2020年高考培优数学讲义

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高考培优课程数学讲义：排列组合的经典模型及其应用【学生版】

高考培优数学“排列组合的经典模型及其应用”讲义编号：排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？经典方法知识的讲解已结合在下面的例题中。

排列组合中的经典方法（★★☆☆☆）我竟然不知道以下经典方法，太恐怖了！1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

2020版高考数学大二轮培优文科通用版课件：专题一第2讲平面向量与复数

答案:8
11.(2019全国Ⅲ,文13)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则
cos<a,b>=
.
解析:cos<a,b>=|��|·|��| = 答案:-102
2×(-8)+2×6 22+22× (-8)2+62
=
2
-4 2×
10=- 102.
12.(2019江苏,12)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB
=
1+i 2
=
1 2
+
12i,∴12
+
12i
的共轭复数为1
2
−
12i,
而1
2
−
12i
对应的点的坐标为
1 2
,-
1 2
=
2+22i=1+i.故选
D.
答案:D
4.(2019北京,文2)已知复数z=2+i,则z·�� =( )
A. 3
B. 5
C.3
D.5
解析:∵z=2+i,∴ �� =2-i.
∴z·�� =(2+i)(2-i)=5.故选D.
答案:D
5.(2019全国Ⅰ,文8)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与
2,7 复数的基本运算;向量的线性运算
1,4 复数的基本运算;平面向量的数量积
2,13 复数的乘法运算;向量平行及坐标表示
3,13 复数的乘法运算;平面向量的数量积及坐标运算
2,4 复数的乘法运算;平面向量的相关概念及运算
2,13

高考数学专题培优20讲(含答案)

培优点一函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________．【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-．（2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数1y x x =+-________．【答案】1【解析】易知函数1y x x =+-[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)+∞上是减函数，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>．（2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<<解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C 【解析】()2f x +，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于2x =，7x =轴对称，()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=，∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013()f x 关于2x =，7x =轴对称()()4f x f x ∴=-，()()14f x f x =- ()()160f f ==，()()()814860f f f =-==，()()()34310f f f =-==∴在[)0,10中只含有四个零点，而[)[)[)0,1010,202000,2010共201组所以2014804N =⨯=；在[]2010,2013中，含有零点()()201110f f ==，()()201330f f ==共两个，所以一共有806个零点６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()1f x +，()1f x -为奇函数分别可得到：()()11f x f x +=--+，()()11f x f x -=---，所以()f x 关于()1,0，()1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称，所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+， ∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4， ∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-，又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（） A ．2- B ．2C ．6-D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数()2||f x x a =+的单调增区间是,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，令=32a -，∴6a =-．2．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】要使2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则0a >且10a -≥，即1a ≥． 3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数【答案】A【解析】易知()f x 的定义域为()1,1-，且()()()ln 1l (n 1)f x x x f x -+-=-=-，则()y f x =为对点增分集训奇函数，又ln 1ln 1()()y x y x =+=--与在(0,1)上是增函数，所以()()()ln 1ln 1f x x x =-+-在(0,1)上是增函数．4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】∵函数图象关于1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<，故选B ．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】由已知得()()11f f -=-，()()11g g -=，则有()()()()112114f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()13g =，故选B ．6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（）【答案】D【解析】因为11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x -π≤≤π且0x ≠，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ．当x =π时，1()cos 0f x ⎛⎫=π-π< ⎪π⎝⎭，排除C ，故选D ．7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-【答案】A【解析】∵()1f x +为偶函数，∴1()()1f x f x -=++，则(()2)f x f x +-=，又()y f x =为奇函数，则()2()()f x f x f x -=+-=，且()00f =．从而()2(()4)f x f x f x -+=+=，()y f x =的周期为4． ∴()()()()4501022f f f f +=+=+=，故选A ．8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（） A ．()1e x f x += B ．()1e x f x -= C ．()1e x f x -+= D ．()1e x f x --=【答案】D【解析】与e x y =的图象关于y 轴对称的函数为e x y -=．依题意，()f x 的图象向右平移一个单位，得e x y -=的图象．∴()f x 的图象由e x y -=的图象向左平移一个单位得到．∴()1)1(e e x x f x +---==．9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（） A ．()1,0- B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x -=，1y x =+的图象，知满足条件的,0()1x ∈-，故选A ．10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-< D ．()10()( 6.5)f f f -<<-【答案】A【解析】由()()1f x f x +=-，得()1(()2)f x f x f x -+=+=，∴函数()f x 的周期是2． ∵函数()f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f -=-=，()()11f f -=．∵()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，∴()()00.5(1)f f f <<，即()0 6.5()()1f f f <-<-． 11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（） A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()y f x =的图象关于0x =对称，即函数()f x 是偶函数，令1x =-，则()121(12)()f f f --=+-， ∴()()()11210f f f -==，即()10f ＝，则()()2(210)f x f x f -=+=，即()2()f x f x +=，则函数的周期是2，又()02f =，则()()()()2015201610022f f f f +=+=+=．12．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C．2⎡⎣ D．(2+【答案】D【解析】由题可知()e 11x f x =->-，()2243211()g x x x x -=---++≤=，若()()f a g b =，则(),1(]1g b -∈，即2431b b -->-+，即2420b b +<-，解得22b <+b的取值范围为(2+，故选D ．二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．【答案】[0,1)【解析】由题意知()22111g x x x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，()g x 的减区间是[0,1)．14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x xx f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】516【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si 64n 161666f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭．15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)1,-+∞【解析】如图作出函数()||f x x a =+与()1g x x =-的图象，观察图象可知：当且仅当1a -≤，即1a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立，因此a 的取值范围是[)1,-+∞．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11021102121212f f f ⎛⎫=++=-++= ⎪⎝⎭--三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）ln 2a；（3）(2,)+∞．【解析】（1）由20a x x+->，得220x x ax -+>，当1a >时，220x x a +>-恒成立，定义域为(0,)+∞，当1a =时，定义域为0{|}1x x x >≠且，当01a <<时，定义域为{|011x x x <<>．（2）设()2a g x x x=+-，当4()1,a ∈，,[)2x ∈+∞时，∴222()10a x ag x x x -'=-=>．因此()g x 在[2,)+∞上是增函数，∴()f x 在[2,)+∞上是增函数．则min ()(2)ln 2af x f ==．（3）对任意,[)2x ∈+∞，恒有()0f x >．即21ax x+->对,[)2x ∈+∞恒成立． ∴23a x x >-．令()23h x x x =-，,[)2x ∈+∞．由于239()24h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞上是减函数，∴()()max 22h x h ==．故2a >时，恒有()0f x >．因此实数a 的取值范围为(2,)+∞．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．【解析】（1）∵()1()1f x f x =+-，∴(()2)f x f x =+-．又()2()f x f x +=，∴()()f x f x -=．又()f x 的定义域为R ，∴()f x 是偶函数．（2）当1[]0,x ∈时，1,[]0x --∈，则()()f x f x x =-=；进而当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()2()2()2f x f x x x ==-=---+．故()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．【答案】见解析【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。

新高考数学重难点培优专题讲义——立体几何小题专练(含详细答案解析)

