中学数学试讲题(北师版)_8
义乌市第七中学七年级数学上册第五章一元一次方程4应用一元一次方程__打折销售教案新版北师大版8
4 应用一元一次方程——打折销售1．理解成本、售价、利润、利润率之间的关系．2．会列一元一次方程解决有关商品打折销售的问题．重点理解售价、成本、利润、利润率之间的关系．难点列一元一次方程解决有关商品打折销售的问题．一、复习导入教师：列方程解决实际问题的关键是什么呢？学生回答，教师点评．教师：今天，我们学习一元一次方程的一个应用——打折销售．二、探究新知课件出示问题：商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%；另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？教师提示：如果进价大于售价就亏损，反之就盈利．要求学生列出方程，写出解题过程．教师点评，并讲解：本题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的利润就是0.25x元，根据进价＋利润＝售价，列出方程x＋0.25x＝60.由此得x＝48.类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的利润是－0.25y元，列出方程y－0.25y＝60.由此得y＝80.两件衣服的进价是x＋y＝128元，而两件衣服的售价是60＋60＝120元，进价大于售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元．课件出示练习：在商品市场经常可以听到小贩的叫卖声和顾客的讨价还价声：“10元一个的玩具赛车打八折，快来买啊！”“能不能再便宜2元？”如果小贩真的让利2元卖了，他还能获利20%，求一个玩具赛车的进价是多少元？要求学生独立思考后列出方程汇报答案，教师点评．教师：在打折销售问题中的利润、利润率、成本、售价之间有怎样的关系？引导学生得出等量关系：①利润＝售价－成本；②利润率＝利润成本×100%.教师：通过上面的讲解和练习，你能总结出列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？引导学生总结：①分析问题，找出等量关系式；②列出方程，求出方程的解；③验证方程的解是否合理．三、举例分析例(课件出示教材第146页例题)要求学生独立完成后汇报答案，教师点评．四、练习巩固1．教材第146页“随堂练习”．2．某服装店以135元的价格卖出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25%，第二件亏损25%，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？这两件衣服的成本价会一样吗？算一算．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．成本、售价、利润、利润率之间有怎样的关系？3．列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？六、课外作业教材第146页习题5.7第1～4题．本节课是对前面所学的一元一次方程的一个应用——打折销售．对于打折问题，学生在小学阶段已有所接触和认识，本节课是进一步地延伸此知识．在教学过程中，通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想以及善于分析问题、利用知识解决实际问题的良好学习习惯．根据具体问题中的数量关系，形成方程的模型，初步培养学生利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．通过分组合作学习的活动，让学生学会在活动中与他人合作，并能与他人交流思维的过程与结果．调动学生学习的积极性和主动性，充分体现“自主、合作、交流、探究”的新课程理念．第七章一、选择题(每小题3分，共30分)1．能确定某学生在教室中的具体位置的是( D )A．第3排B．第2排以后C．第2列D．第3排第2列2．如图，小颖从家到达学校要穿过一个居民小区，若小区的道路均是正南或正东方向，小颖走下面哪条线路不能到达学校( D )A．(0,4)→(0,0)→(4,0)B．(0,4)→(4,4)→(4,0)C．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0)D．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0)3．已知点P(3－m，m－1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是( A )4．小明住在学校正东200米处，从小明家出发向北走150米就到了李华家，若选取李华家为原点，分别以正东、正北方向为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则学校的坐标为( B )A．(－150，－200) B．(－200，－150)C．(0，－50) D．(150,200)5．已知直角坐标系中，点P(x，y)满足|x－2|＋(y＋3)2＝0，则点P的坐标为( C ) A．(2,3) B．(－2,3)C．(2，－3) D．(2，－3)或(－2，－3)6．若|a－b|·|a＋b|＝0，则点P(a，b)在( C )A．第一、三象限内B．第一、三象限角平分线上C．第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线上D．第二、四象限角平分线上7．小米同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是 1 km(小圆半径是 1 km)．若小艇C相对于游船的位置可表示为(270°，－1.5)，则描述图中另外两个小艇A、B的位置，正确的是( C )A．小艇A(60°，3)，小艇B(－30°，2)B．小艇A(60°，3)，小艇B(60°，2)C．小艇A(60°，3)，小艇B(150°，2)D．小艇A(60°，3)，小艇B(－60°，2)8．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为(－4,2)，点B的坐标为(2，－4)，则坐标原点为( A )A．O1B．O2C．O3D．O49．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是( C )A．2 B．1C．4 D．310．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①f(a，b)＝(－a，b)，如f(1,3)＝(－1,3)；②g(a，b)＝(b，a)，如g(1,3)＝(3,1)；③h(a，b)＝(－a，－b)，如h(1,3)＝(－1，－3)．按照以上变换有f(g(h(2，－3)))＝f(g(－2,3))＝f(3，－2)＝(－3，－2)，那么f(g(h(－3,5)))等于( B )A．(－5，－3) B．(5,3)C．(5，－3) D．(－5,3)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下角的坐标是(0,0)，右下角的坐标是(32,0)，左上角的坐标是(0,28)，则右上角的坐标是__(32,28)__．12．有一个英文单词的字母顺序对应如图中的有序数对分别为(5,2)，(1,3)，(1,4)，(5,1)，则这个英文单词为LOVE .13．如图，已知∠AOC＝30°，∠BOC＝150°，OD为∠BOA的平分线，则∠DOC＝90°.若点A可表示为(30°，1)，点B可表示为(150°，4)，则点D可表示为__(90°，5)__．14．如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，落定点M的坐标为__(2π，0)__．15．在平面直角坐标系内，将点P(m＋2，n－4)先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点P′(2018，－2019)，则m＝__2017__，n＝__－2018__.16．如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右→向上→向右→向下的顺序依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示；第1次移到点A1，第二次移到点A2，第三次移到点A3，…，第n次移到点A n，则点A2019的坐标是__(1010,1)__．三、解答题(共72分)17．(8分)如图，长方形ABCD在坐标平面内，点A的坐标是(2，1)，且边AB、CD与x轴平行，边AD、BC与y轴平行，AB＝4，AD＝2.(1)求B、C、D三点的坐标；(2)怎样平移，才能使点A与原点O重合？解：(1)因为A(2，1)，AB＝4，AD＝2，所以BC到y轴的距离为4＋2，CD到x轴的距离2＋1＝3，所以点B的坐标为(4＋2，1)，点C的坐标为(4＋2，3)，点D的坐标为(2，3)．(2)由图可知，先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度(或先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度)，能使点A 与原点O 重合．18．(8分)一长方形住宅小区长400 m ，宽300 m ，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x 轴，和较短边平行的直线为y 轴，并取50 m 为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A (3,3.5)、B (－2,2)、C (0,3.5)、D (－3,2)、E (－4，4)．在平面直角坐标系中标出这些违章建筑的位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．解：如题图：在小区内的违章建筑有B 、D ，不在小区内的违章建筑有A 、E 、C ．19．(8分)如图是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA ＝2 km ，OB ＝3.5 km ，OP ＝4 km ，C 为OP 的中点．解答下列问题：(1)图中哪些地方距小明家的距离相同？(2)请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．解：(1)因为C 为OP 的中点，所以OC ＝12OP ＝12×4＝2(km)．因为OA ＝2 km ，所以图中学校和公园距小明家的距离相同．(2)学校在小明家北偏东45°的方向上，且到小明家的距离为2 km ；商场在小明家北偏西30°的方向上，且到小明家的距离为3.5 km ；停车场在小明家南偏东60°的方向上，且到小明家的距离为4 km.20．(8分)如图，△DEF 是△ABC 经过某种变换得到的图形，点A 与点D 、点B 与点E 、点C 与点F 分别是对应点．观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：(1)分别写出点A 与点D 、点B 与点E 、点C 与点F 的坐标，并说出△DEF 是由△ABC 经过怎样的变换得到的；(2)若点Q (a ＋3,4－b )是点P (2a,2b －3)通过上述变换得到的，求a －b 的值．解：(1)A (2,4)、D (－1,1)、B (1,2)、E (－2，－1)、C (4,1)、F (1，－2)．△DEF 是由△ABC 先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的(或先向下平移3个单位，再向左平移3个单位得到的)．(2)由题意，得2a －3＝a ＋3,2b －3－3＝4－b ，解得a ＝6，b ＝103，所以a －b ＝83. 21．(9分)已知点P (a －2,2a ＋8)，分别根据下列条件求出点P 的坐标．(1)点P 在x 轴上；(2)点P 在y 轴上；(3)点Q 的坐标为(1,5)，直线PQ ∥y 轴；(4)点P 到x 轴、y 轴的距离相等．解：(1)因为点P (a －2,2a ＋8)在x 轴上，所以2a ＋8＝0，解得a ＝－4，故a －2＝－4－2＝－6，则P (－6,0)．(2)因为点P (a －2,2a ＋8)在y 轴上，所以a －2＝0，解得a ＝2，故2a ＋8＝2×2＋8＝12，则P (0,12)．(3)因为点Q 的坐标为(1,5)，直线PQ ∥y 轴，所以a －2＝1，解得a ＝3，故2a ＋8＝14，则P (1,14)．(4)因为点P 到x 轴、y 轴的距离相等，所以a －2＝2a ＋8或a －2＋2a ＋8＝0，解得a ＝－10或a ＝－2.当a ＝－10时，a －2＝－12,2a ＋8＝－12，则P (－12，－12)；当a ＝－2时，a －2＝－4,2a ＋8＝4，则P (－4,4)．综上所述，点P 的坐标为(－12，－12)或(－4,4)．22．