向量数乘和线性运算-精品
教学设计1：6.1.4 数乘向量~6.1.5 向量的线性运算
6.1.4数乘向量~6.1.5向量的线性运算课程标准：1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.了解平面向量的线性运算及其几何意义.教学重点：1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的线性运算.教学难点：向量的数乘运算与线性运算的应用.核心概念掌握知识导学知识点一数乘向量(1)定义：给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa.(2)方向①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下：a．当λ>0时，与a的方向相同；b．当λ<0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘的运算简称为□07数乘向量．其结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线(平行)，即□08λa∥a.(3)几何意义数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小．特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即－a＝(－1)a.(4)运算律当λ和μ都是实数，且a是向量时：λ(μa)＝(λμ)a.数乘向量的定义说明，如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.知识点二向量的线性运算(1)向量的加法与数乘向量的混合运算①对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a.②对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb.(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混合运算，统称为向量的线性运算．新知拓展λa的理解(1)数乘向量定义的实质①条件：一个实数与一个向量相乘．②结论：结果为一个向量；其模等于这个实数的绝对值与这个向量模的乘积，其方向与实数的正负有关．(2)从两个角度看数乘向量 ①代数角度：(ⅰ)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量； (ⅱ)λa ＝0的条件是λ＝0或a ＝0. ②几何角度：(ⅰ)当|λ|>1时，有|λa |>|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a |的|λ|倍；(ⅱ)当0<|λ|<1时，有|λa |<|a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a |的|λ|倍． (3)对数乘向量的运算律的两点说明①数乘向量运算律满足的条件：三种运算律中的λ与μ都是实数． ②实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． (4)单位向量给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向量，如果a 的单位向量记作a 0，则a ＝|a |a 0或a 0＝a|a |.评价自测1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数与向量可以进行加减运算．( ) (2)λa 的方向与a 的方向一致．( ) (3)a 的单位向量a 0与a 方向相反．( )(4)对于任意实数m 和向量a ，b ，若m a ＝m b ，则a ＝b .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)2(3a ＋4b )＝________.(2)若a ＝23e ，b ＝13e ，则a ＝________b .(3)若|a |＝3，b 与a 方向相反，且|b |＝6，则b ＝________a . 【答案】 (1)6a ＋8b (2)2 (3)－2核心素养形成题型一 数乘向量例1 设a 是非零向量，λ是非零实数，则下列结论正确的是( ) A ．a 与－λa 的方向相反 B ．|－λa |≥|a |C ．a 与λ2a 的方向相同D ．|－λa |＝|λ|a【解析】 当λ<0时，a 与－λa 的方向相同，当λ>0时，a 与－λa 的方向相反，因此A 不正确；当|λ|<1时，|－λa |＝|λ||a |<|a |，因此B 不正确；由λ是非零实数，可得λ2>0，所以a 与λ2a 的方向相同，故C 正确；|－λa |是实数，|λ|a 是向量，不可能相等，故D 不正确．故选C.【答案】 C 金版点睛(1)λ是实数，a 是向量，它们的积仍然是向量，λ的符号与λa 的方向有关，λ的大小与λa 的模有关．(2)若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0.(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算． 跟踪训练1如果c 是非零向量，且a ＝－2c,3b ＝c ，那么a ，b 的关系是( ) A ．相等 B ．共线 C ．不共线D ．不能确定【解析】 ∵a ＝－2c,3b ＝c 且c 为非零向量，∴a ＝－6b ，∴a 与b 共线且方向相反. 【答案】 B题型二 数乘向量的简单应用例2 若AP →＝13AB →，AB →＝λBP →，则实数λ的值为( )A.32 B ．－32C.23D ．－23【解析】 AP →＝13AB →，如图．结合图形可知AB →＝－32BP →.【答案】 B 金版点睛解决有关数乘向量的问题关键要确定两个相关向量它们的模的倍数关系，以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化． 跟踪训练2设P 是△ABC 所在平面内的一点，且CP →＝2P A →，则△P AB 与△PBC 的面积之比是( ) A ．