2019届高三数学(文)复习课时跟踪训练：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练9含解析
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第二章函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练11含解析
课时跟踪训练(十一)[基础巩固]一、选择题1．函数y＝－e x的图象()A．与y＝e x的图象关于y轴对称B．与y＝e x的图象关于坐标原点对称C．与y＝e－x的图象关于y轴对称D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称[解析]y＝－e x的图象与y＝e x的图象关于x轴对称，与y＝e－x 的图象关于坐标原点对称．[答案] D2．已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1[解析]由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即log a c>0，所以0<c<1.3．(2018·河北保定模拟)函数y＝e cos x(－π≤x≤π)的大致图象为()[解析]当x＝0时，则y＝e cos0＝e；当x＝π时，则y＝e cosπ＝1 e.可排除A，B，D，选C.[答案] C4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()[解析]要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．5．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f(x)－f(－x)x<0的解集为()A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)[解析]因为f(x)为奇函数，所以不等式f(x)－f(－x)x<0可化为f(x)x <0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．[答案] D6．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则∑i＝1m(x i＋y i)＝()A．0 B．mC．2m D．4m[解析]由f(－x)＝2－f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，∴∑i ＝1m(x i ＋y i )＝0×m 2＋2×m2＝m .故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝(2m ＋1)x与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象关于y 轴对称，则实数m 的值为________．[解析] ∵函数y ＝(2m ＋1)x 与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2－x 的图象关于y 轴对称，∴2m ＋1＝2，得m ＝12.[答案] 128．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________．[解析] 解法一：函数y ＝f (x )的图象是由y ＝f (x ＋3)的图象向右平移3个单位长度而得到的．故y ＝f (x )的图象经过点(4,4)．解法二：由题意得f (4)＝4成立，故函数y ＝f (x )的图象必经过点(4,4)．[答案] (4,4)9.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________________．[解析] 当x ∈[－1,0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1；当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1， 由图象得0＝a ·(4－2)2－1，解得a ＝14， ∴y ＝14(x －2)2－1. 综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞).[答案]f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞).10．(2018·湖南邵阳调研改编)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y＝kx －2的图象恰有两个交点，求实数k 的取值范围．[解] 根据绝对值的意义， y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(x >1或x <－1)，－x －1(－1≤x <1).在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．[能力提升]11．(2017·河南濮阳检测)函数f (x )＝x x 2＋a的图象可能是( )A ．①③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④[解析] 取a ＝0，可知④正确；取a ＝－4，可知③正确；取a ＝1，可知②正确；无论a 取何值都无法作出图象①，故选C.[答案] C12．(2018·河北衡水中学三调)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )[解析] 由于f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x 1＋e x ·cos x ，而g (x )＝1－e x1＋e x 是奇函数，h (x )＝cos x 是偶函数，所以f (x )是奇函数，图象应关于原点对称，据此排除选项A ，C ；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，1－e x 1＋e x <0，cos x >0，从而必有f (x )<0，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，函数图象应该位于x 轴下方，据此排除选项D ，B 选项符合，故选B.[答案] B13．(2017·广东汕头一模)函数f (x )的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xx C ．f (x )＝x cos x D ．f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2[解析] 由题意可得，当x ＝0时函数有意义，故排除B ；由图象关于原点对称，知函数f (x )是奇函数，故排除D ；当x ＝π2时，y ＝0，故排除A ，所以选C.[答案] C14．(2017·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)＝ln(x＋m)的图象与g(x)的图象关于x＋y＝0对称，且g(0)＋g(－ln2)＝1，则m＝________.[解析]设点(x，y)在g(x)的图象上，因为函数f(x)的图象与g(x)的图象关于x＋y＝0对称，则(－y，－x)在f(x)的图象上，所以－x＝ln(－y＋m)，即y＝m－e－x，因此g(x)＝m－e－x.又因为g(0)＝m－1，g(－ln2)＝m－2，所以m－1＋m－2＝1，解得m＝2.[答案] 215．(2017·山东泰安模拟改编)已知函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)和函数g(x)＝sinπ2x，若f(x)与g(x)的图象有且只有3个交点，求a的取值范围．[解]由对数函数以及三角函数的图象，如图，可得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，f(9)>1，f(5)<1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，f(7)<－1，f(3)>－1，解得5<a<9或17<a<13.16．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋1x＋2的图象关于点A(0,1)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)＋ax，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．[解](1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．[延伸拓展](2017·江西赣州十四校联考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是边AA 1，CC 1上的中点，点M 是BB 1上的动点，过点E ，M ，F 的平面与棱DD 1交于点N ，设BM ＝x ，平行四边形EMFN 的面积为S ，设y ＝S 2，则y 关于x 的函数y ＝f (x )的图象大致是( )[解析] 由对称性可知，四边形EMFN 是菱形，所以S ＝12EF ×MN ，而EF ＝2，MN ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，所以S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12，即f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋1，故选A. [答案] A合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。
2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练5含解析
