2020-2021新课标高考理科数学“12+4”限时提速培优突破一(32张)
【创新方案】(浙江专版)高考数学二轮专题突破 第3部分 专题一 第1讲 “12+4”提速专练卷(
“12＋4”提速专练卷(二)一、选择题1．已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i ＝－1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i＝1－i.2．已知集合M ＝{x |－2<x <3}，N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－2,3) C ．(－2，－1]D ．[－1,3)解析：选 D N ＝{x |lg(x ＋2)≥0}＝{x |x ＋2≥1}＝{x |x ≥－1}，所以M ∩N ＝{x |－1≤x <3}．3．(2013·惠州模拟)执行如图所示的程序框图，输出的k 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 逐次计算：S ＝1，k ＝1；S ＝1＋2＝3，k ＝2；S ＝3＋23＝11，k ＝3；S ＝11＋211，k ＝4.故输出的k 的值为4.4．函数f (x )＝3x 2＋ln x －2x 的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．无数个解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝6x ＋1x －2＝6x 2－2x ＋1x，由于x >0，g (x )＝6x 2－2x ＋1中Δ＝－20<0， 所以g (x )>0恒成立，故f ′(x )>0恒成立． 即f (x )在定义域上单调递增，无极值点．5．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 构成等差数列，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.6．(2013·西安模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图像如图所示，则f (－1)＋f (13)＝( )A ．3B ．2 C.32D.12解析：选B 由图像可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1.5，－A ＋B ＝0.5，即⎩⎪⎨⎪⎧A ＝12，B ＝1，T ＝2πω＝4，所以ω＝π2， 所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋1. 又∵f (2)＝1，且(2,1)是“五点作图”中的第三个点， ∴π2×2＋φ＝(2k ＋1)π，即φ＝2k π，k ∈Z ， ∴f (x )＝12sin π2x ＋1，∴f (－1)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝12，f (13)＝12sin 132π＋1＝32，∴f (－1)＋f (13)＝12＋32＝2.7．若a ，b 是互相垂直的两个单位向量，且向量c 满足(c －a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．1＋ 2解析：选B (c －a )·(c －b )＝0可整理为c 2－(a ＋b )·c ＋a ·b ＝0，∵a ·b ＝0，∴c2－(a ＋b )·c ＝0.若c ＝0，则|c |＝0；若c ≠0，则c ＝a ＋b ，c 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＝2，∴|c |＝2，即|c |的最大值为 2.8．(2013·滨州模拟)函数y ＝sin xx(x ∈(－π，0)∪(0，π))的图像大致是( )A B C D解析：选A 函数为偶函数，所以图像关于y 轴对称，排除B ，C.当x →π时，y ＝sin x x→0，故A 正确．9．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 4·b 5＝2，则a 9＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C 设{b n }公比为q ，首项为b 1， ∵b n ＝a n ＋1a n，a 1＝1，b 4b 5＝2， ∴a 9＝a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a 9a 8＝b 1b 2…b 8＝b 81q 1＋2＋…＋7＝b 81q 28＝(b 21q 7)4＝(b 1q 3×b 1q 4)4＝(b 4b 5)4＝24＝16.10．定义在R 上的函数f (x )是增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图像上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|<1的解集为( )A ．(－1,2)B ．[3，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]∪(2，＋∞)解析：选A ∵A (0，－1)，B (3,1)是函数f (x )图像上的两点，∴f (0)＝－1，f (3)＝1. 由|f (x ＋1)|<1得－1<f (x ＋1)<1，即f (0)<f (x ＋1)<f (3)． ∵f (x )是定义在R 上的增函数，∴由单调函数的定义可知，0<x ＋1<3，∴－1<x <2.11．已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 解析：选D 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1.设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.|AB |≤|AF |＋|BF |(F为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故M 到x 轴的距离d ≥2.12．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A ．470 B ．490 C ．495 D ．510解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×＋2＋72×10＝470. 二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个长方体中间挖去一个圆柱，其中长方体的长、宽、高分别是4、3、1，中间被挖去的是底面半径为1，母线长为1的圆柱，所以几何体的表面积等于长方体的表面积减去圆柱两个底面的面积，再加上圆柱的侧面积，即为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.答案：3814．(2013·东莞模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．