文科三角函数
高中文科数学常用三角函数公式大全
三角函数公式1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-=③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=8. 归一公式)sin(cos sin 22∂++=+θθθB A B A AB =∂tan .。
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。
题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。
这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。
题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。
这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。
题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。
题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。
题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。
题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。
题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。
需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。
2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。
高三文科数学三角函数知识点归纳
高三文科数学三角函数知识点归纳
角的概念的推广.弧度制.
任意角的三角函数.单位圆中的三角函线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的
诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.
正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asinωx+φ的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角。
1理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.
2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义.
3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
4能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
5理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asinωx+φ的简图，理解A.ω、φ的物理意义.
6会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.
7掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.
8“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，
sinα/cosα=tanα,tanα•cotα=1”。
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高中三角函数公式总表(文科)
= pr =
p( p a)( p b)( p c)
(其中 p 1 (a b c) , r 为三角形内
2
切圆半径) ⒌同角关系： ⑴商的关系： tan = =
y x
sin cos
sin x sin r tan
y cos tan r
2
1 cos 2 1 cos 2
3
③ cos
2
④ cos 2
2
将来的你，一定会感谢现在努力拼搏的自己！
⑤ 1 cos 2 sin 2
2
⑥ 1 cos 2 cos 2
2
⑦ 1 sin (cos sin ) 2 cos sin
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三角公式总表
nπR 180
⒈L 弧长= R= ⒉正弦定理：
S 扇= LR= R2 =
1 2
1 2
n R 2 360
b c a = = = 2R（R 为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
A
⒊余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos
2 2 2
2
⑧ tan
2
1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin
12.积化和差公式：
1 sin( ) sin( ) 2 1 cos sin sin( ) sin( ) 2 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos 2 sin cos
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角函数的图象与性质
第4节 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12T ，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14T ，其中T 为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T ，其中T 为周期.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 2.函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 3.下列函数中，是奇函数的是( ) A.y ＝|cos x ＋1| B.y ＝1－sin x C.y ＝－3sin(2x ＋π) D.y ＝1－tan x答案 C解析 选项A 中的函数是偶函数，选项B ，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y ＝－3sin(2x ＋π)＝3sin 2x ，所以是奇函数，选C. 4.(易错题)函数y ＝cos 2x ＋sin x 的值域为( )A.[－1，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54D.[0，1]答案 C解析 y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∴当sin x ＝12时，y max ＝54. 当sin x ＝－1时，y min ＝－1.5.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________. 答案 π6.(易错题)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象的对称中心是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0，k ∈Z解析 由x ＋π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π2－π4，k ∈Z ，∴对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0，k ∈Z .考点一 三角函数的定义域和值域 1.函数y ＝sin x －cos x 的定义域为______. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z . 2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的最大值为________.答案2解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 ＝－2cos x ，所以当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )max ＝ 2.3.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.答案 －4解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]， 所以g (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数g (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，所以当t ＝1时，g (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.4.函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 设t ＝sin x －cos x ， 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.感悟提升 1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值. 考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1 (1)(2022·成都调研)在函数①y ＝cos|x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的函数有( ) A.①③B.①④C.②④D.②③(2)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(3)(2022·西安调研)已知函数f (x )＝2sin(x ＋θ＋π3)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________.答案 (1)D (2)C (3)π6解析 (1)①y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期为2π，错误；②y ＝|cos x |，最小正周期为π，正确；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为2π2＝π，正确；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4最小正周期为π2，错误.故选D.