课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝Error!则f (5)＝( )A ．32B ．16C. D.12132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝，故选C.12[答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )2x －1A ．(－∞，0)∪B ．(－∞，2](12，2]C.∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)(－∞，12)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴∈(－∞，0)∪.2x －1(12，2][答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y ＝B ．y ＝15－x ＋1(12)x －1C ．y ＝1－xD ．y ＝(13)1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f＝＋，则f (x )＝( )(1＋x x )x 2＋1x 21x A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f＝＋＝2－＋1，令＝t ，得f (t )(1＋xx )x 2＋1x 21x (x ＋1x )x ＋1x x ＋1x ＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝的值域为[0，＋∞)，ax 2＋2ax ＋3则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝的值域为[0，＋∞)，ax 2＋2ax ＋3∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝的值域为________．1－x2x ＋5[解析] y ＝＝＝－＋.1－x2x ＋5－12(2x ＋5)＋722x ＋512722x ＋5∵≠0，∴y ≠－，722x ＋512∴函数y ＝的值域为.1－x 2x ＋5{y |y ≠－12}[答案] {y |y ≠－12}8．已知f＝x 2＋，则f (3)＝________.(x －1x )1x 2[解析] ∵f＝x 2＋＝2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)(x －1x )1x 2(x －1x )＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则Error!解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1]三、解答题10．求下列函数的值域：(1)y ＝；1－x 21＋x 2(2)y ＝；－2x 2＋x ＋3(3)y ＝x ＋＋1；1x (4)y ＝x ＋.4－x 2[解] (1)y ＝＝＝－1＋.1－x 21＋x 2－1－x 2＋21＋x 221＋x 2由1＋x 2≥1，得0<≤2，21＋x 2所以－1<－1＋≤1.21＋x 2故函数的值域为(－1,1]．(2)y ＝＝.－2x 2＋x ＋3－2(x －12)2＋258由0≤－22＋≤，得0≤y ≤.(x －12)258258524故函数的值域为.[0，524](3)当x >0时，x ＋≥2，当且仅当x ＝1时取等号，1x所以x ＋＋1≥3；1x 当x <0时，x ＋＝－≤－2，1x (－x ＋1－x )当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋＋1≤－1.1x 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2＝2cos θ＋＝2cos θ＋2sin θ4－4cos2θ＝2sin2(θ＋π4)由0≤θ ≤π，得≤θ＋≤，π4π45π4所以－≤sin≤1，－2≤y ≤2，22(θ＋π4)2故函数的值域为[－2,2]．2[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝Error!的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－1，12)C.D.[－1，12)(0，12)[解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝时，(1－2a )x ＋3a ＝不成立；当a >时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成123212立；当a <时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <.故选C.1212[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝Error!当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝Error!∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (1＋x )＝－.12x (x ＋1)2[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝.(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．[解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝，定义域为R ，符合要求；6(ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝，定义域不为R .6x ＋6②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴Error!⇔Error!⇒－≤a <1.511综合①②得a 的取值范围是.[－511，1](2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有Error!⇔Error!⇒－1<a ≤－.511②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝不合题意．6当a ＝－1时，f (x )＝的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实6x ＋6数a 的取值范围为.[－1，－511]16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ，亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0，∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－，b ＝1，故f (x )＝－x 2＋x .1212(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知，f (x )＝－x 2＋x ＝－(x －1)2＋≤，12121212则2n ≤，即n ≤.1214∵f (x )＝－(x －1)2＋的对称轴为x ＝1，1212∴当n ≤时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．14于是有Error!即Error!∴Error!又m <n ≤，∴Error!14故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝Error!g (x )＝Error!则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝Error!当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。
2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第二章 函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练(三)
课时跟踪训练(三)[基础巩固]一、选择题1．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2[解析] 对于D 选项，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤ 2，故D 错，易得A 、B 、C 正确．[答案] D2．命题“∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≥3”的否定为( ) A ．∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≤3 B ．∀x ∈N ，x 2＋2x ≤3C ．∃x 0∈N ，x 20＋2x 0<3D ．∀x ∈N ，x 2＋2x <3[解析] 命题“∃x 0∈N ，x 20＋2x 0≥3”的否定为“∀x ∈N ，x 2＋2x <3”．故选D.[答案] D3．(2017·云南玉溪一中第四次月考)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．p ∨q 为假D ．p ∧q 为真[解析] 在△ABC 中，若C >B ，根据大角对大边，可得c >b ，再由正弦定理边角互化，可得sin C >sin B ，反之也成立．所以在△ABC 中，C >B 是sin C >sin B 的充要条件，故命题p 是假命题．