新2021年高考数学专题讲义第57讲 二项式定理(解析版)
高中数学《二项式定理》课件
03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程
2021年高考数学总复习课时作业(五十七)第57讲二项式定理理
2021年高考数学总复习课时作业（五十七）第57讲二项式定理理基础热身1.[2021·丽水模拟]二项式(x+2)7的展开式中含x5项的系数是 ()A.21B.35C.84D.2802.若(1+2x)n的展开式中,x2的系数是x系数的7倍,则n的值为()A.5B.6C.7D.83.[2021·吉林调研]+n的展开式中,各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为B,若=32,则n=()A.5B.6C.7D.84.[2021·长沙长郡中学月考]2-(1-2x)4的展开式中x2的系数为.5.[2021·东北育才学校月考] (3-x)n的展开式中各项系数之和为64,则展开式中x5的系数为.能力提升6.[2021·石家庄三模]x+2x-5的展开式的常数项为()A.120B.40C.-40D.807.[2021·嘉兴五校联考]x2-x+6的展开式中,x6的系数为 ()A.240B.241C.-239D.-2408.[2021·牡丹江第一中学期中]若(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a n(x-1)n,a0+a1+…+a n=243,则(n-x)n展开式的二项式系数之和为()A.16B.32C.64D.10249.[2021·福州一中质检]“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年,图K57-1是三角形数阵,记a n为图中第n行各数之和,则a5+a11的值为()图K57-1A.528B.1020C.1038D.104010.已知(2+ax)(1-2x)5的展开式中,含x2项的系数为70,则实数a的值为()A.1B.-1C.2D.-211.若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则= .12.[2021·黄陵中学模拟]若(x-1)5=a5(x+1)5+a4(x+1)4+a3(x+1)3+a2(x+1)2+a1(x+1)+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= .13.[2021·盘锦二模]在1-x+9的展开式中,含x3项的系数为.难点突破14.(5分)已知n为满足S=a++++…+(a≥3)能被9整除的正数a的最小值,则x-n的展开式中,二项式系数最大的项为()A.第6项B.第7项C.第11项D.第6项和第7项15.(5分)[2021·西安模拟]若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.课时作业(五十七)1.C[解析] 二项式(x+2)7的展开式中含x5项的系数为×22=84.故选C.2.D[解析] (1+2x)n的展开式的通项为T r+1=(2x)r=2r x r,∵x2的系数是x系数的7倍,即22=7×2,即22·=7×2·n,∴n=8.3.A[解析] 令x=1,得各项系数之和A=4n,又二项式系数之和B=2n,故==32,解得n=5,故选A.4.80[解析] 展开式中x2的系数为2(-2)2-(-2)3=48+32=80.5.-18[解析] (3-x)n的展开式中各项系数之和为64,令x=1,则2n=64,解得n=6,则展开式中x5的系数为×3×(-1)5=-18.6.B[解析] 展开式的常数项为22×(-1)3+23×(-1)2=-40+80=40,选B.7.C[解析] x2-x+6=x6x+-16,因此展开式中x6的系数为(-1)6+22×(-1)1=-239.故选C.8.B[解析] 在(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a n(x-1)n中,令x=2,可得a0+a1+a2+…+a n=3n=243,解得n=5,因此(n-x)n=(5-x)5,其展开式的二项式系数之和为25=32,故选B.9.D[解析] a5=++++=24=16,a11=+++…+=210=1024,∴a5+a11=1040,故选D.10.A[解析] (2+ax)(1-2x)5=2(1-2x)5+ax(1-2x)5,(1-2x)5展开式的通项为T r+1=15-r×(-2x)r=(-2)r x r.取r=2,含有x2的项为2×(-2)2x2=80x2,取r=1,含有x2的项为ax(-2)1x=-10ax2,结合题意由80-10a=70,解得a=1.11.-2[解析] a3=·(-2)3=-80,a2=·(-2)2=40,因此=-2.12.31[解析] 令x=-1,可得a0=-32;令x=0,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1.因此a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-1+32=31.13.-84[解析] 因为(1-x)+9=(1-x)9+(1-x)8+…+,因此x3项只能在(1-x)9=(1-x)9中显现,其展开式的通项为T r+1=(-x)r,可知x3的系数为(-1)3=-84.14.B[解析] 由于S=a++++…+=a+227-1=89+a-1=(9-1)9+a-1=×99-×98+…+×9-+a-1=9×(×98-×97+…+)+a-2,a≥3,因此n=11,从而x-11的展开式中的系数与二项式系数只有符号差异,又中间两项的二项式系数最大,中间两项为第6项和第7项,且第6项系数为负,因此第7项系数最大.15.1[解析] 由题意,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=(2+)4,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=(-2+)4,因此(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4×(-2+)4=[(2+)×(-2+ )]4=1.。
2021高考北京版数学教师用书(课件)10.2 二项式定理(讲解部分)
中x3y3的系数为-40+80=40.
