第5章扭转应力(1,2,3)
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(仅供参考)第3章扭转作业参考解答
第3章作业参考解答3-1 试作附图中各圆杆的扭矩图。
习题3-1附图解答 各杆的轴力图分别见解答附图(a)、(b)、(c)、(d)。
3-2 一传动轴以每分钟200转的角速度转动，轴上装有4个轮子，如附图，主动轮2输入功率60kW ，从动轮1，3，4依次输出功率15kW ，15kW 和30kW 。
（1）作轴的扭矩图。
（2）将2，3轮的位置对调，扭矩图有何变化？ 解答 (1)各轮上作用的力偶矩为m kN T ×=´´´=716.0200260101531pm kN T ×=´´´=865.2200260106032p ，m kN T ×=´´´=716.0200260101533pm kN T ×=´´´=432.1200260103034p扭矩图见附图(a)，最大扭矩为m kN M x ×=149.2max 。
(2) 2，3轮的位置对调后扭矩图见附图(b)，最大扭矩为m kN M x ×=432.1max 。
(a) M x(c) M x /N ·m(b)M x /kN ·m(d) M x /kN ·m习题3-2附图T 1T 2 T 3 T 4 (a)M x /kN ·m1.432(b) M x /kN ·m3-3 一直径d =60mm 的圆杆，其两端受T =2kN·m 的外力偶矩作用而发生扭转，如附图示。
设轴的切变模量G =80GPa 。
试求横截面上1，2，3点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。
解答 1，2，3点处的切应力分别为MPaMPa W T p 4.313/22.4716/06.014.320000.031332===´===t t t t 切应力方向见附图(1)。
第5章 弯曲应力
π D4 圆形截面 Iz I y 2 64 Ip π 4 圆 环 形 截 面 Iz I y (D d 4 ) 2 64 π D4 或 Iz I y (1 4 ) 64 d 式中 D 小结 塑性弯曲 弯曲剪应力 返回上页 结束 Ip
bh3 Iz 12
弯曲应力
惯性矩计算
弯曲强度
提高抗弯能力
塑性弯曲
弯曲剪应力
小结
返回上页
结束
例5-5 一T字形截面铸铁梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及搁置方式如 图示，材料的抗拉强度b=320MPa, 抗压强度C=750MPa,取安全系数n=4, 试校核梁的强度。 解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图所示，最大弯矩 为
2 I
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
I z I zI I zII 84 52 136cm4
弯曲应力 惯性矩计算 弯曲强度 提高抗弯能力 塑性弯曲 弯曲剪应力 小结 返回上页 结束
第 3 节 横梁弯曲时的正应力
M max ymax max Iz
• （1）矩形截面
I P 2dA ( y 2 z 2 )dA y 2dA z 2dA I z I y
A A A A
y 2 2 I z y dA h y bdy b 2 3 A
h 2
h 3 2 h 2
bh3 12
I P 2I z 2I y
每个横截面上的最大正应力
都等于材料的许用应力值，称为
hb3 Iy 12
（2）圆形与圆环截面 D 4 2 I p dA 32 A
弯曲应力 惯性矩计算 弯曲强度 提高抗弯能力
bh3 Iz 12
弯曲应力
惯性矩计算
弯曲强度
提高抗弯能力
塑性弯曲
弯曲剪应力
小结
返回上页
结束
例5-5 一T字形截面铸铁梁，已知P=3.5kN, a=0.5m, 截面尺寸及搁置方式如 图示，材料的抗拉强度b=320MPa, 抗压强度C=750MPa,取安全系数n=4, 试校核梁的强度。 解：（1）作弯矩图，求最大弯矩 梁的弯矩图如图所示，最大弯矩 为
2 I
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩
将两矩形对z轴的惯性矩相加，得
I z I zI I zII 84 52 136cm4
弯曲应力 惯性矩计算 弯曲强度 提高抗弯能力 塑性弯曲 弯曲剪应力 小结 返回上页 结束
第 3 节 横梁弯曲时的正应力
M max ymax max Iz
• （1）矩形截面
I P 2dA ( y 2 z 2 )dA y 2dA z 2dA I z I y
A A A A
y 2 2 I z y dA h y bdy b 2 3 A
h 2
h 3 2 h 2
bh3 12