1∶3 B ．1∶2 C ．2∶3 D ．3∶4 【解析】 作出图形如图所示．∵CP →＝2P A →，∴P 为边AC 上靠近A 点的三等分点．又△P AB 与△PBC 的底边长之比为|P A →|∶|CP →|＝1∶2，且高相等， ∴△P AB 与△PBC 的面积之比为1∶2. 【答案】 B题型三 向量的加法与数乘向量的混合运算 例3 计算下列各式并填写结果： (1)4×12a ＋2(a ＋b )＋4b ＝________；(2)2(3a ＋2b )＋3(a ＋5b )＋5(a ＋4b )＝________. 【解析】 (1)原式＝2a ＋2a ＋2b ＋4b ＝4a ＋6b .(2)原式＝6a ＋4b ＋3a ＋15b ＋5a ＋20b ＝(6＋3＋5)a ＋(4＋15＋20)b ＝14a ＋39b . 【答案】 (1)4a ＋6b (2)14a ＋39b 金版点睛(1)数乘向量的运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等号左右两边式子的运算结果都是向量，但运算次序不同．(2)数乘向量的运算律要注意λ，μ均为实数，不可以是向量．(3)数乘有两个分配律(λa ＋μa ＝(λ＋μ)a 可称为第一分配律，λ(a ＋b )＝λa ＋λb 可称为第二分配律)，实数的乘法只有一个分配律． 跟踪训练3设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，那么AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．相等B ．模相等C ．同向平行D ．反向平行【解析】 易得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，所以AD →＋BE →＋CF →＝AB →＋13BC →＋BA →＋13AC →＋CB →＋13BA →＝CB →＋13(BC →＋AC →＋BA →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行.【答案】 D题型四 向量的线性运算例4 (1)化简：3a －[6a －2b －4(2a －3b )]＋(a ＋8b )；(2)把满足5x －6y ＝a ，－4x ＋5y ＝b 的向量x ，y 用a ，b 表示出来．解：(1)3a －[6a －2b －4(2a －3b )]＋(a ＋8b )＝3a －(6a －2b －8a ＋12b )＋(a ＋8b )＝(3－6＋8＋1)a ＋(2－12＋8)b ＝6a －2b .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝a ， ①－4x ＋5y ＝b . ②①×4＋②×5得y ＝4a ＋5b ， ①×5＋②×6得x ＝5a ＋6b ， 所以x ＝5a ＋6b ，y ＝4a ＋5b . 金版点睛 1.线性运算形式 (1)几何运算①三角形法则；②平行四边形法则；③(2)代数运算向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则，实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中均可使用． 2．数乘向量满足的运算律 (1)(λμ)a ＝λ(μa )． (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ，μ为实数)．跟踪训练4化简：23⎣⎡⎦⎤(4a －3b )＋13b －14(6a －7b ). 解：原式＝23⎝⎛⎭⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b ＝23⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4－32a ＋⎝⎛⎭⎫－3＋13＋74b ＝23⎝⎛⎭⎫52a －1112b ＝53a －1118b . 题型五 利用向量数乘运算表示相关向量例5 如图所示，已知平面内的两点P 与Q 关于点A 对称，Q 与R 关于点B 对称，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示PR →.解：解法一：分别连接AB ，OR ，OP ，如右图所示，已知P 与Q 两点关于A 点对称，所以OA →＝12(OP →＋OQ →)．所以OP →＝2OA →－OQ →＝2a －OQ →.又Q 与R 两点关于B 点对称，所以OB →＝12(OQ →＋OR →)．所以OR →＝2OB →－OQ →＝2b －OQ →.所以PR →＝OR →－OP →＝(2b －OQ →)－(2a －OQ →)． 所以PR →＝2b －2a .解法二：OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋QA →，OR →＝OB →＋BR →＝OB →＋QB →，所以PR →＝OR →－OP →＝OB →－OA →＋QB →－QA →＝OB →－OA →＋AB →＝OB →－OA →＋OB →－OA →＝2(OB →－OA →)＝2b －2a .解法三：在△PQR 中，因为A 与B 分别为边PQ 和QR 的中点，所以AB →＝12PR →.所以PR →＝2AB →＝2(OB →－OA →)＝2b －2a .金版点睛 用已知向量表示未知向量的求解思路跟踪训练5如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形，且BM ＝13BC ，CN＝13CD ，试用a ，b 表示 OM →，ON →，MN →.解：BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝13BC →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .又因为OD →＝a ＋b ，C N →＝13C D →，所以ON →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝⎝⎛⎭⎫23a ＋23b －⎝⎛⎭⎫16a ＋56b ＝12a －16b . 