已知角A 为锐角，且b ＝3a sin B ，则tan A ＝________.解析：由b ＝3a sin B 得sin B ＝3sin A sin B ，所以sin A ＝13，cos A ＝223，即tan A＝24.答案：2415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，x 12，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m 的取值范围是________．解析：当x ≤0时，由2－x－1＝1，得x ＝－1；当x >0时，由x ＝1得，x ＝1. 所以由图像可知，－1<m ≤1，即m ∈(－1,1]． 答案：(－1,1]16．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 (23)＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 …根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p ＝________.解析：由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)．由m 2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6，易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.答案：11。
2021届高考理科数学模拟培优卷(新课标全国III卷)
2021届高考理科数学模拟培优卷（新课标全国III 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{} 02|A x x =<<, {|(1 0)}B x x x =-≥, 则A B =( )A.∅B.(,1]∞-C. [1,2)D.(]0,12.已知复数1i z =-,z 为z 的共轭复数,则1z z+=( ) A.3i 2+ B.1i 2+ C.13i 2- D.13i 2+ 3.如图是甲、乙两位同学在某5次数学测试成绩的茎叶图,则平均成绩较低的那位同学的成绩的方差为( )A.1B.2C.3D.44.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是23000200.1,(0,240)y x x x =+-∈.若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台5.若直线()110a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（ ） A.1，1- B. 2，2- C. 1D.1- 6.已知向量(1,3)a =,(4,)b m =,且()a b a -⊥,则向量a 与b 夹角为( )A.π3B.π6C.π4D.π27.在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.如图,网格纸上小正方形的边长均为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )A.43B.23C.83D.49.已知5cos 2αα=为锐角，则sin cos αα+=( ) A. 1315 B.13 C.13或53 15 10.直线l 过点()0,2,被圆22:4690C x y x y +--+=截得的弦长为23则直线l 的方程是( ) A.423y x =+ B.123y x =-+ C.2y = D.423y x =+或2y = 11.已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F .若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为( ) 6 B.3C.6 312.已知函数112()112x x m f x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭为定义在区间(1,1)-上的奇函数，则m 的值为( ) A.-1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件230,260,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩则2y z x +=的取值范围为____________.14.52(31)1x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_______________. 15.在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，菱形ABCD 的两条对角线交于点O.已知32PA PD AD ===，，则三棱锥P AOD -的外接球的体积为___________.16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.3p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. （12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和1(1)2n S n n t =++，等比数列{}n b 的通项公式为3n n b =，且其前n 项和为*,n T n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1143(1)n n n n n T c T T +++=-⋅，且对于任意的正整数1241,12n n c c c m +++<+恒成立,求实数m 的取值范围.18. （12分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额，4个球除所标面值外完全相同.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个所标的面值均为10元.求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列与均值.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获得奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为8的菱形，60,BAD PBD ∠=︒是等边三角形，1cos 3POC ∠=.()I 求证：BD PC ⊥；()Ⅱ求四棱锥P ABCD -的体积.20. （12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的上、下顶点分别为(0,1)A 和(0,1)B -,且其3. ()Ⅰ求椭圆E 的标准方程. ()Ⅱ点P 是直线2y =上的一个动点,直线,PA PB 分别交椭圆E 于,C D 两点(,,,A B C D 四点互不重合),请判断直线CD 是否恒过定点.若过定点,求出定点的坐标；否则,请说明理由.21. （12分）已知函数2()e ,()51x f x g x x x ==-+.(1)求函数()()()g x F x f x =的单调区间. (2)设函数()()()'G x g x af x =+,讨论该函数在区间[2,4]上的零点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4 – 4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数).以坐标原点为极。
