指数函数及其性质(1)
合集下载
指数函数及其性质(一)
课时导学案——指数函数及其性质（一）麒麟区第一中学 段翠一、学习目标：1.理解指数函数的定义。
2.掌握指数函数的图象、性质及简单应用。
3.通过指数函数图象及性质的学习，提高观察、分析、归纳等思维能力。
二、学习重点：指数函数的图象、性质及简单应用。
三、学习难点：指数函数图象和性质的发现过程。
四、学习方法：通过独立思考，自主探究，总结出指数函数图象的特征，进而 发现指数函数的性质。
培养学生观察、比较、归纳等逻辑思维能力。
五、学习过程：1.定义：一般地，函数y ＝ )10(≠>a a 且叫做指数函数，其中x 是自变量， 函数的定义域是 .2.用描点法画出下列指数函数的图象.).(2)1(填写下表并作图x y =).(3)2(填写下表并作图x y =).()1()3(填写下表并作图x y =).()1()4(填写下表并作图x y =3．按照从特殊到一般的认识方法，请同学们总结: 的图象和性质如下且指数函数)10(≠>=a a a y x4.探究：（1）关于且与)10()1(≠>==a a ay a y x x 对称。
（2）指数函数的变化对函数中，底数且a a a a y x )10(≠>= 图象有什么影响？5.典例分析：例1 .已知），的图象经过点（且指数函数π,3)10()(≠>=a a a x f x 求 )3(),1(),0(-f f f 的值.例2.比较下列各题中两个值的大小:35.27.1,7.1)1( 2.0-1.0-8.0,8.0)2(1.33.09.0,7.1)3(总结：比较几个指数值大小的常用方法：6.课堂练习:（1）指数函数=-=)3(4,2)(f x f y ），则的图象经过点（ .（2）比较下列各组数的大小:7.08.03,3)1( 1.01.075.0,75.0)2(-1.0-3.0-9.4,8.0)3(7.03.05.1,2.0)4(7.课堂小结：8.课后作业:课本：P58 .2P59 .7,8。
指数函数及其性质
y=ax
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
(0<a<1)
y
y=ax
(a>1)
图 象
y=1
(0,1) 0 x
(0,1)
y=1
0 x
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近。
1.定义域为R，值域为(0,+). 性 2.当x=0时，y=1 3.在R上是增 函数 3.在R上是减 函数
图 象 特 征
2.图象过定点（0，1） 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内
(1), (6), (7)是指数函数。
已知f(x)是指数函数，且其图象
过点(2, 9)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值.
2、指数函数的图象和性质： (1) 作出函数y 2 的图象.
x
(2)
1 作出函数y 的图象. 2
x
x
y2
x
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
x
y
(2)
(1)
( 3)
( 4)
(0,1)
O
x
x
(4)y d 的图象,
x
x
比较a, b, c, d与1的大小关系 .
c d 1 a b.
y
对于多个指 数函数来说， 底数越大的图 象在 y 轴右侧 的部分越高.
(0,1)
O
x
简称：右侧 底大图高.
指数函数的图象和性质
a>1
y
§2.1.2指数函数及其性质(1)
本节课学习了那些知识?
• 指数函数的定义
一 地 函 y = a (a > 0, a ≠1 叫 指 般 ， 数 ) 做 数
x
函 ， 中是 变 ， 数 定 域 数 其 x 自 量 函 的 义 是 R。
指数函数的图象及性质！
归纳
指数函数在底数 0 < a < 1 及 情况下的图象和性质： 情况下的图象和性质：
1 f (− 3) = π = π
−1
应用
2、比较下列各题中两个值的大小： 、比较下列各题中两个值的大小：
(1 )1 . 7
, 2 . 3 1 .6
2 .5
,1 .7 3 ; (2
0 . 8 − 0 .1 , 0 . 8 − 0 .2 ; )
, 0 .9 ;
( 4 )1 . 8 0 . 3 ,, 2 ..3 3 . 1 ;( 4 )1 . 7 3 7 0 9
f(x) = 0.9x
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
-2
-1.5
-1
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
-0.5 -0.2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.4
-0.4
方法总结： 方法总结： 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的 单调性， 单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值； 函数的两个函数值；对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较. 较可以与中间值进行比较.
指数函数及其性质1
2.1.2 指数函数及其性质
引例：若从今年底开始我国的人口年平均增
长率为1%,那么经过20年后我国的人口数是现
在的几倍?