I P 2I z 2I y
每个横截面上的最大正应力
都等于材料的许用应力值，称为
hb3 Iy 12
（2）圆形与圆环截面 D 4 2 I p dA 32 A
弯曲应力 惯性矩计算 弯曲强度 提高抗弯能力
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学课件第3-4章
L M x( x) d x
0 GIP (x)
28
3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件
二. 刚度条件
对等直轴:
d
dx
Mx GIP
单位长度的扭转角
等直圆轴扭转
max
M x max GIP
180
[ ](o /m)
对阶梯轴: 需分段校核。
max
M x max GIP
180
[ ](ο /m)
2. 给出功率, 转速
(kw)
Me = 9549
P n
(N. m)
(r/min)
5
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二.横截面上的内力
截面法求内力： 截，取，代，平
Mx 称为截面上的扭矩
Mx 0 Mx Me 0 即 Mx Me
按右手螺旋法：
指离截面为正，
M x 指向截面为负。
6
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
10
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一. 薄壁筒扭转实验
nm
t
实验观察 分析变形
x
r
nm l
mn没变 x = 0
x = 0
Me
nm
γ
Me
φ
x
r没变 = 0
= 0
nm
Me
nm
Mx
x
n m Mx
11
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
Me Mx
nm
Mx
n m Mx
由于轴为薄壁,所以认
为 沿t 均布.即 =C
max
M x max Wp
31.5 103 m
M x max d 3
16
第5章弯曲应力分析
49.4MPa
伸臂靠近轮毂接合处，直径较小
M F 0.125m 12875N m
max
M Wz
32M πd13
32
12875103 N mm
π 130mm3
59.7MPa
例 槽型截面铸铁梁及其横截面如图所示。已知横截
面对中性轴的惯性矩Iz=5493×104mm4,铸铁许用拉应
根据平面假设，两相邻横 截面之间所有纵向线段的 变形规律，与侧面上观察 到的情形相同。从下部纤 维的伸长逐渐过渡到上部 纤维的缩短，其中必有一 层纵向纤维弯曲后长度不 变，该层称之为中性层； 它与横截面的交线称为中 性轴。
对称弯曲时，中性层与 纵向对称平面 x y 相垂 直，即中性轴 z 与横截 面的对称轴 y 正交。相 邻横截面正是绕中性轴 相对转动的，可见在两 相邻横截面之间与中性 层平行的某层纤维，其 伸长（或缩短）变形是 相同的，只随该层纤维 到中性层的距离不同而 变化。
（5） 的对称性和横截面的对称性关系
M y
zdA E
A
A
yzdA
E
I yz
0
y是对称轴
I 0 yz
（6）正应力计算公式的适用范围
（a）平面假设成立 （b）层间无挤压应力 （c）拉压弹性模量相等
§6-2 横力弯曲时梁的正应力及其强度条件 梁的合理截面
一、横力弯曲时梁的正应力及其强度条件
I. 横力弯曲时的正应力
Fl
max
I
z
4
双轴对称截面：中性轴 z 为横截面的对称轴 b
h
z
z
y
y
My
max max
max
I
z
M
max
工程力学习题-第五章
5－3 图示绞车同时由两人操作，若每人加在手柄上的力均是 FP=200N，已知轴的许用切应 力[]=40MPa，试按强度条件初步估算轴 AB 的直径 d，并确定最大起重量 G 值。
解题思路： （1）由力的简化，求出作用在 AB 轴两端的转矩；再研究 AB 轴，由 AB 轴的平衡方程求出 作用于轴上轮子处的切向力和转矩。 （2）确定 AB 轴的最大扭矩；写出实心轴扭转截面系数表达式；由强度条件式（5－20）估 算轴 AB 的直径 d。 （3）研究 CD 轴，注意其上轮子处的切向作用力与作用于 AB 轴上轮子处的切向力反向， 由 CD 轴的平衡方程确定最大起重量 G 值。 答案： d 21.7mm ， G 1120N 5－6 驾驶盘的直径 D =520mm，加在盘上的力 FP=300N，轴材料的许用切应力[]=60MPa。 （1）当轴为实心轴时，试设计轴的直径 D1； （2）当轴为内外径比值 =0.8 的空心轴时，试设计轴的内径 d2 和外径 D2； （3）比较空心轴与实心轴的重量。