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分培优突破六(11张)
所以 E(ξ)＝1＋12＋212＋…＋218－219×9＋219×10a ＝1＋12＋…＋219a＝11－－211210a＝21－2110a ＝1501223a(元)．
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解：(1)因为该同学通过各校考试的概率均为 p， 所以该同学恰好通过 m(1≤m≤10)所高校自主招生考试 的概率为 f(p)＝Cm10pm(1－p)10－m， f′(p)＝Cm10[mpm－1(1－p)10－m－(10－m)pm(1－p)9－m] ＝Cm10pm－1(1－p)9－m[m(1－p)－(10－m)p] ＝Cm10pm－1(1－p)9－m(m－10p)， 当 0<p<1m0时，f′(p)>0，f(p)单调递增； 当1m0≤p<1 时，f′(p)≤0，f(p)单调递减， 所以当 p＝1m0时，f(p)取得最大值．
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(2)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi(1≤i≤10，i∈
Z)．因为 Pi＝2211i9，，1i＝≤1i≤0，9，i∈Z，
所以该同学参加考试所需费用 ξ 的分布列如下：
10 ξ a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a
a
P
1 2
1 22
1 23
1 24
1 25
1 26
压轴大题24分提高练(六)
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20．(12 分)已知函数 f(x)＝ex(1＋alnx)，其中 a>0，设 f′(x) 为 f(x)的导函数．
(1)设 g(x)＝e－xf′(x)，若 g(x)≥2 恒成立，求 a 的取值范围； (2)设函数 f(x)的零点为 x0，函数 f′(x)的极小值点为 x1， 当 a>2 时，求证：x0>x1.
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一(3页)
2020-2021新课标高考理科数学压轴大题24分提能培优一压轴大题24分提高练(一)20．(12分)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)x ＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X ～N (17.40,6.92)．①P (X >μ－σ)≈12＋0.682 72≈0.841 4，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P (X ≥12.14)＝P (X ≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B (103，p )，其中p ＝0.977 3，于是恰好有k 位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P (ξ＝k )＝C k 103p k (1－p )103－k ，从而由P (ξ＝k )P (ξ＝k －1)＝(1 001－k )×p k ×(1－p )>1，得k <1 001p ， 而1 001p ＝978.277 3，所以，当0≤k ≤978时，P (ξ＝k －1)<P (ξ＝k )，当979≤k ≤1 000时，P (ξ＝k －1)>P (ξ＝k )，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.21．(12分)已知函数f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2(a ∈R ，a 为常数)在(0,2)内有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求证：x 1＋x 2<2(1＋ln a )．解：(1)由f (x )＝a (ln x ＋2x )－e x －1x 2，可得f ′(x )＝(2－x )(e x －1－ax )x 3，记h (x )＝e x－1－ax ，x >0，由题意，知y ＝h (x )在(0,2)内存在两个零点．∵h ′(x )＝e x －1－a ，则当a ≤0时，h ′(x )>0，h (x )在(0,2)上单调递增，h (x )至多有一个零点，不合题意．当a >0时，由h ′(x )＝0，得x ＝1＋ln a ，由1＋ln a >0，得a >1e .①若1＋ln a <2且h (2)>0，即1e <a <e 2时，h (x )在(0,1＋ln a )上单调递减，在(1＋ln a,2)上单调递增，则h (x )min ＝h (1＋ln a )＝－a ln a ，当1e <a ≤1时，h (x )min ＝－a ln a ≥0，不合题意，舍去．当1<a <e 2时，h (x )min ＝－a ln a <0，且h (2)>0，x →0时h (x )>0，从而h (x )在(0,1＋ln a )和(1＋ln a,2)上各有一个零点．∴y ＝h (x )在(0,2)上存在两个零点．②若1＋ln a ≥2，即a ≥e 时，h (x )在(0,2)上单调递减，h (x )至多有一个零点，舍去．③若1＋ln a <2且h (2)≤0，即e 2≤a <e 时，h (x )在(0,1＋ln a )上有一个零点，而在(1＋ln a,2)上没有零点，舍去．综上可得，1<a <e 2，即实数a 的取值范围为(1，e 2)．(2)证明：令H (x )＝h (x )－h (2＋2ln a －x )，0<x <1＋ln a ，则H ′(x )＝h ′(x )＋h ′(2＋2ln a －x )＝e x －1－a ＋e 2＋2ln a －x －1－a ＝e x －1＋a 2ex －1－2a ≥2a －2a ＝0， ∴H (x )在(0,1＋ln a )上单调递增，从而H (x )<0，即h (x )－h (2＋2ln a －x )<0，∴h (x 1)－h (2＋2ln a －x 1)<0，而h (x 1)＝h (x 2)，且h (x )在(1＋ln a,2)上单调递增， ∴h (x 2)<h (2＋2ln a －x 1)，x 2<2＋2ln a －x 1，∴x 1＋x 2<2(1＋ln a )．。