经第 过一
年
表第二 达式
第 三
年Y=1.01年X
经过 X年
人
口
增
增
增
长
长
长
倍 数
1%
1%
1%
人口
倍数 Y 1
1.011 (1.01)2 (1.01)3 …...1.01X
导入新课
y=ax (0<a<1)
指
图
数
象
函
数 定义域
R
性 值域
(0, ) 没有最值
质定 一性 览质
点
（0，1 ） 非奇非偶函数 在R上是增函数 在R上是减函数
表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1
若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1) 的图象和性质:
x
9
3
1
1 3
1 9
描点、连线
y
1
x
2
y
y 1 x 3
y 3x
y 2x
关于y轴对称
都过定点（0,1）
第一象限内，
a越大，图像越高
1
0
1
x
y
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
1
0
1
y=ax (0<a<1)
引例：若从今年底开始我国的人口年平均增
长率为1%,那么经过20年后我国的人口数是现
在的几倍?
经第 过一
年
表第二 达式
第 三
年Y=1.01年X
经过 X年
人
口
增
增
增
长
长
长
倍 数
1%
1%
1%
人口
倍数 Y 1
1.011 (1.01)2 (1.01)3 …...1.01X
导入新课
y=ax (0<a<1)
指
图
数
象
函
数 定义域
R
性 值域
(0, ) 没有最值
质定 一性 览质
点
（0，1 ） 非奇非偶函数 在R上是增函数 在R上是减函数
表 单调性 若x>0, 则y>1 若x>0, 则0<y<1
若x<0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1) 的图象和性质:
x
9
3
1
1 3
1 9
描点、连线
y
1
x
2
y
y 1 x 3
y 3x
y 2x
关于y轴对称
都过定点（0,1）
第一象限内，
a越大，图像越高
1
0
1
x
y
y
y 1 x 2
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
x
1
0
1
y=ax (0<a<1)
指数函数及其性质课件(1)
x
y=2-x
…
…
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
…
…
y=3-x
…
9
3
1
1/3
1/9
…
y
1 y 2
x
1 y 3
x
1
Y=1
1
0
x
观察右边图象，完成下表
1 y ( )x 1x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Y=
函数 定义域 值域 定点 单调性 y=2x/y=3x
a
1 2
1 2
当0 a 1时，y a x是R上的减函数， a a
1.70.3 0.93.1
比较指数幂大小的方法： ①、异指同底：构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若 底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右
两侧的特点。
练习巩固
P t 0 2. 根据此规律, 一半,这个时间称为‘‘半衰期”
t 5730
人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之 间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
y 2 x N
x
*
1 P 2
t 5730
t 0
思考： 这两个关系式是否构成函数？它们有什么特 征？ 共同点：①变量y与x构成函数解析式，是指数 幂的形式，底数是常数,变量在指数位置. x ②两个解析式都具有 y a 的形式. 不同点：底数a的取值不同.
人教A版高中数学必修1
复习引入
材料1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分
y=2-x
…
…
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
…
…
y=3-x
…
9
3
1
1/3
1/9
…
y
1 y 2
x
1 y 3
x
1
Y=1
1
0
x
观察右边图象，完成下表
1 y ( )x 1x 3 y( ) 2
y=3X
Y
y = 2x
Y=
函数 定义域 值域 定点 单调性 y=2x/y=3x
a
1 2
1 2
当0 a 1时，y a x是R上的减函数， a a
1.70.3 0.93.1
比较指数幂大小的方法： ①、异指同底：构造函数法(一个), 利用函数的单调性,若 底数是参变量要注意分类讨论。 ②、异底同指:构造函数法(多个),利用函数图象在y轴左右
两侧的特点。
练习巩固
P t 0 2. 根据此规律, 一半,这个时间称为‘‘半衰期”
t 5730
人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之 间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?
y 2 x N
x
*
1 P 2
t 5730
t 0
思考： 这两个关系式是否构成函数？它们有什么特 征？ 共同点：①变量y与x构成函数解析式，是指数 幂的形式，底数是常数,变量在指数位置. x ②两个解析式都具有 y a 的形式. 不同点：底数a的取值不同.
人教A版高中数学必修1
复习引入
材料1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分
指数函数及其性质
y 2x 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
4 y
1
x
2
2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25
y
y 1 x 2
y 2x
1
01
x
102x21.5
探究活动
2.