由a >b ，当c ＝0时，ac 2>bc 2不一定成立，但若ac 2>bc 2成立，则a >b 成立，所以a >b 是ac 2>bc 2的必要不充分条件，故命题q 是假命题．所以p ∨q 为假．故选C.[答案] C4．若命题“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则实数k 的取值范围是( )A ．(－4,0)B ．(－4,0]C ．(－∞，－4]∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4)∪[0，＋∞)[解析] 命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．[答案] B5．(2018·河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x 的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(綈q )，綈p ∨(綈q )是真命题，故选C.[答案] C6．(2017·安徽蚌埠质检)给出以下命题：①∀a ∈R ，函数y ＝x 3＋ax 2＋1不是偶函数；②∃a ∈R ，函数y ＝ax 2－x ＋1是奇函数；③∀m >0，函数g (x )＝mx |x |在R 上单调递增；④∃m >0，函数g (x )＝mx 2＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减．其中正确命题的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④[解析] 显然，命题①为真，命题②为假．对于命题③，由于y＝mx |x |＝⎩⎨⎧mx 2，x ≥0，－mx 2，x <0，所以当m >0时，y ＝mx |x |在R 上单调递增，命题为真；对于命题④，若y ＝mx 2＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递减，必有⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－1m ≤12，解得m ≤－2，故命题为假．综上可得，正确命题为①③.[答案] A7．(2017·福建福州外国语学校期中)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)[解析] ∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题．故选C.[答案] C 二、填空题8．(2017·安徽合肥一模)命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为____________________．[解析] 写命题的否定时，除结论要否定外，存在量词与全称量词要互换，因此命题：∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x2－ax ＋1≥0.[答案] ∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥09．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．[解析] 因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a ＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 10．(2018·甘肃兰州一中月考)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________．[解析] 当命题p 为真命题时，m ＋1≤0，解得m ≤－1.当命题q 为真命题时，Δ＝m 2－4×1×1<0，解得－2<m <2.当命题p ∧q 为真命题时，则有⎩⎨⎧m ≤－1，－2<m <2⇒－2<m ≤－1.所以命题p ∧q 为假命题时，m 的取值范围是(－∞，－2]∪(－1，＋∞)．[答案] (－∞，－2]∪(－1，＋∞)[能力提升]11．(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R,1<f (x 0)≤2”的否定形式是( )A ．∀x ∈R,1<f (x )≤2B ．∃x ∈R,1<f (x )≤2C ．∃x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2[解析] 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”．故选D.[答案] D12．(2017·安徽安庆二模)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是() A．p∧(綈q) B．(綈p)∧qC．p∧q D．(綈p)∨q[解析]对于命题p，当x0＝4时，x0＋1x0＝174>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A.[答案] A13．(2017·湖北黄冈二模)下列四个结论：①若x>0，则x>sin x恒成立；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln x0<0”．其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]对于①，令y＝x－sin x，则y′＝1－cos x≥0，则函数y ＝x－sin x在R上递增，则当x>0时，x－sin x>0－0＝0，即当x>0时，x>sin x恒成立，故①正确；对于②，命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确结论的个数为3，故选C.[答案] C14．(2017·甘肃高台一中第三次检测)设p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义．若綈p 为假命题，则实数t 的取值范围为________．[解析] 因为命题綈p 为假命题，所以命题p 为真命题．∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使函数g (x )＝log 2(tx 2＋2x －2)有意义等价于∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使tx 2＋2x －2>0成立，即∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使t >2x 2－2x 成立．令h (x )＝2x 2－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，则∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，使t >2x 2－2x 成立等价于t >h (x )min .因为h (x )＝2x 2－2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，所以当1x ＝12，即x ＝2时，h (x )min ＝－12，所以t >－12.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 15．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．[解] (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤1.因此，命题q 为真时，m ≤1.∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1得1<m ≤2；当p 假q 真时，由⎩⎨⎧m <1或m >2，m ≤1，得m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．[延伸拓展](2017·皖南名校4月联考)设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R ，如果命题p 或q 是真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)[解析] 若p 为真命题，则f ′(x )＝3x 2－a ≤0在区间[－1,1]上恒成立，即a ≥3x 2在区间[－1,1]上恒成立，所以a ≥3；若q 为真命题，则方程x 2＋ax ＋1＝0的判别式Δ＝a 2－4≥0，即a ≥2或a ≤－2.由题意知，p 与q 一真一假．当p 真q 假时，⎩⎨⎧a ≥3，－2<a <2，则a ∈∅；当p假q 真时，⎩⎨⎧a <3，a ≥2或a ≤－2，则a ≤－2或2≤a <3.综上所述，a ∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选B.[答案] B。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练5 Word版含解析