(9分)在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各点：A (0,3)、B (1，－3)、C (3，－5)、D (－3，－5)、E (3,5)、F (5,7)、G (5,0)．(1)将点C 向x 轴的负方向平移6个单位，它与点____重合；(2)连接接CE ，则直线CE 与y 轴是什么关系？(3)顺次连接接D 、E 、G 、C 、D 得到四边形DEGC ，求四边形DEGC 的面积．解：描点如题图．(1)D(2)如题图，连接CE .因为C 、E 两点的横坐标相同，故直线CE 平行于y 轴．(3)设CE 与x 轴相交于点H ，则DC ＝6，EC ＝10，GH ＝2，所以S 四边形DEGC ＝S △EDC ＋S △GEC ＝12DC ×EC ＋12EC ×GH ＝12×6×10＋12×10×2＝40.23．(10分)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．整点P 从原点O 出发，速度为1 cm/s ，且整点P 向上或向右运动，运动时间(s)与整点(个)的关系如下表：整点P 从原点O 出发的时间(s)可以得到整点P 的坐标 可以得到点P 的个数 1(0,1)，(1,0) 2 2(0,2)，(1,1)，(2,0) 3 3(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0) 4 ………… ……根据上表中的规律，解答下列问题：(1)当整点P 从点O 出发4 s 时，求可以得到的整点P 的个数；(2)当整点P 从点O 出发8 s 时，在直角坐标系中描出可以得到的所有整点；(3)当整点P 从点O 出发多少秒时，可以达到整点(16,4)的位置？解：(1)根据表中所示的规律，点的个数比时间数多1，可计算出整点P 从点O 出发4 s 时，可以得到整点P 的个数为5.(2)由表中所示规律，可知横、纵坐标的和等于时间，则所有整点为(0,8)，(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)，(8,0)．如题图．(3)由表中规律，可知整点的横、纵坐标的和等于到达该点的时间，则当点P 从点O 出发16＋4＝20(s)时，可以达到整点(16,4)的位置．24．(12分)如图，在平面直角坐标系中，AB ∥CD ∥x 轴，BC ∥DE ∥y 轴，且AB ＝CD ＝4 cm ，OA ＝5 cm ，DE ＝2 cm ，动点P 从点A 出发，沿A →B →C 路线运动到点C 停止；动点Q 从点O 出发，沿O →E →D 路线运动到点D 停止．若P 、Q 两点同时出发，且点P 的运动速度为1 cm/s ，点Q 的运动速度为2 cm/s.(1)直接写出B 、C 、D 三个点的坐标；(2)当P 、Q 两点出发112s 时，试求△PQC 的面积； (3)设两点运动的时间为t s ，用含t 的式子表示运动过程中△OPQ 的面积S .(单位：cm 2) 解：(1)B (4,5)、C (4,2)、D (8,2)．(2)当t ＝112时，点P 运动的路程为112cm ，点Q 运动到点D 处停止．由已知条件可得BC ＝OA －DE ＝5－2＝3(cm)．因为AB ＋BC ＝7 cm ＞112 cm ，AB ＝4 cm ＜112 cm ，所以当t ＝112时，点P 运动到BC 上，且CP ＝AB ＋BC －112＝4＋3－112＝32(cm)，所以S △CPQ ＝12CP ·CD ＝12×32×4＝3(cm 2)．(3)当0≤t ＜4时，点P 在AB 上，点Q 在OE 上，如图1所示．因为OA ＝5 cm ，OQ ＝2tcm ，所以S △OPQ ＝12OQ ·OA ＝12·2t ·5＝5t (cm 2)；当4≤t ≤5时，点P 在BC 上，点Q 在ED 上，如图2所示．过点P 作PM ∥x 轴交ED 延长线于点M ，则OE ＝8 cm ，EM ＝(9－t )cm ，PM ＝4 cm ，EQ ＝(2t －8)cm ，MQ ＝(17－3t )cm ，所以S △OPQ ＝S 梯形OPME －S △PMQ －S △OEQ ＝12×(4＋8)·(9－t )－12×4·(17－3t )－12×8·(2t －8)＝(52－8t )(cm 2)；当5＜t ≤7时，点P 在BC 上，点Q 停在点D ，如图3所示，过点P 作PM ∥x 轴交ED 的延长线于点M ，则MD ＝CP ＝(7－t )cm ，ME ＝(9－t )cm ，所以S △OPQ ＝S 梯形OPME －S △PDM －S △DOE ＝12×(4＋8)·(9－t )－12×4·(7－t )－12×8×2＝(32－4t )(cm 2)．综上所述，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5t (0≤t <4)，52－8t (4≤t ≤5)，32－4t (5<t ≤7).图1 图2 图310．1.3 画轴对称图形1．使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．2．通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操．重点让学生识别轴对称图形与画轴对称图形的对称轴．难点画轴对称图形．一、创设情境，问题引入1．如图，作出它们的对称轴．2．如图，给出一个图形和一条直线，那么如何画出这个图形关于这条直线的对称图形呢？二、探索问题，引入新知如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请画出已知图形的轴对称图形．思考下面两个问题：(1)你可以通过什么方法来验证你画的是否正确．(2)和其他同学比较一下，你的方法是最简单吗？在格点图中，很容易画出已知图形的轴对称图形，如果没有格点图，我们还能比较准确地画出已知图形的轴对称图形吗？你能画出点A关于直线L的对称点吗？画法：(1)过点A向直线L画垂线段AO，垂足点O；(2)延长AO至OA1，使OA1＝OA.则点A1就是点A关于直线L的对称点．做一做：你能画出线段AB关于直线L的对称线段吗？画法：(1)画点A，点B关于直线L的对称点A1，B1；(2)连结A1，B1.则线段A1 B1就是线段AB关于直线L的对称线段．做一做：你能画出三角形ABC关于直线L的对称图形吗？画法：(1)画出点A，点B和点C关于直线L的对称点A1，B1和C1；(2)连结A1 B1，B1 C1，A1 C1，则△A1 B1 C1就是△ABC关于直线L的对称三角形．从上面的例子可以知道，如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么只要画出图形中的特殊点的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．结论：先画点的对称点，再画线段的对称图形，最后画三角形的对称图形．由易到难，这样学生就很容易的知道了知识的形成过程．【例1】如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．画出△ABC 关于直线BM对称的△A1B1C1.分析：画出图形中的特殊点的对称点，然后连结对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形．解：如图所示，△A1B1C1即为所求【例2】如图，请把△ABC和△A′B′C′图形补充完整，使得它们关于直线l对称．(保留作图痕迹)分析：过点C，点B′作关于直线l的对称点，连结AB，BC，B′C及A′C′即可．解：如图所示：三、巩固练习1．下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是( )2．下列各图都是一个汉字的一半，你能想像出它的另一半并能确定它是什么字吗？(有几个字的笔划在对称轴上)．3．如图，先画△ABC关于直线l1的对称△A1B1C1，(直线l1过点C)，再画出△A1B1C1，关于直线l2的对称△A2B2C2.4．如图，在网格中有两个大小、形状一样的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图中画出两种不同的拼法．四、小结与作业小结先小组内交流收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．作业1．教材第110页“习题10.1”中第6 题．2．完成练习册中本课时练习．学生是学习的主体，要让学生成为真正的主人，就必须在数学活动中学习数学，也就是在创造中学习数学．本课从最基本的图形中，让学生自己动手画，体验探索成功的快乐；通过动手操作，小组讨论来解决自己提出的问题；通过有层次的练习，提高学生解决问题的能力，巩固所学知识．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试(答案解析)(4)
一、选择题1．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 三点均在格点上，结论错误的是（ ）A ．AB=25B ．∠BAC=90°C ．ABC S 10=D ．点A 到直线BC 的距离是22．如图，等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接NE ．下列结论：①AE AF =；②AM EF ⊥；③DF DN =；④//AD NE ．正确的有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =64°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AC 上，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠BEO 的度数是（ ）A ．26°B ．32°C ．52°D ．58°4．下列几组数能作为直角三角形三边长的是（ ）A ．3，4，6B ．1，1，3C ．5，12，14D ．5，25，5 5．下面说法中正确的是（ ）A ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线B ．ABC ∆中BC 边上的高线，是过顶点A 向对边所引的垂线段C ．三角形的角平分线不是射线D ．等腰三角形的对称轴和底边上的高线、中线以及顶角的平分线，互相重合6．如图，ABC 中，D 、E 为线段BE 上两点，且AC DC =，BA BE =，若52DAE BAC ∠=∠，则DAE ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒7．如图，D 在BC 边上，ABC ADE △△≌，50EAC ∠=︒，则ADE ∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°8．如图，在四边形ABCD 中，90A BDC ∠=∠=︒，C ADB ∠=∠，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若3AD =，则DP 的长不可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AD 平分∠BACB ．∠ADC =60° C ．点D 在AB 的垂直平分线上D ．:DAC ABC S S ＝1：2 10．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（ ）A ．65°B ．25°C ．50°D ．65°或25° 11．如图，ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE CD =，则下列结论错误．．的是（ ）A ．30CED ∠=︒B ．120∠=︒BDEC ．DE BD = D ．DE AB = 12．如图，每个小正方形的边长都相等，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则ABC ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒二、填空题13．如图，在ABC 中，线段AB 的垂直平分线交AC 于点D ，连接BD ，若80C ∠=︒，40CBD ∠=︒，则A ∠的度数为_____°．14．如图，等边三角形ABC 中，在AB 边上任意取一点D ，作DE BC ⊥于点E ，再作//EF AB 交AC 于点F ．当DEF 是等腰三角形时，EDF ∠的度数是_____________．15．如图，AD 是△ABC 的平分线，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，AG ＝16，AE ＝8，若S △ADG ＝64，则△DEF 的面积为 ________．16．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O ，若∠B ＝50°，则∠AOC ＝_____．17．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒，42AC BC ==，点D 在AB 上，连接CD ，若5CD =，则AD 的长为________．18．在锐角ABC 中，AB AC =，CE 是高，且36ECA ∠=︒，平面内有一异于点A ，B ，C ，E 的点D ，若ABC CDA △△≌，则DAE ∠的度数为______．