第一章 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1
课题 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球（1）课型主备人李冬旭上课教师李冬旭上课时间学习目标圆柱、圆锥、圆台和球定义圆柱、圆锥、圆台和球的性质母线顶点教学重点了解圆柱、圆锥、圆台和球教学难点圆柱、圆锥、圆台和球中的一些计算教师准备教学过程时间分配集备修正1．圆柱及相关概念1．定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
2．相关概念：（1）圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴；（2）圆柱的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆柱的高；（3）圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（4）圆柱的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（5）圆柱的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱的母线。
3．圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。
圆柱是如何得到的？它有什么性质？1．圆柱是由矩形绕其一边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，除此之外，还可以是矩形绕其两对边的中线旋转而形成的曲面所围成的几何体；2．在空间，到一条线段的距离等于定长的点的集合是圆柱面；也就是矩形中与旋转轴平行的那一条边绕旋转轴旋转一周形成的曲面；3．圆柱具有以下性质：（1）圆柱的底面是两个半径相等的圆，圆的半径等于矩形的边的长，1’5x5’两圆所在的平面互相平行；（2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是全等的矩形；（3）母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的高.研习点2．圆锥及相关概念1．定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
2．相关概念：（1）圆锥的轴：旋转轴叫做圆锥的轴；（2）圆锥的高：在轴上的这条边（或它的长度）叫做圆锥的高；（3）圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（4）圆锥的侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（5）圆锥的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线；3．圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥S O1。
1.1.3 圆柱 圆锥 圆台和球
张喜林制§1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球教材知识检索考点知识清单基本概念1．以矩形一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做____，旋转轴叫做____，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆柱的____，平行于轴的边旋转形成的曲面叫做圆柱的____，无论旋转到什么位置都不垂直于轴的这条边叫做____．2.以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做____，斜边旋转形成的曲面叫做____，无论旋转到什么位置，这条边都叫做 ，另一条直角边旋转形成的面叫做____．3.以直角梯形的直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做 ，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆台的 ，另一条斜腰旋转形成的曲面叫做圆台的 ，这条边无论旋转到什么位置都叫做____．4．一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做 ；球面围成的几何体，叫做 ；形成球的半圆的圆心叫做 ；连接球面上的点和球心的线段，叫做 ；连接球面上两点且通过球心的线段叫做____，球面也可以看作 的点的集合．要点核心解读1．圆柱、圆锥、圆台的性质(1)对于圆柱的性质，要注意以下两点：一是轴线垂直于圆柱的底面；二是三个截面的性质——平行于底面的截面是与底面全等的圆，轴截面是一个由上、下底面圆的直径和母线组成的矩形，平行于轴线的截面是一个由上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．(2)对于圆锥的性质，要注意以下两点：一是两类截面——平行于底面的截面是与底面相似的圆，过圆锥的顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；二是圆锥的母线l 、高h 和底面圆的半径R 组成一个直角三角形，有关圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形，往往会用到关系式.222R h l +=(3)对于圆台的性质，要注意以下两点：一是圆台的母线共点，所以由任意两条母线确定的截面为一等腰梯形，但是与上、下底面都相交的截面不一定是梯形；二是圆台的母线l 、高h 和上底面圆的半径r 、下底面的半径R 组成一个直角梯形，且有222)(r R h l -+=成立，有关圆台的计算问题，常归结为解这个直角梯形：2．球的截面性质(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)如图1-1-3 -1所示，球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r ，有如下关系：.22d R r -=球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．由于球的大圆含有球的全部元素，所以在解答有关球的计算问题时，常作出球的一个大圆，化“球”为“圆”，利用平面几何的有关定理来解决．3．圆柱、圆锥和圆台的轴截面及侧面展开图(1)圆柱的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -2所示）．(2)圆锥的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -3所示）．(3)圆台的轴截面及侧面展开图（如图1-1-3 -4所示）4．球面距离(1)球面距离的概念．在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的-段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离．(2)地球的经度和纬度．当把地球看作—个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆.00经线（本初子午线）、东经180。
圆柱、圆锥、圆台和球
似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长， 因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示， 如圆柱OO’ .
4．有关性质： （1）用平行于底面的平面去截，截面都 是圆。 （2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是 全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的 等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。 （2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截 得的圆叫做球的大圆， 被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的 曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线 叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、 圆锥、圆台和球.
