平面向量线性运算C(学生)
人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算(学生版)
平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.一、平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________2、向量的模长：________________________________________________________3、零向量:____________________________________________________________4、单位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________二、平面向量的基本运算：一般地，λa＋μb叫做a,b的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa＋μb，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC u u u r 叫做位移AB u u u r与位移BC u u u r 的和，记作____________________2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD u u u r =BC u u ur ，根据三角形法则得AB u u u r ＋AD u u u r=________________________平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =u u u r OA ，b =u u u rOB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA -=+-+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．即（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．图7－7ACBaba +bab图7－9A一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为||||||aaλ=λ（7．3）若||λ≠a0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同，当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当0λ≠时，有λ⇔=a b a b∥（7．4）一般地，有0a= 0, λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a aλμλμμλ== ；()()3a a aλμλμ+=+ ；()()a b a bλλλ+=+４ ．题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB→＝DC→，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有AB→＝DC→；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；aAa-bBbO图7－13⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA u u u r相等的向量； （2）找出向量DC u u u r的负向量；（3）找出与向量AB u u u r平行的向量．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出 （1）与EF u u u r 相等的向量；（2）与AD u u u r共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC u u u r 相等的向量； （2）OC u u u r 的负向量； （3）与OC u u u r题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．2．填空（向量如图F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 ADCB图7－5Obbaa（1）（2）第1题图所示）：（1）a ＋b =_____________ , （2）b ＋c =_____________ , （3）a ＋b ＋c =_____________ ． 3．计算：（1）AB u u u r＋BC u u u r ＋CD u u u r ； （2）OB u u u r ＋BC u u u r ＋CA u u u r ．例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．练习：1．填空：（1）AB u u u r AD -u u u r=_______________，（2）BC u u u r BA -u u u r=______________， （3）OD u u u r OA -u u u r=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB u u u r = a ,AD u u u r= b ，试用a , b 表示向量AC u u u r 、BD u u u r 、DB u u u r．例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB u u u r ＝a ，AD u u u r＝b ，试用a , b 表示向量AO u u u r 、OD u u u r．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．BbOaAba（1）（2）图7－142．设a , b 不共线，求作有向线段OA u u u r ，使OA u u u r ＝12（a ＋b ）．例7 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.练习：练习：在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例8 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．练习：如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．一、选择题1．在下列判断中，正确的是( ) ①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等； ④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线． A ．①②③ B ．②③④ C ．①②⑤D ．①③⑤2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A ．BC → B ．AB → C ．AC →D ．AM →3．若a 、b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同4．已知下列各式：①AM →＋MB →＋BA →；②AB →＋CA →＋BD →＋DC →；③OA →＋OC →＋BO →＋CO →.其中结果为零向量的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是________． 6．如图所示，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，则OA →＋AB →＋BC →＝________.三、解答题7．如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？8.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2CD ，M 、N 分别是CD 和AB 的中点，若AB =a ，AD =b ，试用a 、b 表示BC 和MN ，则BC =________，MN =______._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是( ) A ．一条线段 B ．一段圆弧 C ．两个孤立的点D ．一个圆2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在( ) A ．同一个圆上 B ．同一个点上 C ．同一条直线上 D ．以上都有可能4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量； ②向量的模是一个正实数； ③相等向量一定是平行向量； ④共线向量一定在同一直线上． 其中，正确说法的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列说法错误的是( )A ．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B ．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C ．只有零向量的模等于0D ．零向量没有方向6．如图所示，圆O 上有三点A 、B 、C ，则向量BO →、OC →、OA →是( ) A ．有相同起点的相等向量 B ．单位向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量9．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，则( ) A ．a ＝b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．以上都不对 10．△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是( )A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠012．