高数重要定理(高数上下)

4.如果欲证等式，则再应用介值定理即可证明；如果欲证不等式，
则继续取绝对值放大、缩小即可证明.
1．水平渐近线
若 xli→m∞ f (x)= A ( 或 xl→im+∞ f (x)= A或 xl→im−∞ f (x)= A),则 y = A是曲线
y= f (x)的一条水平渐近线．
2．垂直（竖直、铅直）渐近线
g(x) (3) 已知lim f (x)g(x)= A，lim f (x)=∞，
则limg(x)=0.
1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续. 2.初等函数在其定义区间内处处连续. 3.闭区间上连续函数的性质
(1)最值性:若 f (x)在[a,b]上连续, 则 f (x)在[a,b]上必有最大值
（1）高阶：若lim α ( x) = 0，记为α ( x) = ο[β ( x)]; β ( x)
（2）低阶：若lim α ( x) = ∞，记为β ( x) = ο[α ( x)]; β ( x)
（3）同阶： 若lim α ( x) = C ≠ 0,记为α ( x) = O[β ( x)]; β ( x)
(ln
x).
(4) ∫ f (
x)
dx x
=
2∫
f
(
x)d(
x ).
(5) ∫ f (cos x)sin xdx = −∫ f (cos x) d (cos x).
(6)
∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞ ⎟⎠
dx x2
=
−∫
f
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠d
⎛ ⎜⎝
1 x
⎞⎟⎠.
定积分的性质：
(1)
a
∫b
f
(x)dx
=
若C = 1，称α ( x), β ( x)是等价无穷小，记为α ( x) ∼ β ( x);
（4）无穷小量的阶:
若lim
α(x) [β ( x)]k
=C
≠ 0，称α ( x)是β ( x)
的k 阶无穷小量.
宝典公式： (1) limg(x)=0, lim gf ((xx))= A，则lim f (x)=0； (2) lim f (x)=0, lim f (x)= A≠0，则limg(x)=0；
洛必达法则
(1)当 x → a (或 x → ∞ )时, f ( x) 及 F ( x) 都趋
于零（或无穷大）；
(2) 在 点 a 的 某 去 心 邻 域 ( 或 |x |> M > 0 )
内, f ′( x)及F′( x)都存在ห้องสมุดไป่ตู้F′( x) ≠ 0；
(3) lim f ′( x)存在(或为无穷大).
1.找 n；
2.确定 x0，将函数 f (x)在点 x0处展开成泰勒公式.一般题设中会
提示一些特殊的点作为泰勒公式的展开点 x ，通常取 x 为函数值
0
0
为零的点、导数值为零的点、区间中点、函数的极值点或题设中
给出的其他特殊的点.
3.将区间端点a和b分别代入泰勒展开式，把得到的两个展开式相
加或相减.
x→a F ′( x)
( x→∞)
则
lim
f (x) =
lim
f ′( x).
x→a F ( x) x→a F ′( x)
( x→∞)
( x→∞)
等价无穷小量替换（代换）定理： 在同一个极限过程,若α ∼α′, β ∼β′，则
limαβ
=limα β
′′=limαβ′=limβα′.
注：等价无穷小量代换一般只能用在整体乘、 除关系，而不能用在局部乘、除关系和整体加、 减关系.
⎜⎝
x
(n−1)
⎞ ⎟
⎟ ⎟⎠
=
(−1)n−1 (1+
(xn)n−1)!.
一、罗尔定理 设 f ( x)在[a,b]连续,在(a,b)内可导，且
f (a) = f (b),那么至少∃ξ ∈ (a,b)，使 f ′(ξ ) = 0.
二、拉格朗日中值定理 设 f ( x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,那么至少存在 一个ξ ∈ (a,b),使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ).
k=0
注：(1)
⎡⎢sin(ax
⎢⎣
(n) +b)⎤⎥
⎥⎦
=
an
sin(ax
+
b
+
n⋅π 2
);
⎡⎢cos(ax
⎢⎣
(n) +b)⎤⎥
⎥⎦
=
an
cos(ax
+b
+
n⋅π2
);
(2)
⎛ ⎜⎜ ⎝
a
x
(n)
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜⎝
ln
a
n
⎞ ⎟ ⎟⎠
⋅a
x;
(3) [(1+x)µ](n)=µ(µ −1)⋯(µ −n+1)(1+ x)µ−n;
+
f
(n)( x0 ) ( x n!