答案 (1)C (2)C
方法技巧
方法1 求展开式中的特定项
求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1= Cknan-k·bk的特点,一般需要 建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n). (1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:即该项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方 程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.
答案 -160
方法2 二项式系数与项的系数
1.二项式系数与项的系数是不同的两个概念,二项式系数是指 C0n, C1n,…, Cnn,
它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量
外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,也与a,b的值有关,如(a+bx)n的展 开式中,第k+1项的二项式系数是 Ckn ,而项的系数是 Ckn an-kbk.
1.二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有n+1项, Crnan-rbr是第r+1项.即r+1是项数, Crn an-rbr是项. (2)通项是Tr+1= Crn an-rbr(r=0,1,2,…,n).其中含有Tr+1,a,b,n,r五个元素,只要知道 其中四个即可求第五个元素.
2.二项式系数与展开式项的系数的异同
2x2
-
1 x
7
的展开式的通项为Tr+1= C7r
(2x2)7-r·
-
1 x
r
=(-1)r·27-rC 7r
考点35二项式定理（讲解）（解析版）
考点35二项式定理【思维导图】一项式定虔（・♦姻咯♦…'"，_・C5kn）云术1敷的组杞Y6・7v丸，smr政用-iJE^irWWft^C,皿M砖为负；⑴WWKir: 7^・CV*①■58210为0二项式景致升一州.心眼u.ci・5.y・r ■NM1卜3・末等蹈第牌个一#果■［棚等・・。
i:'g”号'N.Ji犬的，■人＜1.怎u*m，・忡而的一沔式，■■人力分ent金*可由：衣啄。
♦"eg n）»ww式中与特回we美的■的壬■方A:砌（法①emMWD■♦b.C■虞■《-•6）与cWHKK；②幅疆二映直建m出【（八«.Cf的（耕式J5SM!:①弄3W卸*®与"'的期式中的■畋》0―相"利的④把由后的项合并即可呷wi*wp瑛ms美・.sa=：»a方溢•FKT MaWTtOBit舞艳・3•”.（特•<TS b.«etjRlt7»g哄gg—•■•-次罕»t Hnmweeewit cwma:【常见考法】考点一指定项系数1.展开式中」r项的系数为（）X）XA.10B.5C.-10D.一5【答案】C（解析】（1-i）5 '.匚匚眉项公式为A=0（—1）—t・=_3，时个r=3，x故展开式中号项的系数为-C；=-10,故选：C.2.若（尸+色）的展开式中/的系数为150,则,2=（）A.20B.15C.10D.25【答案】C【解析】由己知得A=C：（r）ig、|故'l ir=2时，12-3/«=6.于是有7；=C^V=150x6,则〃2=]o.故选：c103.在I1+X+的展开式中，『的系数为（A.10B.30C.45D.120【答案】C【解析】［1+戏餐『10 =(,+x)^-2ima=隽（1+对。
+。
（山），土+席（心）8土+...+徭（1+打土人人通10的展开式中，X2的系数即为(1+4°的F(X(l+x)10展开式的通项为7；引=0'1，令10-r=2,故r=8,所以J的系数为篇=45.故选：C.4.若曲线)，=3ln(x+l)在x=l处的切线斜率为。
二项式定理及应用ppt课件
4．已知二项式(x－1x)n的展开式中含x3的项 是第4项，则n的值为________．
【解析】 ∵通项公式Tr＋1＝Crn(－1)rxn－2r， 又∵第4项为含x3的项， ∴当r＝3时，n－2r＝3，∴n＝9.