立体几何小题培优讲义高考规律立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．知识梳理【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.，其中是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．2.以立体几何为载体的情境题的求解思路以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题.此类问题的求解过程主要分四步：一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【题型1 求几何体的体积与表面积】【例1】（2023·江苏徐州·沛县湖西中学模拟预测）在三棱锥P−ABC中，三条侧棱P A，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，若三棱锥P−ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（）A．4√3πB．4√2πC．6πD．12π【变式1-1】（2023·陕西铜川·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③V台=13(S上+S下+√S上⋅S下)ℎ）A．6寸B．4寸C．3寸D．2寸【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2,AB=2A1B1,P,Q分别为B1C1,C1D1的中点，若四边形PQDB的面积为152，则该四棱台的体积为（）A．563B．56C．283D．28【变式1-3】（2023·山东·统考一模）陀螺起源于我国，在山西夏县新石器时代的遗址中，就出土了目前发现的最早的石制陀螺因此，陀螺的历史至少也有四千年，如图所示为一个陀螺的立体结构图，若该陀螺底面圆的直径AB=12cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=4cm，则这个陀螺的表面积是（）A．(144+12√13)πcm2B．(144+24√13)πcm2C．(108+12√13)πcm2D．(108+24√13)πcm2【题型2 与球有关的截面问题】【例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知球O的一个截面的面积为2π，球心O到该截面的距离比球的半径小1，则球O的表面积为（）A．8πB．9πC．12πD．16π【变式2-1】（2023·全国·校联考模拟预测）上、下底面均为等边三角形的三棱台的所有顶点都在同一球面上，若三棱台的高为3，上、下底面边长分别为√15，2√6，则该球的表面积为（）A．32πB．36πC．40πD．42π【变式2-2】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）如图，在三棱锥A−BCD中，AB,AC,AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，√6为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为（）A．2√3πB．√3πC．√3π2D．√3π4【变式2-3】（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1上的一点，且满足平面BDE⊥平面A1BD，则平面A1BD截四面体ABCE的外接球所得截面的面积为（）A．136πB．2512πC．83πD．23π【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】【例3】（2023·福建莆田·莆田一中校考一模）如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①.若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②.则这个容器的容积的最大值为（）A．a327B．a336C．a354D．a372【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=60°，侧面BCC1B1的面积为2√3，则直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的表面积的最小值为（）A．4πB．8πC．4√3πD．8√3π【变式3-2】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，P为底面A1B1C1D1的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高ℎ∈[√2,2√2]，点M到平面PCD的距离的最大值为（）A．2√63B．83C．4√23D．329【变式3-3】（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）已知A，B，C，D是体积为20√53π的球体表面上四点，若AB=4，AC=2，BC=2√3，且三棱锥A－BCD的体积为2√3，则线段CD长度的最大值为（）A．2√3B．3√2C．√13D．2√5【题型4 几何体与球的切、接问题】【例4】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=BC．过点A分别作AE⊥SB，AF⊥SC交SB、SC于点E、F，记三棱锥S−FAE的外接球表面积为S1，三棱锥S−ABC的外接球表面积为S2，则S1S2=（）A．√33B．13C．√22D．12【变式4-1】（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（）A．π6B．πC．4π3D．4π【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）为了便于制作工艺品，某工厂将一根底面半径为6cm，高为4cm的圆柱形木料裁截成一个正四棱台木料，已知该正四棱台上底面的边长不大于4√2cm，则当该正四棱台的体积最大时，该正四棱台外接球的表面积为（）A．128πcm2B．145πcm2C．153πcm2D．160πcm2【变式4-3】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为2√6，则模型中九个球的表面积和为（）A．6πB．9πC．31π4D．21π【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】【例5】（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知底面边长为a的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1内接于半径为√3的球内，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，G，H分别为线段AC1，EF上的动点，M为线段AB1的中点，当正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积最大时，|GH|+|GM|的最小值为（）A．√2B．3√22C．2D．1+√2【变式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC= 1，AA1=√3，在线段A1D上取点M，在CD1上取点N，使得直线MN//平面ACC1A1，则线段MN长度的最小值为（）A．√33B．√213C．√37D．√217【变式5-2】（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，以下四个命题：；④|C1P|+①三棱锥D−BPC1的体积为定值；②C1P⊥CB1；③直线DC1与平面ABC1D1所成角的正弦值为12|DP|的最小值为√10．其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-3】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线，则下列说法正确的是（）段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为163A．EF=2B．EF=4C．EG+FG的最小值为3√2D．EG+FG的最小值为2√6【题型6 空间角问题】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积是底面积的6√3倍，点E为四边形ABB1A1的中心，点F为棱CC1的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（）A．2√3913B．√3913C．√3926D．3√3926【变式6-1】（2023·河北保定·统考二模）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．则A1E与面AA1D1D所成角的余弦值为（）A．13B．√33C．23D．√53【变式6-2】（2023·全国·模拟预测）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点N是棱BB1上的动点，点M是线段A1C1（不含线段的端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A．存在直线MN，使MN//B1C B．异面直线CM与AB所成的角可能为π3C．直线CM与平面BND所成的角为π3D．平面BMC//平面C1NA【变式6-3】（2023·四川遂宁·统考三模）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E,F（E在F的左边），且EF=√2．下列说法不正确的是（）A．当E运动时，二面角E−AB−C的最小值为45∘B．当E,F运动时，三棱锥体积B−AEF不变C．当E,F运动时，存在点E,F使得AE//BFD．当E,F运动时，二面角C−EF−B为定值【题型7 翻折问题】【例7】（2023·四川泸州·统考一模）已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD翻折，使点C到点P处，且二面角A−BD−P为120°，则此时三棱锥P−ABD的外接球的表面积为（）A．21πB．28√21πC．52πD．84π【变式7-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，将△ABD 沿对角线BD翻折至△A′BD的位置，使得平面A′BD⊥平面BCD，则在三棱锥A′−BCD的外接球中，以A′C为直径的截面到球心的距离为（）A．√43510B．6√25C．√23910D．√11310【变式7-2】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且BC=2AB=2，现将△ABE沿AE向上翻折，使B点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）A．存在点P，使得PE∥CFB．存在点P，使得PE⊥EDC．三棱锥P−AED的体积最大值为√26D．当三棱锥P−AED的体积达到最大值时，三棱锥P−AED外接球表面积为4π【变式7-3】（2023·四川·校联考模拟预测）如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC 的中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P−BCED，则下列命题错误的是（）A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B．存在某个点P位置，满足平面PDE⊥平面PBCC．当PB⊥PC时，直线PB与平面BCED所成角的正弦值为√33πD．当PB=√10时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为523【题型8 立体几何中的轨迹问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，点P是平面ACB1内的动点，M，N分别为C1D1，B1C的中点，若直线BP与MN所成的角为θ，且sinθ=√55，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（）A．3π4B．π2C．π3D．π4【变式8-1】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP=2PD1,AA1=3,AB=1.若点Q在侧面BCC1B1（包括其边界）上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为（）A．√3B．√2C．2√33D．√52【变式8-2】（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD 内运动，且满足OQ=OP，则动点Q形成轨迹的周长为（）A．2π11B．3π11C．4π11D．5π11【变式8-3】（2023·全国·校联考模拟预测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P为空间中一点且满足∠APB1=∠ADB1，则以下说法正确的有（）A．若P在面AB1C1D上，则其轨迹周长为8√6π9B．若A1P⊥AB1，则D1P的最小值为√3+1−√6C．P的轨迹围成的封闭曲面体积为32√6π227+4√3πD．四棱锥P-ABCD体积最大值为4(2√6+√2+3)9【题型9 以立体几何为载体的情境题】【例9】（2023·云南大理·统考一模）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸.若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则该天池盆中水的体积为（）A．1404π立方寸B．1080π立方寸C．756π立方寸D．702π立方寸【变式9-1】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，且点O到正六边形面的距离为√62，则球O的体积为（）A．7√1424πB．7√143πC．11√2224πD．11√223π【变式9-2】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一．图2是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为4dm和2dm，正六棱台与正六棱柱的高分别为1dm 和6dm，则该花灯的表面积为（）A．(108+30√3)dm2B．(72+30√3)dm2C．(64+24√3)dm2D．(48+24√3)dm2【变式9-3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列等式错误的是（）A．V1+V2+V3=V B．V1=2V2C．V2=2V3D．V2−V3=V61．（2023·北京·统考高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平，则该五面体的所有棱长之和为（）面与平面ABCD的夹角的正切值均为√145A．102m B．112mC．117m D．125m2．（2023·全国·统考高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C−AB−D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A．15B．√25C．√35D．253．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为√3，O为底面圆心，P A，PB为圆锥的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等于9√34，则该圆锥的体积为（）A．πB．√6πC．3πD．3√6π4．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥P−ABC中，点M,N分别在棱PC,PB上，且PM=13PC，PN=23PB，则三棱锥P−AMN和三棱锥P−ABC的体积之比为（）A．19B．29C．13D．495．（2021·浙江·统考高考真题）如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B16．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体7．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB=120°，PA=2，点C在底面圆周上，且二面角P−AC−O为45°，则（）．A．该圆锥的体积为πB．该圆锥的侧面积为4√3πC．AC=2√2D．△PAC的面积为√38．（2023·全国·统考高考真题）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=．9．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4,O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是．10．（2023·全国·统考高考真题）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．11．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=√2，则该棱台的体积为．12．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．立体几何小题【题型1 求几何体的体积与表面积】 (4)【题型2 与球有关的截面问题】 (7)【题型3 体积、面积、周长、距离的最值与范围问题】 (10)【题型4 几何体与球的切、接问题】 (13)【题型5 空间线段以及线段之和最值问题】 (18)【题型6 空间角问题】 (23)【题型7 翻折问题】 (30)【题型8 立体几何中的轨迹问题】 (35)【题型9 以立体几何为载体的情境题】 (40)立体几何是高考的热点内容，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对该部分的考查，小题主要体现在三个方面：一是有关空间线面位置关系的判断；二是空间几何体的体积和表面积的计算，难度较易；三是常见的一些经典常考压轴小题，涉及到空间角、空间距离与轨迹问题等，难度中等或偏上．【知识点1 空间几何体表面积与体积的常见求法】1.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.2.求组合体的表面积与体积的一般方法求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.【知识点2 几何体与球的切、接问题的解题策略】1.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：2.空间几何体外接球问题的求解方法：空间几何体外接球问题的处理关键是确定球心的位置，常见的求解方法有如下几种：(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段P A,PB,PC两两垂直，且P A=a，PB=b，PC=c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2=a2+b2+c2求解.(3)利用平面几何体知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.【知识点3 几何法与向量法求空间角】1.几何法求异面直线所成的角(1)求异面直线所成角一般步骤：①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.3.几何法求线面角(1)垂线法求线面角(也称直接法)；(2)公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.4.向量法求直线与平面所成角的主要方法:(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.5.几何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解题思路:用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.【知识点4 立体几何中的最值问题及其解题策略】1.立体几何中的几类最值问题立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．2.立体几何中的最值问题的求解方法解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．【知识点5 立体几何中的轨迹问题及其解题策略】1.立体几何中的轨迹问题立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．2.立体几何中的轨迹问题的求解方法解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法：对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法：在图形中，建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．【知识点6 以立体几何为载体的情境题的求解策略】1.以立体几何为载体的几类情境题以立体几何为载体的情境题大致有三类：(1)以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；(2)以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；(3)以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．。