2020-2021新课标高考理科数学“12+4”限时提速培优突破十(35张)
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4．在△ABC 中，B→D＝12D→C，则A→D＝( B )
A.14A→B＋34A→C
B.23A→B＋13A→C
C.13A→B＋23A→C
D.13A→B－23A→C
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解析：如图，B→D＝12D→C，在 AB，AC 上分别取点 E，F， 使得A→E＝2E→B，A→F＝12F→C，则四边形 AEDF 为平行四边形，故 A→D＝A→E＋A→F＝23A→B＋13A→C，故选 B.
A.x42－3y22 ＝1
B.x32－y42＝1
C.x22－y82＝1
D．x2－y42＝1
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解析：双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±ba
x，则ba＝2，又点 P( 6，4)在双曲线上，则baa6＝2－21b，62＝1，
解
得 a2＝2，b2＝8，故双曲线方程为x22－y82＝1，故选 C.
B．(－1,1]
C．(－1,1)
D．(－1,2)
解析：由题意，A＝xxx－＋12≤0
＝{x|－2≤x<1}，B＝{x|－
1<x<2}，则 A∩B＝{x|－1<x<1}，故选 C.
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3．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为 y
＝2x，且经过点 P( 6，4)，则双曲线的方程是( C )
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因为函数 g(x)在0，π6上单调递增，所以 g(x)<g6π＝1，即函数 g(x)在0，π6上没有最大值，故选项 D 错误，故选 C.
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7．已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，
(新课标)近年高考数学二轮复习“12+4”限时提速练(八) 文(2021年最新整理)
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“12＋4”限时提速练(八）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x｜－1≤log2 016x≤1}，B＝｛y｜y＝2x＋2｝，则A∩B＝( )A．（－2 016，0］ B．［0，2 016]C．(2,2 016］ D．（－∞，2 016］2．“∀x∈R，2x－错误!＜1”的否定为（)A．∀x∈R，2x－错误!≥1 B．∀x∈R，2x－错误!≤1C．∃x0∈R，2x0－错误!＞1 D．∃x0∈R，2x0－错误!≥13．若不等式错误!（x＋1）＞0的解集为（－1,＋∞）,则实数a的取值范围为（）A．(－∞，－1] B．（0，1)C．{1｝ D．(－∞，0)4。
已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所示,则此三棱柱的表面积为（)A．20 B．48错误!C．48＋8错误! D．8＋错误!5．已知函数f（x）＝sin错误!（x∈R），把函数f（x）的图象向右平移错误!个单位长度得函数g(x）的图象，则下面结论正确的是（)A．函数g（x)的最小正周期为5πB．函数g(x）的图象关于直线x＝错误!对称C．函数g（x）在区间[π,2π]上是增函数D．函数g(x)是奇函数6．函数f（x)＝错误!cos x(－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）7．已知数列｛a n}中,a1＝1，a n＋1＝a n＋n，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2 017项，则判断框内的条件是( )A．n≤2 015? B．n≤2 016？C．n＜2 014？ D．n＜2 016？8．A。
(全国通用)2020版高考数学二轮复习第四层热身篇“12+4”限时提速练(四)
“12＋4”限时提速练(四)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.{x |x ≤－3或x ≥1} B.{x |x ＜－1或x ≥3} C.{x |x ≤3} D.{x |x ≤－3}解析：选D 因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}.故选D.2.若复数z 满足(3＋4i)z ＝25i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是( ) A.3i B.－3i C.3D.－3解析：选D 因为(3＋4i)z ＝25i ，所以z ＝25i 3＋4i ＝25i （3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25i （3－4i ）25＝4＋3i ，所以z ＝4－3i ，所以z 的虚部为－3.故选D.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地.这n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A.x 1，x 2，…，x n 的平均数B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选B.4.已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12，则a 4＝( )A.4B.32C.108D.256解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ＞0，又首项a 1＝4，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4·qn －1，又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝log 2(4·qn －1)＝2＋(n －1)·log 2q ，所以{b n }为等差数列，则b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝12，所以b 2＝4，由b 2＝2＋(2－1)log 2q ＝4，解得q ＝4，所以a 4＝4×44－1＝44＝256.故选D.5.椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C.16 3D.32 3解析：选A 法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos 60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin 60°＝1633.