19．如图，在ABC 中，,AB AC AD =是BC 边上的中线，50B ∠=︒，则DAC ∠=___________20．如图，在ABC 中，AB BC =，30C ∠=︒，过点B 作BD BC ⊥，交AC 于点D ，若2CD =，则AD 的长为__________．三、解答题21．已知：如图，ABC ∆中，,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，,BD CE 相交于点O ，联结OA DE ,．求证：（1）OB OC =；（2）OA 垂直平分DE ．22．如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H．（1）求证：△ACE≌△BAD；（2）若BE=2EC=4．①求△ABC的面积；②求MH的长．23．已知等边ABC，点D为BC上一点，连接AD．=，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）若点E是AC上一点，且CE BD∠的大小；（1）中根据题意补全图形，求出APE（2）将AD绕点A逆时针旋转120︒，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．（记得充分利用（1）的解题思路和结论）24．如图，在ABC 中，5AB AC ==，3BC =，点D 在AC 边上且点D 到点A 的距离与到点B 的距离相等．（1）尺规作图：作出点D ，不写作法，保留作图痕迹；（2）求BDC 的周长．25．如图，已知AB ＝AC ，E 为AB 上一点，ED ∥AC ，BD ＝CD ，求证：ED ＝AE ．26．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在ABC 中，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，过点D 作直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AE AF =，解答下列问题：（1）证明：DE DF =；（2）若60A ∠=︒，8AB =，7BC =，5AC =，求EF 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：=A 正确，不符合题意；∵AC=BC 5===，∴22252025AC AB BC +=+==，∴△ACB 是直角三角形，∴∠CAB=90°，故选项B 正确，不符合题意；S △ABC 111442421345222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选项C 错误，符合题意； 点A 到直线BC 的距离2552AC AB BC ===，故选项D 正确，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么 222+=a b c ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．2．D解析：D【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M 为EF 的中点且AE=AF 可判断②；作FH ⊥AB ，证△FBD ≌△NAD 可判断③，证明△EBA ≌△EBN （SAS ），推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断④．【详解】解：∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5° ∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，故①正确；∵M 为EF 的中点，∴AM ⊥EF ，故②正确；∵AM ⊥EF ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，在△FBD 和△NAD 中，FBD DAN BD ADBDF ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△FBD ≌△NAD （ASA ），∴DF=DN ，故③正确；∵∠BAM=∠BNM=67.5°，∴BA=BN ，∵∠EBA=∠EBN ，BE=BE ，∴△EBA ≌△EBN （SAS ），∴∠BNE=∠BAE=90°，∴∠ENC=∠ADC=90°，∴AD ∥EN ．故④正确，综上，正确的结论有：①②③④故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．3．C解析：C【分析】连结OB ，根据角平分线定义得到∠OAB=32°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB ，则∠OBA=∠OAB ，所以得出∠1，由于AB=AC ，OA 平分∠BAC ，根据等腰三角形的性质得OA 垂直平分BC ，则BO=OC ，所以得出∠1=∠2，然后根据折叠的性质得到EO=EC ，于是∠2=∠3，再根据三角形内角和定理计算∠OEC ，解答即可．【详解】解：连结OB 、OC ，∵∠BAC=64°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，∴∠OAB=32°，∵AB=AC，∠BAC=64°，∴∠ABC=∠ACB=58°，∵OD垂直平分AB，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=32°，∴∠1=58°-32°=26°，∵AB=AC，OA平分∠BAC，∴OA垂直平分BC，∴BO=OC，∴∠1=∠2=26°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∴∠2=∠3=26°，∴∠BEO=∠2+∠3=52°，故选择:C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．D解析：D【分析】要能作为直角三角形三边长，需验证两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；B、12+12≠32，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；C、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；D52+（52＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．5．C解析：C【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．据此分析判断即可．【详解】中BC边上的高线，是过顶点A向对边所引的垂线段，原说法错误，故本选解：A．ABC项不符合题意；B．当∠B或∠C是钝角时，过A不存在到线段BC的垂线，故本选项说法错误，不符合题意；C．三角形的角平分线就是三角形的内角平分线与这个内角的对边的交点与这个内角的顶点之间的线段，故本选项正确，符合题意；D．对称轴是直线，不能与线段重合，本故选项说法错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线以及高线，三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．6．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，然后分别用外角的知识表示出这个关系，进而结合5∠DAE＝2∠BAC可得出∠DAE的值．【详解】解：∵AC＝DC，BA＝BE，∴∠DAE+∠EAC＝∠ADE＝∠B+∠BAD①，∠EAD+∠BAD＝∠AED＝∠C+∠EAC②，①+②可得：∠DAE+∠EAC+∠EAD+∠BAD＝∠B+∠BAD+∠C+∠EAC，整理，得∠DAE+∠BAC＝180°﹣∠DAE，又5∠DAE＝2∠BAC，设∠DAE=2x，则∠BAC=5x，上式即为2x+5x=180°－2x，解得：x=20°，即∠DAE＝40°．故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题需用到等腰三角形的两底角相等、三角形的内角和等于180°．7．D解析：D【分析】由全等可得，AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，可得∠BAD=EAC=50°，再根据等腰三角形性质求∠B 即可．【详解】解：∵ABC ADE △△≌，∴AB=AD ，∠BAC=∠DAE ，∠B=∠ADE ，∠BAD=∠BAC-∠DAC ，∠EAC=∠DAE-∠DAC ，∠BAD=∠EAC=50°，∵AB=AD ，∴∠B=180652BAD ︒-∠=︒， ∴∠ADE=∠B=65º，故选：D ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是根据全等三角形得出等腰三角形和角的度数，依据等腰三角形的性质进行计算．8．A解析：A【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD ＝∠CBD ，角平分线的性质定理得AD ＝DH ，垂线段定义证明DH 最短，求出DP 长的最小值为3，即可得到正确答案 ．【详解】过点D 作DH ⊥BC 交BC 于点H ，如图所示：∵∠A=∠BDC=90° ，又∵∠C ＋∠BDC ＋∠DBC ＝180°，∠ADB ＋∠A ＋∠ABD ＝180°，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，又∵AD ⊥AB ，DH ⊥BC ，∴AD ＝DH ，又∵AD ＝3，∴DH ＝3，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长等于3，即DP 长的最小值为3，故DP 的长不可能是2，故选：A ．【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．9．D解析：D【分析】由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 可判断A ，再求解1302DACDAB BAC ∠=∠=∠=︒， 可得60,ADC ∠=︒ 可判断B ，再证明,DA DB = 可判断C ，过D 作DF AB ⊥于,F 再证明,DC DF = 再利用ACD ACD ABC ACD ABD S S S S S =+ ，可判断,D 从而可得答案． 【详解】解：90,30,C B ∠=︒∠=︒903060,BAC ∴∠=︒-︒=︒由作图可得：AD 平分,BAC ∠ 故A 不符合题意；1302DAC DAB BAC ∴∠=∠=∠=︒， 903060,ADC ∴∠=︒-︒=︒ 故B 不符合题意；30,DAB B ∠=∠=︒,DA DB ∴=D ∴在AB 的垂直平分线上，故C 不符合题意；过D 作DF AB ⊥于,F90,C AD ∠=︒平分,BAC ∠,DC DF ∴=30B ∠=︒，2,AB AC ∴=11,,22ACD ABDS AC CD SAB DF∴==121122ACD ACDABC ACD ABDAC CDS SS S S AC CD AB DF∴==++1.233AC AC ACAC AB AC AC AC====++故D符合题意；故选：.D【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．10．D解析：D【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【详解】解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，∴∠B=∠C=180502︒-︒=65°；②当为钝角等腰三角形时，如图：∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠BAC＝∠ADE+∠AED＝40°+90°＝130°，∴∠B=∠C=1801302︒-︒=25°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键．11．D解析：D【分析】因为△ABC是等边三角形，又BD是AC上的中线，所以有∠ADB＝∠CDB＝90°，且∠ABD ＝∠CBD＝30°，∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED＝30°，所以就有∠CBD＝∠DEC，即DE＝BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°.由此得出答案解决问题．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故ABC均正确．故选：D．【点睛】此题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，注意三线合一这一性质的理解与运用．