(2)由题意知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ＝π3时，x ＋π6＝π2，所以直线x ＝π3为对称轴，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不为对称中心，A 错误，C 正确；当x ＝2π3时，x ＋π6＝5π6，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0不为对称中心，B 错误；当x ＝π6时，x ＋π6＝π3，所以直线x ＝π6不为对称轴，D 错误，故选C. (3)∵函数f (x )为偶函数， ∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z ).又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意.感悟提升 1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解.2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z ).3.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.训练1 (1)(2022·河南名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x －π4的最大值为M ，若存在实数m ，n ，使得对任意实数x 总有f (m )≤f (x )≤f (n )成立，则M ·|m －n |的最小值为( ) A.π2 022B.π1 011C.π505D.3π1 011(2)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为4π，且∀x ∈R 有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的对称中心是________，对称轴方程是________.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3，0，k ∈Z x ＝2k π＋π3，k ∈Z解析 (1)令α＝2 022x ＋π4，则f (x )＝sin α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＋sin α＝2sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x ＋π4，其最小正周期T ＝2π2 022＝π1 011.由题意可知，M ＝2，|m －n |min ＝12T ，∴M |m －n |的最小值为π1 011.故选B.(2)由f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝2k π(k ∈Z ).又∵|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，令12x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3，0，k ∈Z . 令12x －π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称轴方程是x ＝2k π＋π3，k ∈Z . 考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间例2 (1)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈[0，π])的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π (2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )解析 (1)由2k π－π≤x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6，k ∈Z .∵x ∈[0，π]，∴5π6≤x ≤π，∴函数f (x )在[0，π]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，故选C.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 角度2 利用单调性比较大小例3 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c答案 A解析 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2cos 13π42，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π3，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2cos 5π12，因为y ＝cos x 在[0，π]上递减， 又13π42<π3<5π12，所以a >b >c .角度3 根据三角函数的单调性求参数例4 (1)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递增，则φ的取值范围是________.(2)(2022·山西高三测评)已知函数f (x )＝sin x 2＋3cos x2在(－a ，a )(a ＞0)上单调递增，则a 的取值范围是________. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 解析 (1)因为函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递增，所以函数y ＝2sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递减，又因为y ＝2sin(2x ＋φ)的单调递减区间为π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π4＋k π－φ2≤x ≤3π4＋k π－φ2，k ∈Z ，所以π4＋k π－φ2≤π5，5π8≤3π4＋k π－φ2，k ∈Z ，所以π10＋2k π≤φ≤π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以令k ＝0，解得π10≤φ≤π4，所以φ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4.(2)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，由－π2＋2k π≤x 2＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π(k ∈Z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤π3，－a ≥－5π3，又a >0，所以a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.感悟提升 1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.训练2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是________. (2)(2022·中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z (2)7π5 解析 (1)由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z . (2)法一 令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，7π5上单调递减， 所以a 的最大值为7π5.法二 因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，π2＋π10＜a ＋π10≤3π2，即π2＜a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5. 三角函数中ω的求解在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.一、结合三角函数的单调性求解例1 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 答案 D解析 令π2＋2k π≤ωx ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω＞0，所以k ≥0.又6k ＋32≤4k ＋3，得0≤k ≤34.又k ∈Z ，所以k ＝0.即32≤ω≤3.故选D.二、结合三角函数的对称性、周期性求解例2 (2021·兰州质量预测)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(0，2) C.(1，2) D.[1，2) 答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)， 令ωx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝π3ω＋k πω(k ∈Z )，由于函数f (x )图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内， 因此有π6＜π3ω＋k πω＜π3(k ∈Z )成立，即3k ＋1＜ω＜6k ＋2(k ∈Z )，由f (x )的最小正周期大于π，得2πω＞π且ω＞0，解得0＜ω＜2，综上可得1＜ω＜2.故选C.三、结合三角函数的最值求解例3 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.答案 (－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 显然ω≠0.若ω＞0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2， 所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω＜0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2， 所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1.下列函数中，是周期函数的为( )A.f (x )＝sin |x |B.f (x )＝tan |x |C.f (x )＝|tan x |D.f (x )＝(x －1)0 答案 C解析 对于C ，f (x ＋π)＝|tan(x ＋π)|＝|tan x |＝f (x )，所以f (x )是周期函数，其余均不是周期函数.2.(2021·西安调研)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π，k ∈Z 答案 C解析 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k 2π＋π8，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z ，故选C. 3.