请填写下表并在同一坐标系上作出函数 y 3x 及 y (1)x 的
• 函数在定义域R上是单调的，与直线x=1的交点纵 坐标即为底数a的大小；
• 在第一象限，底数越大，图象越高。
y
a
•
1•
o
1
x
y
1•
a
•
o
1
x
知识清单
1.本节课的重点知识：
指数函数的概念
y (1)x
y 2x
2y
指数函数的性质
2.记住两个基本图形:
数图象画法（尤其要了解底数如何影响 图象变化）；
指数函数及其性质 （第1课时）
概念：指数函数
一般地，函数y a x (a 0,且a 1)叫做 指数函数，其中x是自变量.
问题1：为什么要规定a 0,且a 1呢？
问题2：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 2x √
(2) y x2 ×
(3) y 2x × (4) y 2x ×
3
图像.
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 9
x 2 1.5 1 0.5
y
1
x
3
9
5.20
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
4 y
1
x
2
2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25
y
y 1 x 2
y 2x
1
01
x
102x21.5
探究活动
2.
请填写下表并在同一坐标系上作出函数 y 3x 及 y (1)x 的
• 函数在定义域R上是单调的，与直线x=1的交点纵 坐标即为底数a的大小；
• 在第一象限，底数越大，图象越高。
y
a
•
1•
o
1
x
y
1•
a
•
o
1
x
知识清单
1.本节课的重点知识：
指数函数的概念
y (1)x
y 2x
2y
指数函数的性质
2.记住两个基本图形:
数图象画法（尤其要了解底数如何影响 图象变化）；
指数函数及其性质 （第1课时）
概念：指数函数
一般地，函数y a x (a 0,且a 1)叫做 指数函数，其中x是自变量.
问题1：为什么要规定a 0,且a 1呢？
问题2：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 2x √
(2) y x2 ×
(3) y 2x × (4) y 2x ×
3
图像.
x 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
y 3x 0.11 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 9
x 2 1.5 1 0.5
y
1
x
3
9
5.20
指数函数及其性质
指数函数及其性质
指数函数是数学中的一种常见函数形式，可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不为1，x是任意实数。
指数函数的性质如下：
1. 定义域：指数函数的定义域是全部实数集。
2. 值域：当a>1时，指数函数的值域是(0, +∞)，即正数集；当0<a<1时，指数函数的值域是(0, 1)，即(0,1)开区间。
3. 增减性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。
4. 对称轴：指数函数没有对称轴。
5. 对称性：指数函数不具有对称性。
6. 极限性质：当x趋于正无穷大时，指数函数的极限是正无穷大；当x趋于负无穷大时，指数函数的极限是0。
7. 交叉性：当a>1时，指数函数与x轴交于点(0,1)；当0<a<1时，指数函数与y轴交于点(0,1)。
8. 垂直渐近线：指数函数没有垂直渐近线。
9. 水平渐近线：指数函数没有水平渐近线。
10. 切线性质：指数函数在任意一点的切线都与该点对应的指数函数图像相切。
总结起来，指数函数具有增减性、无对称性、极限性质和交叉性等基本性质。
指数函数在实际问题中经常用于描述增长或衰减的规律，具有重要的应用价值。
4.2 第1课时 指数函数及其图象、性质(一)
当0<a<1时,选项C符合题意.故选C.
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
答案: C
3.已知函数f(x)=4+ax+1(a>0,且a≠1)的图象经过定点P,则点P的
坐标是(
)
A.(-1,5) B.(-1,4)
C.(0,4)
D.(4,0)
解析:当x+1=0,即x=-1时,ax+1=a0=1,此时f(x)=4+1=5,故点P的
坐标为(-1,5).
设f(x)=0.8x, 因为0<0.8<1,所以f(x)在R上单调递减.
又因为0.9>0.8,所以0.80.9<0.80.8.
再比较0.80.8与0.90.8的大小,设g(x)=x0.8,
因为0.8>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
又因为0.8<0.9,所以0.80.8<0.90.8.
第1课时
4.2 指数函数
指数函数及其图象、性质(一)
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义.
2.理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函
数的图象.
4.探索并理解指数函数的单调性.
5.感悟数学抽象的过程,提升直观想象和逻辑推
理素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
(-5,-1),即点P的坐标为(-5,-1).