课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A ．32B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. [答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. [答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－128．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1. [答案] [0,1]三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号， 所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2 ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22，故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x 2 1<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．[解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1. 综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.(2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511. ②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意． 当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0. 又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。
2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第二章 函数的概念与基本初等函数课时跟踪训练(三十六)
课时跟踪训练(三十六)[基础巩固]一、选择题1．(2017·山西临汾一中)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )[解析]由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.[答案] C2．(2017·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)[解析] 由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)·(a －24)<0，所以－7<a <24.[答案] A3．(2017·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6[解析] 本题考查简单的线性规划．由约束条件画出可行域，如图．由z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z 2，当直线y ＝－x 2＋z2经过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧3x ＋y ＋5＝0，x ＋3＝0得A 点的坐标为(－3,4)．故z max ＝－3＋2×4＝5.故选C.[答案] C4．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)[解析] 本题考查线性规划中可行域的判断，最优解的求法． 不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2,1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.[答案] D5．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1[解析] 画出x ，y 约束条件限定的可行域，如图阴影区域所示，由z ＝y －ax 得y ＝ax ＋z ，当直线y ＝ax 与直线2x －y ＋2＝0或直线x ＋y －2＝0平行时，符合题意，则a ＝2或－1.[答案] D6．(2018·浙江重点中学联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1,5]B ．[2,6]C ．[3,10]D ．[3,11][解析] 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z＝3x －4y 的最小值为________．[解析] 本题考查简单的线性规划．画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)．可得目标函数z ＝3x －4y 在点A (1,1)处取得最小值，z min ＝3×1－4×1＝－1.[答案] －18．(2017·吉林省吉林市普通高中调研)已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是________．[解析] 由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C (0,2)，B (1,1)，D (1,2)．由z ＝OA →·OM →＝－x ＋y ，得y ＝x ＋z .由图可知，当直线y ＝x ＋z 分别过点C 和B 时，z 分别取得最大值2和最小值0，所以OA →·OM →的取值范围为[0,2]．[答案] [0,2]9．(2018·辽宁抚顺模拟)已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.[解析] 依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，－k 3.目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝－4k3＝8，解得k ＝－6.[答案] －6 三、解答题10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解] (1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，当其过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)z ＝ax ＋2y 仅在点C (1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．[能力提升]11．(2018·安徽皖南八校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5]C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5[解析] 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，作出可行域如图所示阴影部分．联立⎩⎨⎧x ＝2，x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，∴A (2，－1)．联立⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23， 令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u 2－12，由图可知，当直线y ＝x －u 2－12经过点A (2，－1)时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最小，u 最大，最大值为2×2－2×(－1)－1＝5；当y ＝x －u 2－12经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，直线y ＝x －u 2－12在y 轴上的截距最大，u 最小，最小值为2×13－2×23－1＝－53.∴－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)． [答案] C12．当x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －ay ≤2，x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，时，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．－12<a <1 C ．0≤a <1 D ．a <0[解析]先作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －4≥0表示的可行域(图略)，再作x －ay －2≤0，因为x －ay －2＝0过定点(2,0)，且x －ay －2≤0与前面可行域围成的区域是封闭区域，故实数a 的取值范围是－12<a <1.[答案] B13．(2017·湖北荆襄七校联考)某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x <6，则该学校今年计划招聘教师最多________人．[解析] 根据线性约束条件画出可行域，如图所示．易知目标函数是z ＝x ＋y ，注意到可行域的一条边界x ＝6是虚线，可知可行域内使得z 取得最大值的正整数解为(5,5)，所以z max ＝5＋5＝10，即学校今年计划招聘教师最多10人．[答案] 1014．(2017·江西上饶期末)若Ω为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的那部分区域的面积为________．[解析] 根据线性约束条件作出可行域，如图所示．可见当a 从－2连续变化到0时，动直线x ＋y ＝a 扫过Ω中的区域为三角形OAB .显然AC ⊥OB ，|OA |＝|OC |，所以S △OAB ＝12S △OAC ＝12×12×2×2＝1.[答案] 115．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．[解](1)由题意，得x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图(1)中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋13z ，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线．z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值 最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图(2)可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[延伸拓展](2017·江西高安中学调研)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3，2x －y ＋λ－2≥0表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．[1,2]C ．[2,4]D ．(2，＋∞)[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤3表示的是直线x ＝1和y ＝3分平面所得四个区域中的左下角那个区域．而不等式2x －y ＋λ－2≥0表示直线2x －y ＋λ－2＝0的右下方，由图可知，要使不等式组表示的平面区域经过四个象限，则应有λ－2>0⇒λ>2，故选D.[答案] D。