解题思路： （1）确定轴横截面上的扭矩大小。 （2）由式（5－10）和（5－11）分段计算 IP 和 WP。 （3）由式（5－8）分段计算最大切应力并作比较。 （4）由式（5－18b）确定轴内最大相对扭转角 max。 答案： （1） max 47.7MPa （BC 段） （2） max 2.27 10
解题思路： （1）求作用于盘上的力偶矩。 （2）写出实心轴和空心轴扭转截面系数表达式。 （3）分别由强度条件式（5－20）计算实心轴直径 D1 和空心轴内、外径 d2 和 D2。 （4）空心轴与实心轴的重量比等于其横截面面积之比。 答案： （1） D1 23.6mm
（2） D2 28.2mm ， d 2 22.56mm （3）略 5－7 图示实心圆轴承受扭转外力偶作用，其力偶矩 M e 3kN m 。试求： （1）轴横截面上的最大切应力； （2）轴横截面上半径 r=15mm 以内部分承受的扭矩占全部横截面上扭矩的百分比； （3）去掉 r=15mm 以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
第5章杆件横截面上的切应力
沿截面宽度方向均匀分布。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
y
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
杆件横截面上的切应力分析
剪切虎克定律
当在弹性范围内加载时，剪 应力与剪应变成正比：
=G
这种线性关系称为剪切虎克定律。 G称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
§5-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
平截面假设
圆轴扭转时，横截面保持 为平面，并且只在原地绕 轴线发生“刚性”转动。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
已知：p=7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa， 空心圆轴内外径之比a=0.5.二轴长度想相同。求：实心轴 的直径d1和空心轴的外直径D2，确定二轴的面积比。
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章 杆件横截面上的正应力分析
§5-1 圆轴扭转时横截面上的切应力
§5-2 非圆截面扭转杆的切应力
§5-3 梁横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
切应力设作用在微元左、右面上的剪 应力为 ，这两个面上的剪应力 与其作用面的乘积，形成一对力， 二者组成一力偶
第5章
杆件横截面上的切应力分析
第5章
杆件横截面上的切应力分析
§5-3 梁横截面上的切应力
第5章
杆件横截面上的切应力分析
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
第5章 弯曲应力 (材料力学)
Distribution reg源自larity of deformation
物 理 关 系
Distribution regularity of stress
静 力 关 系
static relationship
Establish the formula
(Stresses in Beams) 一、实验（ Experiment） 实验（ Experiment）
Hooke’s Law 所以 σ = E
σ = Eε
y
?
M
O
z x
ρ
?
y
应力分布规律： 应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴 的距离成正比. 的距离成正比. 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
?
(Stresses in Beams) 四、静力关系 (Static relationship） relationship）
中性轴
中性轴 ⊥横截面对称轴
中性层 横截面对称轴
(Stresses in Beams) 二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
dx
O
dθ
O
x O y b O’ x b’
z b 图（a）
y
O’
b’ z y
图（b）
图 （ c）
b′b′ = (ρ + y)dθ
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系， 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量. 得到三个内力分量. M 内力与外力相平衡可得
O
Mz
z
y
dA