2024年高考数学复习培优讲义专题31--- 平面向量共线定理与等和线(含解析)

专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

1.当等和线恰为直线AB 时，k 等于1. 2.定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.2017全国3卷（理）T12 1．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．22 C ．5D ．22020年江苏省高考2．在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为；若为常数且，则的长度是．ABC ∆3BC =4AC =90ACB ∠=︒D AB CD P 9CP =D AB PD 3()(2PC mPA m PB m =+−0m ≠3)2m ≠BD题型一向量共线定理：构造方程组求系数2023·深圳二模1．已知OAB 中，OC CA =，2OD DB =，AD 与BC 相交于点M ，OM xOA yOB =+，则有序数对(,)x y =（）A ．11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)2．在ABC 中，已知2BD DC =，CE EA =，BE 与AD 交于点O .若CO xCB yCA =+(),R x y ∈，则x y += .3．在ABC 中，3BC BD =，2CF FA =，E 是AB 的中点，EF 与AD 交于点P ，若AP mAB nAC =+，则m n +=（） A ．37 B ．47 C ．67D ．1题型二向量共线定理：结合不等式求最值2024届·湖南师大附中月考（二）4．ABC 中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足,,AP AB AC λμλμ=+为正实数，则下列结论正确的是（）A ．λμ的最小值为116B ．λμ的最大值为1C ．114λμ+的最小值为4D ．114λμ+的最大值为165．如图，在ABC 中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N .若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则1λμ−的最小值是 .重点题型·归类精讲2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考6．（多选）在三角形ABC 中，点D 足AB 边上的四等分点且3AD DB =，AC 边上存在点E 满足()0EA CE λλ=>，直线CD 和直线BE 交于点F ，若()0FC DF μμ=>，则（）A ．1344CD CA CB =+B ．4λμ=C ．2164λμ+的最小值为17D ．49CF EA CD CA ⋅≤⋅的延长线交于点F,若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则（）A. 3144EB EF EA =+ B. 14λμ=C. 11λμ+的最大值为1 D. 49EC AD EB EA⋅≥−⋅题型三等和线：求系数和最值，范围8．如图正六边形ABCDEF 中，P 点三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF AB AP y x +=，则y x +的取值范围是________．FEDCB AFED9．如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，//AB DC ，1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设(,R)AP AD AB λμλμ=+∈，则λμ+取值范围是．10．给定两个长度为3的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若=OC xOA yOB +，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_____；2x y +的最大值是______.11．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，P 是以AB 为直径的半圆弧上任意一点，设(,)AE xAD y AP x y R =+∈，则2x+y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．312．在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（）OACE BDCPA ．4B ．3C ．2D ．213．直角梯形中ABCD ,ABD BC AD CD CB ∆⊥，，//是边长为2的正三角形，P 是平面上的动点，1||=CP ，),(R AB AD AP ∈+=μλμλ设，则μλ+的值可以为（） A. 0 B.1 C.2 D.3专题5-2 平面向量共线定理与等和线一、平面向量共线定理：已知PC PA PB λμ=+，1λμ+=是A B C 、、三点共线的充要条件证明若点A,B,C 互不重合，P 是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且PC xPA yPB =+，证明：A ，B ，C 三点共线是1x y +=的充要条件.证明:(1)由1x y +=⇒A ，B ，C 三点共线.由1x y +=得(1)()PC xPA yPB xPA x PB PC PB x PA PB BC xBA =+=+−⇒−=−⇒=.即BC ，BA 共线，故A ，B ，C 三点共线. (2)由A ，B ，C 三点共线1x y ⇒+=.由A ，B ，C 三点共线得BC ，BA 共线，即存在实数x 使得BC BA λ=.故()(1)BP PC BP PA PC PA PB λλλ+=+⇒=+−.令,1x y λλ==−，则有1x y +=.AC二、等和线相关性质平面内一组基底OB OA ,及任一向量OP ，OB OA OP μλ+=，若点p 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题六第1讲函数及其应用