2019届高三数学(文)一轮复习：第二章 函数的概念与基本初等函数 5
课时跟踪训练(五)[基础巩固]一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (5)＝( )A ．32B ．16 C.12D.132[解析] f (5)＝f (5－3)＝f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝2－1＝12，故选C. [答案] C2．(2018·烟台模拟)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)[解析] ∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)， 则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴2x －1∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. [答案] A3．(2017·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝( )A ．3－cos2xB ．3－sin2xC ．3＋cos2xD ．3＋sin2x[解析] f (sin x )＝3－cos2x ＝2＋2sin 2x ，所以f (cos x )＝2＋2cos 2x ＝3＋cos2x .[答案] C4．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C5．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.[答案] C6．(2018·江西临川一中月考)若函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．(－∞，0)∪[3，＋∞)[解析] 令f (x )＝ax 2＋2ax ＋3，∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的值域为[0，＋∞)，∴f (x )＝ax 2＋2ax ＋3的函数值取遍所有的非负实数，∴a 为正实数，∴该函数图象开口向上，∴只需ax 2＋2ax ＋3＝0的判别式Δ＝(2a )2－12a ≥0，即a 2－3a ≥0，解得a ≥3或a ≤0(舍去)．故选B.[答案] B 二、填空题7．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12， ∴函数y ＝1－x 2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12 8．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2(x ≠0)，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11.[答案] 119．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1. [答案] [0,1]三、解答题10．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1； (4)y ＝x ＋4－x 2.[解] (1)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2.由1＋x 2≥1，得0<21＋x 2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1.故函数的值域为(－1,1]． (2)y ＝－2x 2＋x ＋3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋258. 由0≤－2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋258≤258，得0≤y ≤524. 故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524. (3)当x >0时，x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号， 所以x ＋1x ＋1≥3；当x <0时，x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，所以x ＋1x ＋1≤－1. 故函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(4)设x ＝2cos θ(0≤θ≤π)，则y ＝x ＋4－x 2 ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4 由0≤θ ≤π，得π4≤θ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，－2≤y ≤22，故函数的值域为[－2,22]．[能力提升]11．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] 选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |,2f (x )＝2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2x －2|x |,2f (x )＝2x －2|x |，故f (2x )＝2f (x )；选项C ，f (2x )＝2x ＋1,2f (x )＝2x ＋2，故f (2x )≠2f (x )；选项D ，f (2x )＝－2x,2f (x )＝－2x ，故f (2x )＝2f (x )．故选C.[答案] C12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 因为当x ≥1时， f (x )＝ln x ≥0, f (x )的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 的值域包含一切负数．当a ＝12时，(1－2a )x ＋3a ＝32不成立；当a >12时，(1－2a )x ＋3a >1＋a ，不成立；当a <12时，(1－2a )x ＋3a <1＋a .由1＋a ≥0，得a ≥－1.所以－1≤a <12.故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析] 由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 －2≤x ≤1，x 2 1<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．(2013·安徽卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________________.[解析] 当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－x (x ＋1)2.[答案] －x (x ＋1)215．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围．[解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1. 综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数，①当1－a 2≠0时有⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511. ②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意． 当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511. 16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0. 又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．[延伸拓展]设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x∈R ，(f ·g )(x )＝f [g (x )]．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )[解析] 对于A ，(f ·f )(x )＝f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )>0，f 2(x )，f (x )≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.[答案] A。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练9 Word版含解析
