件下，若所有人都配戴口罩后，假设每位密切接触者被感染的概率均为p'，且满足关系p'=ln(1+p ) 2
3
p -
，此时，记由一名感染者引发的病毒传播的第n 天新增感染者平均人数为'
n E (2≤n ≤10).当p'最大，且a =10时， 、根据E 6和'
6E 的值说明戴口罩的必要性. ('
p 精确到0.1)
参考公式:函数y =ln(1+ x )的导函数'
1
1
y x =+，;参考数据: ln3≈1.1， ln2≈0.7, 64 = 1296.
(二)选考题:共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为(3x t
t y =⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数)，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=2sin (0)a a ρθ>,己知直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点.
(l)求a ;
(2) A, B 为曲线C 上的两点，且∠AOB=
2
π
，求OA OB +的最大值.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设函数()313,f x x x a x R =++-∈ (1) 当a =1时，求不等式()9f x <的解集; .
(2)对任意x R ∈，恒有()21f x a >-，求实数a 的取值范围.。