12．A解析：A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数．【详解】解：如图，连结AC，由题意可得：222222+==+==+=AB AC BC1310,125,125,∴AC=BC，222=+，AB AC BC∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故选A ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．二、填空题13．30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B根据三角形的外角性质计算得到答案【详解】解：∵∠C=80°∠CBD=40°∴∠CD解析：30【分析】根据三角形的外角性质求出∠CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：∵∠C=80°，∠CBD=40°，∴∠CDB=180°-∠C-∠CBD=60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA=DB，∴∠A=∠DBA=1∠CDB=30°，2故答案为：30．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14．75°或120°【分析】分当△EDF是以E为顶角的等腰三角形当△EDF是以D 为顶角的等腰三角形当△EDF是以F为顶角的等腰三角形三种情况分别求解【详解】解：∵EF∥AB∴∠FEC=∠B=60°∴∠D解析：75°或120°【分析】分当△EDF是以E为顶角的等腰三角形，当△EDF是以D为顶角的等腰三角形，当△EDF 是以F为顶角的等腰三角形三种情况，分别求解．【详解】解：∵EF∥AB，∴∠FEC=∠B=60°，∴∠DEF=90°-60°=30°，当△EDF是以E为顶角的等腰三角形时，∠EDF=280013︒-︒=75°； 当△EDF 是以D 为顶角的等腰三角形时，∠EDF=180°-2×30°=120°，当△EDF 是以F 为顶角的等腰三角形时，∠EDF=∠DEF=30°，当∠EDF=30°时，∠BDF=60°，∴DF ∥AC ，即F 不在AC 上，故不符合题意，故答案为：75°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形中已知条件中没有明确哪两边相等时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．15．16【分析】过点D 作于H 先利用三角形的面积公式计算出DH=8再利用角平分线的性质得到DF=DH=8接着证明得到证明得到利用等线段代换得到于是求出EF 的长然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D解析：16【分析】过点D 作DH AC ⊥于H ，先利用三角形的面积公式计算出DH=8，再利用角平分线的性质得到DF=DH=8，接着证明Rt DEF DGH △≌Rt △得到EF HG =，证明Rt ADF △≌Rt △ADH 得到AF AH =，利用等线段代换得到EF AG HG AE =--，于是求出EF 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D 作DH AC ⊥于H ，64S =△ADG ，16AG =1642AG DH ∴⨯⨯= 8DH ∴=AD 是ABC 的平分线，,DF AB DH AC ⊥⊥8DF DH ==∴在Rt DEF △和Rt DGH △中DE DG DF DH =⎧⎨=⎩\ ∴Rt DEF △≌Rt DGH △EF HG ∴=同理可得Rt ADF △≌Rt △ADHAF AH ∴=168EF AF AE AH AE AG HG AE EF =-=-=--=--4EF ∴= 11481622DEF S EF DF ∴=⨯⨯=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定定理是解题关键．16．100°【分析】根据线段垂直平分线的性质和等边对等角可得∠OBA=∠A ∠OBC=∠C 根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO ∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO 再利用角的和差即可 解析：100°【分析】根据线段垂直平分线的性质和等边对等角可得∠OBA=∠A ，∠OBC=∠C ，根据三角形外角的性质可得∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO ，∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO ，再利用角的和差即可得出∠AOC ．【详解】解：如图，连接BO 并延长至P ，∵线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2相交于点O ，∴OA=OB ，OB=OC ，∴∠OBA=∠A ，∠OBC=∠C ，∵∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO ，∠COP=∠C+∠CBO=2∠CBO ，∴∠AOC=∠AOP+∠COP =2(∠ABO+∠CBO)=2∠ABC=100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．17．1或7【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS）推出∠DBE＝90°根据勾股定理即可解决问题【详解】解：在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC＝4∴AB8①如图1中当点D在线段AB上时绕点C逆时针旋转解析：1或7【分析】证明△ACD≌△BCE（SAS），推出∠DBE＝90°，根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝42，∴AB22AC BC=+=8，①如图1中，当点D在线段AB上时，绕点C逆时针旋转90°到CE，连接BE，DE，则∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，∵CD＝5，∴DE＝2∵BE2+BD2＝DE2，∴AD2+（8﹣AD）2＝（2）2，解得：AD＝1或7；②如图2，当点D在线段AB的延长线上时，∵5CD =，42AC BC ==∴CD ＜BC图2这种情况不符合条件③如图3，当点D 在线段AB 的延长线上时，∵5CD =，42AC BC ==∴CD ＜BC图3这种情况不符合条件综上所述，AD 的长为1或7；故答案为：1或7．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．117°或9°【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可【详解】如图所示∵在△ABC 中AB ＝ACCE 是高且∠ECA ＝36°∴∠BAC ＝90°-36°=54°∠ACB ＝∠ABC ＝63°∵△解析：117°或9°【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．【详解】如图所示，∵在△ABC 中，AB ＝AC ，CE 是高，且∠ECA ＝36°，∴∠BAC ＝90°-36°=54°，∠ACB ＝∠ABC ＝63°，∵△ABC ≌△CDA ，∴∠CAD＝∠ACB＝63°，∴∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝63°+54°＝117°，同理，∠D1AE＝∠CAD1-∠BAC=63°-54°=9°，故答案为：117°或9°【点睛】本题考查了全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，正确找出对应角是解题关键．19．40【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可【详解】解：∵AB＝ACAD是BC边上的中线∴AD⊥BC∠BAD＝∠CAD∴∠B＋∠BAD＝90解析：40【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．【详解】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠B＋∠BAD＝90°，∵∠B＝50°，∴∠BAD＝40°，∴∠CAD＝40°，故答案为：40．【点睛】考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形底边的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解答本题的关键，难度不大．20．【分析】利用等腰三角形的性质判定证明BD=AD利用直角三角形中30°角的性质计算BD即可得解【详解】∵∴∠A=30°∠ABC=120°∵∴∠CBD=90°BD=1∴∠DBA=30°∴∠DBA=∠A∴解析：1.【分析】利用等腰三角形的性质，判定，证明BD=AD，利用直角三角形中30°角的性质计算BD即可得解.【详解】∵AB BC =，30C ∠=︒，∴∠A=30°，∠ABC=120°，∵BD BC ⊥，2CD =，∴∠CBD=90°，BD=1，∴∠DBA=30°，∴∠DBA=∠A ，∴BD=AD ，∴AD=1.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质，并灵活运用性质是解题的关键.三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．【详解】（1）∵,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，∴BE=CD ，∠EBC=∠DCB ，∵BC=CB ，∴△EBC ≌△DCB ，∴∠ECB=∠DBC ，∴OB=OC ；（2）设AO 与DE 的交点为F ，∵△EBC ≌△DCB ，∴EC=DB ，∵OB=OC ；∴OD=OE ，∴点O 在线段DE 的垂直平分线上，∵AE=AD ，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，∴直线AO 是线段DE 的垂直平分线，∴OA 垂直平分DE ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）①367 【分析】（1）根据等边三角形的性质，直接运用SAS 证明即可；（2）①作AF ⊥BC 于F 点，利用“三线合一”的性质结合已知条件先求出AF 的长度，从而根据12·ABC S BC AF =即可求解； ②先在Rt △AFE 中求解出AE 的长度，再求出△ABE 的面积，结合等面积法即可求出BH 的长度，然后根据（1）的结论进一步证明∠BMH=60°，则在Rt △BMH 中即可求解MH 的长度．【详解】（1）∵△ABC 为等边三角形，∴AB=CA ，∠BAD=∠ACE=60°，在△BAD 和△ACE 中，AD CE BAD ACE AB CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BAD （SAS ）；（2）如图所示，作AF ⊥BC 于F 点，①由“三线合一”知，∠BAF=30°，∵BC=BE+EC=4+2=6，∴AB=6，BF=3， 由勾股定理可得：33AF =， ∴116339322ABC S BC AF ==⨯⨯=△ ②由①可知，33AF =，FE=1，∴根据勾股定理可得，2227AE AF FE =+=， ∵114336322ABE S BE AF ==⨯⨯=△， ∴2263621727ABE S BH AE ⨯===△， 由（1）可得，∠ABD=∠CAE ，∴∠ABD+∠BAM=∠CAE+∠BAM=60°，即：∠BMH=∠ABD+∠BAM=60°，则在Rt △BHM 中，∠MBH=30°，∴3BH MH =， ∴673MH ==．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质综合运用，灵活运用全等三角形的性质以及等面积法求高是解题关键．23．（1）图见解析，60°；（2）图见解析，12AQ CD =，理由见解析 【分析】（1）根据题意补充图形，通过证明ABD BCE △≌△得到BAD CBE ∠=∠，利用三角形外角的性质可得APE BAD ABP ∠=∠+∠CBE ABP ABC =∠+∠=∠即可求解； （2）根据题意补全图形，通过证明BEQ FAQ ≌得到1122AQ QE AE CD ===，即可得证．【详解】解：（1）补全图形证明：在ABD △和BCE 中，60AB BC ABD C BC CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ABD BCE SAS ∴≌BAD CBE ∴∠=∠．