故选A. 法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan60°2＝1633.故选A. 6.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C 把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.8.设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2＜x ＜2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，54 解析：选 B 因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2＜x ＜2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3]＋[2ln(－x ＋（－x ）2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋x 2＋1)]＝2ln 1＝0，所以f (x )为奇函数.易得f (x )在(－2，2)上单调递增.所以f (2x )＋f (4x－3)＞0可转化为f (2x )＞－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x ＜2，－2＜3－4x ＜22x ＞3－4x ，，解得12＜x＜1.故选B.9.已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是( )A.k ＞12或k ≤－5B.－5≤k ＜12C.－5≤k ≤12D.k ≥12或k ≤－5解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2，4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，∵k PA ＝4－（－1）2－3＝－5，x －2y ＋4＝0的斜率为12，由图可知，k ≤－5或k ＞12.故选A.10.魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x .现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( )A.25B.35C.12D.13解析：选A 由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f 1(x )，f 4(x )，f 6(x )，共3个；偶函数有f 3(x )，f 5(x )，共2个；非奇非偶函数为f 2(x ).则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f 1(x )·f 3(x )，f 1(x )·f 5(x )，f 4(x )·f 3(x )，f 4(x )·f 5(x )，f 6(x )·f 3(x )，f 6(x )·f 5(x )，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P ＝615＝25.故选A.11.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n－n －6|＜1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列.所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C. 12.已知三棱锥P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P ABC 的体积为a ，则球O 的体积为( )A.2πaB.4πaC.23πa D.43πa 解析：选B 设球O 的半径为R ，因为PC 为球O 的直径，PA ＝AC ，PB ＝BC ，所以△PAC ，△PBC 均为等腰直角三角形，点O 为PC 的中点，连接AO ，OB (图略)，所以AO ⊥PC ，BO ⊥PC ，因为平面PCA ⊥平面PCB ，平面PCA ∩平面PCB ＝PC ，所以AO ⊥平面PCB ，所以V 三棱锥P ABC ＝13·S△PBC·AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×PC ×BO ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ＝13R 3＝a ，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝4πa .故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________.解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.答案：1214.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________.解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0，f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1，f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y 0，解得a ＝1e2－1.答案：1e2－115.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于点Q ，若5PF ―→＝3FQ ―→，则双曲线E 的离心率为________.解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，设一条渐近线OP (O 为坐标原点)的方程为y ＝ba x ，另一条渐近线OQ 的方程为y ＝－b ax ，不妨设P ⎝⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－b a n ，由5PF ―→＝3FQ ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧5（c －m ）＝3（n －c ），5⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a m ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45c ，n ＝43c ，因为OP ⊥FP ，所以k PF ＝－ba mc －m ＝－a b，解得a 2＝4b 2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，故双曲线E 的离心率e ＝52.答案：5216.(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示.由图知f (x )<0的解集为(1，4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)。