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形二、填空题12．若D 、E 、F 分别是△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点，则与向量EF →相等的向量为________． 16．根据右图填空： b ＋c ＝________； a ＋d ＝________； b ＋c ＋d ＝________； f ＋e ＝________； e ＋g ＝________.三、解答题17．某人从A 点出发，向东走到B 点，然后，再向正北方向走了60m 到达C 点．已知|AC →|＝120m ，求AC →的方向和A 、B 的距离．18．两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1＝40N ，方向向东，F 2＝403N ，方向向北，求它们的合力．能力提升一、选择题1．若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b . 其中正确的是( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤2．如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( )A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线3．如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是()A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个(不含AB →本身)B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个(不含AB →本身)C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线4．四边形ABCD 中，若AB →与CD →是共线向量，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．梯形C ．平行四边形或梯形D ．不是平行四边形也不是梯形1．已知向量a 表示“向东航行1km ”向量b 表示“向南航行1km ”则a ＋b 表示( )A ．向东南航行2kmB ．向东南航行2kmC ．向东北航行2kmD ．向东北航行2km2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列各式中不成立的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋d ＝bC ．b ＋d ＝aD ．|a ＋b |＝|c |3．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a 、BC →＝b 、AC →＝c ，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．0B ．3C ． 2D ．2 2 4．下列命题中正确的个数为( )①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；④若a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题5．若|AB →|＝|AD →|，且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为________．6．已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________.6．已知在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，若|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.三、解答题8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m ，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m ，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．9．如图所示，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的点，已知AD →＝DB →，DF →＝BE →，试推断向量DE →与AF →是否为相等向量，说明你的理由．7．如图所示，在△ABC 中，P 、Q 、R 分别为BC 、CA 、AB 边的中点，求证AP →＋BQ →＋CR →＝0.8．轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶40n mile 到达C 处．求此时轮船关于A 港的相对位置．9．已知下图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力F 1＝24N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力F 2＝12N.求F 1和F 2的合力．。
平面向量的线性运算知识点总结
平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。
本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。
具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。
即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。
具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。
2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。
3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。
4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。
具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。
2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，具有广泛的应用领域。
本教案旨在通过线性运算的教学来帮助学生深入理解平面向量的概念和运算法则。
二、知识点梳理1. 平面向量的定义和表示方法2. 平面向量的加法和减法运算3. 数乘运算及其性质4. 平面向量的数量积及其性质5. 平面向量的分解与合成三、教学步骤1. 概念讲解(1) 平面向量的定义和表示方法平面向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。
常用的表示方法有坐标表示和向量符号表示。
2. 加法和减法运算(1) 加法运算- 向量的加法满足交换律和结合律。
- 加法运算可以通过平行四边形法则进行计算。
(2) 减法运算- 向量的减法可以转化为加法运算，即a - b = a + (-b)。
- 通过平行四边形法则可以将减法运算转化为加法运算。
3. 数乘运算及其性质(1) 数乘运算- 数乘运算指的是将一个向量与一个实数相乘，结果是一个新的向量。
- 数乘运算可以改变向量的大小和方向。
(2) 数乘运算的性质- 数乘的加法法则：(k1 + k2)a = k1a + k2a- 数乘的数乘法则：(k1k2)a = k1(k2a)4. 数量积及其性质(1) 数量积的定义- 数量积，也称点积或内积，是两个向量的乘积，结果是一个实数。
- 数量积的计算方法为两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值。
(2) 数量积的性质- 交换律：a·b = b·a- 结合律：(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)- 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c5. 分解与合成(1) 向量的分解- 分解是将一个向量表示为多个已知向量的线性组合。
- 可以使用平行四边形法则或三角函数来进行向量的分解。
(2) 向量的合成- 合成是根据给定向量和它们的系数，通过线性组合得到一个新的向量。
四、案例演练1. 解决实际问题(1) 给定向量A(-3, 4)和向量B(2, 5)，求A + B和2A - B的结果。
平面向量-讲义(学生版)
一、 平面向量的线性运算
1. 基础概念
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． （2）平行向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．
向量 平行于向量 ，记作 // ． （3）零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作： .
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
B.
C.
的两条对角线相交于点 ，且
D.
，则
（ ）．
A. B. C. D.
3. 两个定理
（1）平面向量基本定理：如果 和 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量 ，
存在唯一的一对实数 ， ，使
．
（2）平面向量的三点共线定理：若 、 、 三点共线，则
，且
．
经典例题 7. 如图，在
中，点 为线段 上靠近点 的三等分点，点 在 ，则实数 的值为（ ）．
C. 若
，则
D. 若
，则 与 的夹角为
，则（ ）．
25. 如图，在矩形
中，
，
，点 为
，则
的值是（ ）．
的中点，点 在边
上，若
8
A.
B.
C.
D.
巩固练习
26. 已知向量
，
，
，若
，则实数
．
27. 已知向量 A.
， B.
，若
，则实数 的值为（ ）．
C.
D.