课时跟踪训练(九)【基础巩固]一、选择题1、已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (x )的值域为( )A 、【9,81]B 、【3,9]C 、【1,9]D 、【1,＋∞)【解析] 由题得32－b ＝1,∴b ＝2,∴f (x )＝3x －2,又x ∈【2,4],∴f (x )∈【1,9],选C.【答案] C2、(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则f (x )( )A 、是奇函数,且在R 上是增函数B 、是偶函数,且在R 上是增函数C 、是奇函数,且在R 上是减函数D 、是偶函数,且在R 上是减函数【解析] 因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,且定义域为R ,所以f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x ),即函数f (x )是奇函数、又y ＝3x在R 上是增函数,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数,所以f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数、故选A.【答案] AA 、－2a 3bB 、－8a bC 、－6a bD 、－6ab【解析] ＝－6ab ,故选C.【答案] C4、设a ＝40.8,b ＝80.46,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A 、a >b >cB 、b >a >cC 、c >a >bD 、c >b >a【解析] ∵a ＝40.8＝21.6,b ＝80.46＝21.38,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2＝21.2,1.6>1.38>1.2,y ＝2x 为R 上的增函数,∴a >b >c . 【答案] A5、函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的单调增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 B 、(－∞,－1]C 、【2,＋∞)D 、⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2【解析] 由－x 2＋x ＋2≥0,解得－1≤x ≤2,故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12的定义域为【－1,2]、根据复合函数“同增异减”原则,得所求增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【答案] D6、(2017·山东潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－43 ,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－ 25 ,c ＝⎝⎛⎭⎪⎫125－13 ,则( )A 、a <b <cB 、b <c <aC 、c <b <aD 、b <a <c【解析] 因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－43＝243,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－25＝245,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－13＝523,显然有b <a ,又a ＝423 <5 23＝c ,故b <a <c .【答案] D 二、填空题 7、不等式2－x 2＋2x>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为________、 【解析] 2－x 2＋2x>2－x －4,∴－x 2＋2x >－x －4,即x 2－3x －4<0,∴－1<x <4.【答案] {x |－1<x <4}8、已知函数f (x )＝a －x (a >0,且a ≠1),且f (－2)>f (－3),则a 的取值范围是________、【解析] 因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ,且f (－2)>f (－3),所以函数f (x )在定义域上单调递增, 所以1a >1,解得0<a <1. 【答案] (0,1) 三、解答题9、若函数f (x )＝a x －1(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是【0,2],则实数a ＝________.【解析] 当a >1时,f (x )为增函数,∴⎩⎨⎧a 0－1＝0a 2－1＝2,∴a ＝3；当0<a <1时,f (x )为减函数,∴⎩⎨⎧a 0－1＝2a 2－1＝0无解,故a ＝ 3. 【答案]310、化简下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23 －3π0＋3748；【解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25912 ＋10.12＋⎝⎛⎭⎪⎫6427－23 －3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.【能力提升]11、(2017·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)＝19,则f (x )的单调递减区间是( )A 、(－∞,2]B 、【2,＋∞)C 、【－2,＋∞)D 、(－∞,－2]【解析] 由f (1)＝19,得a 2＝19,解得a ＝13或a ＝－13(舍去),即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞,2]上递减,在【2,＋∞)上递增,所以f (x )在(－∞,2]上递增,在【2,＋∞)上递减、【答案] B12、(2017·河南安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0,且a ≠1),如果以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上,那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A 、1B 、aC 、2D 、a 2【解析] ∵以P (x 1,f (x 1)),Q (x 2,f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上, ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ,∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1.13、(2017·四川巴中检测)定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ,给出如下结论：①f (x )＝e x －e －x2且0<f (1)<g (2)；②∀x ∈R ,总有【g (x )]2－【f (x )]2＝1；③∀x ∈R ,总有f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝0；④∃x 0∈R ,使得f (2x 0)>2f (x 0)g (x 0)、其中所有正确结论的序号是( )A 、①②③B 、②③C 、①③④D 、①②③④【解析] 由题意得,⎩⎨⎧f (x )＋g (x )＝e x ，f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝e －x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x＋e －x2.①：0<f (1)＝e －e －12<e 2<e 2＋e －22＝g (2),故①正确；②：【g (x )]2－【f (x )]2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫e x ＋e －x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e x －e －x 22＝1,故②正确； ③：f (－x )g (－x )＋f (x )g (x )＝－f (x )g (x )＋f (x )g (x )＝0,故③正确；④2f (x 0)g (x 0)＝2·＝f (2x 0),故④错误,即正确的结论为①②③,故选A.14、(2018·河北保定联考)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0且a ≠1)对应的图象如图所示,那么g (x )＝__________.【解析] 函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12,所以a ＝12.当x <0时,g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x .