2020-2021新课标高考理科数学“12+4”限时提速培优突破八(8页)
2020-2021新课标高考理科数学“12＋4”限时提速培优突破八“12＋4”限时提速练(八)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知实数集R ，集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x 2－4x －5>0}，则M ∩(∁R N )＝( B )A ．[－1,8)B ．(0,5]C ．[－1,5)D ．(0,8)解析：集合M ＝{x |0<x <8}，N ＝{x |x >5，或x <－1}，∁R N ＝{x |－1≤x ≤5}，所以，M ∩(∁R N )＝(0,5]．2．已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( D )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53 解析：z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i ＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53. 3．下列说法中正确的是( A )A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R,2x>0，则綈p ：∃x 0∈R,2x 0<0 C ．命题“若a >b >0，则1a <1b ”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确；对于选项B ，全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定为綈p ：∃x 0∈R,2x 0≤0，故B 错误；对于选项C ，其逆命题：若1a <1b ，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然为假命题，故C 错误；对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．4．已知x >0，y >0，a ＝(x,1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4y 的最小值为( B ) A ．4 B ．9 C ．8D ．10解析：依题意，得a ·b ＝x ＋y －1＝0⇒x ＋y ＝1.1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4(x ＋y )y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当x ＝13，y ＝23时取等号．5．已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l ⊂β，给出下列命题： ①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β.其中正确的命题是( A )A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③解析：对于①，若α∥β，m ⊥α，l ⊂β，则m ⊥l ，故①正确，排除B ；对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l ⊂β，所以α⊥β.故④正确．6．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( B )A ．－2B ．－1 C.12 D.23解析：由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1.7．函数f (x )＝2|x |－x 2的图象大致为( C )解析：由题意知，当x >0时，f ′(x )＝2x ln2－2x ，当x →0时，2x →1,2x →0，f ′(x )>0，说明函数f (x )的图象在y 轴右侧开始时是递增的，故排除选项A ，B ，D ，选C.8．若2cos2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin2θ，则sin2θ＝( C )A.13B.23 C ．－23 D ．－13 解析：∵2cos2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin2θ，∴2(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)22(cos θ－sin θ)＝3sin2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin2θ.∴4＋4sin2θ＝3sin 22θ， 解得sin2θ＝－23或sin2θ＝2(舍去)．9．已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是( A )A.12B.1πC.2πD.π4解析：y ＝sin 2x ＝12－12cos2x ，其图象如图所示，⎠⎛0π⎝⎛⎭⎪⎫12－12cos2x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －14sin2x | π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，∴向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( A )A ．5B ．3 C. 5D.3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，由直线y ＝k 过点A ，知k ＝3.又(x ＋5)2＋y 2表示可行域内的点与点D (－5,0)的距离的平方．数形结合，知点(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最短，故(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( C )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－1,3]D ．(－∞，3]解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0,6]， 当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2,1]， ∴f (x )的值域是[－2,6]．若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则有－2≤2g (a )≤6. ∴－1≤a 2－2a ≤3，解之得－1≤a ≤3.12．