28. 设向量
，
，且
，则
．
29. 已知
为等腰直角三角形，
经典例题
1. 下列命题：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；
平面向量的概念及线性运算教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。
平面向量的线性运算教案
平面向量的线性运算教案教案标题：平面向量的线性运算教学目标：1. 理解平面向量的基本概念和性质。
2. 掌握平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够应用线性运算解决平面向量相关的问题。
教学重点：1. 平面向量的线性运算的定义和性质。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘的运算规则。
3. 运用线性运算解决平面向量的问题。
教学难点：1. 点乘的概念和应用。
2. 运用线性运算解决复杂的平面向量问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、平面向量的示意图、习题集。
2. 学生准备：纸笔、计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入平面向量的概念和基本性质，与学生进行互动讨论，激发学生的学习兴趣。
2. 回顾向量的表示方法和坐标表示，确保学生对向量的基本概念有清晰的理解。
二、讲解平面向量的线性运算（15分钟）1. 向量的加法和减法：介绍向量的加法和减法的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
2. 向量的数乘：介绍向量的数乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
3. 向量的点乘：介绍向量的点乘的定义和运算规则，并通过示意图进行解释和演示。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给出一些简单的练习题，让学生进行个别或小组练习。
2. 针对学生的问题和困惑进行解答和讲解，引导学生理解和掌握平面向量的线性运算。
四、拓展应用（15分钟）1. 给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的线性运算解决问题。
2. 分组讨论和展示解题过程和结果，促进学生的思维发散和创新。
五、归纳总结（5分钟）1. 对平面向量的线性运算进行总结和归纳，强化学生对知识点的理解和记忆。
2. 指导学生将所学知识进行整理和梳理，形成学习笔记或思维导图。
六、作业布置（5分钟）1. 布置适量的练习题，巩固学生对平面向量的线性运算的掌握。
2. 鼓励学生自主学习，拓展相关知识，提高问题解决能力。
教学反思：在教学过程中，要注重理论与实践的结合，通过示意图和实际问题的引导，帮助学生理解和应用平面向量的线性运算。
(完整版)平面向量的线性运算
ABabbaa a O =−→−OBA B O B a abb=−→−OB a +b ABAa +b向量的线性运算（一）1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a →--→--OB =→--OA +→--AB a +b2.向量的加法法则（1）共线向量的加法：同向向量反向向量（2）不共线向量的加法几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：→--AB −→−+BC=→--AC ．平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线→--AC 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。
如图，已知向量a 、b 在平面内任取一点A ，作→--AB =a ，=−→−BC b ，则向量−→−AC 叫做a与b 的和，记作a +b ，即a +b +=−→−AB =−→−BC −→−AC【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况：探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |; （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |,当a 与b 反向时，若|a |>|b |,则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |,则a +b 的方向与b 相同，且|a +b |=|b |-|a |.（4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律：a +b =b +a（2）向量加法的结合律：(a +b ) +c =a +(b +c ) 证明：如图：使=−→−AB a , =−→−BC b , =−→−CD c 则(a +b )+c =−→−AC +=−→−CD −→−AD ，a + (b +c )=−→−AB −→−+BD −→−=AD ,∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++．例题：例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量：（1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水aaab bba +ba +b ABC ABCD三角形法则平行四边形法则的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案
高中数学必修4《平面向量的线性运算》教案一、教学目标1.理解向量的加、减、数乘运算及其物理意义。
2.掌握平面向量的线性运算方法。
3.能够应用向量的线性运算解决实际问题。
二、教学重点平面向量的线性运算。
三、教学难点向量线性运算一个实际问题的解决。
四、教学方法讲授法，示范法，练习法，问题解决法。
五、教学工具黑板、多媒体投影仪等。
六、教学过程1.引入教师引导学生回忆已学过的向量概念以及向量的模、方向和共面等概念。
2.新课讲解（1）向量加法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {BC}$ 表示两个向量，那么它们的和为 $\vec {AB} + \vec {BC} = \vec {AC}$，如图所示：向量和的性质：①结合律：$(\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c)$②交换律：$\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$③零向量的性质：$\vec a+\vec 0=\vec a$（2）向量减法。
如果 $\vec {AB}$ 和 $\vec {AC}$ 表示两个向量，那么它们的差为 $\vec {AB}-\vec {AC} = \vec {CB}$，如图所示：向量差的性质：$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$（3）向量数乘。
如果 $\vec a$ 表示一个向量，$\lambda$ 表示一个标量，那么$\vec a$ 与 $\lambda$ 的积为 $\lambda \vec a$，如图所示：向量数乘的性质：①交换律：$\lambda \vec a=\vec a \lambda$②系数倍数的分配律：$(k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a$③数乘的分配律：$k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b$（4）向量共线和平行。
向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 共线的充要条件是 $\vec a = \lambda \vec b (\lambda \in R)$；向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ 平行的充要条件是 $\vec a \times \vec b =\vec 0$（叉乘得到的是一个向量，如果结果为 $\vec 0$ 说明它们是平行的），或者 $\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|$。
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学科教师辅导讲义
2．(
)(
)
3342a b a b -+-r
r
r
r
；
3.()()
52423a b c a b c -+-+-r r r r r r
；
【例3】如果a r +b r =3c r ,a r -b r =-c r ,那么a r 与b r
是平行向量吗？如果是，求a b
r r .
12
【例4】如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点.
（1） 用向量AB u u u r 、AC u u u r 表示向量EF u u u r ,用向量DB u u u r 、DC u u u
r 表示向量HG u u u r ;
（2） 由AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，DC DB BC -=u u u r u u u r u u u r ，可推出向量EF u u u r 与HG u u u r
相等吗？四边形EFGH 是平行四边形吗？
【借题发挥】
1．如果2a
r
+b
r
=3c
r
，a
r
+2b
r
=c
r
，那么a
r
与b
r
是平行向量吗? 如果是，求
a
b
r
r.