【答案] －2x15、(2017·陕西西安二模)若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0,a ≠1)的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13,则函数f (x )在【0,3]上的最小值等于________、 【解析] 令x －2＝0得x ＝2,且f (2)＝1－2a ,所以函数f (x )的图象恒过定点(2,1－2a ),因此x 0＝2,a ＝13,于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2－23,f (x )在R 上单调递减,故函数f (x )在【0,3]上的最小值为f (3)＝－13.【答案] －1316、(2017·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ,且e 为自然对数的底数)、(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ,使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在,求出t ；若不存在,请说明理由、【解] (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ,∴f ′(x )＝e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ,∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立, ∴f (x )在R 上是增函数、又∵f (x )的定义域为R ,且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x ), ∴f (x )是奇函数、(2)存在、由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数,则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立,⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立, ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立,⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立,⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0,又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0,∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12,使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立、【延伸拓展]设【x ]表示不超过实数x 的最大整数,如【2.6]＝2,【－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0,且a ≠1),那么函数f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (x )－12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (－x )－12的值域为( )A 、{－1,0,1}B 、{0,1}C 、{1,－1}D 、{－1,0}【解析] ∵g (x )＝a x a x ＋1,∴g (－x )＝1a x ＋1,∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1,g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时,0<g (－x )<12,∴f (x )＝－1. 当0<g (x )<12时,12<g (－x )<1,∴f (x )＝－1. 当g (x )＝12时,g (－x )＝12,∴f (x )＝0. 综上,f (x )的值域为{－1,0},故选D. 【答案] D。
高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第二章 函数的概念与基本初等函数 课时跟踪训练4 Word版含解析
课时跟踪训练(四)【基础巩固】一、选择题1、如图,是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象、若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行走的路线可能是( )【解析】 据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加,在第二段时间内,张大爷离家的距离不变,第三段时间内,张大爷离家的距离随时间的增加而减少,最后回到始点位置,对比各选项,只有D 选项符合条件、【答案】 D2、已知函数f (x )＝|x －1|,则下列函数中与f (x )相等的函数是( ) A 、g (x )＝|x 2－1||x ＋1|B 、g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－1||x ＋1|，x ≠－1，2，x ＝－1C 、g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，1－x ，x ≤0D 、g (x )＝x －1【解析】 ∵g (x )＝⎩⎨⎧|x 2－1||x ＋1|＝|x －1|，x ≠－1，2，x ＝－1与f (x )的定义域和对应关系完全一致,故选B.【答案】 B3、(2018·河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 C 、(－1,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D 、(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 【解析】要使函数有意义,需满足⎩⎨⎧1－2x >0，x ＋1≠0，解得x <12且x ≠－1,故函数的定义域为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 【答案】 D4、(2017·山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ,则f (2)等于( )A.12 B 、e C.1eD 、－1【解析】 解法一：令1－ln x ＝t ,则x ＝e 1－t,于是f (t )＝1e 1－t ,即f (x )＝1e 1－x ,故f (2)＝e. 解法二：由1－ln x ＝2,得x ＝1e ,这时1x ＝11e ＝e,即f (2)＝e.【答案】 B5、(2018·四川成都检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x >2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f (x ＋5)，x <－2，若f (2018)＝0,则a ＝( )A 、0 B.12 C 、－12D 、－2【解析】 由于f (2018)＝f (－2018)＝f (－404×5＋2)＝f (2)＝2a ＋1＝0,故a ＝－12.【答案】 C6、已知实数a <0,函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x <1，－x ，x ≥1，若f (1－a )≥f (1＋a ),则实数a 的取值范围是( )A 、(－∞,－2】B 、【－2,－1】C 、【－1,0)D 、(－∞,0)【解析】 当a <0时,1－a >1,1＋a <1,所以f (1－a )＝－(1－a )＝a －1,f (1＋a )＝(1＋a )2＋2a ＝a 2＋4a ＋1, 由f (1－a )≥f (1＋a )得a 2＋3a ＋2≤0,解得－2≤a ≤－1,所以a ∈【－2,－1】,故选B. 【答案】 B7、若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 【解析】 ∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ,∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时,mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意； 当m ≠0时,Δ＝16m 2－12m <0,解得0<m <34.综上,0≤m <34,即m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.【答案】 D 二、填空题8、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f (x －3)＋2，x >0，则f (9)＝________.【解析】 f (9)＝f (6)＋2＝f (3)＋4＝f (0)＋6＝0＋2＋6＝8. 【答案】 89、(2017·江苏泰州检测)已知函数f (x )＝3－2x ＋1的定义域为A ,值域为B ,则A ∩B ＝________.【解析】 由题意,知A ＝R ,B ＝(1,＋∞),所以A ∩B ＝(1,＋∞)、 【答案】 (1,＋∞)10、(2017·山东潍坊检测)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞,则实数a 的值为________、 【解析】 由函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞,易知当x ＝12时,1－a 2x ＝0,即1－a2＝0,所以a ＝ 2.