��+1,令
g(x)=sin��π2��+�� +e 22e �� ,易知
g(x)为奇函数,由于奇函数在对
称区间上的最大值与最小值的和为
0,M+N=f(x)max+f(x)min=g(x)max+1+g(x)min+1=2,(M+N-1)2 018=1,故选
A.
(2)由条件(a),得f(x)是奇函数,由条件(b),得f(x)是R上的单调减函
)
解析:设 y=f(x)=2��2�� +��23-��, 则 f(-x)=22-(��-+��)23��=-2��2�� +��23-��=-f(x), 故 f(x)是奇函数,图象关于原点对称,排除选项 C. f(4)=224×+423-4>0,排除选项 D. f(6)=226×+623-6≈7,排除选项 A. 故选 B.
∴-a=3,∴a=-3.
答案:-3
一、函数的性质及应用 1.单调性单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定义证明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
2.奇偶性 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (2)在公共定义域内:
2.指数函数与对数函数的图象和性质
指数函数
对数函数
图象
单调性
0<a<1 时,在 R 上单调递减; a>1 时,在 R 上单调递增
0<a<1 时,在(0,+∞)上单调递减;a>1 时,在(0,+∞)上单调递增

2024年高考数学复习培优讲义专题2-指对同构(朗博同构)(含解析)