2．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB CD
=，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD边的中点，用向量的方法证明四边形EFGH是菱形.
【例5】已知非零向量a
r
，求作-2a
r
，2a
r
.
【例6】如图，已知向量a
r
、b
r
，求作向量()
2a b
-+
r
r
.
【例7】如图，已知向量OA u u u r 、OB uuu r 和a r 、b r
，求作： （1） 向量a r 分别在OA u u u r 、OB uuu r
方向上的分向量； （2） 向量b r 分别在OA u u u r 、OB uuu r
方向上的分向量.
【借题发挥】
1． 如图，已知两个不平行的向量a r 、b r .求作：2a r +3b r ,2a r -3b r
.
2． 已知两个不平行的向量a r 、b r ，求作：3a r +52b r ，3a r 52
b r
.
【例8】如果向量a r
、b r
满足关系式(
)
560a b x +-=r
r
r
r
，试用a r
、b r
表示向量x r
.
【例9】如图，已知ABCD Y 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 交于点F ，设AD a =u u u r r ，AB b =u u u r r ，分别求向量AE u u u r
、AF u u u r 、BF u u u r 、DF u u u r
关于a r 、b r 的分解式.
【借题发挥】
1．如果向量a r 、b r 满足关系式()()
8374a x b x -=-r r r r ，试用a r 、b r 表示向量x r
.
2．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，DE ∥BC ,
2
3
AD AB =，试用向量BC uuu r 表示向量DE u u u r .
3．如图，点1B 、2B 、3B 在AB 上，1C 、2C 、3C 在AC 上，11223BB B B B B ==3B A =，
11223CC C C C C ==3C A =，试用向量AB u u u r 表示向量11B C u u u u r 、22B C u u u u u
r 、33B C u u u u r .
【随堂练习】
填空题：
1．已知m 、n 是实数，r a 、r
b 是向量，对于命题： ①-=-()r r r r m a b ma mb
②-=-()r r r
m n a ma na
③若=r r ma mb ，则=r r a b
④若=r r
ma na ，则m n =
其中正确命题为_____________________．
2．（1）()()
b a b a ρρρρ
7253--+- = ；
（2）()()c c b a c b a ρ
ρρρρρρ2
53232223+-+++-=
3.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC AB ∠==o
u u u r ，r a ，AC =u u u r r c ，BC =u u u r r
b ，则++=r r r a b
c ．
4．已知向量r a ，r b ，且3()2(2)4()0x a x a x a b ++---+=r r r r r r r r
，则x r =__________．
5．若向量x r 、y u r 满足+=-=23,32u r u r r u r u r r x y a x y b ，r a 、r
b 为已知向量，则x r =__________； y u r =___________．
1．已知向量,,a b c r r r ；求作：（1）1232
a b c -+r
r r
（2）225
a b c --r r r
2．如图，13
AM AB =u u u u r u u u r ，13AN AC =u u u
r u u u r ．求证：13MN BC =u u u u r u u u r ．
3．如图，已知平行四边形ABCD ，点 M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r 分别求向量MN u u u u r 、BN u u u r 关于a r
、b r
的分解式.
D
C A
B
M N
4． 如图，△ABC 中，F 为AC 的中点，D 、E 分别在BA 、
CA 的延长线上，且DE ∥BC ，1
3
AE AC =，设FB =u u u r a r ， AC =u u u r b r
，试用a r 、b r 的线性组合表示.
A
N
M
C
B
c
b
a
5． 如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，1
2
AD DC =，E 、F 、G 分别是AD 、BD 、BC 的中点，设AB =u u u r a r ，
AC u u u r =b r
，试用a r 、b r 的线性组合表示.
6． 在梯形ABCD 中，DC AB //，E 是BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线与点F ，已知a AB ρ
=，
a DC ρ2=，
b AD ρ=，求向量AF 、AE 、DE 关于a ρ、b ρ
的分解式.
7．在梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，联结MN 、DN.已知AB u u u r =a ，AD u u u r
=b ，求出向量BC MN u u u r u u u u r
、
关于a 、b 的分解式. D M C
A N B
二、综合提高训练：
1．如图，AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，设AB u u u r a =r ，AC b =u u u r r ，求向量AD u u u r 、AG u u u
r 、DG u u u r 关于a r 、b r
的分解式.
2．如图，在同一平面内的ABCD Y 、AEFD Y 、BCFE Y ，设AB u u u r =a r ,AE u u u r =b r ,试用向量a r 或b r
表示向量BE u u u r 、CF uuu r .。