题型六例6 已知非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：可以通过证明向量AB →，AD →共线来证明A ，B ，D 三点共线．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2e 1＋3e 2＋6e 1＋23e 2＋4e 1－8e 2＝6(2e 1＋3e 2)＝6AB →，∴向量AD →与AB →共线．又向量AB →与AD →有共同的起点A ，故A ，B ，D 三点共线．金版点睛 解决三点共线问题的思路先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数λ，使得b ＝λa ，则b ∥a ”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出三点共线． 跟踪训练6已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)·OA →(λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)． (1)求证：A ，B ，M 三点共线；(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围． (1)证明：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，OM →－OA →＝λOB →－λOA →， ∴AM →＝λAB →(λ∈R ，λ≠0，且λ≠1)．又AM 与AB 有公共点A ，故A ，B ，M 三点共线． (2)解：由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上，则AM →与AB →同向， 且|AM →|>|AB →|>0，故λ>1.随堂水平达标1．点C 是线段AB 的中点，AB →＝λAC →，那么λ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2【解析】 因为点C 是线段AB 的中点，所以AC →＝CB →，所以AB →＝2AC →，即λ＝2. 【答案】 D2．下列说法正确的为( ) A ．任意两个单位向量都相等 B ．与a 同向的单位向量是a|a |C ．2019 cm 长的有向线段不可能表示单位向量D ．所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆【解析】 A 错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；B 错误，若a ＝0，则没有相应的单位向量；C 错误，一个单位长度取2019 cm 时，2019 cm 长的有向线段恰好表示单位向量；D 显然正确． 【答案】 D3．化简112[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]，其最简式为( )A ．2a －bB ．2b －aC ．a －bD ．b －a【解析】 原式＝112×(2×2－4×4)a ＋112×(2×8＋4×2)b ＝－a ＋2b .【答案】 B4．下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 ①②正确，③错误，向量线性运算的结果依然是向量，即(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0. 【答案】 C5．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则向量EF →＝____________.【解析】 在四边形ABCD 中取AD 的中点M ，连接ME ，MF ，所以ME 为△ACD 的中位线，MF 为△DAB 的中位线，故EF →＝MF →－ME →＝12AB →－12DC →＝12(AB →＋CD →)＝12[(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )]＝3a ＋3b －5c . 【答案】 3a ＋3b －5c6．已知平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于点E ，用向量法证明：BE ＝14BA ．证明：如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ．设OA →＝a ，OB →＝b ，则BD →＝13a ，OD →＝b ＋13a ，BE ′→＝OE ′→－b ，E ′A →＝a －OE ′→.∵3BE ′→＝E ′A →，∴3(OE ′→－b )＝a －OE ′→，∴OE ′→＝14(a ＋3b )＝34⎝⎛⎭⎫b ＋13a ，∴OE ′→＝34OD →，∴O ，E ′，D 三点共线，故E ，E ′重合，∴BE ＝14BA ．。
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
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六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
向量的数乘运算+课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
2
3
4
例3 在△ABC中.
(1)若 D 是 BC 边的中点,试用, 表示;
(2)若 E 是 BC 边上一点,且 =
1
,试用, 表示.
4
(2)如图,因为 = + ,
而
1
= 4
所以
1
1
= 5 = 5 ( − ),
1
4
1
= + 5 ( − )=5 + 5 .
(1 ± 2) = 1 ± ��．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，线性运算的
结果仍为向量
(1)根据定义,求作向量()和() (为非零向量),并进行比较.