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象的一条对称轴方程为( ) A.x ＝π6 B.x ＝5π12C.x ＝2π3D.x ＝－2π3答案 B解析 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝5π12，故选B.4.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为奇函数，则φ＝( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3答案 D解析 因为f (x )为奇函数，所以π6＋φ＝k π＋π2，则φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.5.若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则( ) A.f (1)＞f (2)＞f (3)B.f (3)＞f (2)＞f (1)C.f (2)＞f (1)＞f (3)D.f (1)＞f (3)＞f (2)答案 A解析 由π2≤2x －π4≤3π2，可得3π8≤x ≤7π8，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，由于1＜3π8＜2，且3π8－1＜2－3π8，故f (1)＞f (2).由于3π8＜2＜7π8＜3，且7π8－2＞3－7π8，故f (2)＞f (3)，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故选A.6.(2022·南昌模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则下列选项中能使得g (x )＝cos(x ＋φ) 取得最大值的是( )A.x ＝－2π3B.x ＝－π6C.x ＝π3D.x ＝5π12答案 A解析 因为f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )，得φ＝k π－π3(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以当k ＝1时，φ＝2π3，所以g (x )＝cos(x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3取得最大值时，x ＋2π3＝2k 1π(k 1∈Z )，得x ＝2k 1π－2π3(k 1∈Z )，令k 1＝0得x ＝－2π3.故选A.7.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________.答案 6π5解析 由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 8.(2022·合肥调研)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，则下列说法正确的是________(填序号).①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是(2k π－2π3，2k π＋π3)，k ∈Z .答案 ④解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错，当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2＜12x －π6＜k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3 ＜x ＜2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确. 9.已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析 由π2<x <π，ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54. 10.已知函数f (x )＝sin(2π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3. (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值. 解 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2 x ＋ 3＝sin x cos x －3cos 2x ＋ 3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋ 3 ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知， －32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 即0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.11.已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2) 求f (x )的单调区间.解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]. ∴f (x )∈[b ，3a ＋b ].又－5≤f (x )≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.(2)f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ＋π6≤32π＋2k π得π6＋k π≤x ≤23π＋k π，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，23π＋k π(k ∈Z )， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z ). 12.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是( )A.(0，5)B.(0，5]C.[1，5)D.(1，5]答案 C解析 令ωx ＋π4＝k π＋π2，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k ∈Z . ∵ω>0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1ω×π4≤π4，1ω×5π4>π4，解得1≤ω<5.故选C. 13.(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋12sin 2x ，给出下列四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于原点对称； ③函数f (x )的图象过点(π，0)；④函数f (x )为R 上的单调函数.其中所有真命题的序号是________. 答案 ①②③解析 因为f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋12sin(2x ＋4π)＝sin x ＋12sin 2x ＝f (x )，所以2π是函数f (x )的一个周期，所以①正确；因为f (－x )＝sin(－x )＋12sin(－2x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12sin 2x ＝－f (x )(x ∈R )， 所以f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，所以②正确；因为f (π)＝sin π＋12sin 2π＝0，所以③正确；因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f (π)＝0， 所以f (x )不可能是单调函数，所以④错误.14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2, 求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时， 函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.。
高考文科专题之三角函数
三角函数、诱导公式及解三角形【基础知识】 一、1象限角2弧长公式：=l ，扇形面积公式：=s ，3任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么=αsin ，=αcos ，=αtan ， (0)y ≠。
4同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： （2）商数关系： . 5三角函数诱导公式（2k πα+）的本质是：奇变偶不变，符号看象限.二、1．两角和与差βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±;βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
2．二倍角 αααcos sin 22sin =；22tan tan 21tan ααα=-；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 3．降幂公式 ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=4．辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+sin cos ϕϕ==其中5.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 6.余弦定理：222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧⎪=+-+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩7．三角形面积公式：C ab ah S ABC sin 2121==∆ 三、1．三角函数:角α终边上任一点P ),(y x ,设||OP r = 则：sin ,cos ,tan y x yαααr r x===2．sin()y A ωx φ=+ 对称轴：令2x k +=+πωϕπ，得2πk πφx ω-+=对称中心：))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；3.周期:①函数sin()y A x =+ωϕ及cos()y A x =+ωϕ的周期2πT ω=②函数()φω+=x A y tan 的周期πT ω=.4．