第一章1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球教案教师版
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球【学习要求】1．认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体．2．认识和掌握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征．3．理解球和球面距离的概念、平面与球的各种位置关系．【学法指导】通过直观感受空间物体，从实物中概括出旋转体的结构特征，提高观察、讨论、归纳、概括的能力；感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学习的积极性，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以 矩形的一边 、 直角三角形的一直角边 、直角梯形中 垂直于底边 的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．2．旋转轴叫做所围成的几何体的 轴 ；在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的 高 ；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的 底面 ；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的 侧面 ，无论旋转到什么位置，这条边都叫做 侧面的母线 ．3．球面可以看作 一个半圆 绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面， 球面 围成的几何体叫做球．4．用一个平面去截一个球，截面是 一个圆面 ，球面被经过球心的平面截得的圆叫做 球的大圆 ，被不经过球心的平面截得的圆叫做 球的小圆 . 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系：r[问题情境]举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点．它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体．本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征．探究点一 圆柱、圆锥、圆台的结构特征导引 观察下面的几何体，你可能会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台．为什么你会判定它们分别是圆柱、圆锥、圆台呢？问题1 圆柱、圆锥、圆台分别具有哪些性质？哪些性质可以分别作为圆柱、圆锥和圆台集合的特征性质？答：通过观察可以看出，圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(如图)． 问题2 类比棱柱、棱锥、棱台中的底面、侧面、侧棱、高这些概念，在圆柱、圆锥、圆台中相应的有关概念是如何定义的？答：旋转轴叫做所围成的几何体的轴：在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线．问题3 对圆柱、圆锥、圆台过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？答：分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．问题4 圆柱、圆锥、圆台如何用字母表示？答：圆柱、圆锥、圆台用表示它的轴的字母表示，如问题1中的图中圆柱OO′、圆锥SO 、圆台OO′.问题5 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？答：它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点是：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不等的圆，圆锥只有一个底面；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥例1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长(如图所示)．解： 设圆台的母线长为y ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x,4x ，根据相似三角形的性质得33＋y ＝x 4x ， 解此方程得y ＝9. 因此，圆台的母线长为9 cm.小结：处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系．跟踪训练1 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，原来圆锥的母线长是16 cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.根据相似三角形的性质得，16－l 16＝r 4r，解得l ＝12.所以，圆台的母线长为12 cm.探究点二 球的结构特征问题1 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆运动的轨迹是怎样的空间图形？答：半圆运动的轨迹是一个球面．问题2 球面的定义是怎样的？球心、球半径、球的直径是如何定义的？答：球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做球． 形成球的半圆的圆心叫球心； 连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径；连接球面上两点且通过球心的线段叫做球的直径．如图中点O 为球心，OA 为球的半径，AB 为球O 的直径．问题3 如何用字母表示一个球？答：一个球用表示它的球心的字母来表示，例如球O.问题4 用集合的观点如何定义球面？答：球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．问题5 用一个平面去截一个球，如何说明截面是圆面？答：如图所示，设OO′＝d ，对于平面α与球面的交线上任意一点P ，O′P ＝R 2－d 2，是一个定值．因此，平面α截球面所得到的交线是以O′为圆心，以r ＝R 2－d 2为半径的一个圆，即截面是一个圆面．问题6 阅读教材14－15页，你能说出什么是球的大圆？什么是球的小圆？什么是球面距离吗？什么是旋转体？什么是组合体？答：(1)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离．(2)圆柱、圆锥、圆台、球等几何体，都是由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，这类几何体叫做旋转体．(3)现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.例2 设地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两地，它们在纬度圈上的弧长等于24πR.求A 、B 两地间的球面距离．