(2)已知向量求作向量( + )和 + ，并进行比较.
a
（
3 2a）
6a
a
结合律
向量的数乘
定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算
叫做向量的数乘，记作．
（1）长度： || = || · ||
（2）方向：当 > 0时，的方向与 方向相同；
当 < 0时，的方向与方向相反；
特别地，当 = 0时， = ．当 = −1时， = −
OP xOA yOB且x y 1.
归纳提升
证明或判断三点共线的方法：
1．证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说，要判定 A，B，C 三点是否共线，只需看是否存在
→
→
→
→
实数 λ，使得AB＝λAC(或BC＝λAB等)即可．
(2)利用结论：若 A，B，C 三点共线，O 为直线外一点⇔存在实
③和向量 a 方向相同的单位向量是什么？
21-22版：6.1.4 数乘向量~6.1.5 向量的线性运算（创新设计）
题型二 向量的线性运算
///////
【例 2】 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]. 解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b； (2)原式＝61(4a＋16b－16a＋8b)＝61(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
解析 13a－b－3a＋23b＋(2b－a)
＝13a－b－3a－2b＋2b－a＝－131a－b
＝－131(3i－4j)－(5i＋4j)＝－11i＋434j－5i－4j
＝－16i＋332j.
索引
题型三 用已知向量表示其他向量
【例 3】 如图，在△ABC 中，D，E 为边 AB 的两个三等分
点，C→A＝3a，C→B＝2b，求C→D，C→E. 解 ∵C→A＝3a，C→B＝2b， ∴A→B＝C→B－C→A＝2b－3a. 又∵D，E为边AB的两个三等分点， ∴A→D＝13A→B＝23b－a， ∴C→D＝C→A＋A→D＝3a＋32b－a＝2a＋32b， C→E＝C→A＋A→E＝3a＋23A→B＝3a＋23(2b－3a)＝a＋43b.
内
课前预习
容 索
课堂互动
引
分层训练
1
课前预习
知识探究
自主梳理
///////
1.数乘向量
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是_一__个__向__量___，记 作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝_|λ_|_|a_|__，若a≠0，当λ>0时，λa的方向 与a的方向_相__同___；当λ<0时，λa的方向与a的方向__相__反__.当λ＝0或a＝0时，λa ＝0.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.
向量的数乘运算课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
a
b
b
O
BA a b
a
A
新知探究
我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面
向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
探究 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它们
的长度和方向是怎样的？
a
O
a
A
a
a
B
C
OA AB AC
a a a 3a
注：①向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与λ以及 a有关；
+ − a，
a 无意义；
②实数和向量可以相乘，但不能相加减，
习题演练
5
2
AC 5
，则 AC _____
2. 点C在线段AB上，且
AB
,
BC
=
______
AB.
7
7
CB 2
A
C
B
新知探究
探究:实数与向量积的运算律
3(2a )
∴AC 2 AB .
2b
A
∴AC与 AB共线.
因此,A,B,C 三点共线.
推论 : A, B , C 三点共线 存在 R, 使 AB AC
b
a
O
归纳小结
证明或判断A、B、C三点共线的方法：
AC BC
有公共点B
C
A、B、C三点共线
B
A
新知探究
追问：已知不共线向量a，b，作向量a+λ2b，你能发现向量
a
2a
= 6a
3(2a )
6.2.3 向量的数乘运算
(3) ( x y )a ( x y )a [( x y ) ( x y )]a 2 ya
例析
例6.如图，□ 的两条对角线相交于点，且 = ， = ，
用，表示，，和.
解：在□中， = + = + ， = − = − .
= + 3.猜想, , 三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
解：分别作向量，，，过点，作直线(如图).观察发现，
不论向量，怎样变化，点始终在直线上，猜想, , 三点共线.
3
事实上，因为 = − = + 2 − ( + ) = ，
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a ) 15a 10b 8b 12a 3a 2b;
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) (a b )
3
4
2
1
2
3
1
1
1
11
1
a b a b a b a b
3
3
4
2
2
2
12
3
(3)原式= 2 + 3 − − 3 + 2 − = − + 5 − 2.