已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|P A |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( C )A.5－12 B.2＋12 C.2＋1D.5－1解析：如图，依题意知A (0，－1)，B (0,1)，不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x 24，抛物线的准线为l ，过P 作PC ⊥l 于点C ，由抛物线的定义得|PB |＝|PC |，所以m ＝|P A ||PC |＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 24＋121＋x 24，令t ＝1＋x 24，由题易得点P 异于点O ，所以x ≠0，则t >1， m ＝t 2＋4t －4t＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋4×1t ＋1， 当1t ＝12，即x ＝±2时，m max ＝ 2. 此时|PB |＝2，|P A |＝2 2.设双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ， 依题意得2a ＝|P A |－|PB |＝22－2,2c ＝2， 则e ＝c a ＝12－1＝2＋1.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝－14. 解析：由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14.14．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1斤，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1,2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝6.解析：根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4，解得a 1＝1516，d ＝18.所以该金杖的总重量M ＝10×1516＋10×92×18＝15，因为48a i ＝5M ，所以48⎣⎢⎡⎦⎥⎤1516＋(i －1)×18＝75，即39＋6i ＝75，解得i＝6.15．如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD＝5，则四边形ABCD 的面积为解析：如图所示，连接BD ，因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，则cos A ＝－cos C ，利用余弦定理得cos A ＝62＋52－BD 22×6×5，cos C ＝32＋42－BD 22×3×4.则62＋52－BD 22×6×5＝－32＋42－BD 22×3×4，解得BD 2＝2477， 所以cos C ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝2107，因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ＝2107，则S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610.16．已知函数f (x )＝e x(x －b )(b ∈R )．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )>0，则实数b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，83.解析：设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )>0， 则函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在子区间使得g ′(x )>0成立．g (x )＝xf (x )＝e x (x 2－bx )．g ′(x )＝e x (x 2－bx )＋e x (2x －b )＝e x [x 2＋(2－b )x －b ]，设h (x )＝x 2＋(2－b )x －b ，则h (2)>0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即8－3b >0或54－32b >0，解得b <83.。
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得|PF1|＝ |PF2|＝
1＋2b2＋1， 1＋2b2－1，
在 Rt△PF1F2 中，cos∠PF1F2
＝||FP1FF12||＝ 1＋22cb2＋1＝ 21＋12＋b2b＋2 1＝2 5 5，整理得 9b4－32b2
两垂直，且 AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为( B )
A．7π
B．14π
7
7 14π
C.2π
D. 3
解析：三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它 补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径．所以长
方体的体对角线长是 12＋22＋32＝ 14的外接球半径是 214，外
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9．已知 F1，F2 分别是双曲线 x2－by22＝1(b>0)的左、右焦
点，点 P 为双曲线右支上的一点，满足(O→P＋O→F2)·F→2P＝0(O
为坐标原点)，且 cos∠PF1F2＝2 5 5，则该双曲线的离心率为
( D)
A. 3
B．2
C．3
D. 5
第14页
解析：解法 1：由(O→P＋O→F2)·F→2P＝0，得|OP|＝|OF2|，∴ 在△PF1F2 中，OP 是边 F1F2 上的中线，且|OP|＝12|F1F2|，∴∠ F1PF2＝90°.由 x2－by22＝1，得 a＝1，c＝ 1＋b2.在 Rt△PF1F2 中，
“ 12＋4”限时提速练(一)
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一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合 A＝{x|x2－1>0}，B＝{y|y＝(12)x，x∈R}，则 A∩B
＝( B )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
AD＝25－16＝9，则 AC2 BC2＝(AD·AB BD·AB)＝AD BD
＝
，∴AC BC＝ 又 AC2＋BC2＝AB2，∴AC＝15，
BC＝20，∴该“堑堵”的表面积为 2×12×15×20＋25×(15
＋20＋25)＝1 800.