解：如图所示，A 、B 是北纬45°圈上的两点，AO′为它的半径，∴OO ′⊥AO′，OO′⊥BO′.∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°，∴AO′＝BO′＝OA·cos 45°＝22R. 设∠AO′B 的度数为α，则απ180·AO′＝απ180·22R ＝24πR ，∴α＝90°. ∴AB ＝AO′2＋BO′2＝⎝⎛⎭⎫22R 2＋⎝⎛⎭⎫22R 2＝R. 在△AOB 中，AO ＝BO ＝AB ＝R ，则△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴A 、B 两点间的球面距离为60πR 180＝π3R. 小结：计算球面距离的关键是确定球大圆劣弧所对的圆心角的度数α，然后通过计算απR 180来确定球面距离(R 是球半径)．跟踪训练2 我国首都靠近北纬40°纬线．求北纬40°纬线的长度约等于多少km(地球半径约为6 370 km ，π≈3.141 6，cos 40°＝0.766 0)．解：如图所示，设A 是北纬40°圈上的一点，AK 是它的半径，所以OK ⊥AK.设c 是北纬40°的纬线长，因为∠AOB ＝∠OAK ＝40°，所以c ＝2π·AK ＝2π·OA·cos ∠OAK ＝2π·OA·cos 40°≈2×3.141 6×6 370×0.766 0≈3.066×104(km)．即北纬40°的纬线长约为3.066×104 km.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．解析：设正三角形的边长为a ，则34a 2＝3，∴a ＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高所以所求的高为32a ＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.2．圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为2 cm,10 cm，高为3 cm，则圆台母线的长为________ cm.解析：圆台母线的长为l＝32＋－2＝5(cm)．3．在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离．解：因截面圆的面积是49π cm2，所以截面圆的半径为7 cm，设球心到这个截面的距离为d，由r＝R2－d2，得d＝R2－r2＝252－72＝24.即球心到这个截面的距离为24 cm.课堂小结：1．圆柱的平行于轴线的截面是一个以上、下底面圆的弦和母线组成的矩形．2．圆锥的过顶点且与底面相交的截面是一个由两条母线和底面圆的弦组成的等腰三角形；圆锥的母线l、高h和底面圆的半径R的关系为l2＝h2＋R2.3．圆台的母线l、高h和上下两底面圆的半径r、R组成一个直角梯形，圆台的有关计算问题，常归结为解这个直角梯形．“还台为锥”也是解决圆台问题的主要方法．4．球面与球体是有区别的．球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，也包括球面所包围的空间．。
人教B版数学必修二目录
必修二
第一章立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1.1.2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.4 投影与直观图
1.1.5 三视图
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论
1.2.2 空间中的平行关系
1.2.3 空间中的垂直关系
本章小结
阅读与欣赏
散发着数学芳香的碑文
第二章平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.4 点到直线的距离
2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程
2.3.2 圆的一般方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式
本章小结
阅读与欣赏
笛卡尔。
高中数学必修2 1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征；2.能在几何体中进行相关的简单运算；3. 能描述一些简单组合体的结构.学法指导自学教材P11~ P12，弄清楚圆柱、圆锥、圆台的结构特征探究1：圆柱的结构特征问题：观察下面的旋转体，你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗？1；以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体，叫做旋转轴叫做圆柱的；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的，如图所示：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示为OO .探究2：圆锥的结构特征问题：下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义，你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗？试在旁边的图中标出来.新知2：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体.探究3：圆台的结构特征问题：下图中的物体叫做圆台，也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢?新知3；直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone).用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台.圆台和圆柱、圆锥一样，也有轴、底面、侧面、母线，请你在上图中标出它们，并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思：结合结构特征，从变化的角度思考，圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系？探究4：球的结构特征问题：球也是旋转体，怎么得到的?新知4：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径；球通常用表示球心的字母O表示，如球O.探究5：简单组合体的结构特征问题：矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？新知5：由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.