• 【答案】 9
5．若(x2＋
1 ax
)6的二项展开式中x3的系数为
联立①②得
a1＋a3＋…＋a99＝(2－
3)100－(2＋ 2
3)100 .
(3)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋… ＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋
a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3 ＋…＋a98－a99＋a100) ＝(2－ 3)100(2＋ 3)100＝1.
52，则a＝________(用数字作答)．
【解析】 Tr＋1＝Cr6a－rx12－3r， 当12－3r＝3时，r＝3，∴C63a－3＝52，∴a＝2.
• 【答案】 2
求特定的项或特定项的系数
已知在(3 x－ 1 )n的展开式中，第6 3
2x 项为常数项． (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．
(4)方法一：∵展开式中，a0，a2， a4，…，a100大于零，而a1，a3，…，a99小 于零，
∴原式＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋
a100 ＝(2＋ 3)100.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|， 即(2＋ 3x)100展开式中各项的系数和， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝(2＋ 3)100.
• 【思路点拨】 本题给出二项式及其二项展开式求各系
第57讲 二项式定理(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第57讲 二项式定理一、课程标准1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾二、基础知识回顾1. 二项式定理公式：(a ＋b)n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) 这个公式表示的定理叫做二项式定理．在上式中右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数C k n (k ＝0，1，…，n )叫做二项式系数，式中的C k n a n －k b k 叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即T k ＋1＝C k n an－kb k ．2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为__n ＋1__．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.(3)字母a 按__降幂__排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按__升幂__排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从__C 0n __，C 1n ，一直到C n －1n ，__C nn __．3. “杨辉三角”与二项式系数的性质(1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．(2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝__C n －mn__．(3)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐__增大__；当k ＞n ＋12时，二项式系数逐渐__减小__．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数最大．(4)各二项式系数的和：(a ＋b)n 的展开式的各项二项式系数之和为__2n __，即C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝__2n __. (5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C 0n ＋C 2n ＋…＝__C 1n ＋C 3n ＋…__＝__2n －1__． 三、自主热身、归纳总结1、(1＋2x)5的展开式中，x 2的系数为( )A . 10B . 20C . 25D . 40 【答案】 D【解析】 T r ＋1＝C r 5(2x)r ＝C r 52r x r ，当r ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.故选D . 2、若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A . 6B . 12C . 20D . 32 【答案】 C【解析】二项式系数之和2n＝64，∴n ＝6，T r ＋1＝C r 6·x6－r·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 6x 6－2r，当6－2r ＝0，即当r ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.故选C .3、(x －y)n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A . C m nB .C m ＋1n C . C m －1n D . (－1)m －1C m －1n【答案】 D【解析】 (x －y)n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n(－y)m －1x n－m ＋1，∴系数为C m －1n(－1)m －1.故选D .4、(多选)已知(3x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，设(3x －1)n 的展开式的二项式系数之和为S n ，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则( )A ．a 0＝1B ．T n ＝2n －(－1)nC ．n 为奇数时，S n ＜T n ；n 为偶数时，S n ＞T nD ．S n ＝T n 【答案】 BC【解析】由题意知S n ＝2n ，令x ＝0，得a 0＝(－1)n ，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，所以T n ＝2n －(－1)n ，故选B 、C.5、(一题两空)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则m ＝________，展开式中1x 3的系数是________． 【答案】 7 21【解析】由题意可知2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x3的系数为C 6737－6(－1)6＝21. 6、(2020·合肥模拟)(x －2)3(2x ＋1)2的展开式中x 的奇次项的系数之和为________． 【答案】 9【解析】依题意得，(x －2)3(2x ＋1)2＝(x 3－6x 2＋12x －8)·(4x 2＋4x ＋1)＝4x 5－20x 4＋25x 3＋10x 2－20x －8，所以展开式中x 的奇次项的系数之和为4＋25－20＝9.11．若⎝⎛⎭⎫x ＋12x n (n ≥4，n ∈N *)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n ＝________.【答案】 8【解析】⎝⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n x n －r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝C r n 2－r x n －2r ，则前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8，由其依次成等差数列，得n ＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.四、例题选讲考点一 二项展开式中特定项及系数问题 例1、（1）二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的展开式中，x 项的系数是( )A.152 B ．－152C ．15D ．－15（2）(2019·天津高考)⎝⎛⎭⎫2x －18x 38的展开式中的常数项为________． （3）(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【答案】（1）B （2）28（3）162 5【解析】：（1）选 ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 10的二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫x 210－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－1)r 22r －10C r 10x 23- 5r，令5－3r 2＝12，得r ＝3，所以x 项的系数是(－1)3·2－4·C 310＝－152.