2. 化简：课本练习（第16页）
(1) 5(3a 2b) 4(2b 3a );
1
1
1
(2) (a 2b ) (3a 2b ) ( a b );
3
4
2
(3) ( x y )a ( x y )a .
量.
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向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析
向量数乘和线性运算精选题32道附参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣23．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．212．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝．24．已知，，，则＝．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．向量数乘和线性运算精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，故选：C．2．如图，在△ABC中，，，若，则的值为（）A．﹣3B．3C．2D．﹣2【解答】解：∵＝+，＝＝（﹣）＝﹣＝×﹣＝﹣，∴＝+（﹣）＝+；又＝λ+μ，∴λ＝，μ＝；∴＝×＝3．故选：B．3．如图，若＝，＝，＝，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A．＝﹣B．＝+C．＝﹣D．＝+【解答】解：＝，＝，＝，则＝+＝+＝+（﹣）＝﹣＝﹣．故选：C．4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【解答】解：∵、分别表示向量、方向上的单位向量∴+的方向与∠BAC的角平分线一致又∵，∴＝λ（+）∴向量的方向与∠BAC的角平分线一致∴一定通过△ABC的内心故选：B．5．如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ•μ等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意及图，可知：＝+＝+＝+（+）＝﹣，∴λ＝，μ＝﹣，∴λ•μ＝﹣．故选：A．6．已知点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，＝，则实数m为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【解答】解：如图所示，点O是△ABC内部一点，满足+2＝m，延长OB到D点，以OA，OD为邻边作平行四边形AODF，连接CF分别交AB，AD于E，G点．则点E是△OAD的重心．∵＝，不妨设CE＝7，则OC＝3，OE＝4，EG＝2，OF＝12．∴m＝＝﹣4，解得m＝﹣4．故选：D．7．在平行四边形ABCD中，＝，＝，若E是DC的中点，则＝（）A．B．C．﹣+D．﹣+【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，＝，＝，则＝＝﹣＝﹣，又E是DC的中点，则＝+＝（﹣）+＝﹣＝﹣+．故选：C．8．已知D为△ABC所在平面内一点，3＝，则＝（）A．﹣+B．+C．﹣D．+【解答】解：因为D为△ABC所在平面内一点，3＝，所以．故选：A．9．在△ABC中，，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵；∴；∴．故选：B．10．如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（）A．B．C．D．【解答】解：设＝k＝k（﹣）＝k（﹣），∵＝+＝k（﹣）+﹣＝（k﹣1）+（1﹣k），＝﹣＝﹣．∵∥，∴＝λ，则（k﹣1）+（1﹣k）＝λ（﹣）．∴，∴k＝，＝﹣，∴＝+＝+．故选：B．11．△ABC中，AB＝6，BC＝8，AB⊥BC，M是△ABC外接圆上一动点，若＝λ+μ，则λ+μ的最大值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：以B为坐标原点，BC方向为X轴正方向建立直角坐标系，∴A（0，6）C（8，0），∴外接圆的方程为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25，即，∴设M（4+5cosθ，3+5sinθ），∴，，∵，∴，∴，∴，故选：C．12．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|+|＝|﹣|，则||＝（）A．8B．4C．2D．1【解答】解：由＝16，得||＝4，∵＝||＝4，而∴＝2故选：C．二．多选题（共4小题）（多选）13．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A．若＝，则点M是边BC的中点B．若＝，则点M在边BC的延长线上C．若＝，则点M是△ABC的重心D．