题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x ⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a xx e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+.2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是．题型一一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.重点题型·归类精讲2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______湖南省2023届高三下3月考试·16 6．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是．7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭福建龙岩九校联考·16 9．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ .湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为．浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023高三下学期4月教学质量检测·8 11．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e湖南郴州高二下期末·16 13．函数．若对任意，都有，则实数m 的取值范围为_________．2023湖南邵阳二模·8 14．若不等式()1e 1ln 10txt x x ⎛⎫−−−≥ ⎪⎝⎭对任意[)2e 1,x ∞∈++恒成立，则正实数t 的取值范围是（）A. ln2,2e 1∞⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭B. ln21,2e 1∞+⎡⎫+⎪⎢+⎣⎭C. ln210,2e 1+⎛⎫ ⎪+⎝⎭ D. ln2ln21,2e 12e 1+⎡⎤⎢⎥++⎣⎦15．已知函数ln 0x f xe a ax a a a ，若关于x 的不等式0f x恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．],0(eB ．],0(2eC ．],1[2eD ．),1(2e()()()e1ln R mxf x m x x m =+−−∈0x >()0f x ≥16．关于x 的不等式ln 1axx e xe a x x−≤−−恒成立，则a 的取值范围为．2022衡阳市八中高二期末·16 17．已知函数1()(0)a x f x x alnx x a e=++−<，若()0f x 在[2x ∈，)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为． 2023届郴州三模·1618．设实数0m >，若对任意的21x e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，不等式ln 1mx mx x e e m m mx−≥−恒成立，则实数m 的取值范围为．湖北省部分学校高三下5月适应性考试·14 19．对于任意实数0x >，不等式22e ln ln 0x a x a −+≥恒成立，则a 取值范围是__________.2023·广东惠州·一模T22(2)20．已知函数()2ln f x x a x =−，若函数()(2)e x f x a x x ≥+−恒成立，求实数a 的取值范围．2023·广东深圳·南山区高三上期末联考·22 21．已知定义在()0,∞+上的函数()e ax f x x =. (1)若R a ∈，讨论()f x 的单调性；(2)若0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln aax xx ax ⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.2023·广东汕头·一模T2222．已知函数()e ln(2)ln 2x f x a x a =−++−．(1)若函数()f x 在2023x =处取得极值，求a 的值及函数的单调区间； (2)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围．的题型二二元同构2022届山东聊城一模·823．已知正数x ，y 满足ylnx +ylny ＝e x ，则xy ﹣2x 的最小值为（） A ．1122n B ．222ln ﹣ C ．1122n −D ．222ln +24．实数x ，y 满足ln ln xe y x y y =+，则2ln xe y x−的最小值为________2022届T8第一次联考·825．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1a ae b blnb ++<，则( ) A ．ab e >B ．1a b e +>C ．ab e <D ．1a b e +<2023茂名市高三一模·1226．(多选)e 是自然对数的底数，,m n ∈R ，已知e ln ln m m n n n m +>+，则下列结论一定正确的是（） A ．若0m >，则0m n −> B ．若0m >，则e 0m n −> C ．若0m <，则ln 0m n +< D ．若0m <，则e 2m n +>河北省衡水中学2023届高三下学期第三次综合素养评价·16 27．若正实数a ，b 满足()1ln ln e a a b a a b −−+≥，则1ab的最小值为．28．设11110e ,11ln1.111a b ==，则（）A ．1ab a <<B ．1ab b <<C ．1a ab <<D ．1b ab <<题型三局部同构华大新高考五月押题卷·1229．(多选)已知0λ＞，若关于x 的方程()1ln 0x e x x xλλλ−−+＝存在正零点，则实数λ的值可能为A ．1eB ．12C ．eD ．230．已知函数1ln )(−−=x ae x f x ，若0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是．2023·广东·海珠区高三2月联考·22 31．已知函数()()1e 02x f x ax a =−≠． (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)已知函数()()ln xg x f x x=−有两个零点，求实数a 的取值范围．2023·广东3月·中学生标准学术能力诊断测试联考模拟预测T22（2）部分同构+放缩 32．设()()e xxf x x =∈R ，若(e )()(ln 1)x f x k x ⋅≤⋅+在()1,x ∈+∞上恒成立，求k 的取值范围.2023·广东·深圳中学5月适应性测试T22（1）部分同构33．已知函数()e ln xf x ax a x x =−−，若不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围.题型四同构+切线放缩2023佛山一模T1134．(多选)若正实数x ，y 满足()1e 1ln x x y y −=+，则下列不等式中可能成立的是（）A ．1x y <<B ．1y x <<C ．1x y <<D ．1y x <<巴蜀中学2023届高考适应性月考卷（八）T8——局部构造+切线放缩35．已知函数22ln 1()e x x f x x a x+=−−，当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,e 1⎤−∞−⎦B ．(],e −∞C ．(],2−∞D ．(],1−∞2023届湖南四大名校5月“一起考”T736．若当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 的不等式2e cos cos lncos 1x x x x x ax −++≥恒成立，则满足条件的a 的最小整数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 437．（2023·广东珠海·高三联考模拟考试）已知函数()()()()ln 2R ,e 1xf x x ax ag x x x a x =−−∈=−−+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.38．（2023·广东·统考一模）已知函数()1e x f x x +=.(1)求()f x 的极值； (2)当0x >时，()()1ln 2f x a x x ≥+++，求实数a 的取值范围.补充练习杭州一模（高三上期末）T16——同构有一定难度，函数分析也比较麻烦1．已知不等式()ln ln 10,1()xa a a x a a >−>≠对)1,(x ∀∈+∞恒成立，a 的取值范围是________.2023湖北高三九师联盟1月·82．已知a ＞b ＞1，若1a a b e be ae a ++=+，则 A ．ln(a ＋b )＞1B ．ln(a －b )＜0C ．333a b −+<D ．133a b −<湖北名校联合体高三下学期开学考·163．已知关于x 的不等式()1ln 2x e a a ax a −+>−(0)a >恒成立，则实数a 的取值范围为________.4．对0x ∀>，恒有()112ln axa e x x x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的最小值为________.专题1-2 指对同构（朗博同构）【常见同构形式】（1）乘积模型：ln ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln(ln )()ln a b x aa a aeb e f x xe ae b b e e b b f x x x a a b b f x x x ⎧<⋅⇒=⎪<⇒<⇒=⎨⎪+<+⇒=+⎩（2）商式模型：ln ()ln ln ln ()ln ln ln ln ln(ln )()ln a aa ab x e b xf x e b x e b e e e f x a b a b x a a b b f x x x ⎧<⇒=⎪⎪⎪<⇒<⇒=⎨⎪−<−⇒=−⎪⎪⎩（3）和差模型：ln ln ln ()ln ln ln ln ()ln a a aaa b xe e b bf x x xe a b b e e e bf x e x⎧±<±⇒=±±<±⇒⎨±<±⇒=±⎩【六大超越函数图像】（6）2020新高考1卷21（2）1．已知函数1()ln x f x ae x lna −=−+，若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【答案】[)1+∞，［方法一］：【最优解】：同构由()1f x ≥得1e ln ln 1x a x a −−+≥，即ln 1ln 1ln a x e a x x x +−++−≥+，而ln ln ln x x x e x +=+，所以ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+．令()m h m e m =+，则()10m h m e +'=>，所以()h m 在R 上单调递增．由ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，可知(ln 1)(ln )h a x h x +−≥，所以ln 1ln a x x +−≥，所以max ln (ln 1)a x x ≥−+．令()ln 1F x x x =−+，则11()1xF x x x−'=−=．所以当(0,1)x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()F x F x '<单调递减．所以max [()](1)0F x F ==，则ln 0a ≥，即1a ≥．所以a 的取值范围为1a ≥．［方法二］:换元同构由题意知0,0a x >>，令1x ae t −=，所以ln 1ln a x t +−=，所以ln ln 1a t x =−+．于是1()ln ln ln ln 1x f x ae x a t x t x −=−+=−+−+．由于()1,ln ln 11ln ln f x t x t x t t x x ≥−+−+≥⇔+≥+，而ln y x x =+在,()0x ∈+∞时为增函数，故t x ≥，即1x ae x −≥，分离参数后有1x xa e −≥．令1()x x g x e −=，所以1112222(1)()x x x x x e xe e x g x e e −−−−−−−=='．当01x <<时，()0,()g x g x >'单调递增；当1x >时，()0,()g x g x <'单调递减．所以当1x =时，1()x x g x e−=取得最大值为(1)1g =．所以1a ≥．［方法三］：通性通法1()ln ln x f x ae x a −=−+,11()x f x ae x−'∴=−，且0a >.设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x −'=+> ∴g(x)在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e −<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a−''∴=−−<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x −'=−=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，0101x ae x −∴=，00ln 1ln a x x ∴+−=−，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a −==−+000011ln 1ln 2ln 122ln 1a x a a x a x x =++−+≥−+⋅=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞). ［方法四］：因为定义域为(0,)+∞，且()1f x ≥，所以(1)1f ≥，即ln 1a a +≥．令()ln S a a a =+，则1()10S a a='+>，所以()S a 在区间(0,)+∞内单调递增．因为(1)1S =，所以1a ≥时，有()(1)S a S ≥，即ln 1a a +≥．下面证明当1a ≥时，()1f x ≥恒成立．令1()ln ln x T a ae x a −=−+，只需证当1a ≥时，()1T a ≥恒成立．因为11()0x T a ea−=+>'，所以()T a 在区间[1,)+∞内单调递增，则1min [()](1)ln x T a T e x −==−．因此要证明1a ≥时，()1T a ≥恒成立，只需证明1min [()]ln 1x T a e x −=−≥即可．由1,ln 1x e x x x ≥+≤−，得1,ln 1x e x x x −≥−≥−．上面两个不等式两边相加可得1ln 1x e x −−≥，故1a ≥时，()1f x ≥恒成立．当01a <<时，因为(1)ln 1f a a =+<，显然不满足()1f x ≥恒成立．所以a 的取值范围为1a ≥．