故选B. （2）：⎝⎛⎭⎫2x －18x 38的通项为T r ＋1＝C r 8()2x 8－r ·⎝⎛⎭⎫－18x 3r ＝C r 828－r ⎝⎛⎭⎫－18r ·x 8－4r .令8－4r ＝0，得r ＝2，∴ 常数项为T 3＝C 2826⎝⎛⎭⎫－182＝28. （3）由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r ·x r ，r ∈N,0≤r ≤9， 当项为常数项时，r ＝0，T 1＝C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数，可得r ＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.变式1、已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【解析】 利用通项确定n 的值，进而根据指定项的特征求解．通项公式为T r ＋1＝C r n ·x n －r 3(－3)r ·x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3. (1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r3＝0，解得n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12×(10－6)＝2，∴x 2项的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z)，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ，且0≤r ≤10，∴k 应为偶数，∴k ＝2，0，－2，即r ＝2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236，295 245x －2.变式2、求二项展开式中的特定项或指定项的系数 (1)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． (2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________． 【答案】(1)6 (2)30【解析】(1)由题意可知T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r 424C (1)rr rx -＝－，令4－r 2＝1解得r ＝2，所以展开式中 x 的系数为C 24(－1)2＝6．(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解．(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2．其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5．所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30．方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为 C 25C 23＝30．方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可． 考点二、 二项式系数的和或各项系数的和的问题例2、在(2x －3y )10的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 各项系数的和；(3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5) x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．【解析】设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10． 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210．(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1．(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29． (4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510，∴奇数项系数和为1＋5102； ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510，∴偶数项系数和为1－5102． (5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102．变式1、(1)(2020·合肥模拟)已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64(2)若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝( ) A ．0 B ．1 C ．32D ．－1(3)在(1＋x )n (x ∈N *)的二项展开式中，若只有x 5的系数最大，则n ＝________. 【答案】(1)D (2)A (3)10【解析】 (1)由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135，C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64. (2)由(1－x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(－x )r ＝C r 5(－1)r x r，可知a 1，a 3，a 5都小于0.则|a 0|－|a 1|＋|a 2|－|a 3|＋|a 4|－|a 5|＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5.在原二项展开式中令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.(3)二项式中仅x 5的系数最大，其最大值必为C n 2n ，即得n2＝5，解得n ＝10.变式2、对任意实数x ，有()923901239(23)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -+-+-+-++-═.则下列结论成立的是（ ）A ．2144a =-B ．01a =C ．01291a a a a +++⋯+=D ．9012393a a a a a -+-+-=-【答案】ACD【解析】对任意实数x ，有()923901239(23)1(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -+-+-+-++-=═[﹣1+2（x ﹣1）]9，∴a 229C =-⨯22＝﹣144，故A 正确；故令x ＝1，可得a 0＝﹣1，故B 不正确； 令x ＝2，可得a 0+a 1+a 2+…+a 9＝1，故C 正确；令x ＝0，可得a 0﹣a 1+a 2+…﹣a 9＝﹣39，故D 正确；故选：ACD .变式3、（2020·深喀第二高级中学高二期末）已知()512x -250125a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，则123452345a a a a a ++++=_______.【答案】10-【解析】因为()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++ 两边同时取导数得()42341234523101524a a x a x a x a x x =+-+-++ 再令1x =得()4123452345101210a a a a a ++++=--=- 故答案为：10-方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．考点三 二项式定理的综合应用例3 (1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是____．(2)设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12019x ＋C 22019x 2＋C 32019x 3＋…＋C 20192019x 2019＝____． 