高考数学总复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课时演练 新人教A版

一、选择题1．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是先增后减的函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )解析：根据题意f ′(x )在[a ，b ]上是先增后减的函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线斜率是先随x 的增大而增大，然后随x 的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项C 满足题意．答案：C2．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3)B ．(0，32)C ．(0，＋∞) D．(－∞，3) 解析：令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a3(a ＞0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则2a 3＜1，∴0＜a ＜32. 答案：B3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大，∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴最小值为－37. 答案：A4. 若一球半径为r ，作内接于球的圆柱，其侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2解析：S 侧＝2πr ′h ＝4πr ′r 2－r ′2S ′(r ′)＝4πr 2－r ′2＋2πr ′－2r ′r 2－r ′2＝4πr 2－4πr ′2－4πr′2r 2－r ′2＝0.∴r ′＝22r .∴S 侧＝4π×22r ×22r ＝2πr 2. 答案：A5．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2] C ．(－∞，－1) D ．(1，＋∞)解析：由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)， 且当x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝－1时函数f (x )有极大值，当x ＝1时函数f (x )有极小值．要使函数f (x )有3个不同的零点，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f－1＞0，f 1＜0.解之得－2＜a ＜2. 答案：A6．已知函数f (x )＝x 33＋12ax 2＋2bx ＋c 的两个极值分别为f (x 1)，f (x 2)，若x 1，x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b －2a 的取值范围是( )A ．(－4，－2)B ．(－∞，2)∪(7，＋∞)C ．(2,7)D ．(－5，－2) 解析：由题，求导可得f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝2b ＞0f ′1＝1＋a ＋2b ＜0f ′2＝4＋2a ＋2b ＞0，所以a ，b 满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b －2a 在B (－1,0)处取值为2，在C (－3,1)处取值为7，所以b －2a 的取值范围是(2,7)．答案：C 二、填空题7．函数y ＝x ＋2cos x 在[0，π2]上取得最大值时，x 的值为____．解析：y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x ， 令1－2sin x ＝0，且x ∈[0，π2]时，x ＝π6.当x ∈[0，π6]时，f ′(x )≥0，f (x )是单调增函数， 当x ∈[π6，π2]时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减．∴f (x )max ＝f (π6)．答案：π68．(金榜预测) 已知某质点的运动方程为s (t )＝t 3＋bt 2＋ct ＋d ，如图所示是其运动轨迹的一部分，若t ∈[12，4]时，s (t )＜3d 2恒成立，则d 的取值范围为________．解析：∵质点的运动方程为s (t )＝t 3＋bt 2＋ct ＋d ，∴s ′(t )＝3t 2＋2bt ＋c . 由图可知，s (t )在t ＝1和t ＝3处取得极值，则s ′(1)＝0，s ′(3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9.∴s ′(t )＝3t 2－12t ＋9＝3(t －1)(t －3)．当t ∈[12，1)时，s ′(t )＞0；当t ∈(1,3)时，s ′(t )＜0；当t ∈(3,4)时，s ′(t )＞0，∴当t ＝1时，s (t )取得极大值4＋d . 又∵s (4)＝4＋d ，∴当t ∈[12，4]时，s (t )的最大值为4＋d .∵当t ∈[12，4]时，s (t )＜3d 2恒成立，∴4＋d ＜3d 2，即d ＞43或d ＜－1.答案：d ＞43或d ＜－1三、解答题9．(理用)设函数f (x )＝ex －1＋a x(a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值，且函数g (x )＝f (x )＋b 在(0，＋∞)上有零点，求b 的最大值；(2)若f (x )在(1,2)上为单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ex －1－a x2，又函数f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，a ＝1，经检验符合题意，g ′(x )＝ex －1－1x2，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，当x ＝1时，g ′(x )＝0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，∴g (x )在x ＝1时取得极小值g (1)＝2＋b ，依题意g (1)≤0，∴b ≤－2，∴b 的最大值为－2.(2)f ′(x )＝ex －1－ax2，当f (x )在(1,2)上单调递增时， ex －1－a x2≥0在[1,2]上恒成立，∴a ≤x 2e x －1，令h (x )＝x 2ex －1，则h ′(x )＝ex －1(x 2＋2x )>0在[1,2]上恒成立，即h (x )在[1,2]上单调递增，∴h (x )在[1,2]上的最小值为h (1)＝1，∴a ≤1；当f (x )在[1,2]上单调递减时，同理a ≥x 2ex －1，h (x )＝x 2e x －1在[1,2]上的最大值为h (2)＝4e ，∴a ≥4e；综上：实数a 的取值范围为a ≤1或a ≥4e.9．(文用)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1. (1)若y ＝f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围；(3)在(1)的条件下是否存在实数m ，使得不等式f (x )≥m 在区间[－2,1]上恒成立，若存在，试求出m 的最大值，若不存在，试说明理由．解：(1)∵x ＝－2是方程f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的根， ∴12－4a ＋b ＝0，又切线的斜率为3， 即f ′(x )在x ＝1时的值为3，∴3＋2a ＋b ＝3，且点P 既在函数y ＝f (x )的图象上， 又在切线y ＝3x ＋1上，∴f (1)＝4＝1＋a ＋b ＋c ，解得a ＝2，b ＝－4，c ＝5， 故f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)∵曲线在点P 处的切线方程为y ＝3x ＋1， ∴f ′(1)＝3，得2a ＝－b .欲使函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增，只需当－2≤x ≤1时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0成立，即3x 2≥b (x －1)成立．当x ＝1时，对一切的实数b ，不等式3x 2≥b (x －1)成立；当－2≤x ＜1时，则－3≤x －1＜0，可以化不等式为b ≥3x 2x －1，此时3x2x －1的最大值为0.故b ≥0时，y ＝f (x )在区间[－2,1]上单调递增．(3)在(1)的条件下，f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，由f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝0得函数f ′(x )的两个极值点为x 1＝－2，x 2＝23，因此函数的两个极值为f (－2)＝13，f (23)＝9527.函数在区间的两个端点值分别为f (－2)＝13，f (1)＝4. 比较极值与端点的函数值，知在区间[－2,1]上， 函数f (x )的最小值为9527.因此m 的最大值为9527.10．(2012深圳检测) 如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为y ＝ax 2(0≤x ≤2)， ∵点C 的坐标为(2,1)，代入方程可得a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)．要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切， 设切点坐标为P (t ，14t 2)(0<t <2)，∴y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝12t (x －t )，即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E (2，t －14t 2)，F (0，－14t 2)．∴|AF |＝|－14t 2－(－1)|＝1－14t 2，|BE |＝|(t －14t 2)－(－1)|＝－14t 2＋t ＋1.设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·[|AF |＋|BE |]＝(1－14t 2)＋(－14t 2＋t ＋1)＝－12t 2＋t ＋2＝－12(t －1)2＋52≤52. ∴当t ＝1时，S (t )max ＝52(m 2)．故S (t )的最大值为2.5(m 2)． 此时AF ＝0.75(m)，BE ＝1.75(m)．即当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.。