【整体点评】（2）方法一：利用同构思想将原不等式化成ln 1ln ln 1ln a x x e a x e x +−++−≥+，再根据函数()m h m e m =+的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令1x ae t −=，再同构，可将原不等式化成ln ln t t x x +≥+，再根据函数ln y x x =+的单调性以及分离参数法求出；方法三：利用导数判断函数()f x 的单调性，求出其最小值，由min 0f ≥即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；方法四：由特殊到一般，利用(1)1f ≥可得a 的取值范围，再进行充分性证明即可2022新高考1卷第22题2．已知函数()x f x e x =−和()ln g x x x =−，证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解答】易得()f x 在()0,+∞↑，(),0−∞↓；()g x 在()0,1↓，()1,+∞↑只有y b =过()f x 与()g x 交点时，恰有3个不同交点则有1223()()()()f x f x g x g x b ====，即12122233ln ln x xe x e x x x x x b −=−=−=−= ①∵111122ln ln xxxe x e e x x −==−− ，且1211,xe x <<，∴1212ln xe x x x =⇒= ② 又∵32ln 3332ln ln x x x x ex e x −=−=− ，且3200ln ,x x >>，∴2323ln x x x x e =⇒= ③由①②③可得：()()2132222ln 2xx x e x b x x b x +=+=++−=，证毕2022全国甲卷（理）21题3．已知函数()ln xf x x a x x e −=+−．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <．【详解】（1）[方法一]：同构处理由()0f x ≥得：ln ln 0x x e x x a −++−−≥令ln ,1t x x t −=≥，则()0tf t e t a =+−≥即t a e t ≤+ 令()[),1,tg t e t t =+∈+∞，则()'10tg t e =+>故()tg t e t =+在区间[)1,+∞上是增函数故()()min 11g t g e ==+，即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ [方法二]：常规求导()f x 的定义域为(0,)+∞，则2111()1x f x e x x x ⎛⎫'=−−+ ⎪⎝⎭1111111x x x e e x x x x x ⎛⎫−⎛⎫⎛⎫=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x '=,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)1f x f e a ≥=+−，若()0f x ≥,则10e a +−≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e −∞+ （2）法一：极值点偏移+同构简化计算由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设121x x ，要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又因为()()12f x f x =,故只需证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即证11ln ln 0,(1,)x x e x x xe x x x x −+−−−>∈+∞同构，原不等式变形为：()1ln ln 1ln ln x x xxex x ex x+−++−>+ 令()xg x e x =+，则有1(ln )ln g x x g x x ⎛⎫−>+⎪⎝⎭即证：)1ln ln ,(1,x x x x x−>∈+∞+ 即证1()2ln 0(1,,)h x x x xx =+∈<+∞− ()()222121'()10,1x h x x x x x−−=−−=<>，即()h x 递减，故()(1)0h x h <=，证毕. [方法二]：对数平均不等式由题意得：()ln x xe ef x a x x=+−令1xe t x=>，则()ln f t t t a =+−，()1'10f t t =+>所以()ln g t t t a =+−在()1,+∞上单调递增，故()0g t =只有1个解又因为()ln x xe ef x a x x =+−有两个零点12,x x ，故1212x x e e t x x == 两边取对数得：1122ln ln x x x x −=−，即12121ln ln x x x x −=−()121212*ln ln x x x x x x −<−121x x <，即121x x <()121212*ln ln x x x x x x −<−121211212121222112ln ln ln ln ln x x xx xx x x x x x x x x x x −<⇔−⇔<−不妨设121x t x =>，则只需证12ln t t t <−构造()12ln ,1h t t t t t =−+>，则()22211'110h t t t t ⎛⎫=−−=−−< ⎪⎝⎭故()12ln h t t t t=−+在()1,+∞上单调递减故()()10h t h <=，即12ln t t t<−得证2023新高考1卷T19（2）同构+切线放缩或2次求导4．已知函数()()x f x a e a x =+−，证明：当a ＞0时，3()2ln 2f x a >+. 解：即证：当a ＞0时，232ln 2xae a x a +−>+第一步，指数化，同构变形：()ln 2ln 2332ln ln ln 22a xa x ea x a e a x a a +++−>+⇒−+>−+ 第二步，换元：令ln t a x =+，t ∈R ，有23ln 2te t a a −>−+ 第三步，放缩：1t e t −≥（证明略），即证231ln 2a a >−+第四步，构造函数：令23()ln 2g a a a =−+，1'()2g a a a =−，故()g a 在202⎛⎫↑ ⎪ ⎪⎝⎭，，2,2⎫+∞↓⎪⎢⎪⎣⎭22132()ln ln 1122222g a g ⎛≤=−+=+< ⎝⎭2022全国乙卷（理）16题5．已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =−（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a的取值范围是．【答案】1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】[方法一]：转化法，零点的问题转为函数图象的交点因为()2ln 2e xf x a a x '=⋅−，所以方程2ln 2e 0x a a x ⋅−=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ⋅=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，所以当时()1,x −∞()2,x +∞，()0f x '<，即e y x =图象在ln x y a a =⋅上方当()12,x x x ∈时，0fx，即e y x =图象在ln x y a a =⋅下方1a >，图象显然不符合题意，所以01a <<．令()ln x g x a a =⋅，则()2ln ,01xg x a a a '=⋅<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a⋅，则切线的斜率为()020ln x g x a a '=⋅，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x −⋅=⋅−，则有0020ln ln x x a a x a a −⋅=−⋅，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ⋅=，因为函数ln x y a a =⋅与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e e a <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的取值范围为1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 ()2ln 2e x f x a a x '=⋅−=0的两个根为12,x x因为12,x x 分别是函数()22e x f x a x =−的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x −∞和()2,x +∞上递减，在()12,x x 上递增，设函数()()()g 2ln xx f x a a ex '==−，则()()2g 2ln 2x x a a e '=−，若1a >，则()g x '在R 上单调递增，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0-,x ∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，则12x x >，不符合题意；若01a <<，则()g x '在R 上单调递减，此时若()0g 0x '=，则()f x '在()0,x −∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，令()0g 0x '=，则02(ln )xea a =，此时若有1x x =和2x x =分别是函数()22(0x f x a ex a =−>且1)a ≠的极小值点和极大值点，且12x x <，则需满足()00f x '>，()()00002ln 20ln xe f x a a ex ex a ⎛⎫'=−=−> ⎪⎝⎭，即001ln 1ln x x a a <>，故()002ln ln ln 1ln x e a x a a ==>，所以11ea <<. [方法三]：同构+放缩（简证） ① 先得出01a << ② ()ln ln 2ln ln ln ln x a xx ae ea a ex ea ex x a a ⋅=⇒⋅=⇒=（ln 0x a >）③ 放缩：xxe e ex e x≥⇒≥()()221ln 11ln 01ln ee a a a ea >⇒<⇒−<<⇒<<题型一一元同构2023深圳高二下期末·21（2）1．已知2()()x f x axe a R =∈，若关于x 的()2ln 0f x x x −−≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】1a e≥【简证】()2ln 0f x x x −−≥恒成立等价于()22ln 0xaxe x x −−≥恒成立，即()()ln 2ln 22ln 2ln 0x xx x aee x x ae x x +−+=−+≥，则有ln 22ln x xx xa e++≥令2ln t x x =+，t ∈R ，则有max1t t a e e ⎛⎫≥=⎪⎝⎭（构造函数求导得出最值，过程略）总结：同构+分参2．若关于x 的不等式ln ln 0e xx a a xx+−>对()0,1x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦B ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可知0a >，且ln e ln e xx a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立，设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，利用导数说明函数的单调性，再分e 1x a ≥和0e 1x a <<两种情况讨论，结合函数的取值情况及单调性，分别计算可得.重点题型·归类精讲【详解】由题意可知0a >，ln e ln ln e x x a a x x +>，即ln e ln e x x a xa x >对()0,1x ∀∈恒成立．设()ln x g x x =，则问题转化为()()e xg a g x >在()0,1上恒成立，因为()21ln xg x x−'=，所以当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，又()10g =，所以当()0,1x ∈时，()0g x <；当()1,x ∈+∞时，()0g x >． ①在()0,1x ∈上，若e 1x a ≥恒成立，即1a ≥，()()e0xg a g x ≥>；②在()0,1x ∈上，若0e 1x a <<，则e x a x >恒成立，即1e xxa <<恒成立，令()e x x h x =，()0,1x ∈，则()10ex xh x −'=>，所以()h x 在()0,1上单调递增，所以()()11e h x h <=，所以11e a <≤，综上所述，实数a 的取值范围为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭．故选：B ．宁波九校高三上期末·22（2） 3．已知函数1()ln 2f x x x x x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，e 是自然对数的底数．若不等式2()(1)4axf x a e x ≤+−对0x ∀＞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】实数a 的取值范围为2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．12()(1)42ln 4(1)4ax ax f x a e x x x x a e x x ⎛⎫≤+−⇒+−≤+− ⎪⎝⎭，整理，同乘x 得：()2212ln (1)1ln (1)ax axx x a e x x ax e x ⎛⎫+≤+⇒+≤+ ⎪⎝⎭，比较一下2种构造方式，方式1：令()x g x xe x =+，()'()11xg x x e =++，易错：由洛必达可知（选填时用）——这里用不了错了！()111lim 1lim 0x x x x x x x e e e −−→−∞→−∞+−∞+=====−+∞−−∞，故()'()110()xg x x e g x =++>⇒↑()11'()111x xx xx x e g x x e e e−−−+++=++=+=，令()1xh x e x =−+，易知()h x ≥2恒成立，故()11()0'()0()xx x e e x h x g x g x −−++=−−++=−>⇒>⇒↑由()2222ln 21ln (1)ln ln axx ax x x ax e x ex axe ax +≤+⇒+≤+，则有2(ln )()g x g ax ≤，由单调性可知22min ln 2ln x x ax a x e⎛⎫≤⇒≥= ⎪⎝⎭参考ln xy x=图像可以快速得出答案，解答题还是要写一下求导过程. 方式2：()ln g x x x x =+总结：（1）求导通分看极值点即可，注意2个增区间之间用“，”而不是“∪”（2）先同构再判断单调性. 江苏盐城2023届高三5月三模·22 4．