APE ∠是ABP △的一个外角，APE BAD ABP ∠=∠+∠∴60CBE ABP ABC =∠+∠=∠=︒；（2）补全图形图2，12AQ CD =， 证明：根据（1）ABD BCE △≌△可知BD EC =，即DC AE =．再证明BEQ FAQ ≌． 得到1122AQ QE AE CD ===． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握上述性质定理是解题的关键．24．（1）见解析；（2）8【分析】（1）作AB 的垂直平分线即可；（2）根据作图得到AD=BD ，把周长转化为AC+BC 即可．【详解】（1）用尺规作出线段AB 的垂直平分线，交AC 于点D ．（2）由作图可知，AD=BD ，△BDC 的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+3=8．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法与性质，解题关键是熟练的进行尺规作图，根据垂直平分线的性质准确计算．25．见解析【分析】利用SSS 证△A DB ≌△ADC 可得∠D AB =∠DAC ，根据平行线性质得∠EDA =∠DAC ，再根据等量代换得到∠EAD=∠EDA ，从而得到ED=AE ．【详解】证明：在△ADB 和△ADC 中，,,,AB AC DB DC AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC （SSS ）．∴∠D AB =∠DAC ．∵ED ∥AC ，∴∠EDA =∠DAC ，∴∠EAD=∠EDA∴E D=AE ．【点睛】考核知识点：全等三角形判定，等边对等角的性质．判定三角形全等是关键．26．（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接AD 由AE AF =可得AEF 是等腰三角形，由三条角平分线交于一点可证AD 平分BAC ∠即可；（2）在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，易证AEF 为等边三角形，可得2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，可证BED ≌BMD （SAS ）可得DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠60DMN AEF ∠=∠=︒，再证NCD ≌FCD （SAS ）可得,52DN DF CN CF x ===-，可证DMN 为等边三角形，由BC BM MN NC =++构造方程解之即可．【详解】（1）证明：连接AD ，AE AF =，∴AEF 是等腰三角形，BD 、CD 分别平分ABC ∠、ACB ∠，∴AD 平分BAC ∠，∴DE DF =；（2）解：在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==，60A AE AF ∠=︒=， ，∴AEF 为等边三角形，∴2AE AF EF x ===，60AEF ∠=︒，在BED 和BMD 中，BE BM EBD MBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BED ≌BMD （SAS ），∴DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD ∠=∠，60DMN AEF ∴∠=∠=︒，在CND △和CFD △中，CN CFBM NCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴NCD ≌FCD （SAS ），∴ ,52DN DF CN CF x ===-，又DE DF =，∴DM DN DE x ===，又60DMN ∠=︒，∴DMN 为等边三角形，∴MN DM x ==，∴(82)(52)7BC BM MN NC x x x =++=-++-=，即2x =，∴24EF x ==．【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，利用BC BM MN NC =++构造方程是解题关键．。
北师大版八年级上册数学《应用二元一次方程组―鸡兔同笼》二元一次方程组说课教学课件复习
(A){1x5+xy==2544y, (C) {1x5+xy==25×4,24y
(B)
{
x+y=54, 2×15x=24y
(D){
15x+24y=54, 15x=24y
有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另 一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅 食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树 下的鸽子是整个鸽群的三分之一；若从树上飞 下去一只，则树上、树下鸽子就一样多了.”你 知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
2
1
讲授新课
一 应用二元一次方程组解古算题 《孙子算经》中的算法，主要是利用了兔和鸡的
脚数分别是4和2，4又是2的倍数.可是当其他问题转化 成这类问题时，脚数就不一定是4和2，上面的计算方 法就行不通.
你能根据“上有三十五头, 下有九十四足”列出方程吗？
等量关系：
{ 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94.
4y=6x
益智类
生活类
有三块牧场，草长得一样快，面积
分别为
3
1 3
公顷，10公顷和24公顷，
第一块12头牛可吃4星期，第二块21
头可吃9星期,第三块可供多少头牛吃
18个星期？
解：设牧场每公顷原有草x吨，每周新生草y吨， 每头牛每周吃草a吨，第三块可供z头牛吃18个星 期，根据题意得：
{ 10 x 4 10 y 412a,
3x+4=y
4x-3=y
3. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追 上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速.
{ A. 5y+10=5x, 4y=6x
{ C. 5x+10=5y, 4x=6y
第三章第02讲 图形的旋转(8类热点题型讲练)(原卷版)--初中数学北师大版8年级下册
第02讲图形的旋转(8类热点题型讲练)1．掌握旋转的概念，了解旋转中心，旋转角，旋转方向，对应点的概念及其应用；2．掌握旋转的性质，应用概念及性质解决一些实际问题；(重点，难点)3．能够根据旋转的性质进行简单的旋转作图．知识点01旋转的概念（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.（2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.知识点02旋转的性质旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.知识点03确定旋转中心确定旋转中心：由旋转的性质可得，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.知识点04旋转作图旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.题型01判断生活中的旋转现象【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级校考期中）下列运动形式属于旋转的是（）A ．足球在地上的滚动B ．电梯的运行C ．热气球点火升空D ．钟摆的摆动【变式训练】1．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）下列现象属于旋转的是（）A ．电梯的上下移动B ．飞机起飞后冲向空中的过程C ．幸运大转盘转动的过程D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）下列生活中的实例是旋转的是（）A ．钟表的指针的转动B ．汽车在笔直的公路上行驶C ．传送带上，瓶装饮料的移动D ．足球飞入球网中题型02找旋转中心、旋转角、对应点【例题】（2023上·天津东丽·九年级校联考期中）如图，P 为正方形ABCD 内一点，1PC ，CDP △将绕点C 逆时针旋转得到CBE △，(1)旋转中心是______．旋转角为______度．(2)求PE 的长度．【变式训练】1．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 上的一点，ABF △是ADE V 的旋转图形．(1)由ADE V 顺时针旋转到△(2)连接EF ，判断并说明AEF △2．（2023上·湖南永州·八年级校考开学考试）(1)旋转中心为点，并求出旋转角=度；(2)求出BAE ∠的度数和AE 的长．题型03根据旋转的性质求解【变式训练】1．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，将若AD BE ，则CAE ∠的度数为2．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）∠与AC交于点G．若B题型04求绕原点旋转90°点的坐标【例题】（2023上·江苏苏州点B，则点B的坐标为2．（2023下·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）点B到x轴的距离是8，将题型05求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标【例题】（2023上·全国·将AC绕A点顺时针旋转【变式训练】2．（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，点点A 按逆时针方向旋转90︒得到线段题型06平面直角坐标系中旋转作图【例题】（2024上·吉林松原·九年级校联考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平而直角坐标系，OAB 的顶点都在格点上，已知点()4,2A --，()2,6B --．(1)将OAB 向右平移4个单位长度得到111O A B △，请画出111O A B △；(2)将OAB 绕点O 顺时针旋转90︒，画出所得的22OA B △．【变式训练】1．（2023上·四川自贡·九年级校考期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点()5,5A ，()6,3B ，()2,1C 均在格点上，(1)画出将ABC 向下平移4个单位长度得到的111A B C △；(2)画出ABC 绕点C 逆时针旋转90︒后得到的22A B C ，并写出点2A 的坐标；2．（2024上·陕西延安·九年级统考期末）如图，网格中每个小正方形的边长都是单位1，ABC 是格点三角形．(1)画出将ABC 向右平移2个单位得到的111A B C △；(2)画出将ABC 绕点O 顺时针方向旋转90︒得到的222A B C △，并写出点2B 的坐标．题型07坐标与旋转规律问题【变式训练】1．（2023上·辽宁鞍山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将11AB C △的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在x 轴上，再将的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C V 绕点2C 顺时针旋转到222A B C △的位置，点()()B 2．（2023下.广西.七年级广西大学附属中学校考期中）如图，已知点向连续翻转241次，点A 依次落在点1A ，2A ，3A ， (241)题型08旋转综合题——几何变换【例题】（2023上·北京朝阳·九年级校考期中）如图，在ABC 中，,BAC AB AC α∠==，点D 为BC 边上一点（不与点B 重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACE △．(1)若80α=︒，写出旋转角及其度数；(2)当α度数变化时，DAE ∠与DCE ∠之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明．【变式训练】(1)将ADE V 绕A 点旋转到图2位置时，写出BD 、CE 的数量关系；(2)当90BAC ∠=︒时，将ADE V 绕A 点旋转到图3位置．①猜想BD 与CE 有什么数量关系和位置关系?请就图3的情形进行证明；②当点C 、D 、E 在同一直线上时，直接写出ADB ∠的度数．(1)【猜想】如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD (2)【探究】：把DCE △绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，(3)【拓展】：把DCE △绕点C 在平面内自由旋转，若6AC =，CE 时，直接写出BE 的长．