高考数学讲义集合的概念及其关系

一、 集合的概念1． 集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2． 集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、 集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,}L2． 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3． 常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作*N 或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ．三、 集合之间的关系1． 若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B（或B A ⊂）；2． 简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3． 真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B Ü（或B A Ý）4． 相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =集合的概念及其关系知识讲解5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅Ü）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅Ü ④显然，0∉∅，0{}∉∅ 6． 子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n -题型一、元素与集合之间的关系 【例1】 用符号”∈“或”∉“填空（1）0______N 5______N 16N （2）1______,π_______,2-Q Q（32323-+{}|6,,x x a b a b =∈∈Q Q【练一练】用适当的符号填空（1{}3|2x x ≤ （2）()(){}21____,|1x y y x =+，（3）{}32|_______52+≤+x x ，【例2】 已知{|2,}N P x x k x =<<∈，若集合P 中恰有3个元素，求k ．题型二、集合的性质【例3】 在“①难解的题目；②方程210x +=在实数集内的的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能组成集合的是（ ） A ．②③B ．①③C ．②④D ．①②④【练一练】分析下列各组对象能否构成集合：（1）比2008大的几个数；（2）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象上的若干个点； （3）正比例函数y x =与反比例函数1y x=-的图象的交点； （4）面积比较小的三角形．【例4】 已知集合{}S a b c =，，中的三个元素可构成ABC ∆的三条边长，那么ABC ∆一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【练一练】已知集合()(){}210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为题型三、集合相等【例5】 设R a b ∈，，集合{1}{0}ba b a b a+=，，，，，则b a -=（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-题型四、集合的表示【例6】 方程组2219x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集是（ ） A ．()54，B ．()54-，C ．(){}54-，D ．(){}54-，． 【例7】 已知集合8|6N N A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎭⎩，试用列举法表示集合A ．【练一练】用列举法表示集合：10,1M mm m ⎧⎫=∈∈=⎨⎬+⎩⎭Z Z 题型五、集合之间的关系 【例8】 用适当的符号填空（1）{1}___2{|320}x x x -+= （2）{1,2}___2{|320}x x x -+=（3）{|2,}x x k k =∈N ___{|4,}N x x k k =∈ （4）∅___2{|20}R x x ∈+=A BB A A B A B A ． B ．C ．D ． 【练一练】若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X ∅∈D ．{}0X ⊆【例9】 设集合，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）．【练一练】设集合1{|}24Z m P x x m ==+∈，，1{|}42Z m Q x x m ==+∈，，则（ ） A ．P Q = B ．P Q ⊂≠ C ． Q P ⊂≠ D ．P Q =∅I题型六、集合中的分类讨论【例10】已知集合2{1}P x x ==|，集合{1}Q x ax ==|，若Q P ⊆，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．0,1或1-【练一练】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值．【例11】已知集合，{|121}B x m xm =++剟，若，求的取值范围．题型七、子集的个数【例12】集合{}a b c ，，的真子集共有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个【练一练】已知集合2{|310}A x x x =+-=，则集合A 的子集有 个【例13】集合{}101A =-，，，A 的子集中含有元素0的子集共有（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【练一练】已知集合{1234}A ⊂≠，，，，且A 中至少含有一个奇数，这样的集合A 有（ ） A ．13个 B ．12个 C ．11个 D ．10个1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z 2{3100}A x x x =|--≤B A ⊆m【例14】求满足条件{12}A ，Ü{12345}，，，，的集合A 的个数．【练一练】{}a b c ，，ÜA Ü{}a b c d e f ，，，，，，求满足条件的A 的个数．【练1】 用适当的符号填空：已知{|32,}Z A x x k k ==+∈，{|61,}Z B x x m m ==-∈，则有：17 A ； －5 A ； 17 B ．【练2】 设集合11{|,}24Z A x x k k ==+∈，若29=x ，则下列关系正确的是（ ）A ．x A ⊆B ．A x ∈C ．A x ∈}{D ．{}x A Ú【练3】 下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合；（3）36110.5242-，，，，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}|0x y xy x y R ≤∈，，，是指第二和第四象限内的点集 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个【练4】 求集合2{,2,}x x x -中的元素x 的取值范围．【练5】 方程组⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是（ ）A ．{0，1}B ．(0，1)C ．(){}0,1x y x y ==，或 D ．{(0，1)} 【练6】 已知集合2{|8160}A x kx x =-+=只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A ．【练7】 下列说法中，正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．∅没有子集；C ．任何集合必有一个真子集；随堂练习D ．∅是任何集合的子集；【练8】 若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且M T ⊇．求实数m 的取值范围．【练9】 设集合{}2|1,,Z A a a n n ==+∈集合{}2|45,Z B b b k k k ==-+∈，试判断A 与B 的关系．【练10】 集合*{|5}N pA t t p q p q q==+=∈，，、所有真子集个数（ ） A ．3 B ．7 C ．15 D ．31【练11】 已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围．【练12】 同时满足{1}{12345}A ⊂⊂≠≠，，，，，且A 中所有元素之和为奇数的集合A 的个数（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【练13】 已知集合{}|523*,N M x x =--∈则M 的所有非空真子集的个数是（ ）．A ．254B ．255C ．510D ．511【题1】 下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N N a b ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【题2】 设集合{234}A =，，，{246}B =，，，若x A ∈且x B ∉，则x 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【题3】 已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围【题4】 由实数a ，a -，a 所组成的集合里，所含元素个数最多．．有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【题5】 设集合2{40}A x x x =|+=，22{|2(1)10}R B x x a x a a =+++-=∈，，若B A ⊂≠，求实数a 的值．课后作业。