同角三角函数的基本关系：22sin sin cos 1;tan cos xx x x x +==【基础训练】一、选择题：6. （川06） 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（ ）A⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πx y B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx y C⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34cos πx y D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62cos πx y 4．（川08）()=+x x x 2cos cot tan （ ） A x tanB x sinC x cosD x cot7．（川08）ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边边长分别是a 、b 、c ，若ba 25=，B A 2= ，则=B cos （ ）A 35B 45C 55D 655．（川08延）已知21tan =α，则=-+ααααsin cos sin cos （ ）A 2B 2-C 3D 3-4. （川09）已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin )(πx x f （R x ∈），下面结论错误的是（ ） A. 函数)(x f 的最小正周期为π2 B. 函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是增函数C. 函数)(x f 的图像关于直线0=x 对称D. 函数)(x f 是奇函数7．（川10）将函数x y sin =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx y B⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx yC⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx y D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y 8．（川11）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是（ ）A ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0πB ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,6C ⎥⎦⎤ ⎝⎛3,0πD ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,36．(2013四川)函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π3二、填空题：1、（2011·江西）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终边上一点，且552sin -=θ，则y =_____. 14．（川08延）函数x x x f 2cos sin 3)(-=的最大值是____________. 14．(2013四川)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________． 4、(2013·江苏高考)函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为.【提高训练】18.（川06）已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量()3,1-=，()A A sin ,cos =，且1=⋅⑴求角A⑵若3sin cos 2sin 122-=-+B B B，求B tan18．（川07）已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<， ⑴求α2tan 的值 ⑵求β17．（川08）求函数x x x x y 42cos 4cos 4cos sin 47-+-=的最大值与最小值17．（川08延）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，已知2222b c a =+⑴若4π=B ，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小⑵求B sin 的最大值17．（川09）在ABC ∆中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且55sin =A ，1010sin =B ⑴求B A +的值；⑵若12-=-b a ，求a 、b 、c 的值。
专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案
第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。
高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形
数学讲义之三角函数、解三角形【主干内容】 1. 弧长公式：r l⋅=||α. 扇形面积公式：211||22s lr r α==⋅扇形4. 同角三角函数的基本关系式：ααtan cos = 1cos sin 22=+αα 5. 诱导公式：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： “奇变偶不变，符号看象限”。
重要公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-6.三角函数图象的作法：描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）. 【注意！！！】本专题主要思想方法1.等价变换。
熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；2.数形结合。
充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3.分类讨论。
【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种诱导公式、倍角公式等。
〖例1〗（10全国卷Ⅰ文）cos300︒=A ．2-B.-12C.12D.2 C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1cos300cos 36060cos602︒=︒-︒=︒= 〖例2〗（10全国卷Ⅱ文）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=A.3-19- C.19D.3 【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3， ∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-〖例3〗（10福建文）计算12sin 22.5-的结果等于( )A.12B.2【答案】B【解析】原式=2cos 45=2,故选B. 〖例4〗 (10浙江文)函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是 。
解析：对解析式进行降幂扩角，转化为()2124cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=πx x f ，可知其最小正周期为2π，本题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。
题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质。
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高三文科数学三角函数过关测试
一．选择题(每题5分，共40分）
1.sin 330︒等于（）
A
． B ．12- C ．12 D
2．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（） A.43- B.54 C.34- D.45
3.sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（）
A.0
B. 21
C.23
D.1
4.在△ABC 中，若2cosBsinA=c sin ，则△ABC 的形状一定是 ( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
5. 函数sin(2)3
y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ） A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．12
x π= 6.
若函数()(1)cos f x x x =，02x π
≤<，则()f x 的最大值为（ ）
A ．1
B ．2C
1D
．2
7.如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(
,0)3π中心对称，那么φ的最小值为（ ） (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π 8.的三内角的对边边长分别为，若，则( )
二．填空题（每题5分，共20分）
9.在△ABC 中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC ＝ 。
10．若角α的终边经过点(12)P -，
，则tan 2α的值为__________． ABC ∆,,A B C ,,a b c ,2a A B ==cos B =
11.已知1sin cos 5θθ+=，且324
θππ≤≤，则cos 2θ的值是． 12.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为、、，若， 则_________________。
三.解答题
13.（12分）已知函数的
最小正周期是． （Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．
13.（14分）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，
设向量，
， .
（1） 若//，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2） 若⊥，边长
c = 2，角C = ΔABC 的面积 .
a b c )cos cos c A a C -=cos A =2()2cos 2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，2
πω()f x ()f x x (,)m a b = (sin ,sin )n B A = (2,2)p b a =-- m n m p
14.（14分）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，． （I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围。