※典型例题例将下列几何体按结构特征分类填空：⑴集装箱⑵运油车的油罐⑶排球⑷羽毛球⑸魔方⑹金字塔⑺三棱镜⑻滤纸卷成的漏斗⑼量筒⑽量杯⑾地球⑿一桶方便面⒀一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶，剩下的上底面与地面平行；①棱柱结构特征的有________________________；②棱锥结构特征的有________________________；③圆柱结构特征的有________________________；④圆锥结构特征的有________________________；⑤棱台结构特征的有________________________；⑥圆台结构特征的有________________________；⑦球的结构特征的有________________________；⑧简单组合体______________________________.※动手试试'',剩下的几何体是什么?截去的几何体是什练.如图，长方体被截去一部分，其中EH‖A D么?三、总结提升※学习小结1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念；2. 简单组合体的结构特征.※知识拓展圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状，通常圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. Rt ABC∆三边长分别为3、4、5，绕着其中一边旋转得到圆锥，对所有可能描述不对的是（）.A.是底面半径3的圆锥B.是底面半径为4的圆锥C.是底面半径5的圆锥D.是母线长为5的圆锥2. 下列命题中正确的是（）.A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（）.A. B.4. 已知，ABCD为等腰梯形，两底边为AB,CD.且AB>CD，绕AB所在的直线旋转一周所得的几何体中是由、、的几何体构成的组合体.5. 圆锥母线长为R__________.课后作业1.如图,是由等腰梯形、矩形、半圆、倒形三角对接形成的轴对称平面图形，若将180后形成一个组合体，下面它绕轴旋转0说法不正确的是___________A.该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B.该组合体仍然关于轴l对称C.该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D.该组合体中的球和半球只有一个公共点,则球心到截面的距离为多少？2. 用一个平面截半径为25cm的球,截面面积是249cm。
高中数学必修二113_球
O1
A
O
O2 B
练习：
1、球面上有3个点，其中任意两点的球面距
离 都等于大圆周长的 1 ,
6
经过3点的小圆的周
长为4 , 那么这个球的半径为（ ）
A．4 3 B．2 3 C． 2 D ． 3
O C
B A
练习：
已知球O的半径为13，表面上有P、B、C三点，且 PB=8,PC=6,BC=10, 求过P,B,C的截面到球心的距离？
(2) 求经过A、B两地的球面距离？
m
O1
A
B
O
例3．在半径为 13cm 的球面上有 A, B,C 三点，
AB BC AC 12cm ，求球心到经过这三点的 截面的距离
O
B
C
新疆 王新敞
奎屯
O'
A
练习：
球的半径是25，球内有两个平行截 面的面积分别是49、400,求两截 面距离
O
O1
A
O2 B
1.1空间几何体
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 (2)
1.半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面。
2.半圆面以它的 直径所在的直线 球的直径 为轴旋转所成的 几何体叫做球体。 (球是旋转体 )
球的半径
3.注意：球面和球体的区别： 球面仅仅是指球的表面， 而球体不仅包括球的表面， 而且还包括球面所围成的几何空间。
A．一个 B．无穷多个
C．零个 D．一个或无穷多个
2．判断：(1)过球面上相异两点A、B(不
是直径的端点)总可作无数个小圆（√）
地球仪中的经纬线
经线：球面上从北极到南极的半个大圆叫做 经线。
纬线：赤道是一个大圆，其余都是 小圆。
数学：1.1.3《圆柱、圆锥、圆台和球》课件(新人教B版必修2)
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O
球心
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
多面体
旋转体
知识小结
简单几何体的结构特征
柱体
棱柱 圆柱
锥体 棱锥 圆锥
台体 棱台 圆台
球
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、 暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？ 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认 识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱 圆台
S
顶点
（1）底面是圆 （2）侧面展开图是以母线长为半径的扇形 母 （3）母线相交于顶点
轴 侧 面
（4）平行于底面的截面是与底 面平行且半径不相等的圆
（5）轴截面是等腰三角 形．
A
线
O B
底面
前面提到的四种几何体：棱柱、棱锥、圆柱、圆 锥，可以怎样分类？
几何体的分类
柱体
锥体
棱台与圆台的结构特征 下图中的物体具有什么样的共同的结构特征？有 什么不同的结构特征？
有一个面是多边形，其余 各面都是有一个公共顶点的三 角形所围成的几何体叫棱锥．
S
顶点
（1）底面是多边形 （2）侧面都是三角形． （3）侧棱相交于一点．
侧棱
侧面
D
C 底面
B
A
圆柱的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
A′ O′
A
O
圆柱的结构特征
如何描述下图的几何结构特征？
圆柱
底面 以矩形的一边所在直线为 旋转轴，其余边旋转形成的曲 面所围成的几何体叫做圆柱．
简单组合体
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
题型二
例2
圆柱体的有关量的计算
寻找与母线有关的矩形或者与半径有关的圆．
一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中 有一个高为x的内接圆柱． (1)用x表示圆柱的轴截面面积S； (2)当x为何值时，S最大？ 【分析】 建立S关于x的关系式求最 值，应从函数的角度入手解决．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
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2．设圆锥的高为h，底面圆的半径为 r，把它的侧面沿一条母线切开展平成一个扇 形，求扇形的圆心角． 解：设扇形的圆心角为 α， ∵圆锥的高为 h，底面圆的半径为 r， ∴圆锥的母线长为 l＝ h2＋r2. 把它的侧面沿一条母线切开展平成一个扇 形，那么扇形的半径等于圆锥的母线长 l＝ h2＋r2，弧长为圆锥的底面周长 2πr.∴2πr＝ α·π· h2＋r2 r ，解得 α＝ 2 2· 360. 180 h ＋r
第 一 章 立 体 几 何 初 步
(4)球面距离 在球面上，两点之间的最短连线 的长度，就是经过这两点的大圆在这 两点间的一段劣弧的长度．
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题型一 圆柱、圆锥、圆台及球的有关概念