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7．点 A，B，C，D 均在同一球面上，且 AB，AC，AD 两
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3．如图所示的折线图表示某商场一年中各月的收入、支 出情况，则下列说法中错误的是( D )
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A．全年收入 1 至 2 月份增速最快 B．全年中 2 月份支出最高 C．四个季度中第二季度的月平均支出最低 D．利润最低的月份是 5 月份(利润＝收入－支出) 解析：从折线图看出 1 至 2 月份收入数据的连线斜向上，且 最陡，故 A 正确；由折线图可以看出支出的最高点在 2 月份，故 B 正确；由折线图可看出第二季度的总支出最低，故第二季度的 月平均支出最低，故 C 正确；5 月份的利润为 30－10＝20(万元)， 8 月份的利润为 50－40＝10(万元)，20>10，故 D 错误．
解析：A＝{x|x2－1>0}＝{x|x<－1 或 x>1}＝(－∞，－1)∪ (1，＋∞)，B＝{y|y＝(12)x，x∈R}＝{y|y>0}＝(0，＋∞)，则 A∩B ＝(1，＋∞)．
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2．已知11＋ －b2ii＝a＋i(a，b∈R)，则 a＋2b＝( D )
A．－4
B．4
C．－5
D．5
解析：解法 1：∵11＋ －b2ii＝11＋ －b2ii11＋ ＋22ii＝1－52b＋b＋5 2i＝a
－16＝0，∴b2＝4，离心率 e＝ac＝ 1＋b2＝ 5.故选 D.
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解法 2：由(O→P＋O→F2)·F→2P＝0，得|OP|＝|OF2|，∴在△PF1F2 中，OP 是边 F1F2 上的中线，且|OP|＝12|F1F2|，∴∠F1PF2＝90°. 在 Rt△PF1F2 中，由 cos∠PF1F2＝2 5 5，得||FP1FF12||＝|P2Fc1|＝2 5 5， ∴|PF1|＝4 5 5c，|PF2|＝ |F1F2|2－|PF1|2＝2 5 5c.由双曲线的定义 可知|PF1|－|PF2|＝4 5 5c－2 5 5c＝2 5 5c＝2a，∴离心率 e＝ac＝
＋i，且 a，b∈R，∴1b－ ＋5522b＝＝1a，， －1＋6＝5.
解得ab＝ ＝3－. 1， ∴a＋2b＝
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解法 2：11＋－b2ii＝a＋i⇒1＋bi＝(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－ 2a)i，∵a，b∈R，∴1＝a＋2，b＝1－2a，得 a＝－1，b＝3，∴ a＋2b＝－1＋6＝5.
x＋y≥m，
，若 z＝x
－2y 的最小值为－3，则实数 m＝( A )
A．0
B．－2
C．1
D．5
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解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由 z＝x－2y，得 y＝12x－12z，由图可知，当直线 y＝12x－12z 过点 B 时，z 最小．把 B(m－1,1)代入 z＝x－2y，得 m－1－2＝－3，解得 m＝0.
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4．若 cos(π6－α)＝23，则 cos(53π＋2α)＝( C )
A．－79
7 B.9
C．－19
1 D.9
解
析
：
cos(
5π 3
＋
2α)
＝
cos[2π
－
2(
π 6
－
α)]
＝
cos[2(
π 6
－
α)]
＝
2cos2(6π－α)－1＝2×49－1＝－19.
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y≤1， 5．已知实数 x，y 满足约束条件2x－y≤2
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6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为 “堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵” 的表面积为( C )
A．1 394 C．1 800
B．1 322 D．1 650
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解析：将正视图中的直角三角形记为△ABC，如图，∠ACB
＝90°，AB＝25，过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，则 BD＝16，
接球的表面积是 4π× 2142＝14π.
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8．某工厂安排 6 人负责周一至周六的中午午休值班工作，
每天 1 人，每人值班 1 天，若甲、乙两人需安排在相邻两天值
班，且都不排在周三，则不同的安排方式有( B )
A．192 种
B．144 种
C．96 种
D．72 种
解析：甲、乙两人可以排在周一、周二两天，可以排在周四、 周五两天，也可以排在周五、周六两天，所以甲、乙两人的安排 方式共有 C13A22＝6(种)，其他 4 个人要在剩下的 4 天全排列，所 以所有人的安排方式共有 6A44＝6×24＝144(种)．