一、单选题1．（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（）A ．可回收物B ．有害垃圾C ．厨余垃圾D ．其他垃圾2．（2024上·河北唐山·七年级统考期末）如图，OAB 绕点O 逆时针旋转70︒，得到OCD ，若15AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（）A ．85︒B ．70︒C ．55︒D ．45︒3．（2024上·江西上饶·九年级统考期末）如图，将一块含有30︒的直角三角板ABC （假定90C ∠=︒，30B ∠=︒）绕顶点A 逆时针旋转100︒得到AB C ''△，则BB C ''∠等于（）A ．5︒B ．10︒C ．15︒D ．20︒4．（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90︒，得到线段A B ''，那么()2,5A -的对应点A '的坐标是（）A ．()5,2-B ．()2,5-C ．()5,2D ．()2,55．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，20CAB ∠=︒，30ABC ∠=︒，将ABC 绕A 点逆时针旋转50︒得到AB C ''△，以下结论：①BC B C ''=，②AC C B '' ，③C B BB '''⊥，④ABB ACC ''∠=∠，正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④二、填空题7．（2023上·安徽淮南·九年级统考期末）如图将为(,)a b ，则A 的坐标为．8．（2024上·辽宁大连·九年级统考期末）如图，将点B '恰在边AC 上，若2AB =9．（2024上·天津宁河·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，点针旋转，得11A BO △，点A O ，为，点1A 的坐标为10．（2024上·辽宁盘锦·九年级校考期末）如图，D 为AB 的中点，点E 在是直角三角形时，AE '的长为三、解答题(1)将ABC 绕坐标原点O 顺时针旋转(2)求111A B C △的面积．12．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）点B 顺时针旋转90°到CBE '△的位置（(1)判断BEE ' 的形状为(2)若2AE =，4BE =，13．（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转90︒得到DEC ，延长ED 交AB 于点F ．(1)直接写出AFE ∠的度数；(2)若67.5A Ð=°，求证：2DE AF =．14．（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，将一个钝角ABC （其中120ABC ∠=︒）绕点B 顺时针旋转得111A B C △，使得C 点落在AB 的延长线上的点1C 处，连接1AA ．(1)求证：1AA BC ∥；(2)若120A AC ∠=︒，求11AA C ∠的度数．15．（2024上·甘肃武威·九年级校联考期末）如图，在ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF 、EF 与AC 交于点G ．(1)求证：BC EF =；(2)若64ABC ∠=︒，25ACB ∠=︒，求AGE ∠的度数．16．（2024上·浙江台州·九年级统考期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，旋转角为α，CD ，DE 分别交AB 于点F ，G ，连接BD ．(1)求证：AGD α∠=；(2)若2BC =，30a =︒，BD AC ∥．①求AB 的长；②连接AD ，BE ，AE ，求四边形ADBE 的面积．17．（2024上·陕西西安·七年级校考期末）如图，已知ABC 中，90B Ð=°，将ABC 沿着射线BC 方向平移得到DEF ，其中点A 、点B 、点C 的对应点分别是点D 、点E 、点F ，且CE DE =．(1)如图①，如果6AB =，3BC =，那么平移的距离等于______；（请直接写出答案）(2)如图②，将DEF 绕着点E 逆时针旋转90︒得到CEG ，连接AG ，如果AB a =，BC b =，求ACG 的面积；(3)如图③，在（2）题的条件下，分别以AB ，BC 为边向外作正方形，正方形的面积分别记为1S ，2S ，且满足1216S S -=，如果平移的距离等于8，求出ACG 的面积．(1)如图1，当EC 与BC 重合，30α=︒时，ACD ∠=；(2)如图2，三角形ABC 固定不动，将三角形CDE 绕点C 旋转，使点E 落到AB 的延长线上，当射线EC 平分DEA ∠时，求ECB ∠的度数；(3)三角形ABC 固定不动，将三角形CDE 绕点C 旋转，当25ACE ∠=︒且射线CD 平分。
北师大版八年级数学下第八章二元一次方程组解应用题训练题
第八章列二元一次方程组解应用题专项训练1、一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像您这样大时，您才出生；您到我这么大时，我已经37岁了。
”请问老师、学生今年多大年龄了呢？2、某长方形的周长是44cm，若宽的3倍比长多6cm，则该长方形的长和宽各是多少？3、已知梯形的高是7，面积是56cm2，又它的上底比下底的三分之一还多4cm，求该梯形的上底和下底的长度是多少？4、某校初一年级一班、二班共104人到博物馆参观，一班人数不足50人，二班人数超过50人，已知博物馆门票规定如下：1～50人购票，票价为每人13元；51～100人购票为每人11元，100人以上购票为每人9元（1）若分班购票，则共应付1240元，求两班各有多少名学生？（2）请您计算一下，若两班合起来购票，能节省多少元钱？（3）若两班人数均等，您认为是分班购票合算还是集体购票合算？5、某中学组织初一学生春游，原计划租用45座汽车若干辆，但有15人没有座位：若租用同样数量的60座汽车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满。
已知45座客车每日租金每辆220元，60座客车每日租金为每辆300元。
（1）初一年级人数是多少？原计划租用45座汽车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每个学生都有座位，怎样租用更合算？6、某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天 35元，一个50人的旅游团到了该酒店住宿，租了若干间客房，且每间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？7、某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启正门和两道侧门时，2分钟可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况下时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离，假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问通过的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。
(北师版)八年级数学下册 第一章 三角形的证明 辅导讲义
第一阶梯三角形证明基础巩固训练一．角平分线的性质（共1小题）1．如图，已知∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1cm，BC＝6cm，则△BDC的面积为（）A．1cm2B．6cm2C．3cm2D．12cm2二．线段垂直平分线的性质（共5小题）2．△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC＝5，BC＝4，则△BCD的周长是（）A．9B．8C．7D．63．到平面上三点A、B、C距离相等的点有（）A．只有一个B．有两个C．有三个或三个以上D．有一个或没有4．△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD：BD＝1：2，BC＝6cm，则点D到点A的距离为（）A．1.5cm B．3cm C．2cm D．4cm5．如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（）A．①②B．①②③C．①②③④D．②③6．如果一个三角形一边上的中线和这边上的高重合，那么这个三角形是三角形．三．等腰三角形的性质（共9小题）7．等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）A．10cm，12cm B．11cm，11cm C．11cm，11cm或10cm，12cm D．不能确定8．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm9．一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A．9B．6C．7D．310．等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm，则其余两边长分别为．11．顶角为60°的等腰三角形，两个底角的平分线相交所成的角是°．12．AB边上的中线CD将△ABC分成两个等腰三角形，则∠ACB＝度．13．如果等腰三角形一腰上的高与腰的夹角为30°，则该三角形的顶角的度数为．14．如图，△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且∠OBC＝∠OCB，求证：AO⊥BC．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高，求证：∠BCD＝∠A．四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）16．△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的点，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形有个．五．等边三角形的性质（共2小题）17．如图，等边△ABC中，E，D在AB，AC上，且EB＝AD，BD与EC交于点F，则∠DFC＝度，18．如图所示，△ABC、△ADE与△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4时，则图形ABCDEFG外围的周长是．六．等边三角形的判定（共2小题）19．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形20．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第二阶梯三角形证明能力提升训练一．直角三角形全等的判定（共1小题）1．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．角平分线的性质（共1小题）2．如图，已知∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝1cm，BC＝6cm，则△BDC的面积为（）A．1cm2B．6cm2C．3cm2D．12cm2三．线段垂直平分线的性质（共3小题）3．已知△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD＝CD，若AB＝3，则AC＝．4．M、N、A、B是同一平面上的四个点，如果MA＝MB，NA＝NB，则点、在线段的垂直平分线上．5．△ABC中，AB比AC大2cm，BC的垂直平分线交AB于D，若△ACD的周长是14cm，则AB＝，AC＝．四．等腰三角形的性质（共6小题）6．等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm7．一个等腰而非等边的三角形，它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（）A．9B．6C．7D．38．已知：等腰三角形的周长为50厘米，若底边长为x厘米，则x的取值范围是．9．如图：△ABC中，∠B＝∠C，E是AC上一点，ED⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为D、F，若∠AED＝140°，则∠C＝度，∠A＝度，∠BDF＝度．10．分别以等腰三角形的腰与底边向三角形外作正三角形，其周长为24和36，求等腰三角形的周长．11．在△ABC中，AB＝AC，它的两条边分别为3cm，4cm，那么它的周长为多少．五．等腰三角形的判定与性质（共5小题）12．