已知函数()(ln ).x a f x e e a x =−+ (1)当a ＝1时，求()f x 的单调递增区间； (2)()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,+∞（2）(,1]−∞（1）解：当时，，，又，单调递增， ··············································· 2分又，当时，当时，∴的单调递增区间为()1,+∞. ·························································· 4分 1a =()()1ln x f x e e x =−+()xe f x e x'=−()20xef x e x ''=+>()f x '∴()10f '=∴()0,1x ∈()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x '>()f x(2)若恒成立，即恒成立.方法1：,,令，则，在上单调递增，又，当时，故存在唯一正实数使得， ····················································· 6分当时，，单调递减，当时，，单调递增，，由恒成立，得，由得，， ······ 8分 ∴，∴，∴，设，则恒成立，故在上递增，而，∴，又且函数在上是增函数，故的取值范围为. ···································································· 12分法2：同法一得，由得，∴ ，，故的取值范围为. ················· 12分方法3：令，则，，则，令，则， ················································ 8分 ∵，∴在上单调递增，当时，显然成立；当时，恒成立，即恒成立，可证（过程略），，，即，，综上，的取值范围为(,1]−∞. ······························································ 12分 ()0f x ≥()ln 0x ae e a x −+≥()ln x a af x e e x e a =−−()a x a x e xe e f x e x x−'=−=()x ag x xe e =−()0x x g x e xe '=+>()x ag x xe e ∴=−()0,+∞()00ag e =−<x →+∞()g x →+∞0x 00x a x e e =0x x <()0f x '<()f x 0x x >()0f x '>()f x ()()000min ln x a a f x f x e e x e a ∴==−−()0f x ≥()min 0f x ≥00x a x e e =00ln x x a +=()()00000min (2ln )0x xf x f x e x e x x ∴==−+≥0001(2ln )0x x x −+≥000(2ln )10x x x +−≤00012ln 0x x x +−≤1()2ln h x x x x=+−221()10h x x x '=++>()h x (0,)+∞(1)0h =001x <≤00ln x x a +=ln y x x =+(0,1]a (,1]−∞()()000min ln x a af x f x e e x e a ==−−00x a x e e =00ln x x a +=()000min00011ln ln aa a a a a a e f x e x e a e x e a e x a e a x x x ⎛⎫⎛⎫=−−=−−=+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20a a e a e a ≥−−≥()220a e a ∴−≥a (,1]−∞a e t =ln a t =()()ln ln ln x e t t x t tx ≥+=()()()ln ln ln tx xxe tx tx tx e ≥=()(0)xg x xe x =>()()ln()g x g tx ≥()()10x g x x e '=+>()(0)xg x xe x =>()0,+∞()ln 0tx ≤()()ln()g x g tx ≥()ln 0tx >()ln ln ln x tx t x ≥=+ln ln t x x ≤−ln 1x x −≥∴ln 1t ≤∴t e ≤a e e ≤∴1a ≤a方法4：∵恒成立，∴，即，同法3考查函数可得， ··········································· 7分反之，当时，，又可证（过程略），∴，∴恒成立，故的取值范围为. ···································································· 12分补充：同构和型+放缩ln (ln )0(ln )ln ln ln x a x a x a x a x e x x e a x e e a x e a x e x x a e −−−+≥⇒≥+⇒−≥+⇒+≥+=+令()x g x e x =+↑，则有()min ()(ln )ln ln 1g x a g x x a x a x x −≥⇒−≥⇒≤−=总结：（1）两次求导+取点（2）法一和法二是整体求导再用隐零点处理，法三和法四是同构处理相对简单湖南九校联盟第二次联考·16 5．已知不等式))(1ln (0xa x e a a e −⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦恒成立,则实数a 的最大值为_______ 【答案】2e[]ln ln (1)lnln (1)1ln ln(1)1ln ln(1)1x x x a x a a x e a e a a x e a x x x e a x e−−−≥⇒≥−−−+⇒≥+−⇒−+−≥−令()x g x e x =+↑，则有()2(ln )ln(1)ln ln(1)ln(1)ln 2ln g x a g x x a x x x a a e a −≥−⇒−≥−⇒−−≥⇒≥⇒≥可放缩补充：构造函数求导令ln(1)()g x x x −−＝，12()111x g x x x '−=−=−− 故g (x )在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，因此min ()(2)2g x g ==. 因为不等式(1)ln(0)xa x e a a e−≥>恒成立，所以Ina ≤2，即2.a e ≤ 总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出. 补充：对右边的式子配凑也可以()0f x ≥(1)0f ≥a e e a ≥()(0)xg x xe x =>1a ≤1a ≤11x a a x −+≥+−ln 1,1x a x x e x a −≤−≥−+ln x a e a x −≥+()ln x ae e a x ≥+a (,1]−∞湖南省2023届高三下3月考试·166．已知e 是自然对数的底数．若()0x ∀∈+∞，，e ln mx m x ≥成立，则实数m 的最小值是．【答案】1e解析：由ln e ln e ln ln mx mx x m x mx x x e x ≥⇒≥=⋅．令()e x f x x =，则()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()ln f mx f x ≥，所以ln mx x ≥，即ln xm x≥对()0x ∀∈+∞，恒成立．令()ln xg x x =，则()21ln x g x x−'=，所以当()0e x ∈，时，()0g x '>；当()e x ∈+∞，时，()0g x '<，故()g x 在[)1+∞，上的最大值是1e ，所以1e m ≥，即实数m 的最小值是1e ．故答案为：1e．总结：同乘补全结构即可，入门型7．若不等式0x ae lnx lna −+恒成立，则a 的取值范围是( )A ．1[,)e +∞B ．2[,)e +∞C ．[,)2e+∞D ．[e ，)+∞【答案】A 【法一】：同构ln ln ln ln ln 0ln ln ln ln ln x a x a x x ae x a e e a x e a x x x e x +⇒+−+≥⇒≥+≥=+++构造函数()x g x e x =+，故ln ln ln ln (ln )(ln )a x x e a x e x g a x g x ++≥++≥+⇒ 而'()10x g x e =+>，则ln ln a x x +≥，即()max ln ln a x x ≥−令ln y x x =−，则1x y x '−=，故max 1y =−，则1ln 1a a e≥−⇒≥. 对于ln ln a x x +≥还可以直接分类参数：max1ln ln ln ln ln ln x xx xx a x x a x e a ee e ⎛⎫⎛⎫+≥⇒≥−=⇒≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 总结：需要同加x 才能补全结构【法二】：整体求导、取点设()x f x ae lnx lna =−+，则0x >，0a >，1()x f x ae x∴'=−，易知()f x '在(0,)+∞上为增函数，存在0(0,)x ∈+∞，使得0001()0x f x ae x '=−=，即01x ae x =，两边取对数，可得00lna x lnx +=−，当00x x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当0x x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，000001()()2x min f x f x ae lnx lna x lna x ∴==−+=++，不等式0x ae lnx lna −+恒成立，∴00120x lna x ++恒成立， ∴12x lna x +−恒成立， 00001122x x x x +⋅=，当且仅当01x =时取等号， 22lna ∴−，即1ae ，故a 的取值范围是1[e，)+∞．湖北鄂东南联考 ·88．已知函数()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，则实数k 的取值范围是( )A ．(],1−∞−B ．1,1e⎛⎤−∞−− ⎥⎝⎦C ．11,1e⎡⎤−−−⎢⎥⎣⎦D ．11,0e⎡⎫−−⎪⎢⎣⎭方法1：同构要使()ln x f x x x xe k −=−−−恒有零点，只需ln ln l =n x x x k x x xe x x e e −−=−−−− 设ln x x t −=，求导可知(],1t ∈−∞−而t k t e =−，求导可知函数t k t e =−在(],1−∞−上单调递增，故1,1k e ⎛⎤∈−∞−⎥⎝⎦方法2：分参求导ln xk x x xe −=−−，令()ln xg x x x xe −=−−，则()1'()1111x x x g x e x x x e x e −−⎪=⎛⎫+−=−−− ⎝⎭∵110xx e −> 故()ln x g x x x xe −=−−在(]0,1递增，()1,+∞递减，故max 1()(1)1g x g e==−−，故选B.注：由常见不等式1x e x ≥+得到，即1100xx e x x e−−>⇒>；或者令11()x x xe e h x e x x x −=−=，221'()x x x e h x e−=，因为0x >,故'()0h x > 方法3：直接求导（可以消掉k ）()()2111'()1xx x x x xxx x e x xe e x x f x x e e xe xe −−−−−=−+=++=，不难得出x x e −在()0,+∞上恒小于0，故()f x 在()0,1上单调递增，在[)1,+∞上递减，故max 1()(1)1f x f k e ==−−−，当0x →时，()f x →−∞，故()f x 的值域为1,1k e ⎛⎤−∞−−− ⎥⎝⎦，则11101k k e e−−−≥⇒≤−−. 福建龙岩九校联考·169．已知函数mx x m x f −+=)1ln()(，若不等式x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立，则实数m 的取值范围是____________ . 【答案】(],1−∞x e x x f −+>1)(在()+∞,0上恒成立等价于ln(1)1x m x mx x e +−>+−第一步，错位同构：()ln(1)1xm x x mx e +−+>−，第二步，构造对应函数：令()xg x mx e =−，则有[]ln(1)()g x g x +>第三步，分析单调性，定义域：易知0ln(1)x x <+<，故()g x 在()0,+∞上单调递减第四步，由单调性求出参数范围：()min'()001xx g x m e x m e=−≤>⇒≤=总结：错位同构，很少见，最后要注意取等.湖南常德3月模拟10．已知不等式ln()x x a e a +≤−对[1,)x ∀∈+∞恒成立，则a 的取值范围为．【答案】11a e −<≤−解析：易得：()ln()ln()x xx a e a x a x a x e +≤−⇒+++≤+，1a >−即：ln()ln()x a x x a e x e +++≤+，构造函数()xg x x e =+，∴()()()ln g x a g x +≤．易知()g x 在[1,)x ∈+∞为增函数；∴()ln x x a ≥+，令()()ln h x x x a =−+，()111x a h x x a x a+−'=−=++，当0a ≥时，()0h x '≥，()h x 在[1,)x ∈+∞为增函数，()()10h x h ≥≥，∴01a e ≤≤−；当10a −<<时，11a −>；[1,1)x a ∈−，()0h x '<；()1x a ∈−+∞，时，()0h x '≥； ∴()()min 110h x h a a =−=−≥，∴11a −<≤，综上：11a e −<≤−．总结：最后不等式要注意x 取值范围补充：对于()ln x x a ≥+，也可以分参()()()minln ln ln 1x x x x x a e x a e x a a e x e ≥+⇒≥+⇒≥+⇒≤−=−浙江省衢州、丽水、湖州三地市高三下学期4月教学质量检测·811．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a −+≥恒成立,则实数a 的最小值为( )e2eC.2eD.12e【答案】D总结：指对分离，补全结构2022湖北四地七校高二下期中·712．已知实数a ＞0，不等式()0x e aln ax -＞恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1<<a e eB ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜eD ．a ＞e【解答】解：令f （x ）＝e x ﹣aln （ax ），a ＞0，x ∈（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣在x ∈（0，+∞）上单调递增，x →0时，f ′（x ）→﹣∞；x →+∞时，f ′（x ）→+∞． ∴存在唯一x 0＞0，使得﹣＝0，即＝，x 0＝lna ﹣lnx 0，∴x ＝x 0时，函数f （x ）取得极小值即最小值，f （x 0）＝+ax 0﹣2alna ＞0，∴2﹣2lna ＞0，解得0＜a ＜e ．总结：补全结构即可。