【答案】（1）1 （2）－i －1【解析】 (1)1－90C 110＋902C 210－903C ＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)x ＝2i1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，C 12019x ＋C 22019x 2＋C 32019x 3＋…C 20192019x2019＝(1＋x)2019－1＝i 2019－1＝－i －1变式1、（2020·江苏省南京师大附中高二）已知()21221012211n n n x a a x a x a x ++++=++++，n *∈N ．记()021?nn n k k T k a -==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除． 【答案】（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析.【解析】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+；（1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n kn n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n kn n C +=+，所以()()()1212100212121nnnn k n k n n kn n k k k T k ak Ck C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()111212121021212121nnnn kn k n kn n n k k k n k n Cn k Cn C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑()()()()()1221221201122121221221222nnn kn kn n n nn n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221nn n C =+， ()()()()122121212121221n n n nn n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.变式2、【陕西省黄陵中学高新部2017-2018学年高二下学期开学考试】(1)设.①求； ②求； ③求；(2)求除以9的余数．【答案】（1）16，256，15；（2）7【解析】试题分析：（1）利用赋值法，令，求；（2）令x=-1，与（2）相加求；，；③令，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把 分解为9的倍数形式，再求对应的余数． 试题解析：(1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16. ②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. ③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0＝16－1＝15. （2）解 S ＝C ＋C ＋…＋C ＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C ×99－C ×98＋…＋C ×9－C －1 ＝9(C ×98－C ×97＋…＋C )－2 ＝9(C ×98－C ×97＋…＋C －1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；(3)结合二项式定理得出结论．此外二项式定理还可应用于不等式的证明．五、优化提升与真题演练1、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A ．12B ．16C ．20D ．24()42340123431x a a x a x a x a x -=++++01234a a a a a ++++024a a a ++1234a a a a +++1227272727S C C C =+++1x ＝01234a a a a a ++++024a a a ++0x =S【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．2、【2020年高考北京】在52)的展开式中，2x 的系数为（ ） A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C【解析】)52展开式的通项公式为：()()552155C22C r rrrr r r T x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()1152C 2510-=-⨯=-. 故选：C.3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515C r r rr T x y -+=（r ∈N 且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155C C r rrr rrr xT x xy xy --+==和54252152C C r r r r r r r T x y y y y xx x --++==在615C r r r r xT x y -+=中，令3r =，可得：33345C xT x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152C r r r r T x xy y -++=中，令1r =，可得：521332C y x T x y =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+= 故选：C.4、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r rr r r T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同则不同的安排方法共有__________种． 【答案】36 【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同∴先取2名同学看作一组，选法有：24C 6=.现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：33A 6=，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种， 故答案为：36.6、【2020年高考全国III 卷理数】262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240 【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 其二项式展开通项：()62612C rrrr xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226C (2)r r r r x x --⋅⋅=1236C (2)r r r x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：66442C 2C 161516240⋅=⋅=⨯=. 故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展第 1 页 / 共 3 页 开通项公式1C r n r r r n T a b -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7、【2020年高考天津】在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10 【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()55315522C C 20,1,2,3,4,5r r r r r r r T x x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15C 210⨯=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题． 8、【2020年高考浙江】二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________．【答案】80；122【解析】5(12)x +的通项为155C (2)2C r r r r r r T x x +==，令4r =，则4444552C 80T x x ==，故580a =；1133551355552C 2C 2C 122a a a ++=++=.故答案为：80；122.。
高考专题 二项式定理(全解析)