若＝，且x+y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的【解答】解：若＝，则点M是边BC的中点，故A正确；若＝，即有﹣＝﹣，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若＝，即++＝，则点M是△ABC的重心，故C正确；若＝，且x+y＝，可得2＝2x+2y，设＝2，由右图可得M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．故选：ACD．（多选）14．若点O是线段BC外一点，点P是平面上任意一点，且（λ，μ∈R），则下列说法正确的有（）A．若λ+μ＝1且λ＞0，则点P在线段BC的延长线上B．若λ+μ＝1且λ＜0，则点P在线段BC的延长线上C．若λ+μ＞1，则点P在△OBC外D．若λ+μ＜1，则点P在△OBC内【解答】解：因为若λ+μ＝1且λ＞0，故即又λ＞0则点P在线段BC或其反向延长线上，A错误；若λ+μ＝1且λ＜0，同上可得而λ＜0则点P在线段BC的延长线上，B正确；若λ+μ＞1，，同上可得，当λ+μ＞1时，λ+μ﹣1＞0根据向量加法的平行四边形法则可以看出则点P在△OBC外，C正确；若λ+μ＜1，不防令λ＝0，μ＝﹣1则，很显然此时点P在线段CO的延长线上，不在△OBC内，D错误．故选：BC．（多选）15．已知正方形ABCD的边长为2，向量，满足，，则（）A．B．C．D．【解答】解：由条件可得：，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以，D项正确．故选：AD．（多选）16．下列四式可以化简为的是（）A．+（）B．（）+（）C．+D．【解答】解：＝＝，A正确；+＝＝，B正确；＝，C正确；＝，D错误．故选：ABC．三．填空题（共12小题）17．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，•＝﹣，则实数λ的值为，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则•的最小值为．【解答】解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，∵∠B＝60°，AB＝3，∴A（，），∵BC＝6，∴C（6，0），∵＝λ，∴AD∥BC，设D（x0，），∴＝（x0﹣，0），＝（﹣，﹣），∴•＝﹣（x0﹣）+0＝﹣，解得x0＝，∴D（，），∴＝（1，0），＝（6，0），∴＝，∴λ＝，∵||＝1，设M（x，0），则N（x+1，0），其中0≤x≤5，∴＝（x﹣，﹣），＝（x﹣，﹣），∴•＝（x﹣）（x﹣）+＝x2﹣4x+＝（x﹣2）2+，当x＝2时取得最小值，最小值为，故答案为：，．18．已知O在△ABC内，且S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，，则λ+μ＝【解答】解：如图，根据题意不妨设△ABC的边，AB＝4，AC＝2，BC＝＝2，建立如图坐标系，则BC的方程为x+2y﹣4＝0，则3a﹣4＜0，设O点坐标为（a，a），点O在三角形内，则O到BC的距离d＝＝，则根据S△AOB：S△BOC：S△AOC＝4：3：2，得（•4a）：（2×）：（×2a），解得a＝，∴＝（，），＝（4，0），＝（0，2），由，得，解得，，所以：λ+μ＝，故填：19．已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是6．【解答】解：如图，设，，由||＝1，且|﹣|∈{1，2}，分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k的最大值为6．故答案为：6．20．在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，记，＝，若，则x+y的值为．【解答】解：如图，∵AD＝DB，BE＝2EC；∴，＝，且；∴＝；又；∴根据平面向量基本定理得，；∴．故答案为：．21．在四边形ABCD中，AB＝6，若，则＝12．【解答】解：根据题意，如图，在AB上取一点E，使＝，则有＝+＝+＝+（﹣）＝+，又由，则有＝，四边形AECD为平行四边形，则有＝＝，又由AB＝6，则＝6×2＝12；故答案为：12．22．已知△ABC的一内角，AB＝10，AC＝6，O为△ABC所在平面上一点，满足|OA|＝|OB|＝|OC|，设＝m+n，则m+3n的值为．【解答】解：由得：||＝||＝||，则点O是△ABC的外心，则，由＝10×＝30所以，所以，所以m+3n＝，故答案为：23．在直角坐标系中，O为原点，，则x+y＝0．【解答】解：∵，∴x+y＝2（﹣），∴（x+2）+（y﹣2）＝，∴x＝﹣2，y＝2，x+y＝0，故答案为：0．24．已知，，，则＝2．【解答】解：因为，，，所以＝7，所以＝1，则2＝＝4﹣4×1+4＝4，则＝2．故答案为：2．25．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q．若＝，则当ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为或．【解答】解：G为△ABC的重心，所以＝+，设＝μ，故＝+，因为P，G，Q三点共线，故+＝1①，所以+＝3，＝＝＝②，由①②得或，故答案为：或．26．如图，给定单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的上运动．若，其中x，y∈R，则x+2y的最大值是．