−
x0 )n
+
Rn( x),
其中 Rn( x) =
f (n+1) (ξ ) (x
(n + 1)!
−
x0 )n+1，ξ
在
x0与
x之间.
证明存在两个点ξ,η∈(a,b)，使得G[ f ′(ξ), f ′(η),⋯]=0. 方法提示：利用一次或两次中值定理. 1.证明在(a,b)内存在ξ,η 满足某种关系式的命题 的程序： (1)在欲证的等式中，将ξ 和η分离开来，即把包 含ξ 的函数和包含η 的函数分别放在等式的两 端. (2)选择等式的一端应用一次中值定理或介值 定理得到ξ ，再对等式的另一端应用一次中值定 理或介值定理得到η .
若 xl→ima+ f (x)=∞ 或 xl→ima− f (x)=∞ ,则 x=a 为曲线 y= f (x)的一条垂
直渐近线．
3．斜渐近线
若 xl→im+∞
f
(x) x
=
a
=/ 0,
xl→im+∞[
f
(x) − ax]=b 或 xl→im−∞
f
(xx)=a=/ 0，
xl→im−∞[ f (x)−ax]=b,则 y=ax+b是曲线 y= f (x)的一条斜渐近线．
基本积分公式
1. ∫
dx a2 −
x2
=
arcsin
x a
+ C，∫
dx = arcsin x+C 1− x2
2.
∫
dx a2 + x2
=
1 a
arctan
x a
+
C，∫1+dxx2
=
arctan
x
+C
3.
∫
dx a2 − x2
=
1 2a
ln
a a
+ −
x x
+
C,∫
dx x2 −a2
=
1 2a
ln
常用等价无穷小量：1、当 x → 0时, (1)sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ∼ x (2)ln(1 + x) ~ e x − 1 ∼ x; a x − 1 ~ x lna, (3)(1 + x)α − 1 ~ α x, 1 − cos x ~ 1 x2.
求导法则： 1．四则运算法则； 2．复合函数求导法； 3．隐函数求导法； 4．反函数求导数； 5．参数方程求导法； 6．对数求导法； 7．高阶导数.
高阶导数
1．归纳法
求一阶 y′、二阶 y′′，归纳n阶导数 y(n)． 2．公式法（莱布尼兹公式）：(uv)(n) = ∑n Cnk u(k) v(n−k).
a a
− +
x x
+C
4.∫ tan xdx = −ln cos x +C,∫cot xdx = ln sin x +C
5. ∫sec xd x = ln |sec x + tan x| +C
6. ∫csc xd x = ln |csc x −cot x| +C
7. ∫
dx = ln | x + x2 ± a2
−
y1(x)
dx.
2）由
y
=
c,
y
=
d
,
x
=
x1⎜⎝⎛
y
,⎟⎞
⎠
x
=
x2⎜⎝⎛
y
⎟⎞ ⎠
,所围成的平面图形的面积
A=
d ∫c
x2( y)− x1( y)
dy.
(2) 极坐标
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
x = r cosθ y = rsinθ
,其中θ
为极角,
r
为极径.
1）由θ
=α,
θ
=β,
r
= r(θ ),
g(b) − g(a) g′(ξ )
四、泰勒定理（带拉格朗日余项的泰勒公式）
设 f ( x)在区间I 上(n + 1)阶可导, x0 ∈ I ，那么
∀x ∈ I ,至少存在一个ξ ，使
f (x) =
f ( x0 ) +
f ′( x0 )( x − x0 ) +
f ′′( x0 )( x − 2!
x0 )2 + ⋯
2
2、 x → 1 , ln x ∼ x − 1
带皮亚诺余项的泰勒公式:
若 f ( x)在 x0及其附近有直到n阶的导数,则