2020版高考数学大二轮培优理科通用版课件：专题八第2讲不等式选讲

解:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即 f(x)= 2��,-1 < �� < 1,
2,�� ≥ 1.
故不等式 f(x)>1 的解集为
��
�� > 1
2
.
(2)当 x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时|ax-1|<1 成
一、解含有绝对值的不等式 1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于 ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可. (2)若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R. 2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解. 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|<c(c>0)或|xa|-|x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观. 3.|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法 (1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). (2)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).

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例 3、甲、乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方 1 号队员先赛，负者被淘汰，然后负方
的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方
获胜。假设每个队员的实力相当，且每场比赛之间没有影响。则甲方有 4 名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率
(i) 证明：{pi1 pi}(i 0 ，1，2，， 7) 为等比数列； (ii) 求 p4 ，并根据 p4 的值解释这种试验方案的合理性．
2、（16 全国二卷理 18）某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本
年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出 0
1
2
3
4
5
险次数
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出 0
1
2
3
4
5
险次数
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；
2 割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm ，则其身高可能是 ( )
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm
2019.9
二、（全国二卷、三卷）概率统计研究方向？
1、（19 全国一卷理 21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮
知识、方法和意识
——拓展数学视野、掌握思考方法
一、从“断臂的维纳斯”说起，谈谈高考（19 全国一卷 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5 1( 5 1 0.618 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
22 美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 ．若某人满足上述两个黄金分
是
。
2
例 4、（湖南卷 17）右图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （I）求直方图中 x 的值；（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取 3 位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望. 解：
（2）知识的综合考察，蕴含在概率统计之中例 5、（18 全国一卷理 20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否
做每一个题，都要问一句，这是用到什么模型？为什么可以归结为这个模型？这个模型能转化成其它较简单
形式吗？为什么可以转化？
一般先从古典概型开始考虑，其次是二项分布和超几何分布。
例 2、把 5 个小球随机放入 5 个盒子，若某个事先指定的盒子中小球个数多于 3 就为中奖。求中奖的概率。（学
生关注“排列组合”甚于对“模型选择”的关注）
（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
3、（17全国三卷理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单
位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20, 25) ，需求量为300瓶；
产品数量，求 y 的分布列。
0.05
（3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过 505
0.04 0.03
克的概率。下面是网上下载试题时给的答案，对吗？这不是小问题，我们到底要 0.01
关注什么？
0
重量/克 490 495 500 505 510 515
（2）学会归类、关注模型中的基本问题
样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490.495）.（495.500.）……（510.515.）由此得到样本的
频率分布直方图。如图所示
（1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量。
频率/组距
（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 y 为重量超过 505 克的 0.07
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）
为多少时， Y 的数学期望达到最大值？
一、概念清晰，扎实基础
（1）首先是意识的问题
要有归类的意识，要把模型放到第一位。
例 1、（高考广东卷 17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 40 件产品作为
试验中甲药的得分记为 X ．（1）求 X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， pi (i 0 ，1，， 8) 表示“甲药的累计得分为 i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0 0 ， p8 1 ， pi api1 bpi cpi1(i 1 ，2，， 7) ，其中 a P(X 1) ， b P(X 0) ， c P(X 1) ．假设 0.5 ， 0.8 ．
如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温
1
数据，得下面的频数分布表：
最高气温 10 ，15 15 ，20 20 ，25 25，30 30 ，35 35，40
天数
2
16
36
25

4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．