答案:(1)D (2)(-5,-1)
反思感悟
1.指数函数图象问题的处理技巧
(1)抓住图象上的特殊点,如指数函数的图象必过的定点;
(2)利用图象变换,如函数图象的左右平移、上下平移;
(3)利用函数的奇偶性与单调性,奇偶性确定函数的对称情况,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∵ a m ＞ an
∴ m ＜n
点滴收获：
指数函数的定义
1.本节课学习了哪些知识?
指数函数的图象及性质
2.如何记忆函数的性质?
方法一：数形结合的方法记忆
方法二：口诀记忆
（左右无限上冲天，永与横轴不沾边。大1增，小 1减，图像恒过（0，1）点）
作业布置：
作 业:
习题３－３ Ａ组 第４题
思 考 题:
1.若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则a=____
2.比较1.70.3 和 0.93.1 两值的大小
（1）1.7 2.5 ＜
1.7
3
x 解： ∵函数 y 在 R 上是增函数， 1 .7 而指数2.5<3．
∴
1.7 2.5<1.7 3
5 4.5 4 3.5 3
fx = 1.7x
2.5 2 1.5 1
x
y ax
(a 1)
1 y 3
x
y 3x
y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
1 1
0
x
0
0 x
x
指数函数
ya
y=ax
(a>1)
x
的图像及性质
a>1
图 像
y=1
y
0<a<1
y=ax
(0<a<1) (0,1)
y
y=1 x
(0,1)
0 当 x > 0 时，y > 1.
常数
深入探求，加深理解
为什么规定底数a大于0且不等于1？
(1)
a 1, y 1x 1是一个常量，对于它 没有研究的必要
(2)
如果a 0, 则当x 0时, a 0；
x
当x 0时，a 无意义
x
(3)
1 1 如果a 0，例如y (4) , 则x , x 时， 2 4 在实数范围之内函数值 不存在
x
练习一：判断下列函数哪些是指数函数：
(1) y 4 ;
x
(2) y x 4 ;
(3) y 4 x ;
(4) y (4) ;
x
(5) y ;
x
x
(7) y x ;
x
1 (8) y (2a 1) (a , a 1) 2
1 (6) y
-2
1 4
-1
1 2
4
2
1 3
1 9
0 1 1 2 1 1 2 1 3 1
2 4
1 4
9
1 9
… … 1 … 8 27 … 3 8
1 27
1 y ( )x 3
… 27
9
3
1 3
…
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
y 2x
描点、连线
1
0
1
x
y
yLeabharlann y1 y 2x
答案：（1）（6）（8）是指数函数
逐步探索 发现新知
二.指数函数的图像和性质
画函数图像一般的步骤是什么呢？ 画出下列指数函数的图像
x
1 x 1 x x y 2 和y ( ) 与y 3 和y ( ) 2 3 列表
x
y2
x
列表.描点.连线
1 y ( )x 2
y 3
x
… -3 1 … 8 … 8 1 … 27
4个 22
8个 23
16个 24
2
x
创设情景，引入概念
问题2、《庄子· 天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
研究
截取 次数
1次
2次
3次
4次
x次
1 x y( ) 2
木棰 剩余
1 尺 2
1 尺 4
1 尺 8
1 尺 16
1 ( )x 尺 2
§3.3指数函数及其性质(1)
B e s t
W i s h
F o r
Y o u
创设情景，引入概念
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次
……
y2
x
细胞 总数
2个 21
2. 5
1.7
3
0.8
0.1
0.8
0.2
练习三：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :
（ 1）
m n 0 . 2 0 . 2 （ 2）
（3）a a (a 0且a 1)
m n
解: ①当a＞1时, y =ax 为增函数;
∵ a m ＞ an
∴ m ＞n
②当0＜a＜1时, y =ax 为减函数
0.5
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-0.5
0.1 0.2 （ 2） 0.8 ＜ 0.8
解： ∵函数 y 在 R 0 .上是减函数， 8x 而指数-0.1>-0.2 ∴
0.8
0.1
0.8
0.2
1.8
fx = 0.8x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
提炼
1 x y( ) y2 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x
(1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.
一.指数函数的定义 一般地，函数 y= ax (a >0且a ≠1)叫做指数函数，
其中x是自变量，定义域是R。
系数为1
y＝1 ·a
x
指数只能是x 这一种形式
当 x < 0 时，. 0< y < 1
x
0 y > 1； 当 x < 0 时，
当 x > 0 时， 0< y < 1。
定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
练习二：比较下列各题中两个值的大小： ⑴ 1 .7 ⑵