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝9，则线段CE的长为（）A．3B．4C．5D．613．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D为BC上一点，过点D分别作DF∥AC交AB于点F，DE∥AB交AC于点E．求四边形AFDE的周长．14．在△ABC中，AB≠AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）如图1，写出图中所有的等腰三角形．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．（2）如图2，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们．写出EF与BE、CF关系，并说明理由．15．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作直线DF∥BA，交△ABC的外角平分线AF于点F，DF与AC交于点E．求证：DE＝EF．16．如图，已知△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，请判断△ADE是不是等边三角形，并说明理由．六．等边三角形的性质（共3小题）17．如图，等边三角形ABC的边长为2，则它的高为．18．△ABC是等腰三角形，AB＝AC，分别以两腰为边向外作等边△ADB和等边△ACE，若∠DAE＝∠DBC，则∠BAC的度数为．19．如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN＝60°．求证：△AMN的周长等于2．七．等边三角形的判定（共1小题）20．三角形中有两条中线分别平分它的两个内角，则这个三角形是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形第三阶梯三角形的证明综合训练（一）一、填空题1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC的长为米．2．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三角形．3．如图，已知AC＝DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是或．4．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是（填“真”或“假”）．5．如图，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝度．6．在△ABC中，已知AB＝AC，AD是中线，∠B＝70°，BC＝15cm，则∠BAC＝，∠DAC＝，BD＝cm．7．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC 于E，若BC＝10 cm，则△ODE的周长cm．第7题图第8题图8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是度．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若DC＝7，则点D到AB的距离DE＝．10．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．二、选择题11．等腰三角形底边上的高与底边的比是1：2，则它的顶角等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°12．下列两个三角形中，一定全等的是（）A．有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B．两个等边三角形C．有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形13．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点14．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于点D，若BC＝a，则AD等于（）A．B．C．D．15．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．70°三、解答题16．如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°．求：（1）∠ABC的度数；（2）AD、CD的长．17．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．四、证明题18．已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD＝CD．求证：D在∠BAC的平分线上．19．已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．五、阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．20．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB ＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．第四阶梯三角形的证明综合训练（二）一、填空题：1．三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是cm．2．已知等腰三角形的一个角是36°，则另两个角分别是．3．Rt△ABC中，锐角∠ABC和∠CAB的平分线交于点O，则∠BOA＝．4．如图，在△ABC中，∠B＝115°，AC边的垂直平分线DE与AB边交于点D，且∠ACD：∠BCD＝5：3，则∠ACB的度数为度．第4题图第5题图5．如图，已知∠ABD＝∠C＝90°，AD＝12，AC＝BD，∠BAD＝30°，则BC＝．6．如图，将矩形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，写出一组相等线段、相等角（不包括矩形的对边、对角）．7．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC＝1，则图中阴影部分的面积为．8．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是，这个逆命题是（填“真”或“假”）．9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于点D，则∠BCD的度数是度．10．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为．二、选择题：11．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B ＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高的交点D．三条边的垂直平分线交点13．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥BC，过A作AD⊥BD于D，已知△ABC周长为M，则AD＝（）A．B．C．D．14．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于（）A．B．C．D．15．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm216．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F，∠A＝50°，AB+BC ＝16cm，则△BCF的周长和∠EFC分别为（）A．16cm，40°B．8cm，50°C．16cm，50°D．8cm，40°17．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角△EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF 分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（）A．①④B．①②C．①②③D．①②③④18．如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．70°三、解证题：19．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．（1）求△AEN的周长．（2）求∠EAN的度数．（3）判断△AEN的形状．20．已知：如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE＝DF？并加以证明．21．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．已知：．求证：．证明：22．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD＝∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．23．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120度．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（保留作图痕迹，不写作法）．（2）猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想．24．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：BE＝AD；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．参考答案第一阶梯三角形证明基础巩固训练一．角平分线的性质（共1小题）1．C；二．线段垂直平分线的性质（共5小题）2．A；3．D；4．D；5．B；6．等腰；三．等腰三角形的性质（共9小题）7．C；8．B；9．C；10．7cm、7cm或8cm、6cm；11．60或120；12．90；13．120°或60°；四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）16．6；五．等边三角形的性质（共2小题）17．60；18．15；六．等边三角形的判定（共2小题）19．C；20．C；第二阶梯三角形证明能力提升训练一．直角三角形全等的判定（共1小题）1．B；二．角平分线的性质（共1小题）2．C；三．线段垂直平分线的性质（共3小题）3．3；4．M；N；AB；5．8cm；6cm；四．等腰三角形的性质（共6小题）6．B；7．C；8．0＜x＜25；9．50；80；40；五．等腰三角形的判定与性质（共5小题）12．C；六．等边三角形的性质（共3小题）17．；18．20°；七．等边三角形的判定（共1小题）20．C；第三阶梯三角形的证明综合训练（一）一、填空题1．40；2．等腰；3．∠ABC＝∠DCB；AC＝DB；4．对应角相等的三角形是全等三角形；假；5．220；6．40°；20°；7.5；7．10；8．10；9．7；10．2；二、选择题11．B；12．C；13．B；14．C；15．B；第四阶梯三角形的证明综合训练（二）一、填空题：1．8；2．72°，72°或36°，108°；3．135°；4．40；5．6；6．DE＝DC，∠OBD＝∠ODB等．；7．；8．对应角相等的三角形是全等三角形；假；9．10；10．2；二、选择题：11．D；12．B；13．B；14．A；15．A；16．A；17．C；18．B；三、解证题：21．在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE；∠1＝∠2；。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
北师大版八年级数学 上册 第一章一节 同步课时练习题(附参考答案)
