向量的线性运算
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
24.7 向量的线性运算
第24章 第四节 平面向量的线性运算§24.7向量的线性运算 教学目标(1)知道向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，会画图表示简单的线性运算结果.(2)知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量用两个给定的不平行向量的线性组合表示。
(3)知道向量的分解式，能画出平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量。
(4)在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法。
教学重点让学生理解向量的线性运算的含义，知道向量的线性组合。
引进向量的分解式，帮助学生学会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量。
知识精要1.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。
2.如果a b 、是两个不平行的向量，x y 、是实数，那么xa yb +叫做a b 、的线性组合。
3.如果a b 、是两个平行的向量，c ma nb =+(m n 、是实数)，那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成。
用a b 、的线性组合表示向量c ，也可以说是对向量c 分解。
这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a b 、方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a b 、的分解式。
4.平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解。
用作图的方法，可以作出这个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量。
经典题型解析(一)向量的线性组合例1.如右图，已知两个不平行的非零向量a b 、，求作满足 关系式3(3)2(4)a x b x -=-的向量x 。
a b随堂练习：如图，已知两个不平行的向量a 、b ，求作：3()(3)2a b a b ---。
b a例2.(1)已知在ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、上，//DE BC ，且2AD DB =。
若AB a =，AC b =，则向量DE 可用a b 、表示为___________。
向量的线性运算：减法
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
B
a aaaaaaaaa
注意：
b bO b
b b b
b
b
b a+b
各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的 起点指向最后一个向量的终点.
2、向量加法 的平行四边形
法则
Db
C
Байду номын сангаас
a a a a a a a a a a a+b
aba(b) 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
相反向量
b 1. 与 长度相等、方向相反的向量， 叫做 b 的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量 ３、任一向量和它相反向量的和是零向量
练习
（1） (a) ____a __
(2)a (a) __0___ (a) a _0 _____
(3)如果a, b互为相反的向量，那么
a
如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
c d
B ab A
b a
O
D
d cd
C c
（ 1） A BB CA DD
(A )A D (B )C D (C )D B (D )D C
（ E2 X） ：A 选B 择 题A CD B
C
(A )A D (B )A C (C )C D (D )D C
例2：如图，平行四边形ABCD，AB=a， AD=b，用a、b表示向量AC、DB。
D
C 注意向量的方向，向量
b
AC=a+b,向量DB=a-b
A
a
B
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？
向量的概念与线性运算
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积定义为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$之间的夹角。
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字、符号、箭头、有序对等。
详细描述
文字表示法是用“→”表示向量，例如a→表示向量a。符号表示法则使用字母来表示向量，如a、b、c等。有序 对表示法则使用起点和终点的坐标来表示向量，例如(x1, y1, z1)→(x2, y2, z2)。箭头表示法则是在起点和终点之 间画一条有箭头的线段来表示向量。
要点二
性质
线性相关的向量组中至少存在一个向量可以用其他向量线 性表示。
向量组的秩
定义
向量组的秩是指该向量组中线性无关向量的最大数量。
性质
向量组的秩等于该组向量的行矩阵的秩，也等于列矩阵 的秩。秩是向量组的一个重要的不变量，它反映了向量 组中线性相关性的程度。
05
向量在几何中的应用
向量在解析几何中的应用
详细描述
数乘是将一个标量与一个向量相乘的运算。如果标量为正数，则结果向量的方 向与原向量相同；如果标量为负数，则结果向量的方向与原向量相反。数乘的 结果向量的模长是原向量模长与标量乘积。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点置于另一 个向量的终点，然后由第二个向量的起点指 向第一个向量的终点的向量。
几何意义
数量积表示两个向量在方向上的相似程度。如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} > 0$， 则$mathbf{A}$和$mathbf{B}$同向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} < 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$反向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$垂直。
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的一个重要概念，它具有方向和大小。
在现实生活和科学研究中，我们常常需要对空间向量进行各种数学操作和运算。
本文将介绍空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及与数的乘法。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的加法运算可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的减法运算可以表示为：A -B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个标量k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与标量k的数量乘法运算可以表示为：kA = (kAx, kAy, kAz)4. 向量与数的乘法向量与数的乘法是指将一个向量的每个分量都与一个相同的数相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个数k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与数k的乘法运算可以表示为：A * k = (Ax * k, Ay * k, Az * k)空间向量的线性运算具有以下几个重要性质：1. 加法交换律对于任意的向量A和B，有A + B = B + A。
2. 加法结合律对于任意的向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 减法与加法的关系向量减法可以看作是加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B取相反数得到的向量。
4. 标量乘法分配律对于任意的向量A和标量k、m，有k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA。
第七章第1节向量及其线性运算
定义1
由n个数 a1, a2,…, an 所组成的有序数组
= (a1, a2,…, an)
称为n维向量. 数 a1, a2,… an 称为向量 的分量 (坐标)，aj 称为向量 的第 j 个分量(坐标). 一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.
线性相关.
定理3. 任意 n+1 个 n 维向量都是线性相关的.
推论3. 若1, 2,… m为 n 维向量.且 m > n
则此向量组 线性相关.
定义3. 设 T 是 n 维向量所组成的向量组.