【解答】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣，）；设∠AOC＝α，则＝（cosα，sinα），∵，∴（cosα，sinα）＝（x，0）+（﹣y，y）；即cosα＝x﹣y，sinα＝y，解得：x＝sinα+cosα，y＝sinα；∴x+2y＝sinα+cosα＝sin（α+θ），其中tanθ＝；又sin（α+θ）≤1，∴x+2y≤．故答案为：．27．已知点O是△ABC内部一点，并且满足，△BOC的面积为S1，△ABC 的面积为S2，则＝．【解答】解：因为，所以，分别取AC，BC的中点D，E，则，，所以，即O，D，E三点共线且，则，因为D为AC中点，所以，所以．故答案为：．28．设λ是正实数，三角形ABC所在平面上的另三点A1，B1，C1满足：＝λ（+），＝λ（+），＝λ（+），若三角形ABC与三角形A1B1C1的面积相等，则λ的值为．【解答】解：△ABC的重心为点G，由题意可知△ABC与△A1B1C1关于中心点G对称，由，＝（+）＝λ（+），故，故答案为：．四．解答题（共4小题）29．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AE＝EC，AD，BE交于点F，设＝，＝．（1）用，分别表示向量，；（2）若＝t，求实数t的值．【解答】解：（1）由题意，D为BC的中点，且＝，∵+＝2，∴＝2﹣，∴＝﹣＝2﹣﹣＝﹣+2；（2）∵＝t＝t，∴＝﹣＝﹣+（2﹣t），∵＝﹣+2，，共线，∴，∴t＝．30．如图所示，在△ABO中，，，AD与BC相交于点M，设，．（1）试用向量，表示；（2）过点M作直线EF，分别交线段AC，BD于点E，F．记，，求证：为定值．【解答】解：（1）由A，M，D三点共线，可设＝，由B，M，C三点共线，可设＝，因为，不共线，所以，解得，，故．（2）因为E，M，F三点共线，设＝，由（1）知，，即，，所以，故为定值，即得证．31．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•＝﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||＝||恒成立？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•＝﹣时，即（cos）（cos）+sin2α＝，整理得到cos，所以锐角α＝60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||＝||恒成立，得到＝，整理得2cosα（2+x）＝x2﹣4，所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．32．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点．（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵D为BC边中点；∴；∴由得，；∴；（2）如图，根据条件：＝＝；∴；∴DE＝3DO；又AB＝2DE；∴AB＝6DO；∴S△ABC＝6S△BOC＝12；即△ABC的面积为12．。
高中数学第六章平面向量及其应用-向量的数乘运算课件及答案
【对点练清】 1．若典例 3 中条件“―A→B ＝2e1－8e2”改为“―A→B ＝2e1＋ke2”且 A，B，D
三点共线，如何求 k 的值？
解：因为 A，B，D 三点共线，所以―A→B 与―B→D 共线．设―A→B ＝λ―B→D (λ∈R)， ∵―B→D ＝―C→D －―C→B ＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
2e2＝3e1＋6e2， ―B→D ＝―B→C ＋―C→D ＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2e1＋4e2， ―A→C ＝―A→B ＋―B→C ＝e1＋2e2－5e1＋6e2＝－4e1＋8e2. (1)―A→D ＝3(e1＋2e2)＝3―A→B ，∴―A→B 与―A→D 共线． (2)―B→C 与―B→D 不共线．(3)―C→D 与―A→C 不共线．
【对点练清】
1．设向量
a
＝3i＋2j，b
＝2i－j，求13a
－b
－a
－23b
＋(2b
－a
)．
解：原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a
＝13－1－1a ＋－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b
＝－53(3i＋2j)＋53(2i－j)＝－53i－5j.
2．已知 a 与 b ，且 5x＋2y ＝a ,3x－y ＝b ，求 x，y .
知识点一 向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘运算：
定义
一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个_向__量___，这种运算叫做 向量的数乘，记作 λa
长度
|λa |＝|λ||a |
λ＝0
方 向
λ＞0
λ＝0
λa 的方向与 a 的方向_相__同___ λa ＝_0__
λa 的方向与 a 的方向_相__反___