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
【点评】 本题是考查圆柱、圆锥、圆台 概念的理解问题．对几何体的概念理解要到 位，稍有疏忽都会造成错误的判断，做题时要 注意以哪条边所在直线为旋转轴，必须清楚地 认识到：以直角三角形的一条直角边所在直线 为旋转轴旋转得圆锥，以斜边为旋转轴旋转就 是两个圆锥的组合体；以直角梯形垂直于底的 腰所在直线为旋转轴旋转得圆台，以斜腰所在 直线为旋转轴把直角梯形旋转一周得两个圆锥 和一个圆台的组合体．
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(3)圆台的结构特征 定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在 的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的 曲面所围成的几何体叫做圆台． 圆台的轴：旋转轴叫做圆台的轴． 圆台的高：在轴上的这条边(或它的长度) 叫做圆台的高．
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1．下列判断正确的是( ) A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 答案：C
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3．已知圆锥的底面半径为r，高为 h，正方体ABCDA1B1C1D1内接于圆 锥，求这个正方体的棱长． 解：过内接正方体的一组对棱作圆 锥的轴截面，如图所示．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】 解答本题可先根据圆柱、圆 锥、圆台的定义和性质，再结合已知的各个命 题中所涉及的具体情况进行具体分析．
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【解】
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第 一 章 立 体 几 何 初 步 【点评】 轴截面是旋转体中一类重要的 截面，它是把立体几何问题向平面几何问题转 化的重要桥梁．圆柱、圆锥的轴截面有无数 个，作图时要注意已知量与未知量的联系，即 将未知量和有用的已知量充分显示在轴截面图 形中，从而有利于问题的解决．
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1．圆柱、圆锥、圆台的结构特征 (1)圆柱的结构特征 定义：以 矩形 的一边所在直线为旋 转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成 的几何体叫做圆柱． 圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴， 如图中的OO′.
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
题型三
圆锥、圆台中各量的计算
圆台也可以看成是圆锥用平行于底面的截 面截得的． 例3 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的 夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底 面半径． 【分析】 由已知需先画出圆台的轴截面 图形，而要求此圆台的高，母线长和两底面半 径，则需将圆台轴截面延长其母线回归到圆锥 轴截面，再根据圆台的性质求解．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
(2)球的截面的性质 ①r为截面圆半径，R为球的半径，d为球 心O到截面圆的距离，即O到截面圆心O′的距离 (如图)．则r、R、d之间的关系为 R2＝d2＋r2 . ②球的大圆、小圆 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的 大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的 小圆．
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(3)地球仪中的经纬度 ①经线和经度 经线是地球表面上从北极到南极的半个大 圆，在同一条经线上的点的经度都 相等 ，如图 中，圆O是赤道面，圆O′是纬度圈，P点的经度 与A点的经度 相等 ，如果经过点B的经线是本初 子午线(即0°经线)，则P点的经度等于∠AOB 的度数，也等于 ∠PO′C 的度数．
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如图所示，圆O是赤道面，圆O′是纬线 圈，P点的纬度等于 ∠POA 的度数，也等于 ∠OPO′ 的度数．
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理解它们定义的共性：都是旋转体． 例1 有以下命题： (1)以直角三角形一边为旋转轴，旋转 所得的旋转体是圆锥；(2)以直角梯形的一 条腰所在直线为旋转轴，旋转所得的几何 体是圆台；(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都 是圆；(4)分别以矩形两条不同的边所在直 线为旋转轴，将矩形旋转，所得的两个圆 柱可能是两个不同的圆柱．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步 ②纬线和纬度 赤道是一个大圆，它是0°纬线，其它的纬 线都是小圆，它们是由与赤道面 平行 的平面截 球所得到的．某地的纬度就是经过这点的球半径 与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度数．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步
(1)如图，设内接圆柱的底 6－x r 面圆半径为 r，则由已知可得 ＝ ， 6 2 6－x 所以 r＝ . 3 6－x 2 所以轴截面面积 S＝2× · x＝－ 3 3 x2＋4x，其中 0<x<6. 2 (2)因为 S＝－ (x－3)2＋6， x∈(0,6)， 3 所以当 x＝3 时，S 最大．
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第 一 章 立 体 几 何 初 步 【点评】 求解有关圆台的问题 时，通常将其恢复成圆锥，借助比例及直 角三角形求解．
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2．球 (1)球的结构特征 定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋 转一周所形成的曲面围成的几何体叫做球 体．简称球． 球心：形成球的半圆的 圆心 叫做球的球 心． 球的半径：连结球面上一点和球心的线段 叫球的半径． 球的直径：连结球面上两点且通过球心的 线段叫球的直径．
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