如果 T 的部分组 1, 2,…,r 满足
(i) 1, 2,…, r 线性无关; (ii) T, 可由1, 2,…, r 线性表出, 即 , 1, 2,…,r 线性相关. 则称向量组1, 2,…, r为向量组T的一个极大线性无 关向量组，也称极大无关组.
0= 1 (1 + 2 )+ 2 (2+ 3 )+ 3(3 + 1 ) = (1+ 3)1 + (1 +2)2 + (2 +3 )3.
1＋3 =0, 1+ 2 =0,
2＋3 =0.
1+2+ 3=0, 1=2= 3=0. 故 1 , 2 , 3 线性无关. 证毕.
且 1, 2,…, r, 0, …, 0 不全为零，
即1, 2, …, r , r+1 ,…,m 线性相关.
推论1. 若1, 2,…, r 线性无关. 则其部分组 (由1, 2,…, r 中某些向量组成的向量组)
也线性无关.
推论2. 若向量组中含有零向量, 则 此向量组
第一讲向量及其线性运算
a a cos u
a
b
u
a
u
b
u
a a
u
u
例 9 设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA
OA a 求OA在OM方向上的投影 P rj OA AB M
φ
O
A
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则 三角形法则:
特别当b a 时, 有
a
➢运算规律: 三角不等式
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
二、向量的线性运算
1、向量的加法 2、向量的减法 3、向量与数的乘法
➢运算法则
是一个数
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
定比分点公式
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 , M 的坐标 ,
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
中点公式
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
三个坐标为零
两个坐标为零 一个坐标为零
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
2）.
向量的线性运算
1.4 在共线共面问题上的应用
于是 C 和A, B 共线 AC // AB 存在实数s, 使得AC = s AB
即 OC OA = s (OB OA) 存在实数s, 使得OC = (1s) OA + s OB OC 对OA, OB 可分解, 且分解系数之和为1. 充分性. 设OC = r OA + s OB, 其中r + s = 1, 于是 OC = (1s) OA + s OB, 即 AC = s AB. 因此 AC // AB, 从而 C 和A, B共线.
设又有 ＝ , 则( ) = = 0.
又 0 , 故 = 0 , 即 = .
充分性由平行定义易知.
注: 为方便, 将这里的数 记为
1.3 向量的分解
(2) 存在性. 从同一起点 O 作
OA = , OB = , OC = .
过 C 作 CD // OB, 且与直线 OA 交于 D.
1.4 在共线共面问题上的应用
由于上述结论, 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线、共面问题以及线段的 定比分割问题等.
命题1.2 假设O, A, B不共线, 则点C 和A, B共线 的充分必要条件是: 向量OC 对OA, OB 可分解, 并且分解系数之和等于1. 证明: 必要性. 由于O, A, B不共线, 所以OA, OB不平行, 且AB 0.
注: 向量组共线就是其中任何两个向量平行, 向量组共面就是其中任何三个向量共面. 于是判别“两向量是否平行”, “三向量是否共面” 成为基本问题.
1.3 向量的分解
定理1.1 (向量分解定理)
(1) 设 为非零向量, 则 // (与共线) 当且 仅当存在唯一实数, 使得 = . (2) 若向量 , , 共面, 并且 与 不平行, 则 存在唯一的一对实数, 使得 = + .
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向量的线性运算
向量是线性代数中的重要概念，线性运算是对向量进行数学操作的方法。
本文将介绍向量的线性运算包括加法、减法、数乘，以及向量的线性组合。
一、向量的加法
向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，符号为“+”。
设有向量A和向量B，记作A+B=C，其中C是向量A和向量B的和向量。
向量的加法满足以下几个性质：
1. 交换律：A+B=B+A
2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)
3. 零向量：对于任意向量A，有A+0=A，其中0是零向量，即所有分量都为0的向量。
二、向量的减法
向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，符号为“-”。
设有向量A和向量B，记作A-B=C，其中C是向量A和向量B的差向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B=A+(-B)，其中-表示取反操作。
三、向量的数乘
向量的数乘是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A和实数k，记作kA=B，其中B是向量A的数乘结果。
向量的数乘满足以下性质：
1. 分配律：k(A+B)=kA+kB
2. 结合律：(kl)A=k(lA)，其中k和l为实数
四、向量的线性组合
向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的权重进行相加得到一个新的向量。
设有向量A1、A2、...、An和实数k1、k2、...、kn，向量的线性组合记作k1A1+k2A2+...+knAn。
向量的线性组合可以看作是向量的加法和数乘运算的组合。
向量的线性运算在向量空间中有着重要的应用。
通过向量的线性组合，我们可以表示出向量空间中的各种线性关系，诸如线性相关性、线性无关性、生成子空间等概念。
在实际问题中，向量的线性运算也有广泛的应用。
例如，物理学中常用向量的线性组合来表示力、速度、加速度等物理量；经济学中则常用向量的线性组合来表示商品的组合、市场的供求关系等。
综上所述，向量的线性运算包括加法、减法、数乘和线性组合。
通过这些运算，我们可以对向量进行各种数学操作，方便地进行向量的运算和分析，也为解决实际问题提供了有力的工具。