北师八上数学测试题第一章一节1.有一个角为角的三角形是直角三角形,直角三角形的两锐角.2.我国古代称直角三角形中较短的直角边为,较长的直角边为,斜边为.3.如图1-1-1,求直角三角形中未知边的长度:b=,c=.图1-1-14.已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边的平方为( )A.25B.7C.25或7D.55.已知直角三角形的两条边长分别是5和12,则第三边的平方为( )A.169B.119C.169或119D.不能确定6.如图1-1-2,三个正方形中有两个的面积分别为S1=169,S2=144,则S3等于( )图1-1-2A.50B.25C.100D.307.如图1-1-3,已知勾为2,股为3,则以弦为边长的正方形的面积是( )图1-1-3A.4B.16C.5D.138.在Rt△ABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.9.如图1-1-4,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草.图1-1-410.如图1-1-5,在△ABC中,已知∠B=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=6,b=11,求c2.图1-1-511.课堂上,老师给同学们出了一道题:“有一直角三角形的两边长分别为6和8,你们知道第三边长的平方吗?”刘飞立刻回答:“第三边长的平方是100.”你认为第三边长的平方应该是多少呢?12.如图1-1-6,有两个全等的直角三角形,它们的直角边长分别为3和4,把这两个直角三角形拼成一个三角形或一个四边形.在这些图形中,周长最小值是( )图1-1-6A.14B.16C.18D.2013.已知等腰三角形的一条腰长是5,底边长是6,则它底边上的高为.14.某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏,它的高为2米,宽为1.5米,如图1-1-7.现需要在相对的顶点间用一块木板加固,则木板的长为米.图1-1-715.如图1-1-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.图1-1-816.如图1-1-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若AC=4,BC=3,则CD的长为.图1-1-917.如图1-1-10,一架长2.5 m的梯子AB斜靠在一面竖直的墙上,这时梯子底端B距离墙根0.8 m.为了安装壁灯,梯子顶端A需离地面2 m(即A’C=2 m),请你计算一下,此时梯子的底端B应向远离墙根的方向拉多远?图1-1-1018.如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么有,即直角三角形两的平方和等于的平方.19.勾股定理的验证.(1)图1-1-11中大正方形的面积为.(2)计算图1-1-11中大正方形的面积时,可以将大正方形的每个边上补一个边长分别是a,b,c的直角三角形,得到一个更大的正方形,如图1-1-12,此时大正方形的面积为(a+b)2-==c2,因此,勾股定理得以验证.(3)也可以将大正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形,如图1-1-13.图1-1-11图1-1-12图1-1-1320.如图1-1-14,隔湖有两点A,B,为了测得A,B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50米,CB=40米,则A,B两点间的距离是米.图1-1-1421.一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图如图1-1-15,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B间的距离为mm.图1-1-1522.观察图1-1-16,大正方形被分成四个全等直角三角形和一个小正方形.你能验证c2=a2+b2吗?把你的验证过程写下来,并与同伴进行交流.图1-1-1623.如图1-1-17,将两个直角三角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形,从图中可以得到什么样的数学结论?图1-1-1724.如图1-1-18,直线l上有三个正方形A,B,C.若A,C的面积分别为5和11,则B的面积为( )图1-1-18A.4B.6C.16D.5525.2.如图1-1-19,利用图1-1-19①或图1-1-19②两个图形中的有关面积的等量关系都能验证数学中一个十分著名的定理,这个定理结论的数学表达式是.图1-1-1926.如图1-1-20,为了修铁路,需凿通隧道AC,现测量出∠ACB=90°,AB=5 km,BC=4 km.若每天凿隧道0.2 km,问几天才能把隧道AC凿通?图1-1-2027.如图1-1-21,校园内有两棵树,相距12 m,一棵树高13 m,另一棵树高8 m.一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞多少米?图1-1-21参考答案1.直互余2.勾股弦3.12254.A5.C6.B7.D8.89.410.解:由∠B=90°知,b是Rt△ABC的斜边.由勾股定理,得c2=b2-a2=112-62=85.11.解:分类讨论.①当8是斜边长时,第三边长的平方为82-62=28;②当8是直角边长时,第三边长的平方为62+82=100.故第三边长的平方应该是28或100.12.A13.414.2.515.2π16. 12 17.解:∵B’C2=A’B’2-A’C2=2.52-22=2.25=1.52,∴B’C=1.5(m).∴BB’=1.5-0.8=0.7(m).因此,梯子的底端B应向远离墙根的方向拉0.7 m.18.a2+b2=c2直角边斜边19.(1)c2(2)2ab a2+b220.3021.15022.解:由图可知,S大正方形=4×1ab+(b-a)2=2ab+b2+a2-2ab=a2+b2,S大正方形=c2,所以a2+b2=c2. 23.解:因为S梯形ABCD=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2),又S梯形ABCD=ab + ab + c2,所以a2+b2=c2. 24.C 25.a2+b2=c226.解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2,即52=AC2+42.解得AC=3. 因为每天凿隧道0.2 km,所以凿隧道用的时间为3÷0.2=15(天). 答:15天才能把隧道AC凿通.27.解:如图所示:作DE⊥AB于点E.因为AB=13 m,CD=8 m, 所以AE=5 m.由BC=12 m,得DE=12 m.在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2=52+122=132, 所以AD=13 m.所以小鸟至少要飞13 m.。
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中学数学试讲题（北师版）
1、北师版七年级上册§1.4 《从不同方向看》
2、北师版七年级上册§2.4 《有理数的加法》
3、北师版七年级上册§5.5 《打折销售》
4、北师版七年级下册§1.7 《平方差公式》
5、北师版七年级下册§7.2 《简单的轴对称图形》（等腰三角形的判定）
6、北师版八年级上册§4.2 《平行四边形的判别》
7、北师版八年级上册§4.3 《菱形》
8、北师版八年级上册§4.5 《梯形》
9、北师版八年级上册§6.3 《一次函数的图象》
10、北师版八年级上册§4.2 《黄金分割》
11、北师版九年级上册§2.2 《配方法》
12、北师版九年级上册§5.1 《反比例函数》
13、北师版九年级上册§5.2 《反比例函数的图象与性质》
14、北师版九年级下册§3.2 《圆的对称性》（垂径定理）
15、北师版九年级下册§3.6 《圆与圆的位置关系》
中学物理试讲题（人教版）
第一章声现象第一节声音的产生与传播
第二章光现象第一节光的传播
第三章透镜及其应用第二节生活中的透镜
第四章物态变化第三节汽化和液化
第八章电功率第一节电能第二节电功率
第九章电与磁第七节磁生电
第十一章多彩的物质世界第二节质量第三节密度
第十二章运动和力第二节运动的快慢第五节你顿第一定律
第十三章力和机械第三节摩擦力
第十四章压强和浮力第一节压强
第十五章功和机械能第一节功第三节功率
中学科技科技试讲题
1.机器人的核心技术是什么
2. 飞机发动机的组成及工作原理
3. 数学模型中层次分析法的应用
4. 能量的转化和守恒
5. 凸透镜成像的规律
6. 热机
7. 电与磁
8.电影《2012》中飞船选址的科学依据
9. 近期发生的“天坑”现象
10. 人类模拟生物的发明创造
11. 低碳生活
12. 动物先天与后天行为
13. 颇有争议的“曹操墓”
14. SARS传播的数学模型
15.黄土高原土壤侵蚀
中学信息技术试讲题
1.宣传海报：保护环境——photoshop多滤镜综合特效
2.保护个人信息——网络安全
3.做个小管家——使用资源管理器
4.我的地盘我做主——建立自己的博客圈
5.声音也精彩——使用“录音机”
6.体验动画的魅力——幻灯片对象动画效果设置
7.Word综合实践——制作电子板报
8.Excel综合分析——排序与汇总
9.“大海捞针”的技巧——网上搜索
10.展示我的风采——frontpage丰富我的个人主页
11.进一步的美化——windows movie maker视频效果、视频过渡
12.沟通的纽带——在PPT中设置超级链接
13. 动态规划算法
14.万能转换工具——“格式工厂”的使用
15.神奇的文字——flash遮罩层的使用
说明：教材参考辽宁师范大学出版社出版，符泰民主编的初中信息技术教材。
中学语文试讲题（语文版）
七上：《小巷深处》、《空城计》
七下：《海燕》、《乡愁》、《苏州园林》
八上：《周庄水韵》、《最苦与最乐》、《茅屋为秋风所破歌》
八下：《背影》、《日出》
九上：《白杨礼赞》、《孔乙己》、《一厘米》
九下：《沁园春雪》、《故乡》
使用教材：语文出版社7-9年语文教材
试讲内容：以上课文的第二课时的教学内容（诗歌《乡愁》、《茅屋为秋风所破歌》、《沁园春雪》试讲分析部分）
中学英语试讲题（牛津版）
Lesson Type
7A Module 1 Unit 5 In the future p40+p41 Speaking
7A Module 2 Unit 2 Our animal friends p55 Speaking
7B Module 1 Unit 1 Information about fire(p3) Reading
7B Module 2 Unit 1 An accident (p31) Reading
7B Module 3 Unit 2 A surprise birthday party (p54) Speaking
8A Chapter 6 Pollution Fighters (p79) Reading
8A Chapter 4 Numbers: Everyone's language (p49) Reading
8A Chapter 3 Judy's diary (p44,p45) Writing
8B Chapter 3 A dangerous servant (p31) Reading
8B Chapter 4 Some days (p56) Speaking
9A Chapter 1 Protecting the innocent Writing
9A Chapter 2 Computers (p18) Reading
9A Chapter 5 Apologies and Excuses (p74) Speaking
9B Chapter 1 The green consumer (p2) Reading
9B Chapter 2 Educational visits (p22) Language
教材为牛津英语（上海教育出版社）
中学历史试讲题（人教版）
1、华夏之祖（七年级上册）
2、灿烂的青铜文明（七年级上册）
3、大一统的汉朝（七年级上册）
4、对外友好往来（七年级下册）
5、经济重心的南移（七年级下册）
6、君主集权的强化（七年级下册）
7、新文化运动（八年级上册）
8、中国近代民族工业的发展（八年级上册）
9、探索建设社会主义的道路（八年级下册）
10、独立自主的和平外交（八年级下册）
11、西方文明之源（九年级上册）
12、法国大革命和拿破仑帝国（九年级上册）
13、第一次世界大战（九年级上册）
14、经济大危机（九年级下册）
15、世界政治格局的多极化（九年级下册）
中学体育试讲题田径：（1）蹲踞式起跑
（2）接力跑
（3）耐力跑
（4）立定跳远
篮球：（5）单手肩上投篮
（6）篮球运球
（7）篮球转身运球
（8）篮球双手胸前传球
（9）行进间低手上篮
（10）原地起跳单人肩上投篮
（11）原地或行进间单手肩上投篮
（12）篮球二攻一配合
（13）排球传接配合
（14）篮球半场人盯人防守
排球：（15）正面双手垫球
中学美术试讲题
1、《在美术世界中遨游》
2、《格尔尼卡》
3、《生活中的色彩搭配》
4、《大家动手做条龙》
5、《宣传品的设计制作》
6、《布贴装饰画》
7、《雕塑自己的形象》
8、《商品包装的色彩搭配》
9、《民间美术》
10、《旅行团的旗帜和标志》
11、《班标设计》
12、《艺术源于生活，高于生活》
13、《美化生活的装饰布》
14、《居室的色彩搭配》
15、《卷筒造型》
中学心理试讲题
1、学困生的心理调节
2、如何培养学习兴趣
3、如何应对考试焦虑
4、如何克服恐惧心理
5、如何克服自卑心理
6、逆反心理的调适
7、耐挫能力的自我培养
8、认识中学生的“早恋”
9、青春期生理与心理的发展
10、如何处理同学关系
11、中学生如何处理与老师的关系
12、如何与异性同学正常交往
13、社交恐惧的调适
14、网络成瘾的调适
15、如何缓解青少年心理压力
中学校医请专业人士当面提出问题，考生解答。