1 / 4二项式定理一、选择题1．（求项的系数）5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】5(2x二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =． 因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．2．（知常数项求某一项的系数）若在(a +3x )(1−√x 3)8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是（ ） A ．56 B ．-56 C ．112 D ．-112【答案】B【解析】由题意得(1−√x 3)8展开式的通项为T r+1=C 8r (−√x 3)r=(−1)r C 8r x r3，r =0,1,2,⋯,8， ∴(a +3x )(1−√x 3)8展开式的常数项为(−1)0C 8⋅a =a =4， ∴(4+3x )(1−√x 3)8展开式中x 2项为4⋅(−1)6C 86x 63+3x ⋅(−1)3C 83x 33=−56x 2∴展开式中x 2的系数是−56. 故选B3．（直常数项求参数）若6ax ⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±【答案】D【解析】因为6ax ⎛ ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-，令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D2 / 44．（奇数项系数的和）记6260126(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0246a a a a +++=（ ）A ．81B ．365C ．481D ．728【答案】B【解析】令x=0得1=0126...a a a a ++++，令x=-2得601234563=a a a a a a a -+-+-+，所以0246a a a a +++=1+729=3652. 故选B5．（由系数二项式系数的和求参数）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】二项式n的各项系数的和为()1+34n n=，二项式n的各项二项式系数的和为()1+12n n=， 因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4=2642n nn =，6n =，故选C ．二、填空题6．（集合关系判断）若)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是____．【答案】180【解析】因为)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，展开式的通项公式为5510221101022r rrr rrr r TC xC x---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令5502r-=，解得3 / 42r，所以展开式的常数项为22101280C ⋅=.7．（求系数最大项）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为第__________项．【答案】3或5【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 8．（二项展开式系数的性质应用）在()()25132x x +-的展开式中，所有的奇次幂的系数和为__________．【答案】478- 【解析】设()()25223456701234567132x x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++令1x =，得：0123456716a a a a a a a a =+++++++……① 令1x =-，得：01234567972a a a a a a a a =-+-+-+-……② ①-②得：()13579562a a a a -=+++ 解得：1357478a a a a +++=- 本题正确结果：478-9．（二项式与数列）已知数列{}n a 满足11a k=，k *∈N ，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1,61=，记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ）.①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =__________； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =__________．【答案】6 ()211nk kn k+--【解析】①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，且11a k =，*2k k N ≥∈，，则11(1,)n a n n n k=+-∈-，所以[]1n n b a n ==-，则401236T =+++=；故填6.4 / 4②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，且11a k=，*2k k N ≥∈，，则 1112131211(1)(1)n n n n n n n a k k C k C kk k------=⋅+=⋅+++⋅⋅⋅+，则213111n n k n n n b k C k C -----=++⋅⋅⋅+， 221311101(2)(33)()n n k n n n T k k k k C k C -----=+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+22223332341451[123(1)](1?)(1)n n n n C C C k C C C k---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+3422(1))2n n n n n n n C k C k C k --=+++⋅⋅⋅+ 223321()n n n n n C k C k C k k =++⋅⋅⋅+ 21[(1)1]n k nk k =+--；故填21[(1)1]n k nk k+--. 10．（二项式与函数）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001).将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =），记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)...(21)f f f f ++++++-=__________． 【答案】20183【解析】由题意得20182018201820192212221++-，，，，共201920182018222-=个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1 设其中的数x ，转换为二进制后有k 个0（0k 2018≤≤） ∴()2kf x =在这20182个数中，转换为二进制后有k 个0的数共有2018kC 个 ∴()()()()201820182018201820192018022122 (2)12k kk f f f f C =++++++-=∑由二项式定理，()201820182018201802123k kk C ==+=∑。
高三数学一轮复习课件：第57讲 二项式定理
教学参考
6.[2016·天津卷] x2-1 8 的展开式中 x7
������
的系数为
.(用数字作答)
[答案] -56
[解析] 展开式的通项 Tr+1=C8������ (x2)8-r -���1��� r=(-1)rC8������ x16-3r,由 16-3r=7,得 r=3,所以所求系 数为(-1)3C83=-56.
第57讲 PART 9
二项式定理
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
教学参考
考情分析
考点
考查方向
二项式定理 通项公式
二项式的 系数与性质
考例
2016全国卷Ⅰ14 2015全国卷Ⅰ10, 2014全国卷Ⅰ13, 2014全国卷Ⅱ13, 2013全国卷Ⅱ5 2017全国卷Ⅲ4, 2017全国卷Ⅰ6, 2015全国卷Ⅱ15, 2013全国卷Ⅰ9
- 1+32 4=-a1+a2-a3+a4-a5,∴
2(a1+a3+a5)=
1 2
4
+
5 2
4
,解得
a1+a3+a5=31163.
课前双基巩固
题组二 常错题 ◆索引:二项展开式的通项记错致误;混淆二项式系数之和与各项系数之和致误.
5.(1-2x)7 的展开式中第 4 项的系数是
.
[答案] -280
教学参考
8.[2014·全国卷Ⅰ] (x-y)(x+y)8 的展开
式中 x2y7 的系数为
.(用数字
填写答案)
[答案] -20
[解析] (x+y)8 的展开式中 xy7 的系数为 C87=8,x2y6 的系数为C86=28,故(x-y)(x+y)8 的展 开式中 x2y7 的系数为 8-28=-20.