【答案】2【能力提升】11、(2017·山东潍坊二模)函数f (x )＝1ln (5－2x )＋e x －1的定义域为( )A 、【0,＋∞)B 、(－∞,2】C 、【0,2】D 、【0,2)【解析】要使函数有意义,应有⎩⎨⎧ln (5－2x )>0，e x－1≥0，解得0≤x <2,故定义域为【0,2),选D. 【答案】 D12、(2017·河南新乡调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ，x ≤10，－lg (x ＋2)，x >10，若f (8－m 2)<f (2m ),则实数m 的取值范围是( )A 、(－4,2)B 、(－4,1)C 、(－2,4)D 、(－∞,－4)∪(2,＋∞)【解析】 由函数f (x )的图象可知函数f (x )在R 上单调递减,因此由f (8－m 2)<f (2m )可得8－m 2>2m ,解得－4<m <2.故选A.【答案】 A13、已知函数f (x )的定义域为【3,6】,则函数y ＝f (2x )log 12(2－x )的定义域为________、【解析】 要使函数y ＝f (2x )log 12(2－x )有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，log 12(2－x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1，解得32≤x <2,故函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 14、(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________、 【解析】 由题意,当x >12时,f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>1恒成立,即x >12满足题意；当0<x ≤12时,f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋x －12＋1>1恒成立,即0<x ≤12满足题意；当x ≤0时,f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1>1,解得x >－14,即－14<x ≤0.综上,x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞15、如图,点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点、当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时,点P 经过的路程为x ,△APM 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式、【解】 利用分段函数建立关系式、当点P 在线段AB 上,即0<x ≤1时,y ＝12x ；当点P 在线段BC 上,即1<x ≤2时,y ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1×1－12(x －1)×1－12×(2－x )×12＝14(3－x )、所以所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x ≤1，14(3－x )，1<x ≤2.【延伸拓展】(2018·安徽合肥模拟)设集合A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12,B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1,函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ,且f 【f (x 0)】∈A ,则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤14，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，38 【解析】 因为x 0∈A ,即0≤x 0<12, 所以f (x 0)＝x 0＋12,12≤x 0＋12<1, 即12≤f (x 0)<1,即f (x 0)∈B ,所以f 【f (x 0)】＝2【1－f (x 0)】＝1－2x 0. 因为f 【f (x 0)】∈A , 所以0≤1－2x 0<12,解得14<x 0≤12.又因为0≤x 0<12, 所以14<x 0<12,故选C. 【答案】 C。
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课时跟踪训练(九)
[基础巩固] 一、选择题
1．已知f(x)＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A ．[9,81]
B ．[3,9]
C ．[1,9]
D ．[1，＋∞)
[解析] 由题得32－b ＝1，∴b ＝2，∴f(x)＝3x －2，又x ∈[2,4]，∴f(x)∈[1,9]，选C.
[答案] C
2．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
，则f(x)( )
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
[解析] 因为f(x)＝3x
－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f(－x)＝3－x
－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13x
－3x
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，
y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f(x)＝3x
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A. [答案] A
A ．－2a 3b
B ．－8a b
C ．－6a b
D ．－6ab
[解析]
＝－6a b
，
故选C.
[答案] C
4．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a>b>c
B ．b>a>c
C ．c>a>b
D ．c>b>a
[解析] ∵a ＝40.8
＝21.6
，b ＝80.46
＝2
1.38
，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1.2
＝21.2,1.6>1.38>1.2，y ＝
2x
为R 上的增函数，
∴a>b>c. [答案] A
5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫
1
2的单调增区间是( ) A.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，12
B ．(－∞，－1]
C ．[2，＋∞)
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2 [解析] 由－x 2＋x ＋2≥0，解得－1≤x ≤2，故函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
1
2的定义域为[－1,2]．根据复合函数“同增异减”原则，
得所求增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2.
[答案] D
6．(2017·山东潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－43 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－ 25
，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫125－13 ，则
( )
A ．a<b<c
B ．b<c<a
C ．c<b<a
D ．b<a<c
[解析] 因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－43 ＝2 43 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－ 25 ＝245 ，c ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫125－13 ＝5 23
，
显然有b<a ，又a ＝4
23
<5
23
＝c ，故b<a<c.
[答案] D 二、填空题 7．不等式2
－x 2＋2x
>⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋4的解集为________． [解析] 2
－x 2＋2x
>2－x －4，∴－x 2＋2x>－x －4，即x 2－3x －4<0，∴－1<x<4.
[答案] {x|－1<x<4}
8．已知函数f(x)＝a －x (a>0，且a ≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a 的取值范围是________．
[解析] 因为f(x)＝a －x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a x
，
且f(－2)>f(－3)，
所以函数f(x)在定义域上单调递增， 所以1
a >1，解得0<a<1.
[答案] (0,1) 三、解答题
9．若函数f(x)＝a x －1(a>0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.
[解析] 当a>1时，f(x)为增函数，
∴⎩⎨⎧
a 0
－1＝0a 2
－1＝2
，∴a ＝3；
当0<a<1时，f(x)为减函数，∴⎩⎨⎧
a 0
－1＝2
a 2
－1＝0
无解，。